Զուգահեռագրում հակառակ անկյունները հավասար են: Ինչպես գտնել զուգահեռագծի սուր անկյունը
Զուգահեռագիծը քառանկյուն է հակառակ կողմերըզուգահեռ, այսինքն՝ պառկել զուգահեռ գծերի վրա (նկ. 1):
Թեորեմ 1. Զուգահեռագծի կողմերի և անկյունների հատկությունների մասին:Զուգահեռագրում հակառակ կողմերը հավասար են, հակառակ անկյունները հավասար են, իսկ զուգահեռագծի մի կողմին կից անկյունների գումարը 180° է։
Ապացույց. Այս ABCD զուգահեռագրում գծե՛ք AC անկյունագիծ և ստացե՛ք երկու ABC և ADC եռանկյուններ (նկ. 2):
Այս եռանկյունները հավասար են, քանի որ ∠ 1 = ∠ 4, ∠ 2 = ∠ 3 (խաչ ընկած անկյունները զուգահեռ գծերում), իսկ AC կողմը ընդհանուր է: Δ ABC = Δ ADC հավասարությունից հետևում է, որ AB = CD, BC = AD, ∠ B = ∠ D: Մի կողմին կից անկյունների գումարը, օրինակ՝ A և D անկյունները, հավասար է 180 ° որպես մեկ: - միակողմանի զուգահեռ գծերով: Թեորեմն ապացուցված է.
Մեկնաբանություն. Զուգահեռագծի հակառակ կողմերի հավասարությունը նշանակում է, որ զուգահեռների կողմից կտրված հատվածները հավասար են:
Եզրակացություն 1. Եթե երկու ուղիղները զուգահեռ են, ապա մի ուղիղի բոլոր կետերը գտնվում են նույն հեռավորության վրա մյուս ուղիղից:
Ապացույց. Արդարեւ, թող մի || բ (նկ. 3):
b ուղղի մի քանի B և C կետերից գծենք BA և CD ուղղահայացները a ուղիղին: Քանի որ ԱԲ || CD, ապա ABCD նկարը զուգահեռագիծ է, և հետևաբար AB = CD:
Երկու զուգահեռ գծերի միջև հեռավորությունը տողերից մեկի կամայական կետից մյուս գիծ հեռավորությունն է:
Ապացուցվածով այն հավասար է զուգահեռ ուղիղներից մեկի ինչ-որ կետից մյուս ուղիղ գծված ուղղահայաց երկարությանը։
Օրինակ 1Զուգահեռագծի պարագիծը 122 սմ է, նրա մի կողմը մյուսից 25 սմ երկար է։Գտե՛ք զուգահեռագծի կողմերը։
Լուծում. Թեորեմ 1-ով զուգահեռագծի հակառակ կողմերը հավասար են: Զուգահեռագծի մի կողմը նշանակենք x, մյուսը՝ y: Ապա պայմանով $$\left\(\begin(matrix) 2x + 2y = 122 \\x - y = 25 \end(matrix)\right.$$ Այս համակարգը լուծելով՝ ստանում ենք x = 43, y = 18։ Այսպիսով, զուգահեռագծի կողմերը 18, 43, 18 և 43 սմ են։
Օրինակ 2
Լուծում. Թող 4-րդ նկարը համապատասխանի խնդրի վիճակին:
Նշեք AB-ն x-ով, իսկ BC-ն՝ y-ով: Ըստ պայմանի՝ զուգահեռագծի պարագիծը 10 սմ է, այսինքն՝ 2(x + y) = 10, կամ x + y = 5։ ABD եռանկյան պարագիծը 8 սմ է։ Եվ քանի որ AB + AD = x + y = 5։ , ապա BD = 8 - 5 = 3: Այսպիսով, BD = 3 սմ:
Օրինակ 3Գտե՛ք զուգահեռագծի անկյունները՝ իմանալով, որ դրանցից մեկը մյուսից մեծ է 50°-ով:
Լուծում. Թող 5-րդ նկարը համապատասխանի խնդրի վիճակին:
A անկյան աստիճանի չափը նշանակենք x-ով: Այնուհետև D անկյան աստիճանի չափը x + 50° է։
BAD և ADC անկյունները ներքին միակողմանի են՝ AB և DC զուգահեռ գծերով և AD հատվածով: Այդ դեպքում այս անվանված անկյունների գումարը կլինի 180°, այսինքն.
x + x + 50 ° = 180 °, կամ x = 65 °: Այսպիսով, ∠ A = ∠ C = 65 °, a ∠ B = ∠ D = 115 °:
Օրինակ 4Զուգահեռագծի կողմերը 4,5 դմ և 1,2 դմ են։ Սուր անկյան գագաթից գծվում է կիսորդ: Ի՞նչ մասերի է այն բաժանվում: մեծ կողմըզուգահեռագի՞ր:
Լուծում. Թող 6-րդ նկարը համապատասխանի խնդրի վիճակին:
AE-ն զուգահեռագծի սուր անկյան կիսորդն է: Հետևաբար, ∠ 1 = ∠ 2:
«Get a A» տեսադասընթացը ներառում է հաջողակ լինելու համար անհրաժեշտ բոլոր թեմաները քննություն հանձնելըմաթեմատիկայից 60-65 միավորով. Ամբողջովին բոլոր առաջադրանքները 1-13 պրոֆիլի ՕԳՏԱԳՈՐԾՎԵԼ մաթեմատիկայի մեջ: Հարմար է նաև մաթեմատիկայի հիմնական USE-ն անցնելու համար: Եթե ցանկանում եք քննությունը հանձնել 90-100 միավորով, ապա պետք է 1-ին մասը լուծեք 30 րոպեում և առանց սխալների։
Քննությանը նախապատրաստական դասընթաց 10-11-րդ դասարանների, ինչպես նաև ուսուցիչների համար. Այն ամենը, ինչ անհրաժեշտ է մաթեմատիկայի քննության 1-ին մասը (առաջին 12 խնդիրները) և 13-րդ խնդիրը (եռանկյունաչափություն) լուծելու համար: Իսկ սա միասնական պետական քննության 70 միավորից ավելին է, և ոչ հարյուր միավոր ուսանողը, ոչ հումանիստը առանց դրանց չեն կարող։
Բոլոր անհրաժեշտ տեսությունը. Արագ ուղիներքննության լուծումներ, թակարդներ և գաղտնիքներ. Վերլուծվել են FIPI-ի բանկի առաջադրանքների 1-ին մասի բոլոր համապատասխան առաջադրանքները: Դասընթացը լիովին համապատասխանում է USE-2018-ի պահանջներին:
Դասընթացը պարունակում է 5 մեծ թեմա՝ յուրաքանչյուրը 2,5 ժամ: Յուրաքանչյուր թեմա տրված է զրոյից, պարզ ու հստակ։
Հարյուրավոր քննական առաջադրանքներ: Տեքստի խնդիրներ և հավանականությունների տեսություն. Պարզ և հեշտ հիշվող խնդիրների լուծման ալգորիթմներ: Երկրաչափություն. տեսություն, տեղեկատու նյութ, USE-ի բոլոր տեսակի առաջադրանքների վերլուծություն: Ստերեոմետրիա. Խորամանկ հնարքներլուծումներ, օգտակար խաբեբա թերթիկներ, տարածական երևակայության զարգացում։ Եռանկյունաչափություն զրոյից - մինչև առաջադրանք 13. Խճճվելու փոխարեն հասկացողություն: Բարդ հասկացությունների տեսողական բացատրություն: Հանրահաշիվ. Արմատներ, հզորություններ և լոգարիթմներ, ֆունկցիա և ածանցյալ: Հիմք լուծման համար դժվար առաջադրանքներՔննության 2 մաս.
Միջին մակարդակ
Զուգահեռագիծ, ուղղանկյուն, ռոմբ, քառակուսի (2019)
1. Զուգահեռագիծ
«Զուգահեռագա՞մ» բարդ բառ։ Իսկ դրա հետևում շատ պարզ կերպար է.
Դե, այսինքն, մենք վերցրեցինք երկու զուգահեռ տող.
Խաչված ևս երկուսի կողմից.
Իսկ ներսում՝ զուգահեռագիծ։
Ի՞նչ հատկություններ ունի զուգահեռագիծը:
Զուգահեռագրի հատկությունները.
Այսինքն՝ ի՞նչ կարելի է օգտագործել, եթե խնդրի մեջ տրված է զուգահեռագիծ։
Այս հարցին պատասխանում է հետևյալ թեորեմը.
Եկեք ամեն ինչ մանրամասն նկարենք:
Ինչ է անում թեորեմի առաջին կետը? Իսկ այն, որ եթե դու ՈՒՆԵՍ զուգահեռագիծ, ապա անպայման
Երկրորդ պարբերությունը նշանակում է, որ եթե կա զուգահեռագիծ, ապա, կրկին, անպայման.
Դե, և վերջապես, երրորդ կետը նշանակում է, որ եթե ՈՒՆԵՍ զուգահեռագիծ, ապա վստահ եղիր.
Տեսնու՞մ եք, թե ինչպիսի հարուստ ընտրություն: Ի՞նչ օգտագործել առաջադրանքում: Փորձեք կենտրոնանալ առաջադրանքի հարցի վրա, կամ պարզապես ամեն ինչ հերթով փորձեք, ինչ-որ «բանալին» կստացվի:
Իսկ հիմա ինքներս մեզ մեկ այլ հարց տանք՝ ինչպե՞ս ճանաչել զուգահեռագիծը «դեմքով»։ Ի՞նչ պետք է լինի քառանկյունի հետ, որպեսզի մենք իրավունք ունենանք դրան զուգահեռագծի «վերնագիր» տալ։
Այս հարցին պատասխանում են զուգահեռագծի մի քանի նշաններ:
Զուգահեռագծի առանձնահատկությունները.
Ուշադրություն. Սկսել.
Զուգահեռագիծ.
Ուշադրություն դարձրեք. եթե ձեր խնդրի մեջ գտել եք գոնե մեկ նշան, ապա դուք ունեք ուղիղ զուգահեռագիծ և կարող եք օգտագործել զուգահեռագծի բոլոր հատկությունները:
2. Ուղղանկյուն
Չեմ կարծում, որ դա ձեզ համար ընդհանրապես նորություն կլինի։
Առաջին հարցը հետևյալն է՝ ուղղանկյունը զուգահեռագա՞րմա է:
Իհարկե այդպես է։ Ի վերջո, նա ունի - հիշում եք, մեր նշանը 3:
Եվ այստեղից, իհարկե, հետևում է, որ ուղղանկյունի համար, ինչպես ցանկացած զուգահեռագիծ, և, և անկյունագծերը բաժանվում են հատման կետով կիսով չափ:
Բայց կա ուղղանկյուն և մեկ տարբերակիչ հատկություն.
Ուղղանկյունի հատկություն
Ինչու է այս հատկությունը տարբերվում: Որովհետև ոչ մի այլ զուգահեռագիծ չունի հավասար անկյունագծեր: Ավելի հստակ ձեւակերպենք.
Ուշադրություն դարձրեք՝ ուղղանկյուն դառնալու համար քառանկյունը նախ պետք է դառնա զուգահեռագիծ, ապա ներկայացնի անկյունագծերի հավասարությունը։
3. Ադամանդ
Եվ կրկին հարց է առաջանում՝ ռոմբը զուգահեռագի՞ր է, թե՞ ոչ։
Ամբողջական իրավունքով՝ զուգահեռագիծ, քանի որ ունի և (հիշեք մեր նշանը 2):
Եվ նորից, քանի որ ռոմբը զուգահեռագիծ է, ուրեմն այն պետք է ունենա զուգահեռագծի բոլոր հատկությունները։ Սա նշանակում է, որ ռոմբի հակառակ անկյունները հավասար են, հակառակ կողմերը զուգահեռ են, իսկ անկյունագծերը հատվում են հատման կետով:
Ռոմբի հատկությունները
Նայիր նկարին:
Ինչպես ուղղանկյունի դեպքում, այս հատկությունները տարբերվում են, այսինքն, այս հատկություններից յուրաքանչյուրի համար մենք կարող ենք եզրակացնել, որ մենք ունենք ոչ թե պարզապես զուգահեռագիծ, այլ ռոմբուս:
Ռոմբի նշաններ
Եվ կրկին ուշադրություն դարձրեք. պետք է լինի ոչ թե ուղղանկյուն անկյունագծերով քառանկյուն, այլ զուգահեռագիծ: Համոզվեք.
Ոչ, իհարկե ոչ, չնայած դրա անկյունագծերը և ուղղահայաց են, իսկ անկյունագիծը u անկյունների կիսորդն է: Բայց ... անկյունագծերը չեն բաժանվում, հատման կետը կիսով չափ, հետևաբար՝ ՈՉ զուգահեռագիծ, հետևաբար ՈՉ ռոմբ։
Այսինքն՝ քառակուսին ուղղանկյուն և ռոմբ է միաժամանակ։ Տեսնենք, թե ինչ է ստացվում սրանից:
Պարզ է, թե ինչու։ - ռոմբ - A անկյան կիսորդը, որը հավասար է. Այսպիսով, այն բաժանվում է (և նաև) երկայնքով երկու անկյունների:
Դե, միանգամայն պարզ է. ուղղանկյան անկյունագծերը հավասար են. ռոմբի անկյունագծերը ուղղահայաց են, իսկ ընդհանուր առմամբ, զուգահեռագծի անկյունագծերը բաժանվում են հատման կետով կիսով չափ:
ՄԻՋԻՆ ՄԱՐԴԱԿ
Քառանկյունների հատկությունները. Զուգահեռագիծ
Զուգահեռագրի հատկությունները
Ուշադրություն. Բառեր» զուգահեռագծի հատկությունները» նշանակում է, որ եթե խնդիր ունես Կազուգահեռագիծ, ապա կարող են օգտագործվել բոլոր հետևյալները.
Թեորեմ զուգահեռագծի հատկությունների մասին.
Ցանկացած զուգահեռագիծ.
Տեսնենք, թե ինչու է դա ճիշտ, այլ կերպ ասած ԿԱՊԱՑՈՒՑԵՆՔթեորեմա.
Այսպիսով, ինչու է 1) ճիշտ:
Քանի որ այն զուգահեռագիծ է, ուրեմն.
- ինչպես խաչաձև պառկելը
- ինչպես պառկած դիմաց.
Այսպիսով, (II հիմունքներով. և - ընդհանուր.)
Դե, մի անգամ, հետո - դա այն է: - ապացուցեց.
Բայց ի դեպ! Մենք նաև ապացուցեցինք 2)!
Ինչո՞ւ։ Բայց ի վերջո (նայեք նկարին), այսինքն, այն պատճառով, որ.
Մնացել է ընդամենը 3):
Դա անելու համար դուք դեռ պետք է նկարեք երկրորդ անկյունագիծը:
Եվ հիմա մենք տեսնում ենք, որ - ըստ II նշանի (անկյունը և «դրանց միջև» կողմը):
Հատկություններն ապացուցված! Անցնենք նշաններին.
Զուգահեռագծի առանձնահատկությունները
Հիշեցնենք, որ զուգահեռագծի նշանը պատասխանում է «ինչպե՞ս պարզել» հարցին, որ պատկերը զուգահեռագիծ է:
Սրբապատկերների մեջ սա այսպիսին է.
Ինչո՞ւ։ Լավ կլինի հասկանալ, թե ինչու՝ բավական է։ Բայց նայեք.
Դե, մենք պարզեցինք, թե ինչու է 1 նշանը ճիշտ:
Դե, դա նույնիսկ ավելի հեշտ է: Կրկին գծենք անկյունագիծ։
Ինչը նշանակում է:
ԵՎնույնպես հեշտ է. Բայց… տարբեր!
Նշանակում է, . Վա՜յ։ Բայց նաև՝ ներքին միակողմանի մի հատվածում:
Հետևաբար այն փաստը, որ նշանակում է, որ.
Իսկ եթե մյուս կողմից նայեք, ապա դրանք ներքին միակողմանի են մի հատվածում: Եւ, հետեւաբար.
Տեսնու՞մ եք, թե որքան հիանալի է:
Եվ կրկին պարզապես.
Ճիշտ նույնը, և.
Ուշադրություն դարձնել:եթե գտել ես գոնեձեր խնդրի մեջ զուգահեռագծի մեկ նշան, ապա դուք ունեք ճիշտզուգահեռագիծ և կարող եք օգտագործել բոլորինզուգահեռագծի հատկությունները.
Ամբողջական պարզության համար նայեք դիագրամին.
Քառանկյունների հատկությունները. Ուղղանկյուն.
Ուղղանկյունի հատկություններ.
1-ին կետը միանգամայն ակնհայտ է, ի վերջո, 3 () նշանը պարզապես կատարվում է
Եվ կետ 2) - շատ կարեւոր. Այսպիսով, եկեք ապացուցենք դա
Այսպիսով, երկու ոտքերի վրա (և - ընդհանուր):
Դե, քանի որ եռանկյունները հավասար են, ուրեմն նրանց հիպոթենուսները նույնպես հավասար են։
Դա ապացուցեց!
Եվ պատկերացրեք, անկյունագծերի հավասարությունը ուղղանկյան տարբերակիչ հատկություն է բոլոր զուգահեռագծերի մեջ: Այսինքն՝ ճիշտ է հետևյալ պնդումը
Տեսնենք ինչու՞։
Այսպիսով, (նկատի ունի զուգահեռագծի անկյունները): Բայց ևս մեկ անգամ հիշեք, որ զուգահեռագիծ, և հետևաբար:
Նշանակում է, . Եվ, իհարկե, դրանից բխում է, որ նրանցից յուրաքանչյուրը Ի վերջո, այն չափով, որ նրանք պետք է տան:
Այստեղ մենք ապացուցել ենք, որ եթե զուգահեռագիծհանկարծ (!) կլինի հավասար անկյունագծեր, ապա սա ճիշտ ուղղանկյուն.
Բայց! Ուշադրություն դարձնել!սա մասին է զուգահեռագրություններ! Ոչ միհավասար անկյունագծերով քառանկյունը ուղղանկյուն է, և միայնզուգահեռագիծ!
Քառանկյունների հատկությունները. Ռոմբուս
Եվ կրկին հարց է առաջանում՝ ռոմբը զուգահեռագի՞ր է, թե՞ ոչ։
Ամբողջական իրավունքով՝ զուգահեռագիծ, քանի որ ունի և (Հիշեք մեր նշանը 2):
Եվ նորից, քանի որ ռոմբը զուգահեռագիծ է, այն պետք է ունենա զուգահեռագծի բոլոր հատկությունները: Սա նշանակում է, որ ռոմբի հակառակ անկյունները հավասար են, հակառակ կողմերը զուգահեռ են, իսկ անկյունագծերը հատվում են հատման կետով:
Բայց կան նաև հատուկ հատկություններ. Մենք ձևակերպում ենք.
Ռոմբի հատկությունները
Ինչո՞ւ։ Դե, քանի որ ռոմբը զուգահեռագիծ է, ուրեմն նրա անկյունագծերը կիսով չափ բաժանված են:
Ինչո՞ւ։ Այո՛, դրա համար։
Այսինքն՝ շեղանկյունները և ստացվել են ռոմբի անկյունների կիսադիրներ։
Ինչպես ուղղանկյունի դեպքում, այս հատկություններն են տարբերակիչ, նրանցից յուրաքանչյուրը նույնպես ռոմբի նշան է։
Ռոմբի նշաններ.
Ինչո՞ւ է այդպես։ Եվ նայեք
Այսպիսով, և երկուսն էլայս եռանկյունները հավասարաչափ են:
Ռոմբուս լինելու համար քառանկյունը նախ պետք է «դառնա» զուգահեռագիծ, այնուհետև արդեն ցուցադրի հատկանիշ 1 կամ հատկանիշ 2։
Քառանկյունների հատկությունները. Քառակուսի
Այսինքն՝ քառակուսին ուղղանկյուն և ռոմբ է միաժամանակ։ Տեսնենք, թե ինչ է ստացվում սրանից:
Պարզ է, թե ինչու։ Քառակուսի - ռոմբ - անկյան կիսորդը, որը հավասար է. Այսպիսով, այն բաժանվում է (և նաև) երկայնքով երկու անկյունների:
Դե, միանգամայն պարզ է. ուղղանկյան անկյունագծերը հավասար են. ռոմբի անկյունագծերը ուղղահայաց են, իսկ ընդհանուր առմամբ, զուգահեռագծի անկյունագծերը բաժանվում են հատման կետով կիսով չափ:
Ինչո՞ւ։ Դե, պարզապես կիրառեք Պյութագորասի թեորեմը:
ԱՄՓՈՓՈՒՄ ԵՎ ՀԻՄՆԱԿԱՆ ԲԱՆԱՁԵՎ
Զուգահեռագրի հատկությունները.
- Հակառակ կողմերը հավասար են՝ , .
- Հակառակ անկյուններն են՝ , .
- Մի կողմի անկյունները գումարվում են՝ , .
- Անկյունագծերը հատման կետով կիսվում են՝ .
Ուղղանկյունի հատկություններ.
- Ուղղանկյան անկյունագծերն են.
- Ուղղանկյունը զուգահեռագիծ է (զուգահեռագծի բոլոր հատկությունները կատարվում են ուղղանկյան համար):
Ռոմբի հատկությունները.
- Ռոմբի անկյունագծերը ուղղահայաց են՝ .
- Ռոմբի անկյունագծերը նրա անկյունների կիսորդներն են. ; ; .
- Ռոմբը զուգահեռագիծ է (զուգահեռագծի բոլոր հատկությունները կատարվում են ռոմբի համար):
Քառակուսի հատկություններ.
Քառակուսին միաժամանակ ռոմբ է և ուղղանկյուն, հետևաբար քառակուսու համար կատարվում են ուղղանկյան և ռոմբի բոլոր հատկությունները։ Եվ.
Առաջադրանք 1. Զուգահեռագծի անկյուններից մեկը 65° է։ Գտե՛ք զուգահեռագծի մնացած անկյունները:
∠C = ∠A = 65° որպես զուգահեռագծի հակառակ անկյուններ:
∠A + ∠B = 180° որպես զուգահեռագծի մի կողմին կից անկյուններ:
∠B = 180° - ∠A = 180° - 65° = 115°:
∠D = ∠B = 115° որպես զուգահեռագծի հակառակ անկյուններ:
Պատասխան՝ ∠A = ∠C = 65°; ∠B = ∠D = 115°:
Առաջադրանք 2.Զուգահեռագծի երկու անկյունների գումարը 220° է։ Գտե՛ք զուգահեռագծի անկյունները:
Քանի որ զուգահեռագիծն ունի 2 հավասար սուր անկյուն և 2 հավասար բութ անկյուն, մեզ տրվում է երկու բութ անկյունների գումարը, այսինքն. ∠B +∠D = 220°: Այնուհետեւ ∠В =∠D = 220° :
2 = 110 °:
∠A + ∠B = 180° որպես զուգահեռագծի մի կողմին կից անկյուններ, ուստի ∠A = 180° - ∠B = 180° - 110° = 70°: Այնուհետեւ ∠C =∠A = 70°:
Պատասխան՝ ∠A = ∠C = 70°; ∠B = ∠D = 110°:
Առաջադրանք 3.Զուգահեռագծի անկյուններից մեկը մյուսի 3 անգամ մեծ է։ Գտե՛ք զուգահեռագծի անկյունները:
Թող ∠A =x: Այնուհետև ∠B = 3x: Իմանալով, որ նրա կողմերից մեկին կից զուգահեռագծի անկյունների գումարը հավասար է 180 °, մենք կազմում ենք հավասարում:
x = 180 : 4;
Մենք ստանում ենք՝ ∠A \u003d x \u003d 45 °, և ∠ B \u003d 3x \u003d 3 ∙ 45 ° \u003d 135 °:
Զուգահեռագծի հակառակ անկյունները հավասար են, ուրեմն
∠A = ∠C = 45°; ∠B = ∠D = 135°:
Պատասխան՝ ∠A = ∠C = 45°; ∠B = ∠D = 135°:
Առաջադրանք 4.Ապացուցեք, որ եթե քառանկյան երկու կողմերը զուգահեռ են և հավասար, ապա այս քառանկյունը զուգահեռագիծ է:
Ապացույց.
Գծեք BD անկյունագիծը և հաշվի առեք Δ ADB և Δ CBD:
AD = BC պայմանով: BD կողմը տարածված է: ∠1 = ∠2 որպես ներքին խաչաձև ընկած զուգահեռ (ըստ ենթադրության) AD և BC գծերի և BD հատվածի տակ: Հետևաբար, Δ ADB = Δ CBD երկու կողմերի վրա և նրանց միջև եղած անկյունը (եռանկյունների հավասարության 1-ին չափանիշը): IN հավասար եռանկյուններհամապատասխան անկյունները հավասար են, ուստի ∠3 =∠4: Եվ այս անկյունները ներքուստ խաչաձև ընկած են AB և CD գծերի և BD հատվածի մոտ: Սա ենթադրում է AB և CD ուղիղների զուգահեռություն։ Այսպիսով, տրված ABCD քառանկյունում հակառակ կողմերը զույգ-զույգ զուգահեռ են, հետևաբար ABCD-ն ըստ սահմանման զուգահեռագիծ է, որը պետք է ապացուցվեր։
Առաջադրանք 5.Զուգահեռագծի երկու կողմերը կապված են որպես 2 : 5, իսկ պարագիծը 3,5 մ Գտե՛ք զուգահեռագծի կողմերը:
∙ (AB+AD).
Մեկ մասը նշանակենք x-ով։ ապա AB = 2x, AD = 5x մետր: Իմանալով, որ զուգահեռագծի պարագիծը 3,5 մ է, մենք գրում ենք հավասարումը.
2 ∙ (2x + 5x) = 3,5;
2 ∙ 7x=3,5;
x=3.5 : 14;
Մի մասը 0,25 մ է, ապա AB = 2 ∙ 0,25 = 0,5 մ; AD=5 ∙ 0,25 = 1,25 մ.
Փորձաքննություն.
Զուգահեռագծի պարագիծ P ABCD = 2 ∙ (AB+AD) = 2 ∙ (0,25 + 1,25) = 2 ∙ 1,75 = 3,5 (մ):
Քանի որ զուգահեռագծի հակառակ կողմերը հավասար են, ապա CD = AB = 0,25 մ; BC = AD = 1,25 մ.
Պատասխան՝ CD = AB = 0,25 մ; BC = AD = 1,25 մ.
Զուգահեռագիծը այն քառանկյունն է, որի հակառակ կողմերը զույգ-զույգ զուգահեռ են: Այս սահմանումն արդեն բավարար է, քանի որ զուգահեռագծի մնացած հատկությունները դրանից բխում են և ապացուցվում թեորեմների տեսքով։
Զուգահեռագծի հիմնական հատկություններն են.
- զուգահեռագիծը ուռուցիկ քառանկյուն է.
- զուգահեռագիծն ունի զույգերով հավասար հակառակ կողմեր.
- զուգահեռագիծն ունի հակառակ անկյուններ, որոնք զույգերով հավասար են.
- զուգահեռագծի անկյունագծերը հատվում են հատման կետով:
Զուգահեռագիծ - ուռուցիկ քառանկյուն
Եկեք նախ ապացուցենք այն թեորեմը, որ զուգահեռագիծը ուռուցիկ քառանկյուն է. Բազմանկյունը ուռուցիկ է, երբ նրա որ կողմն էլ ձգվի ուղիղ գծի վրա, բազմանկյունի բոլոր մյուս կողմերը կլինեն այս ուղիղ գծի նույն կողմում:
Թող տրվի ABCD զուգահեռագիծ, որում AB-ը CD-ի հակառակ կողմն է, իսկ BC-ն՝ AD-ի հակառակ կողմը: Այնուհետեւ զուգահեռագծի սահմանումից հետեւում է, որ AB || CD, մ.թ.ա. || ՀԱՅՏԱՐԱՐՈՒԹՅՈՒՆ.
Զուգահեռ հատվածները չունեն ընդհանուր կետեր, չեն հատվում։ Սա նշանակում է, որ CD-ն գտնվում է AB-ի մի կողմում: Քանի որ BC հատվածը կապում է AB հատվածի B կետը CD հատվածի C կետի հետ, իսկ AD հատվածը միացնում է այլ AB և CD կետեր, BC և AD հատվածները նույնպես գտնվում են AB գծի նույն կողմում, որտեղ գտնվում է CD: Այսպիսով, բոլոր երեք կողմերը՝ CD, BC, AD, ընկած են AB-ի նույն կողմում։
Նմանապես ապացուցված է, որ զուգահեռագծի մյուս կողմերի նկատմամբ մյուս երեք կողմերը գտնվում են նույն կողմում։
Հակառակ կողմերն ու անկյունները հավասար են
Զուգահեռագծի հատկություններից մեկն այն է զուգահեռագծի մեջ հակառակ կողմերն ու հակառակ անկյունները հավասար են. Օրինակ, եթե տրված է ABCD զուգահեռագիծ, ապա այն ունի AB = CD, AD = BC, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D: Այս թեորեմն ապացուցված է հետևյալ կերպ.
Զուգահեռագիծը քառանկյուն է: Այսպիսով, այն ունի երկու անկյունագիծ: Քանի որ զուգահեռագիծը ուռուցիկ քառանկյուն է, նրանցից որևէ մեկը այն բաժանում է երկու եռանկյունի: Դիտարկենք ABC և ADC եռանկյունները ABCD զուգահեռագծի մեջ, որը ստացվել է AC անկյունագիծը գծելով:
Այս եռանկյունները ունեն մեկ ընդհանուր կողմ՝ AC: BCA անկյունը հավասար է CAD անկյունին, ինչպես նաև BC և AD զուգահեռ ուղղահայացները: BAC և ACD անկյունները նույնպես հավասար են, ինչպես նաև ուղղահայաց անկյունները, երբ AB և CD զուգահեռ են: Հետևաբար, ∆ABC = ∆ADC երկու անկյան և նրանց միջև եղած կողմի վրա:
Այս եռանկյուններում AB կողմը համապատասխանում է CD կողմին, իսկ BC կողմը՝ AD: Հետևաբար, AB = CD և BC = AD:
B անկյունը համապատասխանում է D անկյունին, այսինքն՝ ∠B = ∠D: Զուգահեռագծի A անկյունը երկու անկյունների գումարն է՝ ∠BAC և ∠CAD: C հավասար անկյունը բաղկացած է ∠BCA և ∠ACD-ից: Քանի որ զույգ անկյունները հավասար են միմյանց, ապա ∠A = ∠C:
Այսպիսով, ապացուցված է, որ զուգահեռագծի մեջ հակառակ կողմերն ու անկյունները հավասար են։
Անկյունագծերը կիսով չափ կտրված են
Քանի որ զուգահեռագիծը ուռուցիկ քառանկյուն է, այն ունի երկու երկու անկյունագիծ, և դրանք հատվում են: Թող տրվի ABCD զուգահեռագիծը, որի անկյունագծերը AC և BD հատվում են E կետում: Դիտարկենք դրանցից կազմված ABE և CDE եռանկյունները:
Այս եռանկյունները ունեն AB և CD կողմեր, որոնք հավասար են զուգահեռագծի հակառակ կողմերին: ABE անկյունը հավասար է CDE անկյունին, քանի որ դրանք գտնվում են AB և CD զուգահեռ գծերի վրա: Նույն պատճառով, ∠BAE = ∠DCE: Այսպիսով, ∆ABE = ∆CDE երկու անկյան և նրանց միջև եղած կողմի վրա:
Կարող եք նաև նկատել, որ AEB և CED անկյունները ուղղահայաց են, հետևաբար նաև հավասար են միմյանց:
Քանի որ ABE և CDE եռանկյունները հավասար են միմյանց, ուստի և նրանց բոլոր համապատասխան տարրերը: Առաջին եռանկյան AE կողմը համապատասխանում է երկրորդի CE կողմին, ուստի AE = CE: Նմանապես, BE = DE: Հավասար հատվածների յուրաքանչյուր զույգ կազմում է զուգահեռագծի անկյունագիծը: Այսպիսով, ապացուցվում է, որ զուգահեռագծի անկյունագծերը հատվում են հատման կետով.
