Domov > Okno > Formulace Pythagorovy věty. Pythagorova věta: historie, důkaz, příklady praktické aplikace

Formulace Pythagorovy věty. Pythagorova věta: historie, důkaz, příklady praktické aplikace

Potenciál pro kreativitu je obvykle připisován humanitním vědám, přírodní vědy nechává na analýze, praktickém přístupu a suché řeči vzorců a čísel. Matematiku nelze zařadit mezi humanitní předměty. Ale bez kreativity se v „královně všech věd“ daleko nedostanete – lidé to vědí už dlouho. Například od dob Pythagora.

Školní učebnice bohužel většinou nevysvětlují, že v matematice je důležité nejen nacpat věty, axiomy a vzorce. Je důležité pochopit a cítit jeho základní principy. A zároveň se snažte osvobodit svou mysl od klišé a elementárních pravd – jen v takových podmínkách se rodí všechny velké objevy.

Mezi takové objevy patří to, co dnes známe jako Pythagorovu větu. S jeho pomocí se pokusíme ukázat, že matematika nejen může, ale měla by být vzrušující. A že toto dobrodružství je vhodné nejen pro nerdy s tlustými brýlemi, ale pro všechny, kteří jsou silní myslí a silní duchem.

Z historie vydání

Přísně vzato, ačkoli se tato věta nazývá „Pythagorova věta“, sám Pythagoras ji neobjevil. Pravoúhlý trojúhelník a jeho speciální vlastnosti byly studovány dávno před ním. Na tuto otázku existují dva polární pohledy. Podle jedné verze byl Pythagoras první, kdo našel úplný důkaz teorému. Podle jiného důkaz nepatří k autorství Pythagora.

Dnes již nelze kontrolovat, kdo má pravdu a kdo ne. Je známo, že důkaz o Pythagorovi, pokud vůbec existoval, nepřežil. Existují však návrhy, že slavný důkaz z Euklidových prvků může patřit Pythagorovi a Euclid jej pouze zaznamenal.

Dnes je také známo, že problémy o pravoúhlém trojúhelníku se nacházejí v egyptských pramenech z doby faraona Amenemhata I., na babylonských hliněných tabulkách z doby vlády krále Hammurabiho, ve starověkém indickém pojednání „Sulva Sutra“ a starověkém čínském díle „ Zhou-bi suan jin“.

Jak vidíte, Pythagorova věta zaměstnávala mysl matematiků již od starověku. Potvrzuje to asi 367 různých důkazů, které dnes existují. V tomto jí žádná jiná věta nemůže konkurovat. Ze slavných autorů důkazů můžeme připomenout Leonarda da Vinciho a dvacátého amerického prezidenta Jamese Garfielda. To vše vypovídá o mimořádné důležitosti této věty pro matematiku: většina vět o geometrii je z ní odvozena nebo je s ní nějak spojena.

Důkazy Pythagorovy věty

Školní učebnice většinou dávají algebraické důkazy. Ale podstata věty je v geometrii, takže nejprve zvažte ty důkazy slavné věty, které jsou založeny na této vědě.

Důkaz 1

Pro nejjednodušší důkaz Pythagorovy věty pro pravoúhlý trojúhelník je potřeba nastavit ideální podmínky: ať je trojúhelník nejen pravoúhlý, ale i rovnoramenný. Existuje důvod se domnívat, že to byl přesně tento druh trojúhelníku, o kterém starověcí matematici původně uvažovali.

Prohlášení „čtverec postavený na přeponě pravoúhlého trojúhelníku se rovná součtu čtverců postavených na jeho nohách“ lze znázornit následujícím nákresem:

Podívejte se na rovnoramenné pravoúhlý trojuhelník ABC: Na přeponě AC můžete sestrojit čtverec sestávající ze čtyř trojúhelníků rovných původnímu ABC. A na stranách AB a BC je postaven čtverec, z nichž každý obsahuje dva podobné trojúhelníky.

Mimochodem, tato kresba tvořila základ mnoha vtipů a karikatur věnovaných Pythagorově větě. Nejznámější je asi "Pythagorejské kalhoty jsou stejné ve všech směrech":

Důkaz 2

Tato metoda kombinuje algebru a geometrii a lze ji považovat za variantu staroindického důkazu matematika Bhaskariho.

Sestrojte pravoúhlý trojúhelník se stranami a, b a c(Obr. 1). Poté postavte dva čtverce se stranami rovnající se součtu délky dvou nohou, – (a+b). V každém ze čtverců vytvořte konstrukce jako na obrázcích 2 a 3.

V prvním čtverci postavte čtyři trojúhelníky podobné těm na obrázku 1. Výsledkem jsou dva čtverce: jeden se stranou a, druhý se stranou b.

Ve druhém čtverci tvoří čtyři podobné trojúhelníky sestrojené čtverec se stranou rovnou přeponě C.

Součet ploch sestrojených čtverců na obr. 2 se rovná ploše čtverce, kterou jsme sestrojili se stranou c na obr. 3. To lze snadno zkontrolovat výpočtem plochy čtverců na obr. 2 podle vzorce. A plocha vepsaného čtverce na obrázku 3. odečtením ploch čtyř stejných pravoúhlých trojúhelníků vepsaných do čtverce od plochy velkého čtverce se stranou (a+b).

Když si to všechno zapíšeme, máme: a 2 +b 2 =(a+b) 2 – 2ab. Otevřete závorky, proveďte všechny potřebné algebraické výpočty a získejte to a 2 + b 2 = a 2 + b 2. V tomto případě oblast vepsaná na obr. 3. čtverec lze také vypočítat pomocí tradičního vzorce S=c 2. Tito. a2+b2=c2– dokázal jsi Pythagorovu větu.

Důkaz 3

Samotný starověký indický důkaz byl popsán ve 12. století v pojednání „Koruna vědění“ („Siddhanta Shiromani“) a jako hlavní argument autor používá apel na matematické nadání a pozorovací schopnosti studentů a následovníků: „ Dívej se!"

Tento důkaz však rozebereme podrobněji:

Uvnitř čtverce postavte čtyři pravoúhlé trojúhelníky, jak je naznačeno na obrázku. Označme stranu velkého čtverce, známého také jako přepona, S. Nazvěme nohy trojúhelníku A A b. Podle nákresu je strana vnitřního čtverce (a-b).

Použijte vzorec pro plochu čtverce S=c 2 pro výpočet plochy vnějšího čtverce. A současně vypočítejte stejnou hodnotu sečtením plochy vnitřního čtverce a ploch všech čtyř pravoúhlých trojúhelníků: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

Pro výpočet plochy čtverce můžete použít obě možnosti, abyste se ujistili, že dávají stejný výsledek. A to vám dává právo si to zapsat c 2 = (a-b) 2 +4*1\2*a*b. V důsledku řešení získáte vzorec Pythagorovy věty c2=a2+b2. Věta byla prokázána.

Důkaz 4

Tento podivný starověký čínský důkaz byl nazýván „křeslo nevěsty“ - kvůli postavě podobné židli, která je výsledkem všech konstrukcí:

Využívá kresbu, kterou jsme již viděli na obr. 3 ve druhém důkazu. A vnitřní čtverec se stranou c je konstruován stejným způsobem jako ve starověkém indickém důkazu uvedeném výše.

Pokud jste v duchu odřízli dva zelené pravoúhlé trojúhelníky z výkresu na obr. 1, přesuňte je na opačné strany připevněte čtverec se stranou c a přeponami k přeponám lila trojúhelníků, získáte postavu zvanou „nevěsta židle“ (obr. 2). Pro přehlednost můžete udělat totéž s papírovými čtverci a trojúhelníky. Ujistíte se, že „křeslo pro nevěstu“ je tvořeno dvěma čtverci: malými se stranou b a velký s bokem A.

Tyto konstrukce umožnily starým čínským matematikům a nám, kteří jsme je následovali, dospět k závěru c2=a2+b2.

Důkaz 5

Toto je další způsob, jak najít řešení Pythagorovy věty pomocí geometrie. Říká se tomu Garfieldova metoda.

Sestrojte pravoúhlý trojúhelník ABC. Musíme to dokázat BC 2 = AC 2 + AB 2.

Chcete-li to provést, pokračujte v noze AC a vytvořit segment CD, která se rovná noze AB. Snižte kolmici INZERÁTúsečka ED. Segmenty ED A AC jsou rovny. Spojit tečky E A V, a E A S a získejte kresbu jako na obrázku níže:

Abychom věž dokázali, znovu se uchýlíme k metodě, kterou jsme již vyzkoušeli: najdeme plochu výsledné postavy dvěma způsoby a přirovnáme výrazy k sobě navzájem.

Najděte oblast mnohoúhelníku POSTEL lze provést sečtením oblastí tří trojúhelníků, které jej tvoří. A jeden z nich, ERU, je nejen pravoúhlý, ale i rovnoramenný. Na to také nezapomínejme AB = CD, AC=ED A BC = SE– to nám umožní zjednodušit nahrávání a nepřetěžovat jej. Tak, S ABED = 2*1/2(AB*AC)+1/2ВС 2.

Přitom je zřejmé, že POSTEL- Tohle je lichoběžník. Proto vypočítáme jeho plochu pomocí vzorce: S ABED = (DE+AB)*1/2AD. Pro naše výpočty je pohodlnější a přehlednější reprezentovat segment INZERÁT jako součet segmentů AC A CD.

Zapišme si oba způsoby, jak vypočítat plochu obrázku, přičemž mezi ně vložíme rovnítko: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Pro zjednodušení pravé strany zápisu používáme rovnost segmentů, které již známe a jsou popsány výše: AB*AC+1/2BC2=1/2(AB+AC) 2. Nyní otevřeme závorky a transformujeme rovnost: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. Po dokončení všech transformací dostaneme přesně to, co potřebujeme: BC 2 = AC 2 + AB 2. Větu jsme dokázali.

Tento výčet důkazů samozřejmě není zdaleka úplný. Pythagorovu větu lze také dokázat pomocí vektorů, komplexních čísel, diferenciálních rovnic, stereometrie atd. A dokonce i fyzikové: pokud se například kapalina nalije do čtvercových a trojúhelníkových objemů podobných těm, které jsou znázorněny na výkresech. Nalitím kapaliny můžete dokázat rovnost ploch a jako výsledek samotnou větu.

Pár slov o pythagorejských trojicích

Tato problematika je ve školních osnovách probírána málo nebo vůbec. Mezitím je velmi zajímavý a má velká důležitost v geometrii. Pythagorejské trojice se používají k řešení mnoha matematických problémů. Jejich pochopení se vám může hodit při dalším vzdělávání.

Co jsou tedy pythagorejská trojčata? Tak tomu říkají celá čísla, shromážděné po trojicích, přičemž součet čtverců dvou z nich se rovná třetímu číslu ve čtverci.

Pythagorejské trojice mohou být:

primitivní (všechna tři čísla jsou relativně prvočísla);
není primitivní (pokud je každé číslo trojky vynásobeno stejným číslem, dostanete novou trojici, která není primitivní).

Již před naším letopočtem byli staří Egypťané fascinováni mánií počtů pythagorejských trojic: v úlohách uvažovali o pravoúhlém trojúhelníku o stranách 3, 4 a 5 jednotek. Mimochodem, každý trojúhelník, jehož strany se rovnají číslům z pythagorejské trojice, je ve výchozím nastavení obdélníkový.

Příklady pythagorejských trojic: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) , (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), ( 14, 48, 50), (30, 40, 50) atd.

Praktická aplikace věty

Pythagorova věta se používá nejen v matematice, ale také v architektuře a stavebnictví, astronomii a dokonce i v literatuře.

Nejprve o konstrukci: nachází se v ní Pythagorova věta široké uplatnění v úkolech různé úrovně potíže. Podívejte se například na románské okno:

Označme šířku okna jako b, pak lze poloměr hlavního půlkruhu označit jako R a vyjádřit prostřednictvím b: R=b/2. Poloměr menších půlkruhů může být také vyjádřen skrz b: r=b/4. V tomto problému nás zajímá poloměr vnitřního kruhu okna (říkejme tomu p).

Pythagorova věta je prostě užitečná pro výpočet R. K tomu používáme pravoúhlý trojúhelník, který je na obrázku označen tečkovanou čarou. Přepona trojúhelníku se skládá ze dvou poloměrů: b/4+p. Jedna noha představuje poloměr b/4, další b/2-p. Pomocí Pythagorovy věty píšeme: (b/4+p) 2 = (b/4) 2 + (b/2-p) 2. Dále otevřeme závorky a dostaneme b 2 /16+ bp/2+p 2 =b 2 /16+b 2 /4-bp+p 2. Převedeme tento výraz na bp/2=b2/4-bp. A pak všechny pojmy vydělíme b, představujeme podobné k získání 3/2*p=b/4. A to nakonec zjistíme p=b/6- což jsme potřebovali.

Pomocí věty můžete vypočítat délku krokví pro sedlová střecha. Určete, jak vysoká je potřeba mobilní komunikační věž, aby signál dosáhl určité obydlené oblasti. A dokonce instalujte stabilně vánoční strom na městském náměstí. Jak je vidět, tato věta žije nejen na stránkách učebnic, ale často se hodí i v reálném životě.

V literatuře Pythagorova věta inspirovala spisovatele již od starověku a pokračuje v tom i v naší době. Například německý spisovatel devatenáctého století Adelbert von Chamisso byl inspirován k napsání sonetu:

Světlo pravdy se brzy nerozplyne,
Ale když zazářil, je nepravděpodobné, že se rozplyne
A stejně jako před tisíci lety
Nevyvolá pochybnosti ani spory.

Nejmoudřejší, když se dotkne tvého pohledu
Světlo pravdy, díky bohům;
A sto zabitých býků, lež -
Zpětný dárek od šťastného Pythagora.

Od té doby býci zoufale řvou:
Navždy znepokojil býčí kmen
Zde zmíněná událost.

Zdá se jim, že se blíží čas,
A budou znovu obětováni
Nějaká velká věta.

(překlad Viktor Toporov)

A ve dvacátém století věnoval sovětský spisovatel Jevgenij Veltistov ve své knize „Dobrodružství elektroniky“ celou kapitolu důkazům Pythagorovy věty. A další polovina kapitoly k příběhu o dvourozměrném světě, který by mohl existovat, kdyby se Pythagorova věta stala základním zákonem a dokonce náboženstvím pro jeden svět. Bydlení by tam bylo mnohem jednodušší, ale také mnohem nudnější: nikdo tam například nechápe význam slov „kulatý“ a „načechraný“.

A v knize „The Adventures of Electronics“ autor ústy učitele matematiky Taratara říká: „Hlavní věcí v matematice je pohyb myšlenek, nové myšlenky.“ Je to právě tento tvůrčí myšlenkový let, který dává vzniknout Pythagorově větě – ne nadarmo má tolik rozmanitých důkazů. Pomůže vám překročit hranice známého a podívat se na známé věci novým způsobem.

Závěr

Tento článek byl vytvořen, abyste se mohli podívat nad rámec školních osnov v matematice a naučit se nejen ty důkazy Pythagorovy věty, které jsou uvedeny v učebnicích „Geometrie 7-9“ (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) a „Geometrie 7“ - 11“ (A.V. Pogorelov), ale i další zajímavé způsoby, jak dokázat slavnou větu. A také se podívejte na příklady, jak lze Pythagorovu větu aplikovat v běžném životě.

Za prvé, tyto informace vám umožní kvalifikovat se na vyšší skóre v hodinách matematiky – informace o předmětu z dodatečné zdroje jsou vždy vysoce ceněny.

Zadruhé jsme vám chtěli pomoci pocítit, jak zajímavá je matematika. Ujisti se konkrétní příkladyže v ní je vždy místo pro kreativitu. Doufáme, že vás Pythagorova věta a tento článek inspirují k samostatnému zkoumání a vzrušujícím objevům v matematice a dalších vědách.

Řekněte nám v komentářích, zda vás důkazy uvedené v článku zaujaly. Pomohly vám tyto informace při studiu? Napište nám, co si myslíte o Pythagorově větě a tomto článku – to vše s vámi rádi probereme.

blog.site, při kopírování celého materiálu nebo jeho části je vyžadován odkaz na původní zdroj.

Pythagorova věta: Součet ploch čtverců spočívajících na nohách ( A A b), která se rovná ploše čtverce postaveného na přeponě ( C).

Geometrické složení:

Věta byla původně formulována takto:

Algebraická formulace:

Tedy označující délku přepony trojúhelníku o C, a délky nohou skrz A A b :

A 2 + b 2 = C 2

Obě formulace věty jsou ekvivalentní, ale druhá formulace je elementárnější, nevyžaduje pojem plochy. To znamená, že druhé tvrzení lze ověřit, aniž bychom věděli cokoli o ploše a měřením pouze délek stran pravoúhlého trojúhelníku.

Obraťte Pythagorovu větu:

Důkaz

Na tento moment Ve vědecké literatuře bylo zaznamenáno 367 důkazů této věty. Pravděpodobně je Pythagorova věta jedinou větou s tak působivým počtem důkazů. Takovou rozmanitost lze vysvětlit pouze základním významem věty pro geometrii.

Samozřejmě, koncepčně všechny lze rozdělit do malého počtu tříd. Nejznámější z nich: důkazy plošnou metodou, axiomatické a exotické důkazy (např. pomocí diferenciálních rovnic).

Prostřednictvím podobných trojúhelníků

Následující důkaz algebraické formulace je nejjednodušší z důkazů, konstruovaný přímo z axiomů. Zejména nepoužívá koncept plochy obrázku.

Nechat ABC existuje pravoúhlý trojúhelník s pravým úhlem C. Nakreslíme výšku od C a označte jeho základnu H. Trojúhelník ACH podobný trojúhelníku ABC ve dvou rozích. Stejně tak trojúhelník CBH podobný ABC. Zavedením notace

dostaneme

Co je ekvivalentní

Když to sečteme, dostaneme

Důkazy plošnou metodou

Níže uvedené důkazy, navzdory své zdánlivé jednoduchosti, nejsou vůbec tak jednoduché. Všechny využívají vlastnosti plochy, jejichž důkaz je složitější než důkaz samotné Pythagorovy věty.

Důkaz prostřednictvím ekvikomplementace

Uspořádejme čtyři stejné pravoúhlé trojúhelníky, jak je znázorněno na obrázku 1.
Čtyřúhelník se stranami C je čtverec, protože součet dvou ostré rohy 90° a rozložený úhel je 180°.
Plocha celého obrázku se rovná na jedné straně ploše čtverce se stranou (a + b) a na druhé straně součtu ploch čtyř trojúhelníků a dvou vnitřních čtverce.

Q.E.D.

Důkazy prostřednictvím ekvivalence

Elegantní důkaz pomocí permutace

Příklad jednoho takového důkazu je znázorněn na obrázku vpravo, kde je čtverec postavený na přeponě přeskládán na dva čtverce postavené na nohách.

Euklidův důkaz

Kresba pro Euklidův důkaz

Ilustrace pro Euklidův důkaz

Myšlenka Euklidova důkazu je následující: zkusme dokázat, že polovina plochy čtverce postaveného na přeponě se rovná součtu polovičních ploch čtverců postavených na nohách a potom ploch velký a dva malé čtverce jsou stejné.

Podívejme se na nákres vlevo. Na něm jsme postavili čtverce po stranách pravoúhlého trojúhelníku a kreslili z vrcholu pravý úhel Paprskem s kolmým na přeponu AB rozřízne čtverec ABIK, postavený na přeponě, na dva obdélníky - BHJI a HAKJ. Ukazuje se, že plochy těchto obdélníků jsou přesně stejné jako plochy čtverců postavených na odpovídajících nohách.

Pokusme se dokázat, že plocha čtverce DECA se rovná ploše obdélníku AHJK. K tomu použijeme pomocné pozorování: Plocha trojúhelníku se stejnou výškou a základnou jako daný obdélník se rovná polovině plochy daného obdélníku. Je to důsledek definování plochy trojúhelníku jako poloviny součinu základny a výšky. Z tohoto pozorování vyplývá, že plocha trojúhelníku ACK se rovná ploše trojúhelníku AHK (na obrázku není znázorněna), což se zase rovná polovině plochy obdélníku AHJK.

Nyní dokažme, že plocha trojúhelníku ACK se také rovná polovině plochy čtverce DECA. Jediné, co je pro to třeba udělat, je dokázat rovnost trojúhelníků ACK a BDA (protože plocha trojúhelníku BDA se rovná polovině plochy čtverce podle výše uvedené vlastnosti). Rovnost je zřejmá, trojúhelníky jsou na obou stranách stejné a úhel mezi nimi. Totiž - AB=AK,AD=AC - rovnost úhlů CAK a BAD snadno prokážeme metodou pohybu: trojúhelník CAK otočíme o 90° proti směru hodinových ručiček, pak je zřejmé, že odpovídající strany dvou trojúhelníků v otázka se bude shodovat (vzhledem k tomu, že úhel ve vrcholu čtverce je 90°).

Zdůvodnění rovnosti ploch čtverce BCFG a obdélníku BHJI je zcela podobné.

Tím jsme dokázali, že plocha čtverce postaveného na přeponě je složena z ploch čtverců postavených na nohách. Myšlenku tohoto důkazu dále ilustruje animace výše.

Důkaz Leonarda da Vinciho

Hlavními prvky důkazu jsou symetrie a pohyb.

Uvažujme kresbu, jak je patrné ze symetrie, za segment Cjářeže čtverec ABHJ na dvě stejné části (protože trojúhelníky ABC A JHjá ve stavebnictví stejné). Pomocí otočení o 90 stupňů proti směru hodinových ručiček vidíme rovnost stínovaných čísel CAJjá A GDAB . Nyní je jasné, že plocha obrázku, kterou jsme vystínovali, se rovná součtu poloviny ploch čtverců postavených na nohách a plochy původního trojúhelníku. Na druhou stranu se rovná polovině plochy čtverce postaveného na přeponě plus plocha původního trojúhelníku. Poslední krok důkazu je ponechán na čtenáři.

Důkaz infinitezimální metodou

Následující důkaz pomocí diferenciálních rovnic je často připisován slavnému anglickému matematikovi Hardymu, který žil v první polovině 20. století.

Při pohledu na výkres zobrazený na obrázku a pozorování změny strany A, můžeme napsat následující vztah pro infinitezimální přírůstky strany S A A(pomocí podobnosti trojúhelníku):

Důkaz infinitezimální metodou

Pomocí metody separace proměnných najdeme

Obecnější vyjádření pro změnu přepony v případě přírůstků na obou stranách

Integrace daná rovnice a pomocí počátečních podmínek dostaneme

C 2 = A 2 + b 2 + konstanta.

Tím se dostáváme k požadované odpovědi

C 2 = A 2 + b 2 .

Jak je snadné vidět, kvadratická závislost v konečném vzorci se objevuje v důsledku lineární úměrnosti mezi stranami trojúhelníku a přírůstky, zatímco součet je spojen s nezávislými příspěvky přírůstku různých větví.

Jednodušší důkaz lze získat, pokud předpokládáme, že jedna z nohou nezaznamená přírůstek (v tomto případě noha b). Pak pro integrační konstantu dostaneme

Variace a zobecnění

Pokud místo čtverců sestrojíme na stranách další podobné obrazce, pak platí následující zobecnění Pythagorovy věty: V pravoúhlém trojúhelníku se součet ploch podobných obrazců postavených po stranách rovná ploše obrazce postaveného na přeponě. Zejména:
- Součet ploch pravidelných trojúhelníků postavených na nohách se rovná ploše pravidelného trojúhelníku postaveného na přeponě.
- Součet ploch půlkruhů postavených na nohách (jako na průměru) se rovná ploše půlkruhu postaveného na přeponě. Tento příklad se používá k prokázání vlastností obrazců ohraničených oblouky dvou kružnic a nazývaných Hippokratovy lunuly.

Příběh

Chu-pei 500–200 před naším letopočtem. Vlevo je nápis: součet čtverců délek výšky a základny je čtverec délky přepony.

Stará čínská kniha Chu-pei mluví o Pythagorejský trojúhelník se stranami 3, 4 a 5: Ve stejné knize je navržen nákres, který se shoduje s jedním z nákresů hinduistické geometrie Bashara.

Cantor (největší německý historik matematiky) věří, že rovnost 3² + 4² = 5² znali Egypťané již kolem roku 2300 př.nl. e., za dob krále Amenemhata I. (podle papyru 6619 Berlínského muzea). Podle Cantora harpedonapty neboli „tahače lana“ stavěly pravé úhly pomocí pravoúhlých trojúhelníků se stranami 3, 4 a 5.

Je velmi snadné reprodukovat jejich způsob konstrukce. Vezmeme lano dlouhé 12 m a navážeme na něj ve vzdálenosti 3 m barevný pruh. z jednoho konce a 4 metry od druhého. Pravý úhel bude uzavřen mezi stranami dlouhými 3 a 4 metry. Harpedonaptům by se dalo namítnout, že jejich způsob stavby se stává nadbytečným, pokud použijeme např. dřevěný čtverec, který používají všichni truhláři. Jsou totiž známy egyptské kresby, na kterých se takový nástroj nachází, například kresby zobrazující truhlářskou dílnu.

Poněkud více je známo o Pythagorově větě mezi Babyloňany. V jednom textu pocházejícím z doby Hammurabiho, tedy do roku 2000 před naším letopočtem. e. je uveden přibližný výpočet přepony pravoúhlého trojúhelníku. Z toho můžeme usoudit, že v Mezopotámii byli schopni provádět výpočty s pravoúhlými trojúhelníky, alespoň v některých případech. Na jedné straně na základě současné úrovně znalostí o egyptské a babylonské matematice a na druhé straně na základě kritického studia řeckých pramenů dospěl Van der Waerden (nizozemský matematik) k následujícímu závěru:

Literatura

V Rusku

Skopets Z.A. Geometrické miniatury. M., 1990
Elensky Shch. Po stopách Pythagora. M., 1961
Van der Waerden B. L. Věda probuzení. Matematika Starověký Egypt, Babylon a Řecko. M., 1959
Glazer G.I. Dějiny matematiky ve škole. M., 1982
W. Litzman, „Pythagorova věta“ M., 1960.
- Stránka o Pythagorově větě s velkým množstvím důkazů, materiál převzat z knihy V. Litzmanna, velké číslo výkresy jsou prezentovány ve formě samostatných grafických souborů.
Pythagorova věta a Pythagorova trojitá kapitola z knihy D. V. Anosova „Pohled na matematiku a něco z ní“
O Pythagorově větě a metodách jejího dokazování G. Glaser, akademik Ruské pedagogické akademie v Moskvě

V angličtině

Pythagorova věta ve WolframMathWorld
Cut-The-Knot, část o Pythagorově větě, asi 70 důkazů a rozsáhlé doplňkové informace (anglicky)

Nadace Wikimedia. 2010.

Pythagorova věta- jedna ze základních vět euklidovské geometrie, zakládající vztah

mezi stranami pravoúhlého trojúhelníku.

Předpokládá se, že to dokázal řecký matematik Pythagoras, po kterém byl pojmenován.

Geometrická formulace Pythagorovy věty.

Věta byla původně formulována takto:

V pravoúhlém trojúhelníku se plocha čtverce postaveného na přeponě rovná součtu ploch čtverců,

postavené na nohách.

Algebraická formulace Pythagorovy věty.

V pravoúhlém trojúhelníku je druhá mocnina délky přepony rovna součtu čtverců délek nohou.

Tedy označující délku přepony trojúhelníku o C, a délky nohou skrz A A b:

Obě formulace Pythagorova věta jsou ekvivalentní, ale druhá formulace je elementárnější, tomu tak není

vyžaduje koncept oblasti. To znamená, že druhé tvrzení lze ověřit, aniž bychom věděli cokoli o oblasti a

měřením pouze délek stran pravoúhlého trojúhelníku.

Obraťte Pythagorovu větu.

Pokud je čtverec jedné strany trojúhelníku roven součtu čtverců ostatních dvou stran, pak

pravoúhlý trojuhelník.

Nebo, jinými slovy:

Za každé tři kladná čísla A, b A C, takové, že

existuje pravoúhlý trojúhelník s nohami A A b a přepona C.

Pythagorova věta pro rovnoramenný trojúhelník.

Pythagorova věta pro rovnostranný trojúhelník.

Důkazy Pythagorovy věty.

V současné době je ve vědecké literatuře zaznamenáno 367 důkazů této věty. Pravděpodobně teorém

Pythagorova věta je jediná s tak působivým počtem důkazů. Taková rozmanitost

lze vysvětlit pouze základním významem věty pro geometrii.

Samozřejmě, koncepčně všechny lze rozdělit do malého počtu tříd. Nejznámější z nich:

důkaz plošná metoda, axiomatický A exotické důkazy(Například,

používáním diferenciální rovnice).

1. Důkaz Pythagorovy věty pomocí podobných trojúhelníků.

Následující důkaz algebraické formulace je nejjednodušší z konstruovaných důkazů

přímo z axiomů. Zejména nepoužívá koncept plochy obrázku.

Nechat ABC existuje pravoúhlý trojúhelník s pravým úhlem C. Nakreslíme výšku od C a označují

jeho založení skrz H.

Trojúhelník ACH podobný trojúhelníku AB C ve dvou rozích. Stejně tak trojúhelník CBH podobný ABC.

Zavedením notace:

dostaneme:

což odpovídá -

Složený A 2 a b 2, dostaneme:

nebo , což je to, co bylo potřeba prokázat.

2. Důkaz Pythagorovy věty plošnou metodou.

Níže uvedené důkazy, navzdory své zdánlivé jednoduchosti, nejsou vůbec tak jednoduché. Všichni

využít vlastnosti plochy, jejichž důkazy jsou složitější než důkaz samotné Pythagorovy věty.

Důkaz prostřednictvím ekvikomplementarity.

Uspořádáme čtyři stejné obdélníkové

trojúhelník, jak je znázorněno na obrázku

napravo.

Čtyřúhelník se stranami C- náměstí,

protože součet dvou ostrých úhlů je 90°, a

rozložený úhel - 180°.

Plocha celé postavy je na jedné straně stejná

plocha čtverce se stranou ( a+b), a na druhé straně součet obsahů čtyř trojúhelníků a

Q.E.D.

3. Důkaz Pythagorovy věty infinitezimální metodou.

Při pohledu na výkres zobrazený na obrázku a

sledovat změnu stranyA, můžeme

napište následující vztah pro nekonečno

malý boční přírůstkyS A A(pomocí podobnosti

trojúhelníky):

Pomocí metody proměnné separace zjistíme:

Obecnější vyjádření pro změnu přepony v případě přírůstků na obou stranách:

Integrací této rovnice a použitím počátečních podmínek získáme:

Tím se dostáváme k požadované odpovědi:

Jak je snadné vidět, kvadratická závislost v konečném vzorci se objevuje jako lineární

úměrnost mezi stranami trojúhelníku a přírůstky, zatímco součet se vztahuje k nezávis

příspěvky z přírůstku různých nohou.

Jednodušší důkaz lze získat, pokud předpokládáme, že jedna z nohou nezaznamená nárůst

(v tomto případě noha b). Pak pro integrační konstantu dostaneme:

Z historie vydání

Důkazy Pythagorovy věty

Školní učebnice většinou dávají algebraické důkazy. Ale podstata věty je v geometrii, takže nejprve zvažte ty důkazy slavné věty, které jsou založeny na této vědě.

Důkaz 1

Prohlášení „čtverec postavený na přeponě pravoúhlého trojúhelníku se rovná součtu čtverců postavených na jeho nohách“ lze znázornit následujícím nákresem:

Podívejte se na rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník ABC: Na přeponě AC můžete sestrojit čtverec sestávající ze čtyř trojúhelníků rovných původnímu ABC. A na stranách AB a BC je postaven čtverec, z nichž každý obsahuje dva podobné trojúhelníky.

Mimochodem, tato kresba tvořila základ mnoha vtipů a karikatur věnovaných Pythagorově větě. Nejznámější je asi "Pythagorejské kalhoty jsou stejné ve všech směrech":

Důkaz 2

Tato metoda kombinuje algebru a geometrii a lze ji považovat za variantu staroindického důkazu matematika Bhaskariho.

Sestrojte pravoúhlý trojúhelník se stranami a, b a c(Obr. 1). Poté sestrojte dva čtverce se stranami rovnými součtu délek obou nohou - (a+b). V každém ze čtverců vytvořte konstrukce jako na obrázcích 2 a 3.

V prvním čtverci postavte čtyři trojúhelníky podobné těm na obrázku 1. Výsledkem jsou dva čtverce: jeden se stranou a, druhý se stranou b.

Ve druhém čtverci tvoří čtyři podobné trojúhelníky sestrojené čtverec se stranou rovnou přeponě C.

Důkaz 3

Tento důkaz však rozebereme podrobněji:

Důkaz 4

Tento podivný starověký čínský důkaz byl nazýván „křeslo nevěsty“ - kvůli postavě podobné židli, která je výsledkem všech konstrukcí:

Využívá kresbu, kterou jsme již viděli na obr. 3 ve druhém důkazu. A vnitřní čtverec se stranou c je konstruován stejným způsobem jako ve starověkém indickém důkazu uvedeném výše.

Pokud v duchu odříznete dva zelené obdélníkové trojúhelníky z výkresu na obr. 1, přesunete je na opačné strany čtverce se stranou c a připojíte přepony k přeponám lila trojúhelníků, dostanete postavu zvanou „křeslo nevěsty“ (obr. 2). Pro přehlednost můžete udělat totéž s papírovými čtverci a trojúhelníky. Ujistíte se, že „křeslo pro nevěstu“ je tvořeno dvěma čtverci: malými se stranou b a velký s bokem A.

Tyto konstrukce umožnily starým čínským matematikům a nám, kteří jsme je následovali, dospět k závěru c2=a2+b2.

Důkaz 5

Toto je další způsob, jak najít řešení Pythagorovy věty pomocí geometrie. Říká se tomu Garfieldova metoda.

Sestrojte pravoúhlý trojúhelník ABC. Musíme to dokázat BC 2 = AC 2 + AB 2.

Abychom věž dokázali, znovu se uchýlíme k metodě, kterou jsme již vyzkoušeli: najdeme plochu výsledné postavy dvěma způsoby a přirovnáme výrazy k sobě navzájem.

Pár slov o pythagorejských trojicích

Tato problematika je ve školních osnovách probírána málo nebo vůbec. Mezitím je to velmi zajímavé a má velký význam v geometrii. Pythagorejské trojice se používají k řešení mnoha matematických problémů. Jejich pochopení se vám může hodit při dalším vzdělávání.

Co jsou tedy pythagorejská trojčata? Toto je název pro přirozená čísla shromážděná ve skupinách po třech, z nichž součet druhých mocnin je roven třetímu číslu na druhou.

Pythagorejské trojice mohou být:

primitivní (všechna tři čísla jsou relativně prvočísla);
není primitivní (pokud je každé číslo trojky vynásobeno stejným číslem, dostanete novou trojici, která není primitivní).

Praktická aplikace věty

Pythagorova věta se používá nejen v matematice, ale také v architektuře a stavebnictví, astronomii a dokonce i v literatuře.

Nejprve o konstrukci: Pythagorova věta je široce používána v problémech různé úrovně složitosti. Podívejte se například na románské okno:

Pomocí věty můžete vypočítat délku krokví pro sedlovou střechu. Určete, jak vysoká je potřeba mobilní komunikační věž, aby signál dosáhl určité obydlené oblasti. A dokonce instalovat vánoční stromek udržitelným způsobem na náměstí. Jak je vidět, tato věta žije nejen na stránkách učebnic, ale často se hodí i v reálném životě.

Světlo pravdy se brzy nerozplyne,
Ale když zazářil, je nepravděpodobné, že se rozplyne
A stejně jako před tisíci lety
Nevyvolá pochybnosti ani spory.

Nejmoudřejší, když se dotkne tvého pohledu
Světlo pravdy, díky bohům;
A sto zabitých býků, lež -
Zpětný dárek od šťastného Pythagora.

Od té doby býci zoufale řvou:
Navždy znepokojil býčí kmen
Zde zmíněná událost.

Zdá se jim, že se blíží čas,
A budou znovu obětováni
Nějaká velká věta.

(překlad Viktor Toporov)

Závěr

Za prvé, tyto informace vám umožní kvalifikovat se na vyšší skóre v hodinách matematiky – informace o předmětu z dalších zdrojů jsou vždy vysoce ceněny.

Zadruhé jsme vám chtěli pomoci pocítit, jak zajímavá je matematika. Potvrďte na konkrétních příkladech, že prostor pro kreativitu je vždy. Doufáme, že vás Pythagorova věta a tento článek inspirují k samostatnému zkoumání a vzrušujícím objevům v matematice a dalších vědách.

webové stránky, při kopírování celého materiálu nebo jeho části je vyžadován odkaz na zdroj.

články Podle téma:

Broskvový kompot na zimu - nejlepší recepty na lahodné zavařeniny Druhé chody Mnoho lidí si dává k večeři raději druhý chod, ale děti ho rády jedí místo polévky, aby se rychle dostaly k dezertu nebo oblíbenému pečivu. Na webu Delicious Food najdete širokou škálu receptů na druhý chod z jednoduchých pokrmů v páře	Nejlepší recepty na lahodné čínské hovězí maso Historie vaření masa v čínském kulinářském umění v Číně sahá až do starověku. Restaurace se tam objevily před 2500 lety a o 1000 let později vyšla velká kuchařka. Obecné zásady pro vaření jakéhokoli masa smaženého v misce - n
Jak vařit čínské hovězí se zeleninou v lahodné omáčce? Čínská kuchyně je v kulinářském světě něčím obzvláště magickým. I pro historiky je těžké říci, kolik tisíc let je staré. A zdá se, že šťavnaté a chutné jídlo, čínské hovězí maso, neméně. Kolik regionálních kuchyní existuje v Číně?	Prosím o recepty na cupcaky v hrnečku S příchodem moderních domácích spotřebičů začaly ženy v domácnosti trávit méně času v kuchyni a věnovat více pozornosti sobě a členům rodiny. S použitím mikrovlnné trouby si tedy během pár minut připravíte druhý chod nebo lahodný dezert. Co je jen sto

Oblíbený

2024-03-10 02:45:38	Kuře s jablky a bramborami pečené v troubě
2024-03-09 03:13:40	Panna a Beran: kompatibilita v milostných vztazích
2024-03-09 03:13:40	Panna a Vodnář milují kompatibilitu
2024-03-09 03:13:40	Kompatibilita s mužem Kozoroha
2024-03-09 03:13:40	Kompatibilita Kozoroh (žena) - Býk (muž)
2024-03-09 03:13:40	Kombinace znamení zvěrokruhu v manželství, lásce a přátelství: astrologická kompatibilita
2024-03-07 03:07:45	Alexander Pushkin ~ Bylo na čase: naše dovolená je mladá...
2024-03-06 03:01:28	Služby pro uchazeče o zaměstnání Procter & Gamble Foundation
2024-03-01 03:14:58	Hrabě M.S. Vorontsov - generální guvernér Novorossiya. Vorontsov Michail Semenovič Osobní život Vorontsova Michaila
2024-02-29 03:05:55	Carpaccio z kuřecích prsou doma: výběr receptů

Nový

2024-02-26 02:50:51	Cornet (hudební nástroj)
2024-02-25 03:20:18	Vojensko-historické muzeum opevnění, Sevastopol - „- jak věděli, jak udržet tajemství v SSSR?
2024-02-23 03:15:13	Horoskop Blíženci: vlastnosti, vzhled, kariéra, láska, manželství a rodina Slavné ženy Blíženci podle horoskopu
2024-02-19 02:59:46	Pekanové ořechy: prospěšné vlastnosti
2024-02-18 03:11:46	Králičí polévka s pohankou
2024-02-17 03:45:18	Velkokněžna Olga Kyjevská
2024-03-10 02:45:38	Broskvový kompot na zimu - nejlepší recepty na lahodné zavařeniny
2024-03-10 02:45:38	Nejlepší recepty na lahodné čínské hovězí maso
2024-03-10 02:45:38	Jak vařit čínské hovězí se zeleninou v lahodné omáčce?
2024-03-10 02:45:38	Prosím o recepty na cupcaky v hrnečku
2024-03-10 02:45:38	Kuře s jablky a bramborami pečené v troubě
2024-03-09 03:13:40	Panna a Beran: kompatibilita v milostných vztazích