Najděte plastický moment odporu průřezu. Okamžiky odporu. Plastický moment odporu
Čistý ohyb v jedné z hlavních rovin
Řez se dvěma osami symetrie. V řezu (obr. 2.2) necháme působit ohybový moment Mx od zatížení, který naroste na mezní hodnotu. V tomto případě bude sekce postupně v elastickém, elasticko-plastickém a plastickém stavu.
Při pružné práci jsou napětí σ a relativní přetvoření ε v řezu rozloženy lineárně (obr. 2.2, a). Tento stav je omezen dosažením meze kluzu σfl v krajních vláknech průřezu. Odpovídající ohybový moment
Říkejme tomu mezní pružný ohybový moment.
Při dosažení meze kluzu ve vnějších vláknech ještě není vyčerpána únosnost sekce. S dalším nárůstem ohybového momentu se relativní deformace v řezu zvětšují a jejich diagram zůstává lineární. V tomto případě se napětí zvyšují u těch vláken, ve kterých ještě nedosáhla meze kluzu σfl. V oblastech kluzu si napětí udržují konstantní hodnotu σfl (obr. 2.2, b). Ohybový moment v takovém pružně-plastickém stavu s relativní deformací ε1 na krajním vláknu úseku je roven
Další fáze elastoplastické práce řezu je znázorněna na Obr. 2.2, str. V tomto stavu je elastická část relativně malá a koncentrovaná blízko neutrální osy. Pro výpočet ohybového momentu se přibližně předpokládá pravoúhlé rozložení napětí v tahové a stlačené části průřezu. V tomto případě se pružná část průřezu rovná nule (Wel=0).
Ohybový moment odpovídající úplnému kluzu průřezu se nazývá mezní plastický ohybový moment a je určen vzorcem
Vzorce pro výpočet plastického momentu odporu Z pro některé charakteristické průřezy a hodnoty součinitelů tvaru průřezu při ohybu f=Z/W jsou uvedeny v tabulce. 2.1.
Mezní plastický ohybový moment Mpl charakterizuje mezní plastickou únosnost profilů při ohybu.
Odhadneme chybu, která vznikne v důsledku předpokladu, že napětí jsou rozložena ve tvaru dvou obdélníků. K tomu budeme analyzovat teoretický výraz pro elasticko-plastický moment v případě, kdy je relativní deformace v nejkrajnějším vláknu ε1 dostatečně velká (např. rovna relativní deformaci zpevnění skutečné oceli). Uvažované rozložení napětí v elastoplastickém stavu (obr. 2.3, a) bude znázorněno dvěma diagramy (obr. 2.3, b, c). Potom lze ve tvaru zapsat ohybový moment Мεx
Pro obdélníkový řez máme
Pro I-profil podle obr. 2.2,b najdeme
Z podobnosti trojúhelníků pro deformace ε získáme závislosti
Protože mez kluzu je náhodná veličina, relativní přetvoření εfl pro konkrétní ocel může nabývat různých hodnot. Na základě statistické analýzy meze kluzu v závodech bylo zjištěno, že většina z hodnoty σfl jsou v následujících intervalech:
- pro ocel třídy 37
230 N/mm2 ≤ σfl ≤ 330 N/mm2;
- pro ocel třídy 52
330N/mm2 ≤ σfl ≤ 430N/mm2.
V tomto případě se odpovídající relativní deformace εfl rovnají:
pro ocel třídy 37
0,0011 ≤ εfl ≤ 0,0016;
pro ocel třídy 52
0,0016 ≤ εfl ≤ 0,0020.
Hodnota relativní deformace ε1 a ε1,s ve vnějších vláknech profilu a stěny je brána ε1=ε1,s=0,012, což přibližně odpovídá deformaci počátku kalení oceli při její zkoušce na tah.
Vezmeme-li v úvahu vzorce (2.21), získáme:
- pro ocel třídy 37
0,046 ≤ Уel/h ≤ 0,067;
- pro ocel třídy 52
0,067 ≤ Уel/h ≤ 0,083.
Poměr Ml,x/Mpl,x v rovnici (2.17) pro obdélníkový řez se mění v mezích:
- pro ocel třídy 37
0,0028 < Ml,x/Mpl,x < 0,0060;
- pro ocel třídy 52
0,0060 ≤ Ml,x/Mpl,x ≤ 0,0092.
U I-profilu tyto hodnoty závisí nejen na třídě oceli, ale také na rozměrech průřez, který lze charakterizovat zobecněným parametrem ρ, přibližně rovným poměru plochy pásu k ploše stěny. Pro často používané velikosti průřezů jsou hodnoty ρ uvedeny na Obr. 2.4.
Získané výsledky ukazují, že pro uvažované průřezy jsou hodnoty poměrů Ml,x/Mpl,x v rovnici (2.17) výrazně menší než 1,0 a lze je ignorovat. Existují úseky, pro které nejsou číselné hodnoty Ml,x/Mpl,x tak malé, například I-profil zatížený kolmo ke stěně. Pokud výpočet bere v úvahu plochu stěny soustředěnou poblíž neutrální osy, objeví se v přijatém diagramu napětí skok. V tomto ohledu je správnější zohlednit při výpočtu pouze dva pásy, tzn. obdélníkový úsek.
Závěrem je třeba poznamenat, že pokud je mezní plastický ohybový moment Mpl,x určen za předpokladu rozložení napětí přes dva obdélníky v tlačené a tažené části průřezu (viz obr. 2.3, b), pak zatížení- únosnost se ukazuje jako mírně přehnaná. Na druhou stranu lze v tomto případě předpokládat malé deformace a nezohledňovat vliv tvrdnutí materiálu.
Zcela změkčený úsek nevydrží další nárůst ohybového momentu a při konstantním maximálním zatížení se otáčí, tzn. chová se jako pant. Proto se tomuto sekčnímu stavu říká také plastový závěs.
Plastový závěs se kvalitativně liší od konvenčního závěsu. Je třeba poznamenat dva hlavní rozdíly:
- běžný závěs není schopen absorbovat ohybový moment, ale u plastového závěsu je ohybový moment roven Mpl;
- běžný závěs umožňuje otáčení ve dvou směrech a plastový závěs pouze ve směru působícího momentu Mpl. Snížením ohybového momentu začne pružno-plastový materiál opět fungovat jako pružné těleso.
V prezentovaných závěrech bylo zohledněno pouze působení ohybových momentů. Spolu s tím musí být splněna i podmínka rovnováhy podélné síly, který pro plastický stav vyjadřuje rovnice
Tato podmínka určuje polohu neutrální osy, jejíž den musí být úsek rozdělen na dvě stejné části. U řezů se dvěma osami symetrie se neutrální osa v plastickém stavu shoduje se středovou osou řezu.
Jak již bylo uvedeno, k odlehčení dochází elasticky, což určitým způsobem ovlivňuje napjatý stav průřezu.
V budoucnu nebudeme studovat případy odlehčení v elastoplastickém stavu, ale zaměříme se na analýzu úplného vyložení plastikovaného řezu.
Pokud je při zatěžování mezní plastický ohybový moment roven Mpl,x=σflZx, dojde k úplnému odlehčení průřezu působením ohybového momentu opačného znaménka -Mpl,x=σWx (obr. 25, a , b), z nichž
Ze vzorce (2.24) vyplývá, že podmíněné napětí při odlehčení lze určit vzorcem
Zbytková napětí v krajních vláknech průřezu jsou rovna
Rozložení zbytkových napětí po výšce řezu je na Obr. 2,5, c a d. Napětí v krajních vláknech průřezu se tedy mění a na neutrální ose jsou zbytková napětí rovna meze kluzu σfl.
Z rovnice (2.26) vyplývá, že přijatý předpoklad pružného odlehčení je splněn, když fx = Zx/Wx ≤ 2,0; jinak by to bylo σ1≥σfl. Sekce ocelové konstrukce ve většině případů odpovídají zadané hodnotě poměru průřezových momentů odporu.
Řez s jednou osou symetrie. Osa Y nechť je osou symetrie řezu a ohybový moment nechť působí v rovině YZ (obr. 2.6, a). Jak se zvyšuje, objevuje se tekutost nejprve ve spodních a poté v horních vláknech průřezu. Proces vzniku plastických deformací závisí na poloze středové osy X.
V dílech jsou uvedeny rovnovážné podmínky pro elasticko-plastický stav s jednou osou symetrie. Zde budeme uvažovat pouze případ úplné plastifikace řezu (obr. 2.6, b) a jeho vyložení (obr. 2.6, c, d).
Podmínka rovnováhy pro normálové síly
vede ke stejnému výsledku jako v předchozím případě, tzn. na vzorec podobný (2.23):
Rozdíl je v tom, že neutrální osa X se neshoduje s centrální osou X Rovnice (2.28) je podmínkou pro určení polohy neutrální osy v řezu s jednou osou symetrie.
Podmínka rovnováhy pro momenty v řezu má tvar
Plastický moment odporu průřezu lze tedy definovat jako součet absolutních hodnot statických momentů poloviny plochy průřezu vzhledem k neutrální ose:
Odlehčení úseku, ve kterém se vytvořil plastový závěs, nastává neelasticky. Elastické odlehčení úseku s jednou osou symetrie je možné pouze tehdy, když je úsek v určité fázi elastoplastického stavu.
Na Obr. Na obrázku 2.6 je znázorněno rozložení napětí při odlehčení zcela změkčeného profilu. Pokud by k odlehčení došlo elasticky, rozložení napětí od odlehčovacího ohybového momentu by mělo tvar znázorněný na obr. 2.6 s přerušovanou čarou. V tomto případě by celková napětí od zatížení a odlehčení (obr. 2.6, b, c) mezi centrální osou X a neutrálem X byla větší než σfl. Tato oblast je vyloučena z úvahy během procesu vykládky. Působí v něm pouze plastické deformace. V důsledku zmenšení aktivní plochy průřezu by se měla zvýšit napětí od odlehčení, jak ukazuje plná čára na Obr. 2.6, str. Během vykládky se neutrální osa, která se shoduje se středovou osou sekce (bod 1), přesune do nové polohy (bod 3).
Celkový diagram zbytkových napětí od zatížení a podmíněných napětí v důsledku odlehčení je na Obr. 2,6, d. Napětí σl v horních vláknech ne vždy mění znaménko, což je určeno polohou osy procházející těžištěm úseku. Pokud je osa umístěna blízko horního krajního vlákna, pak jsou napětí σl menší než σfl.
Příklady. Uveďme příklady výpočtu plastických momentů odporu průřezů Zx nebo Zy.
Závislost pro stanovení plastického momentu odporu je dána rovnicí (2.30), která zahrnuje statické momenty poloviny plochy průřezu vzhledem k neutrální ose. Pojďme transformovat tento vzorec. Uvažujme řez s jednou osou symetrie Y (obr. 2.7), pro který X je středová osa a X- je neutrální osa. Poloha neutrální osy X- je určena z podmínky (2.28).
Těžiště horní poloviny plochy průřezu je v bodě Th, spodní polovina - v bodě Td. Plastický moment odporu Zx, určený rovnicí (2.30), podle Obr. 2.7 lze vyjádřit vzorcem
Protože bod T je těžištěm celého řezu, je vzdálenost mezi body Th a T nebo Td a T rovna r/2. Z toho vyplývá další definice, která se přirozeně rozšiřuje na řezy se dvěma osami symetrie. Plastický moment odporu průřezu je roven dvojnásobku absolutní hodnoty statického momentu poloviny plochy průřezu vzhledem k ose X procházející těžištěm průřezu.
Čistý ohyb v jedné z hlavních rovin nosníku nestejnoměrného průřezu. Obecná řešení. Nechť se profily nosníku skládají z horního a spodního pásu a stěny, které mají různé meze kluzu, ale stejný modul pružnosti.
S rostoucím ohybovým momentem se průtažnost objeví nejprve ve vnějším vláknu jedné části úseku a poté se rozšíří po celém úseku. Místo, kde dochází k prvním plastickým deformacím, závisí na poměru hodnot mezí kluzu a geometrických rozměrů průřezu.
Při řešení úloh nebudeme analyzovat elasticko-plastický stav, ale budeme uvažovat pouze případ kompletního plastového závěsu.
Průřez nosníku a hodnoty meze kluzu oceli jsou uvedeny na Obr. 2.10, a. Rozložení napětí v elastickém stavu je znázorněno na Obr. 2.10, b, v plastovém závěsu na Obr. 2.10, str.
Podmínka pro rovnováhu podélných sil v plastovém závěsu
Může být zapsán ve tvaru
Rovnice (2.33) je podmínkou pro určení polohy neutrální osy X.
Podmínka rovnováhy pro ohybové momenty má následující tvar:
Pravá strana této rovnice vyjadřuje mezní plastický ohybový moment, který lze zapsat následovně:
Zapišme to v následujícím tvaru:
Často se používá symetrický řez F1=F2, ve kterém mají oba pásy stejnou mez kluzu σfl,p. Pak konečný ohybový moment
V praxi se většinou navrhuje tak, že stěna má nižší mez kluzu než pásnice. V tomto případě je nutné pečlivě zkontrolovat zeď na místní stabilitu s přihlédnutím k vlivu smykové síly pro nosnost. Tyto otázky budou projednány později.
Podle ČSN 73 1401 pro profily, ve kterých jsou použity oceli stejné třídy s různou návrhovou odolností (například ocel třídy 37 - pásy tloušťky větší než 25 mm s R = 200 N/mm2 a stěny do tloušťky 25 mm s R = 210 N/mm2 ), není nutné provádět výpočty jako u kombinovaných řezů. V tomto případě se výpočet provádí jako pro homogenní úsek s nižší návrhovou odolností.
Čisté ohýbání ve dvou hlavních rovinách. Při šikmém ohybu působí v řezu ohybové momenty Mx a My. V každém případě mezní stav průřez není určen žádným z mezních plastických ohybových momentů Mpl,x nebo Mpl,y samostatně, ale interakční křivkou mezi těmito mezními ohybovými momenty
Teoretické řešení problému šikmého ohybu provedl A.R. Ržanicyn. Jeho řešení platí pro libovolný průřez a je založeno na určení křivky těžišť poloviny ploch průřezu při změně směru ohybové roviny.
Studium elastoplastických a plastických stavů I-paprsku a řezů kanálů provedl A.I. Strelbitská. Uveďme jeho hlavní výsledky pro I-profil a zhodnoťme přesnost získanou idealizací rozložení napětí v plastickém stavu.
Závislosti mezi ohybovými momenty v elastoplastickém stavu. Při šikmém ohybu I-profilu mohou nastat čtyři případy rozložení napětí (obr. 2.11). V případech znázorněných na Obr. 2.11, a a 5, dochází k plastickým deformacím pouze v určitých částech pásů a v případech uvedených na Obr. 2.11, c a d, v pásech a ve stěně.
Účelem řešení je určit pružně-plastické momenty Mε,x a Mε,y. Rozložení relativních přetvoření a napětí znázorněné na Obr. 2.11, b, c, je charakterizována hodnotami relativní deformace krajního vlákna pásu ε=kεfl a rozměry a, c, u. Vezmeme-li v úvahu zadaný parametr k, který určuje přebytek relativní deformace krajního vlákna ve srovnání s εfl, zbývá k vyřešení problému pět neznámých.
Teoretické řešení pro relativní ohybové momenty Mε,x/Mpl,x a Мε,у/Mpl,y uvádíme pouze pro případy uvedené na Obr. 2.11, b a d. Zároveň na grafu ukazujeme výsledky získané pro všechny případy vývoje plastických deformací a několik hodnot k pro charakteristický I-průřez.
Pro případ, kdy u>a (obr. 2.11, d), z podobnosti trojúhelníků pro diagram poměrných deformací získáme
Po jednoduchých transformacích najdeme
Podobným způsobem definujeme
Z podmínky rovnováhy ohybových momentů Мх=Мε,х a Му=Мε,у dostaneme následující dvě rovnice:
Pro případ, kdy u≤a (obr. 2.11,b) je splněna podmínka (2.40) a pro ohybové momenty máme
Poměr u/(b/2) zde hraje roli parametru. Vezmeme-li jeho hodnoty v intervalu pro uvažovaný úsek s charakteristikou p=dpbh0/(ds hs2) a danou hodnotou relativní deformace kεfl, můžeme určit hodnoty poměrů ohybových momentů. Pomocí takto získaných bodů můžete sestrojit křivku jejich interakce.
Hranici mezi případy, kdy jsou stěny v elastickém a plastickém stavu, určuje podmínka u=a. Dosazením u místo a do rovnice (2.40) získáme okrajovou hodnotu
Je-li parametr u/(b/2) menší než tato hodnota, pak je stěna v elastickém stavu, je-li více, je v plastickém stavu.
Interakční křivky ohybových momentů Mε,x a Мε,y pro řezy s geometrickým parametrem p=1,0 pro k od 1,0 (elastický stav) do ∞ (plastový závěs) jsou na Obr. 2.12.
Odpovídají největším relativním deformacím vnějšího vlákna pásu, ε=kεfl, menším nebo rovným relativní deformaci na začátku tahového zpevnění oceli.
Závislosti mezi ohybovými momenty v plastickém stavu. Plastický stav odpovídá rozložení napětí znázorněnému na Obr. 2,11, d. Stanovme mezní ohybové momenty Mpl,x a Мpl,у a stanovme vliv přijatého rozložení napětí na interakční křivky ve srovnání s rozložením konečných deformací v elastoplastickém stavu.
Z podmínky rovnováhy ohybových momentů získáme
První části těchto rovnic, vyjadřující mezní ohybové momenty Mpl,x a Мpl,у se zohledněním parametru p, lze zapsat ve tvaru
Výsledné rovnice jsou speciální případy rovnic (2.42) a (2.43) pro k=∞.
Výpočtem parametru u/(b/2) z první rovnice (2.48) a jeho dosazením do druhé získáme výraz pro mezní křivku interakce ohybových momentů.
Grafy těchto křivek pro různé významy p jsou znázorněny na Obr. 2.13.
Posouzení vlivu přijatého rozložení napětí znázorněné na Obr. 2.11, d, na interakčních křivkách ohybových momentů Mpl,x a Mpl,y to provedeme porovnáním křivky pro p=1,0 znázorněné na Obr. 2.13 a platí pro k=∞, s křivkami znázorněnými na Obr. 2.12. Při k=10,20 a ∞ jsou interakční křivky velmi blízko u sebe a pro poslední dvě hodnoty k prakticky splývají. Na tomto základě můžeme usoudit, že pokud za mezní plastický stav průřezu budeme brát dosažení relativní deformace (10-20), která odpovídá poměrné deformaci na začátku kalení nejběžněji používaných ocelí, pak pro interakční křivku ohybových momentů můžeme s dostatečnou přesností přijmout rovnici (2.49), která platí striktně pro k=∞.
Výběr profilů dle ČSN 73 1401 pro čisté ohýbání. Výpočty podle normy ČSN 73 1401/1966 „Navrhování ocelových konstrukcí“ byly poprvé provedeny metodou mezního stavu. Při ohybu v jedné z hlavních rovin byl mezní ohybový moment určen vzorcem
V tomto případě pro řezy, ve kterých je ohybový moment od návrhového zatížení roven M, musí být podmínka splněna
Aby se zabránilo nadměrným průhybům, normy omezily hodnotu plastického momentu odporu průřezu. Současně bylo ve výpočtech povoleno vzít jeho maximální hodnotu, která by neměla překročit 1,2 pružného momentu odporu průřezu. Pokud existuje oblast čisté ohýbání při délce větší než 1/5 rozpětí nosníku normy vyžadovaly vzít průměrnou hodnotu pružného a plastického momentu odporu, maximálně však 1,1 W.
V revidovaných normách ČSN 73 1401/1976 jsou plastické výpočty výrazně vylepšeny a doplněny. Nové normy, stejně jako staré, vyžadují pouze ověření nosná kapacita návrhy. Pro vyloučení nadměrných deformací je v normách zaveden součinitel provozních podmínek m = 0,95, který snižuje pravděpodobnost dosažení mezního stavu konstrukcí.
V nových normách, stejně jako ve starých, se plastický ohybový moment určuje ze závislosti (2,50). Podmínka pro únosnost profilu při ohýbání v jedné z hlavních rovin má tvar
Plastický moment odporu Z by neměl být větší než 1,5 pružného momentu odporu průřezu W. Pokud je konstrukční prvek vystaven čistému ohybu na délce nosníku, která je větší než 1/5 jeho rozpětí, pak moment odporu sekce by neměl překročit 0,5 (Z+ W).
Je třeba si uvědomit, že požadavek omezující hodnotu plastického momentu odporu nemusí být splněn, pokud se prokáže, že plastické deformace nenarušují provoz konstrukcí. V tomto případě normy umožňují podrobnější výpočet.
Pro nestejnoměrný I-průřez je mezní plastický ohybový moment vzhledem k ose X určen vzorcem
Za podmínky platí rovnice (2.53).
Pevnostní zkoušky podle mezních stavů.
– maximální ohybový moment od návrhového zatížení.
Р р = Р n × n
n – faktor přetížení.
– koeficient provozních podmínek.
Pokud materiál pracuje odlišně v tahu a tlaku, pak se pevnost kontroluje pomocí vzorců:
 |  |
kde R p a R stlačit jsou vypočtené pevnosti v tahu a tlaku
Výpočet na základě únosnosti a zohlednění plastické deformace.
V předchozích výpočtových metodách se pevnost kontroluje maximálními napětími v horních a spodních vláknech nosníku. V tomto případě jsou střední vlákna nedostatečně zatížena.
Ukazuje se, že pokud se zatížení dále zvyšuje, pak v krajních vláknech dosáhne napětí meze kluzu σ t (u plastů) a pevnosti v tahu σ n h (u křehkých materiálů). S dalším zvýšením zatížení se křehké materiály zbortí a u tvárných materiálů se napětí ve vnějších vláknech dále nezvyšují, ale rostou ve vnitřních vláknech. (viz obrázek)
Únosnost nosníku je vyčerpána při dosažení napětí σ t po celém průřezu.
Pro obdélníkovou část:
Poznámka: pro válcované profily (kanál a I-nosník) plastický moment WnL=(1,1÷1,17)×W
Smyková napětí při ohybu pravoúhlého nosníku. Žuravského formule.
Protože moment v řezu 2 je větší než moment v řezu 1, napětí σ 2 >σ 1 =>N 2 >N 1.
V tomto případě by se prvek abcd měl posunout doleva. Tomuto pohybu brání tangenciální napětí τ na ploše cd.
- rovnice rovnováhy, po jejíž transformaci získáme vzorec pro určení τ: 
- Zhuravského vzorec
Rozložení smykových napětí v prutech obdélníkového, kruhového a I-profilu.
1. Obdélníkový řez :
2.Kulatá část.
3. I-sekce.
Hlavní napětí při ohýbání. Kontrola pevnosti nosníků.
[σ co]
Poznámka: při výpočtu pomocí mezních stavů se místo [σ komprimovat ] a [σ р ] do vzorců dosadí R c kapalina a R p - vypočtená odolnost materiálu v tlaku a tahu.
Pokud je paprsek krátký, zkontrolujte bod B:
kde R smyk je vypočtený smykový odpor materiálu.
V bodě D je prvek vystaven normálovému a smykovému napětí, takže v některých případech jejich společné působení způsobuje nebezpečí pro pevnost. V tomto případě je prvek D testován na pevnost pomocí hlavních napětí.
V našem případě: proto:
Použitím σ 1 A σ 2 Podle teorie pevnosti se prvek D kontroluje.
Podle teorie maximálních tečných napětí máme: σ 1 - σ 2 ≤R
Poznámka: Bod D by měl být vzat podél délky paprsku, kde velké M a Q působí současně.
Podle výšky paprsku vybereme místo, kde hodnoty σ a τ působí současně.
Z diagramů je zřejmé:
1. V obdélníkovém a kulatý úsek neexistují žádné body, ve kterých by velké σ a τ působily současně. Proto se bod D v takových prutech nekontroluje.
2. U nosníků s I-průřezem na rozhraní průsečíku pásnice a stěny (bod A) působí velké σ a τ současně. Proto jsou v tomto bodě testovány na pevnost.
Poznámka:
a) Ve válcovaných I-nosnících a kanálech jsou v oblasti, kde se protínají pásnice a stěna, provedeny hladké přechody (zaoblení). Stěna a police jsou vybrány tak, aby bod A byl v příznivé podmínky není nutná žádná práce nebo měření síly.
b) U kompozitních (svařovaných) I-nosníků je nutná kontrola bodu A.
Napětí v ohybu ve fázi pružnosti je v řezu rozloženo podle lineárního zákona. Napětí ve vnějších vláknech pro symetrický průřez jsou určena vzorcem:
Kde M – ohybový moment;
W - sekční moment odporu.
S rostoucím zatížením (nebo ohybovým momentem M) napětí se zvýší a dosáhnou hodnoty meze kluzu Ryn.
Vzhledem k tomu, že pouze krajní vlákna průřezu dosáhla meze kluzu a na ně napojená méně namáhaná vlákna mohou ještě pracovat, není vyčerpána nosnost prvku. S dalším nárůstem ohybového momentu se vlákna průřezu prodlouží, ale napětí nemohou být větší než R yn . Mezní diagram bude takový, ve kterém je horní část řezu k neutrální ose rovnoměrně stlačena napětím R yn . V tomto případě je nosná kapacita prvku vyčerpána a může se jakoby otáčet kolem neutrální osy bez zvýšení zatížení; se tvoří plastický pant.
kde Wpl = 2S – plastický moment odporu
S – statický moment poloviny řezu vzhledem k ose, procházející těžištěm.
Plastický moment odporu, a tedy mezní moment odpovídající kloubu plasticity, je větší než pružný. Normy umožňují zohlednit vývoj plastických deformací u dělených válcovaných nosníků zajištěných proti ztrátě stability a únosnosti statického zatížení. Hodnoty plastických momentů odporu se berou následovně: pro válcované I nosníky a kanály:
W pl =1,12W – při ohybu v rovině stěny
Wpl = 1,2W – při ohýbání rovnoběžně s policemi.
Pro nosníky obdélníkového průřezu Wpl = 1,5 W.
Podle konstrukčních norem lze u svařovaných nosníků konstantního průřezu zohlednit vývoj plastických deformací v poměru šířky přesahu stlačeného pásu k tloušťce pásu a výšky stěny k jeho tloušťka.
V místech nejvyšších ohybových momentů jsou nejvyšší tangenciální napětí nepřijatelná; musí splňovat podmínku:
Pokud má čistá ohybová zóna velký rozsah, je odpovídající moment odporu, aby se zabránilo nadměrným deformacím, brán rovný 0,5 (W yn + W pl).
U spojitých nosníků je jako mezní stav brán vznik plastových závěsů, ale za podmínky, že si systém zachová svou neměnnost. Normy umožňují při výpočtu spojitých nosníků (válcovaných a svařovaných) určit návrhové ohybové momenty na základě vyrovnání podpor a momentů polí (za předpokladu, že se sousední pole neliší o více než 20 %).
Ve všech případech, kdy jsou návrhové momenty brány za předpokladu vývoje plastických deformací (vyrovnání momentů), by měla být pevnost kontrolována pomocí pružného momentu odporu podle vzorce:
Při výpočtu nosníků z hliníkových slitin se nebere v úvahu vznik plastických deformací. Plastické deformace pronikají nejen do nejvíce namáhaného úseku nosníku v místě největšího ohybového momentu, ale šíří se i po délce nosníku. V ohybových prvcích se obvykle vyskytuje kromě normálových napětí od ohybového momentu také smykové napětí od příčné síly. Proto by podmínka pro začátek přechodu kovu do plastického stavu v tomto případě měla být určena redukovanými napětími che d:
Jak již bylo uvedeno, nástup průtažnosti v nejkrajnějších vláknech (vláknech) profilu ještě nevyčerpává nosnost ohýbacího prvku. Při kombinovaném působení a je konečná únosnost přibližně o 15 % vyšší než při elastické práci a podmínka pro vytvoření plastového závěsu je zapsána jako:
V tomto případě by mělo být .
| " |
2.5. Metoda snížení mezního momentu odporu zohlednění vlivu smykové síly u nosníků střední délky
Takže počet návrhových případů, ve kterých je plastifikace průřezu jednofaktorová (čistě ohyb nebo čistě smyk), je omezený a použití implicitních omezujících povrchových rovnic ztěžuje získání analytických řešení. Jak je však můžete získat?
Ve stavební mechanice lodi je známá technika redukce, podle kterého se provádí zohlednění účinku napětí určitého typu v řezu nosníku, jakož i při zohlednění skutečnosti výskytu kluzu nebo lokální ztráty stability v prvcích řezu. změnou geometrické charakteristiky sekce a pokračujte ve výpočtu v rámci původní metody (viz., například snížení výpočtu celkové pevnosti lodi). Jak je ukázáno v odstavci 2.4, pro konkrétní typy řezů je docela možné vyhodnotit převahu jednoho nebo jiného typu plastového mechanismu nad jinými možnými a pochopit, který faktor je považován za snížení.
Pokud je tedy mechanismus ohybu a smyku více ohybový, lze vzít v úvahu vliv smykové síly změna (snížení) ohybového momentu odporu, tedy neaplikovat rovnice mezní plochy, ale nadále považovat plastický mechanismus za jednofaktorový.
Příklad 1 Studium mechanismů ztráty únosnosti pevně vetknutého nosníku (obr. 2.5.1, a), zatížené rovnoměrně rozloženým zatížením na ploše symetrické vzhledem ke středu nosníku 2s.
Průřez nosníku je asymetrický I nosník tvořený T-profilem s připojeným talířovým límcem (obr. 2.5.1, Obr. PROTI, G).
Obr.2.5.1 Modelka I-paprsek: A– návrhové schéma studovaného objektu; b – diagram zatížení a vnitřních sil v mezním stavu;
PROTI– schéma průřezu nosníku ve tvaru asymetrického I nosníku:
1 – volný pás; 2 – stěna; 3 – připevněný pás; G– rozměry zkušebního úseku
Průřez je charakterizován šesti geometrickými rozměry:
h– výška stěny;
t- tloušťka stěny;
b f– šířka volného pásu;
t f – tloušťka volného pásu;
b pp – šířka připojeného pásu;
t pp – tloušťka připevněného pásu.
Plocha stěny ω, plocha volné zónyS 1 , oblast připojeného pásuS 2 a plocha celého úsekuFpočítáno podle závislostí:
Uvažujme varianty omezovacího plastového mechanismu realizovaného v závislosti na poměru L / h. Řada výsledků je opakováním látky z odstavců 1.1, 2.1 a 2.2.
Mezní stav plastového otočného mechanismu. Předpokládá se, že pouze v sekci normální stres. Mezní stav řezu je charakterizován podmínkou pro všechny body řezu
Ohybový moment, jehož působením způsobí mezní stav rotačního mechanismu, budeme nazývat mezní moment průřezuM T. Jeho hodnota je určena ze dvou rovnic rovnováhy vnějších a vnitřních sil v řezu
Z rovnic rovnováhy to vyplývá
Kde F rast – ra stažená část plochy průřezu;F stlačený – stlačená část plochy průřezu.
V mezním stavu plastická neutrální osa řezu (NO pl) rozděluje jeho plochu na polovinu. Pro asymetrický profil rozměrů charakteristických pro nosníky stavby lodí je umístěna plastická neutrální osa (NO pl). atd vlastně na spodní ploše připevněného pásu (viz obr. 2.5.1) a mezní moment odporu má tvar:
Mezní stav plastového střižného mechanismu. Předpokládá se, že smykovým deformacím odolává pouze stěna a v jejím řezu působí pouze smyková napětí. Mezní stav průřezu stěny je charakterizován podmínkou pro všechny body průřezu
Střihovou sílu, jejíž působení způsobí mezní stav střižného mechanismu, budeme nazývat maximální střižnou silou průřezu.N T . Jeho hodnota se určí z rovnice rovnováhy vnějších a vnitřních sil v řezu:
Kde τ T – tangenciální meze kluzu, které jsou v souladu s energetickou podmínkou plasticity stejné
Z (2.5.11) získáme:
A nakonec zvažte použití redukční metody k odhadu mezní stav charakterizovaný plastickým rotačním mechanismem zohledňujícím vliv smyku. Pro zohlednění vlivu střižné síly na mezní stav průřezu při ohýbání předpokládáme, že střižná síla je vnímána jen zeď. Proto plastický moment odporu sekceW t = Wf + W ω snížena zmenšením účinné plochy stěnyW ω :
Tady
τ – působící tangenciální napětí, za předpokladu, že jsou jednotný rozložení po výšce stěny (což se samozřejmě předpokládá přibližně); φ – redukční koeficient plochy stěny.
Protože smyková napětí při konstantní smykové síle v řezu jsou nepřímo úměrná ploše průřezu, lze předpokládat, že
Pojďme se představit je koeficient účinnosti smykové plochy a zohledněte to
Kde – minimální hodnota plochy stěny.
Uveďme také koeficient
Pak snížený plastický moment odporu průřez lze vyjádřit jako
A snížený plastický ohybový moment definováno jako
Testovací výpočty vyrobíme pro konkrétní sekci (obr. 2.5.1, G) nosník o délce 2 m, zatížený v délce 2c= 0,32 m . Zadaná výška sekce umožňuje uvažovat nosník (analogicky s deskami střední tloušťky) paprsek « se střední výškou stěny » , tj. nosníku s výrazným vlivem na celkový průhyb příčné smykové deformace. Nazvěme takový paprsek (L/zkrácena 5,85).
h =Materiál nosníku – ocel s modulem pružnosti E= 2,06∙10 11 Pa a mez kluzu σ t = 320 MPa. Vzdálenost neutrální osy od vlákna připojeného pásu z 0 =9,72 cm moment setrvačnosti v průřezu: 22681,2 Já =W cm 4. Moment odporu vlákna volného pásu 926,4 s.p =W cm 3. Moment odporu vlákna připojeného pásu pp = 2334,1cm 3. Plocha průřezu stěny trámu je ω c = 44,46 cm2. Ohybový moment poddajnosti vlákna (elastický stupeň ohybové deformace) volného pásu M e = Wσ t
cn = 296,45. 103 Nm. Posouzení vlivu smykových deformací na průhyb pro pružnou fázi přetvoření nosníku o průměrné výšce průřezu.Před uvažováním o mezní rovnováze vyhodnoťme vliv smykových deformací. Pro uvažovaný případ koeficient průřezu nosníku k = 1,592, kfaktor zatížení nosníku K= 0,9422, str.
V tomto případě je průhyb od smyku 40 % celé šipky a průhyb od ohybu je 60 % Pod největší
zatížení budeme rozumět zatížení vznikem kluzu vlákna při ohybové deformaci a zatížení dosažením tečných mez kluzu při smykové deformaci.
Nejvyšší zatížení pružné fáze ohybové deformace
Nejvyšší zatížení pružné fáze smykové deformace Mezní rovnováha zkušebního paprsku ohybovým mechanismem. Mezní stav průřezu charakterizovaný plastickým mechanismem otáčení
, následující. Celkový plastický ohybový moment je definován jako M W t = σ t
Kde W T, W t = Wf + W ω = S 1 t – celkový plastický moment odporu, h+/ ω c h Wf = 2= (12−1,3)1,6∙34,2+44,46∙34,2/2=1346 cm 3 (zde se předpokládá, že plastická neutrální osa je umístěna v průsečíku stěny a spodního vlákna desky); 1 h S W ω = h+/ 2 – statický moment stěny vzhledem k plastické neutrální ose (plastický moment odporu stěny).
Tím pádem, Wf = 586 cm3, W ω = 760 cm 3.
Mezní moment průřezu nosníku:
, následující. Celkový plastický ohybový moment je definován jako M W t =430∙103 H∙m.
Zatížení odpovídající vzniku mezních ohybových momentů v podpěrných úsecích je rovno
odkud pochází jeho výsledek?
Zatížení odpovídající vzniku mezních ohybových momentů v nosných sekcích a v rozpětí (konečné zatížení ohýbacího mechanismu):
Mezní rovnováha zkušebního paprsku pod smykovým mechanismem. Stanovme mezní stav průřezu, charakterizovaného plastickým smykovým mechanismem. Plastické deformace vznikají ve stěně působením tečných napětí a maximální smyková síla průřezu má tvar:
Mezní rovnováha zkušebního nosníku ohybovým mechanismem s uvážením smyku. Vypočítejme mezní stav průřezu charakterizovaného plastickým rotačním mechanismem s uvážením smykového mechanismu. Pro zohlednění vlivu smykové síly na mezní stav průřezu při ohýbání se předpokládá, že smyková síla je vnímána pouze stěnou.
Pojďme určit koeficient k ω podle (2.5.18):
Stanovte vztah mezi plastickými ohybovými momenty v závěsech a vnější zátěž možné na základě K.E.T. Předpokládáme, že počátek osy je X(obr. 2.5.1, b) střed rozpětí, který umožňuje určit úhel zlomu - 2 w/L, Kde w– průhyb ve střední části. Je zřejmé, že v centrální sekce konečný okamžik neredukovatelné.
Z rovnosti vnějšího a vnitřního úsilí
dostaneme:
Dosazení vzorců pro momenty do posledního výrazu M T(2.5.6) a M Tr (2.5.20) dává:
Vezmeme-li v úvahu, že 
, pak dostaneme kvadratická rovnice vzhledem k maximálnímu zatížení Q_u:
Pro posuzovaný případ Q_u=1534∙10 3 ani φ =0,358.
Výsledky výpočtu zatížení a průhybu pro různé stupně deformace pomocí nosníkového modelu jsou uvedeny v tabulce. 2.5.1.
Jak vidíte, nejvyšší mezní zatížení ohýbacího mechanismu je 1871 kN, následuje mezní zatížení střižného mechanismu 1643 kN a nakonec nejmenší mezní zatížení kombinovaného ohýbacího mechanismu s přihlédnutím ke smyku 1534 kN, které by mělo být uvědomil První.
Získaný výsledek je vcelku dobře potvrzen přímým numerickým modelováním procesu ztráty únosnosti zkráceného nosníku. Metody pro takové modelování jsou nad rámec této příručky.
Tabulka 2.5.1
Vliv typu plastového mechanismu na mezní DPH
|
Průhyb, mm |
||||
|
celkový |
z ohýbání |
ze smyku |
||
|
1371 |
2,984 |
1,79 |
1,194 |
|
|
164 3 |
3,576 |
2 , 146 |
1, 43 |
|
|
1196 |
2,604 |
1 , 562 |
1, 042 |
|
|
1871 |
4,074 |
2 , 445 |
1 , 629 |
|
|
Mezní zatížení ohýbacího mechanismu při zohlednění smyku |
1534 |
3,340 |
2,004 |
1,336 |
I b = W c ·y = 2·100·4,8 3/3 = 7372,8 cm 4 nebo b(2y) 3/12 = 100(2·4,8) 3/12 = 7372,8 cm 4 - moment setrvačnosti konvenčního reduk. sekce , Potom
f b = 5 9 400 4 /384 275000 7372,8 = 1,45 cm.
Pojďme zkontrolovat možné vychýlení od napětí výztuže.
modul pružnosti výztuže E a = 2000000 kgf/cm 2, (2·10 5 MPa),
podmíněný moment setrvačnosti výztuže I a = 10,05 2 3,2 2 = 205,8 cm 4, pak
fa = 5 9 400 4 / 384 2 000 000 160,8 = 7,9 cm
Je zřejmé, že průhyb nemůže být rozdílný, což znamená, že v důsledku deformace a vyrovnání napětí ve stlačené oblasti se výška stlačené oblasti sníží. Podrobnosti o určení výšky stlačené zóny zde nejsou uvedeny (kvůli nedostatku místa v y ≈ 3,5 cm bude průhyb přibližně 3,2 cm, ale skutečná průhyb bude jiná, za prvé proto, že jsme to neudělali). vzít v úvahu tahovou deformaci betonu (proto je tato metoda a je přibližná), za druhé, jak se výška stlačené zóny v betonu snižuje, budou se zvětšovat plastické deformace, čímž se zvyšuje celkový průhyb. A navíc při delším působení zatížení vede rozvoj plastických deformací i ke snížení počátečního modulu pružnosti. Stanovení těchto veličin je samostatné téma.
Tedy na beton třídy B20 dlouhodobě efektivní zátěž Modul pružnosti se může snížit 3,8krát (při vlhkosti 40-75%). V souladu s tím bude průhyb od stlačení betonu již 1,45·3,8 = 5,51 cm A zde ani zdvojnásobení průřezu výztuže v tahové zóně příliš nepomůže - je nutné zvýšit výšku nosníku.
Ale i když neberete v úvahu dobu trvání zátěže, 3,2 cm je pořád dost velký průhyb. Podle SNiP 2.01.07-85 „Zatížení a nárazy“ bude maximální přípustný průhyb z konstrukčních důvodů pro podlahové desky (aby potěr nepraskal atd.) l/150 = 400/150 = 2,67 cm A protože tloušťka ochranné vrstvy betonu stále zůstává nepřijatelná, měla by být výška desky z konstrukčních důvodů zvýšena alespoň na 11 cm, to však nemá nic společného se stanovením momentu odporu.
