Подібні доданки визначення. Подібні доданки - Гіпермаркет знань
Є . У цій статті ми дамо визначення подібних доданків, розберемося, що називають приведенням подібних доданків, розглянемо правила, за якими виконується ця дія, і наведемо приклади приведення подібних доданків з докладним описомрішення.
Навігація на сторінці.
Визначення та приклади подібних доданків.
Розмова про подібних доданків виникає після знайомства з буквеними виразами, коли виникає необхідність проведення перетворень із нею. За підручниками математики Н. Я. Віленкіна визначення подібних доданківдається в 6 класі, і воно має таке формулювання:
Визначення.
Подібні доданки– це доданки, які мають однакову літерну частину.
Варто уважно розібратися у цьому визначенні. По-перше, йдеться про доданків, а, як відомо, доданки є складовими елементамисум. Отже, подібні доданки можуть бути лише у виразах, які є суми. По-друге, в озвученому визначенні подібних доданків є незнайоме поняття «літерна частина». Що ж розуміють під літерною частиною? Коли дається це визначення у шостому класі, під літерною частиною розуміється одна буква (змінна) чи твір кількох букв. По-третє, залишається питання: «А що ж це за такі доданки з літерною частиною»? Це складові, що є твір деякого числа, так званого числового коефіцієнта , і буквеної частини.
Ось тепер можна навести приклади подібних доданків. Розглянемо суму двох доданків 3·a та 2·a виду 3·a+2·a . Доданки в цій сумі мають однакову літерну частину, яка представлена літерою a тому, згідно з визначенням ці доданки є подібними. Числовими коефіцієнтами зазначених подібних доданків є числа 3 і 2 .
Ще приклад: у сумі 5·x·y 3 ·z+12·x·y 3 ·z+1подібними є доданки 5 · x · y 3 · z і 12 · x · y 3 · z з однаковою буквеною частиною x · y 3 · z . Зауважимо, що в буквеній частині присутня y 3 її присутність не порушує дане вище визначення буквеної частини, так як вона, по суті, є твором y y y y.
Окремо відзначимо, що числові коефіцієнти 1 і −1 у таких доданків часто не записуються явно. Наприклад, у сумі 3·z 5 +z 5 −z 5 всі три складові 3·z 5 , z 5 та −z 5 є подібними, вони мають однакову буквену частину z 5 та коефіцієнти 3 , 1 та −1 відповідно, з яких 1 та −1 явно не видно.
Виходячи з цього, у сумі 5+7·x−4+2·x+y подібними доданками є не тільки 7·x та 2·x , а й доданки без буквеної частини 5 та −4 .
Пізніше розширюється і поняття буквеної частини - буквеною частиною починаю вважати не тільки твір букв, а довільне буквене вираз. Наприклад, у підручнику алгебри для 8 класу авторів Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова за редакцією С. А. Теляковського наведена сума виду і сказано, що складові її доданки є подібними. Загальною буквеною частиною цих подібних доданків є вираз із коренем виду.
Аналогічно, подібними доданками у виразі 4·(x 2 +x−1/x)−0,5·(x 2 +x−1/x)−1можна вважати складові 4·(x 2 +x−1/x) та −0,5·(x 2 +x−1/x) , оскільки вони мають однакову буквену частину (x 2 +x−1/x) .
Узагальнивши всю викладену інформацію, можна дати таке визначення подібних доданків.
Визначення.
Подібними доданкаминазиваються доданки в буквеному вираженні, мають однакову буквену частину, і навіть доданки, які мають буквеної частини, де під буквеною частиною розуміється будь-яке буквене вираз.
Окремо скажемо, що подібні доданки можуть бути однаковими (коли рівні їх числові коефіцієнти), а можуть бути різними (коли їх числові коефіцієнти різні).
На закінчення цього пункту обговоримо дуже тонкий момент. Розглянемо вираз 2 · x · y + 3 · y · x . Чи є доданки 2·x·y та 3·y·x подібними? Це питання можна формулювати і так: «чи однакові літерні частини x y y x зазначених доданків»? Порядок проходження літерних множників у них різний, так що фактично вони не однакові, отже, доданки 2 x y y 3 x у світлі введеного вище визначення не є подібними.
Однак досить часто такі доданки називають подібними (але для суворості краще цього не робити). При цьому керуються ось чим: згідно з перестановкою множників у творі не впливає на результат, тому вихідний вираз 2·x·y+3·y·x можна переписати у вигляді 2·x·y+3·x·y , доданки якого подібні. Тобто, коли говорять про подібні доданки 2·x·y і 3·y·x у виразі 2·x·y+3·y·x , то мають на увазі доданки 2·x·y та 3·x·y перетвореному вираженні виду 2 · x · y + 3 · x · y .
Приведення подібних доданків, правило, приклади
Перетворення виразів, що містять подібні доданки, передбачає виконання додавання цих доданків. Ця дія отримала особливу назву - приведення подібних доданків.
Приведення подібних доданків проводиться у три етапи:
- спочатку проводиться перестановка доданків так, щоб подібні доданки виявилися поруч один з одним;
- після цього виноситься за дужки літерна частина подібних доданків;
- нарешті, обчислюється значення числового виразу, що утворився у дужках.
Розберемо записані кроки з прикладу. Наведемо подібні доданки у виразі 3·x·y+1+5·x·y. По-перше, переставляємо доданки місцями так, щоб подібні доданки 3·x·y та 5·x·y виявилися поруч: 3·x·y+1+5·x·y=3·x·y+5·x·y+1. По-друге, виносимо літерну частину за дужки, отримуємо вираз x·y·(3+5)+1 . По-третє, обчислюємо значення виразу, яке утворилося в дужках: x·y·(3+5)+1=x·y·8+1 . Так як числовий коефіцієнт прийнято записувати перед літерною частиною, то перенесемо його на це місце: x · y · 8 +1 = 8 · x · y +1 . На цьому приведення подібних доданків завершено.
Для зручності три перерахованих вище кроки об'єднують у правило приведення подібних доданків: щоб привести подібні доданки, потрібно скласти їх коефіцієнти та отриманий результат помножити на буквену частину (якщо вона є).
Рішення попереднього прикладу з використанням правила приведення подібних доданків буде коротшим. Наведемо його. Коефіцієнтами подібних доданків 3·x·y та 5·x·y у виразі 3·x·y+1+5·x·y є числа 3 та 5 , їх сума дорівнює 8 , помноживши її на буквену частину x · y , отримуємо результат приведення цих доданків 8 · x · y. Залишилося не забути про доданок 1 у вихідному вираженні, в результаті маємо 3 · x · y + 1 + 5 · x · y = 8 · x · y +1 .
приклад 1.Розкриємо дужки у виразі - 3 * (а - 2b).
Рішення.Помножимо - 3 на кожну з доданків а і - 2b. Отримаємо - 3 * (а - 2b) = - 3 * а + (- 3) * (- 2b) = - 3а + 6b.
приклад 2.Спростимо вираз 2m – 7m + 3m.
Рішення.У цьому виразі всі доданки мають загальний множник m. Отже, за розподільною властивістю множення 2m – 7m + Зm = m (2 – 7 + 3). У дужках записано суму коефіцієнтіввсіх доданків. Вона дорівнює -2. Тому 2m – 7m + 3m =-2m.
У виразі 2 m - 7 m + 3m всі складові мають загальну літерну частину і відрізняються один від одного лише коефіцієнтами. Такі доданки називають подібними.
Доданки, що мають однакову буквену частину, називають подібними доданками.
Подібні доданки можуть відрізнятися лише коефіцієнтами.
Щоб скласти (або кажуть: навести) подібні доданки, треба скласти їх коефіцієнти і результат помножити на загальну літерну частину.
приклад 3.Наведемо подібні доданки у виразі 5a+а -2a.
Рішення.У цьому сумі все доданки подібні, оскільки вони однакова буквена частина а. Складемо коефіцієнти: 5 + 1 - 2 = 4. Отже, 5a + a - 2a = 4а.
Які доданки називають подібними? Чим можуть відрізнятися один від одного подібні доданки? На підставі якої властивості множення виконують приведення (складання) подібних доданків?
1265. Розкрийте дужки:
а) (а-b+с)*8; д) (3m-2k + 1) * (-3);
б) -5 * (m - n - k); е) - 2а*(b+2с-3m);
в) а * (b - m + n); ж) (-2а + 3b + 5с) * 4m;
г) - a * (6b - Зс + 4); з) - а * (3m + k - n).
1266. Виконайте дії, застосувавши розподільну властивість множення:
1267. Складіть подібні доданки:
Вирази виду 7x-3x+6x-4x читають так:
- сума семи ікс, мінус трьох ікс, шести ікс та мінус чотирьох ікс
- сім ікс мінус три ікс плюс шість ікс мінус чотири ікс
1268. Виконайте приведення подібних доданків:
1269. Розкрийте дужки і наведіть такі доданки:
1270. Знайдіть значення виразу:
1271. Вирішіть рівняння:
а) 3*(2x + 8)-(5x+2)=0; в) 8 * (3-2x) + 5 * (3x + 5) = 9.
б) - 3 * (3у + 4) + 4 * (2y -1) = 0;
1272. Кілограм картоплі коштує 20 к., а кілограм капусти 14 к. Картоплі купили на 3 кг більше, ніж капусти. За все заплатили 1 нар. 62 к. Скільки купили кілограмів картоплі та скільки капусти?
1273. Турист йшов 3 год пішки і 4 год їхав велосипедом. Усього він пройшов шлях у 62 км. З якою швидкістю він йшов пішки, якщо пішки він йшов повільніше на 5 км/год, ніж їхав велосипедом?
1274. Обчисліть усно:
1275. Чому дорівнює сума тисячі доданків, кожна з яких дорівнює -1? Чому дорівнює добуток тисячі множників, кожен із яких дорівнює -1?
1276. Знайдіть значення виразу
1-3 + 5-7 + 9-11+ ... + 97-99.
1277. Розв'яжіть усно рівняння:
а) x + 4 = 0; в) m+m+m=3m;
б) a+3=a-1; г) (у-3) (у + 1) = 0.
1278. Виконайте множення: 
1279. Чому дорівнює коефіцієнт у кожному з виразів:
1280. Відстань від Москви до Нижнього Новгорода 440 км. Яким має бути масштаб карти, щоб на ній ця відстань мала довжину 8,8 см?
1285. Розв'яжіть задачу:
1) Комбайнер перевиконав план на 15% та прибрав зернові на площі 230 га. Скільки гектарів за планом має прибрати комбайнер?
2) Бригада теслярів витратила на ремонт будівлі 4,2 м3 дощок. При цьому вона заощадила 16% виділених для ремонту дощок. Скільки кубічних метрівдощок було виділено на ремонт будівлі?
1286. Знайдіть значення виразу:
1) - 3,4 7,1 - 3,6 6,8 + 9,7 8,6; 2) -4,1 8,34+2,5 7,9-3,9 4,2.
1287. Розв'яжіть за допомогою графа завдання: «Марина, Лариса, Жанна та Катя вміють гратина різних інструментах(Піаніно, віолончелі, гітарі, скрипці), але кожна тільки на одному. Вони ж знають іноземні мови (англійська, французька, німецька, іспанська), але кожна лише одна. Відомо:
1) дівчина, яка грає на гітарі, говорить іспанською;
2) Лариса не грає ні на скрипці, ні на віолончелі і не знає англійської мови;
3) Марина не грає ні на скрипці, ні на віолончелі і не знає ні німецької, ні англійської мови;
4) дівчина, яка говорить німецькою, не грає на віолончелі;
5) Жанна знає французьку мову, але не грає на скрипці. Хто на якому інструменті грає і який іноземна мовазнає?»
1288. Розкрийте дужки:
а) (x+у-z)*3; г) (2х-у +3) * (-2);
б) 4*(m-n-р); д) (8m-2n + р) * (-1);
в) - 8 * (а - b-с); е) (a+5-b-с)*m.
1289. Знайдіть значення виразу, застосувавши розподільну властивість множення:
1290. Наведіть такі доданки:
1291. Розкрийте дужки і наведіть такі доданки:
1292. Розв'яжіть рівняння:
1293. Купили один стіл та 6 стільців за 67 р. Стілець дешевший за стол на 18р. Скільки коштує стілець і скільки коштує стіл?
1294. У трьох класах 119 учнів. У першому класі учнів на 4 особи більше, ніж у другому, і на 3 особи менше, ніж у третьому класі. Скільки учнів у кожному класі?
1295. Визначте масштаб карти, якщо відстань між двома пунктами біля 750 м, а карті 25 мм.
1296. Якою довжиною відрізком зображується на карті відстань 6,5 км, якщо масштаб карти 1: 25 000?
1297. На карті відрізок має довжину 12,6 см. Якою є довжина цього відрізка на місцевості, якщо масштаб карти 1: 150 000?
Н.Я.Віленкін, А.С. Чесноков, С.І. Шварцбурд, В.І.Жохов, Математика для 6 класу, Підручник для середньої школи
Математика за 6 клас безкоштовно скачати , плани конспектів уроків, готуємося до школи онлайн
«Подібні доданки» — Підручник з математики 6 клас (Віленкін)
Короткий опис:
У цьому розділі Ви дізнаєтеся, що означає вираз «подібні доданки» та як їх знаходити.
Ви вже навчилися розкривати дужки, вивчили розподільну властивість множення, знаєте, що означає чисельно-літерний вираз (пам'ятаєте, це вираз типу 5а, 6ас). А тепер розглянемо вираз виду 8а+8с. Помітили, що у першого доданка і у другого доданка однаковий коефіцієнт – число 8? У цьому випадку число 8 можна винести за дужки та подати у вигляді одного з множників твору, тобто 8*(а+с). Виходить, що 8 – це загальний множник першого та другого доданків.
А тепер розглянемо такий приклад: 10а+15а-20а. Кожен із доданків (10а, 15а, -20а) має однакову літерну частину (а), а коефіцієнти різні (10, 15 і -20). Такі доданки називаються подібними (тобто схожими один на одного). Такий вираз можна переписати іншим способом, винісши за дужки як множник буквене вираз (тобто а), а в дужках від кожного доданка залишиться тільки число (коефіцієнт): а*(10+15-20)=а*5=5а. Таким чином, ми спростили чисельно-літерний вираз, знайшовши подібні доданки. Тобто подібні доданки – це чисельно-літерні вирази, що мають однакову літерну частину. Додавання, яке ми виконали у прикладі, називають приведенням (або додаванням) подібних доданків (тобто їх коефіцієнти підсумовують і отриманий результат множать на букву).
Приклади:
одночлени (2) \(x\)і (5) \(x\)- Подібні, так як і там, і там букви однакові: ікс;
одночлени \(x^2y\) і \(-2x^2y\) – подібні, тому що і там, і там букви однакові: ікс у квадраті, помножений на ігрок. Те, що перед другим одночленом стоїть знак мінус не відіграє ролі, просто у нього негативний числовий множник ();
одночлени (3xy) і (5x) - не подібні, так як в першому одночлені літерні множники ікс і ігор, а в другому - тільки ікс;
одночлени (xy3yz) і (y^2 z7x) - подібні. Однак, щоб це побачити, необхідно привести одночлени до . Тоді перший одночлен виглядатиме як \(3xy^2z\), а другий як \(7xy^2z\) - і їхня подоба стане очевидною;
одночлени \(7x^2\) і \(2x\) – не подібні, тому що в першому одночлені літерні множники ікс у квадраті (тобто \(x·x\)), а в другому – просто один ікс.
Як визначаються подібні члени, не потрібно запам'ятовувати, краще просто зрозуміти. Чому \(2x\) і \(5x\) називають подібними? А ви вдумайтеся: \ (2x \) це те саме, що \ (x + x \), а \ (5x \) теж саме, що \ (x + x + x + x + x \). Тобто, \(2x\) - це "два ікси", а \(5x\) - "п'ять іксів". І там, і там в основі – однакове (подібне): ікс. Просто різна «кількість» цих іксів.
Інша справа, наприклад, \(5x\) та \(3xy\). Тут перший одночлен це по суті «п'ять іксів», а ось другий - «три ікс(і) гравців» ((3xy = xy + xy + xy)). В основі - не однакове, не подібне.
Приведення подібних доданків
Процес заміни суми або різниці подібних доданків одним одночленом називається « приведення подібних доданків».
Зазначимо при цьому, що якщо доданки не подібні, то навести їх не вийде. Наприклад, скласти \(2x^2\) і \(3x\) - не можна, вони ж різні!
Зрозумійте, складати неподібні доданки - все одно, що складати рублі з кілограмами: повне безглуздя вийде.
Приведення подібних доданків - дуже часто зустрічається крок у спрощенні виразів і , а також при вирішенні і . Давайте подивимося конкретний прикладзастосування здобутих знань.
приклад. Розв'язати рівняння \(7x^2+3x-7x^2-x=6\)
Відповідь: \(3\)
Щоразу переписувати рівняння те щоб подібні стояли поруч дуже необов'язково, можна наводити їх одночасно. Тут це було зроблено для наочності подальших перетворень.
Нехай дано вираз, який є твором числа та літер. Число в такому вираженні називається коефіцієнтом. Наприклад:
у вираженні коефіцієнтом є число 2;
у виразі – число 1;
у виразі – це число -1;
у вираженні коефіцієнтом є добуток чисел 2 та 3, тобто число 6.
У Петі було 3 цукерки та 5 абрикосів. Мама подарувала Петі ще 2 цукерки та 4 абрикоси (див. рис. 1). Скільки всього цукерок та абрикосів стало у Петі?
Мал. 1. Ілюстрація до завдання
Рішення
Запишемо умову завдання у такому вигляді:
1) Було 3 цукерки та 5 абрикосів:
2) Мама подарувала 2 цукерки та 4 абрикоси:
3) Тобто всього у Петі:
4) Складаємо цукерки з цукерками, абрикоси з абрикосами:
Отже, всього стало 5 цукерок та 9 абрикосів.
Відповідь: 5 цукерок та 9 абрикосів.
У задачі 1 у четвертій дії ми займалися приведенням подібних доданків.
Доданки, що мають однакову буквену частину, називаються подібними доданками. Подібні доданки можуть відрізнятися лише своїми числовими коефіцієнтами.
Щоб скласти (навести) подібні доданки, треба скласти їх коефіцієнти і результат помножити на загальну літерну частину.
Приведенням подібних доданків ми спрощуємо вираз.
Є подібними доданками, оскільки вони однакова буквена частина. Отже, для їх приведення необхідно скласти всі їх коефіцієнти – це 5, 3 та -1 і помножити на загальну літерну частину – це a.
2)
У цьому виразі записані такі доданки. Загальна буквена частина – це xy, А коефіцієнти - це 2, 1 та -3. Наведемо ці подібні доданки:
3)
У цьому виразі подібними доданками є і , наведемо їх:
4)
Спростимо цей вислів. Для цього знаходимо подібні доданки. У цьому вся виразі є дві пари подібних доданків - і , і .
Спростимо цей вислів. Для цього розкриємо дужки, скориставшись розподільчим законом:
У виразі є подібні доданки - це і, наведемо їх:
На цьому уроці ми познайомилися з поняттям коефіцієнт, дізналися, які доданки називаються подібними, і сформулювали правило приведення подібних доданків, а також вирішили кілька прикладів, в яких використовували це правило.
Список літератури
- Віленкін Н.Я., Жохов В.І., Чесноков А.С., Шварцбурд С.І. Математика 6. М: Мнемозіна, 2012.
- Мерзляк А.Г., Полонський В.В., Якір М.С. Математика 6 клас. М: Гімназія, 2006.
- Депман І.Я., Віленкін Н.Я. За сторінками підручника з математики. М.: Просвітництво, 1989.
- Рурукін О.М., Чайковський І.В. Завдання з курсу математики 5-6 клас. М: ЗШ МІФІ, 2011.
- Рурукін О.М., Сочілов С.В., Чайковський К.Г. Математика 5-6. Посібник для учнів 6 класів заочної школи МІФІ. - М: ЗШ МІФІ, 2011.
- Шеврін Л.М., Гейн А.Г., Коряков І.О., Волков М.В. Математика: Підручник-співрозмовник для 5-6 класів середньої школи. М: Просвітництво, Бібліотека вчителя математики, 1989.
Домашнє завдання
- Інтернет-портал Youtube.com ( ).
- Інтернет-портал For6cl.uznateshe.ru().
- Інтернет-портал Festival.1september.ru().
- Інтернет-портал Cleverstudents.ru().
