Síly a napětí v průřezech nosníků. Síly a napětí v průřezech nosníku Napětí v průřezu nosníku
Výpočet kulatiny průřez pro pevnost a torzní tuhost
Výpočet dřeva s kruhovým průřezem pro pevnost a torzní tuhost
Účelem výpočtů pevnosti a torzní tuhosti je určit rozměry průřezu nosníku, při kterých napětí a posuvy nepřekročí stanovené hodnoty povolené provozními podmínkami. Pevnostní podmínka pro povolená tangenciální napětí se obecně zapisuje ve tvaru Tato podmínka znamená, že nejvyšší smyková napětí vznikající ve zkrouceném nosníku by neměla překročit odpovídající dovolená napětí pro materiál. Dovolené napětí při krutu závisí na 0 ─ napětí odpovídajícím nebezpečnému stavu materiálu a na přijatém součiniteli bezpečnosti n: ─ mez kluzu, nt - součinitel bezpečnosti pro plastový materiál; ─ pevnost v tahu, nв - bezpečnostní faktor pro křehký materiál. Vzhledem k tomu, že je obtížnější získat hodnoty v torzních experimentech než v tahu (kompresi), jsou nejčastěji povolená torzní napětí brána v závislosti na povolených tahových napětích pro stejný materiál. Tedy pro ocel [pro litinu. Při výpočtu pevnosti kroucených nosníků jsou možné tři typy problémů, lišících se formou použití pevnostních podmínek: 1) kontrola napětí (zkušební výpočet); 2) výběr řezu (návrhový výpočet); 3) stanovení dovoleného zatížení. 1. Při kontrole napětí pro dané zatížení a rozměry nosníku se určí největší tangenciální napětí v něm vyskytující se a porovnají se s těmi, která jsou uvedena podle vzorce (2.16). Pokud není pevnostní podmínka splněna, pak je nutné buď zvětšit rozměry průřezu, nebo snížit zatížení působící na nosník, nebo použít materiál vyšší pevnosti. 2. Při výběru řezu pro dané zatížení a danou hodnotu dovoleného napětí se z pevnostní podmínky (2.16) určí hodnota polárního momentu odporu průřezu nosníku Průměry kruhového tělesa nebo prstencový řez paprsku jsou určeny hodnotou polárního momentu odporu. 3. Při stanovení dovoleného zatížení z daného dovoleného napětí a polárního momentu odporu WP se na základě (3.16) nejprve určí hodnota dovoleného krouticího momentu MK a poté se pomocí momentového diagramu vytvoří spojení mezi K M a Obr. vnější kroutící momenty. Výpočet pevnosti dřeva nevylučuje možnost deformací, které jsou během provozu nepřijatelné. Velké úhly zkroucení paprsku jsou velmi nebezpečné, protože mohou vést k narušení přesnosti opracování dílů, pokud je tento nosník konstrukčním prvkem obráběcího stroje, nebo může docházet k torzním vibracím, pokud paprsek přenáší torzní momenty, které se liší v čas, takže nosník musí být také vypočten na jeho tuhost. Podmínka tuhosti se zapisuje ve tvaru: kde ─ největší relativní úhel zkroucení nosníku, určený z výrazu (2.10) nebo (2.11). Potom bude mít podmínka tuhosti pro hřídel tvar Hodnota přípustného relativního úhlu natočení je určena normami pro různé prvky struktur a odlišné typy zatížení se pohybuje od 0,15° do 2° na 1 m délky nosníku. Jak ve stavu pevnosti, tak ve stavu tuhosti, při stanovení max nebo max použijeme geometrické charakteristiky: WP ─ polární moment odporu a IP ─ polární moment setrvačnosti. Je zřejmé, že tyto charakteristiky se budou lišit pro kruhové plné a prstencové průřezy se stejnou plochou těchto průřezů. Prostřednictvím konkrétních výpočtů se lze přesvědčit, že polární momenty setrvačnosti a moment odporu pro prstencový úsek jsou výrazně větší než pro nepravidelný úsek. kulatý úsek, protože prstencová sekce nemá oblasti umístěné blízko středu. Proto je nosník s prstencovým průřezem při kroucení ekonomičtější než nosník s plným kruhovým průřezem, to znamená, že vyžaduje menší spotřebu materiálu. Výroba takových nosníků je však obtížnější a tím i dražší a s touto okolností je třeba počítat i při navrhování nosníků pracujících v krutu. Metodiku výpočtu pevnosti a torzní tuhosti dřeva, stejně jako úvahy o hospodárnosti, si ukážeme na příkladu. Příklad 2.2 Porovnejte hmotnosti dvou hřídelů, jejichž příčné rozměry jsou zvoleny pro stejný kroutící moment MK 600 Nm při stejných dovolených napětích 10 R a 13 Tah podél vláken p] 7 Rp 10 Stlačování a drcení podél vláken [cm] 10 Rc, Rcm 13 Kolaps napříč vlákny (v délce minimálně 10 cm) [cm]90 2,5 Rcm 90 3 Odštípnutí podél vláken při ohýbání [a] 2 Rck 2,4 Odštípnutí podél vláken při řezání 1 Rck 1,2 – 2,4 Štípání přes řezy vláken
Ze vzorce pro stanovení napětí a diagramu rozložení tečných napětí při krutu je zřejmé, že maximální napětí vznikají na povrchu.
S ohledem na to určíme maximální napětí ρ ta X =d/ 2, kde d- průměr kruhového nosníku.
Pro kruhový průřez se polární moment setrvačnosti vypočítá pomocí vzorce (viz přednáška 25).
Maximální napětí vzniká na povrchu, takže máme
Obvykle JP/p max označovat Wp a zavolejte moment odporu v torzi, popř polární moment odporu sekce
Tedy pro výpočet maximálního povrchového napětí kulatina dostaneme vzorec
Pro kulatou část
Pro prstencovou sekci
Stav torzní pevnosti
K lomu nosníku při krutu dochází od povrchu při výpočtu pevnosti se používá pevnostní podmínka
kde [ τ k ] - dovolené torzní napětí.
Typy pevnostních výpočtů
Existují dva typy pevnostních výpočtů.
1. Návrhový výpočet - je určen průměr nosníku (hřídele) v nebezpečném úseku:
2. Ověřovací výpočet - kontroluje se splnění pevnostní podmínky
3. Stanovení nosnosti (maximální točivý moment)
Výpočet tuhosti
Při výpočtu tuhosti se určí deformace a porovná se s přípustnou. Uvažujme deformaci kruhového nosníku působením vnější dvojice sil s momentem T(obr. 27.4).
V krutu se deformace odhaduje úhlem zkroucení (viz přednáška 26):
Tady φ - úhel natočení; γ - úhel střihu; l- délka nosníku; R- poloměr; R = d/2. Kde
Hookův zákon má podobu τ k = G y. Dosadíme výraz za γ , dostaneme
Práce GJ P nazývaná tuhost sekce.
Modul pružnosti lze definovat jako G = 0,4E. Pro ocel G= 0,8 10 5 MPa.
Obvykle se počítá úhel natočení na jeden metr délky nosníku (hřídele). φ Ó.
Stav torzní tuhosti lze zapsat jako
Kde φ o - relativní úhel natočení, φ o = φ/l; [φ o]≈ 1 deg/m = 0,02 rad/m - přípustný relativní úhel zkroucení.
Příklady řešení problémů
Příklad 1 Z výpočtů pevnosti a tuhosti určete požadovaný průměr hřídele pro přenosový výkon 63 kW při rychlosti 30 rad/s. Materiál hřídele - ocel, dovolené napětí v krutu 30 MPa; přípustný relativní úhel natočení [φ o]= 0,02 rad/m; tažný modul G= 0,8 x 105 MPa.
Řešení
1. Stanovení rozměrů průřezu na základě pevnosti.
Stav torzní pevnosti:
Točivý moment určíme ze vzorce rotační síly:
Z pevnostní podmínky určíme moment odporu hřídele při krutu
Dosazujeme hodnoty v newtonech a mm.
Určete průměr hřídele:
2. Stanovení rozměrů průřezu na základě tuhosti.
Stav torzní tuhosti:
Z podmínky tuhosti určíme moment setrvačnosti průřezu při krutu:
Určete průměr hřídele:
3. Výběr požadovaného průměru hřídele na základě výpočtů pevnosti a tuhosti.
Abychom zajistili pevnost a tuhost současně, vybereme větší ze dvou nalezených hodnot.
Výsledná hodnota by měla být zaokrouhlena pomocí rozsahu preferovaných čísel. V praxi výslednou hodnotu zaokrouhlíme tak, aby číslo končilo 5 nebo 0. Vezmeme hodnotu d hřídele = 75 mm.
Pro určení průměru hřídele je vhodné použít standardní rozsah průměrů uvedený v příloze 2.
Příklad 2 V průřezu nosníku d= 80 mm nejvyšší smykové napětí τ max= 40 N/mm2. Určete smykové napětí v bodě vzdáleném 20 mm od středu průřezu.
Řešení
b. Očividně,
 |
Příklad 3 V bodech vnitřního obrysu průřezu trubky (d 0 = 60 mm; d = 80 mm) vznikají tangenciální napětí rovnající se 40 N/mm 2 . Určete maximální smyková napětí vyskytující se v potrubí.
Řešení
Diagram tečných napětí v příčném řezu je na Obr. 2,37, PROTI. Očividně,
Příklad 4. V prstencovém průřezu nosníku ( d 0= 30 mm; d = 70 mm) dojde k točivému momentu M z= 3 kN-m. Vypočítejte smykové napětí v bodě vzdáleném 27 mm od středu průřezu.
Řešení
Tangenciální napětí v libovolném bodě průřezu se vypočítá podle vzorce
V uvažovaném příkladu M z= 3 kN-m = 3-106 N mm,
Příklad 5. Ocelová trubka(d 0 = 100 mm; d = 120 mm) délka l= 1,8 m kroutící momenty T, aplikovaný v jeho koncových částech. Určete hodnotu T, při kterém je úhel natočení φ = 0,25°. Když je hodnota nalezena T vypočítat maximální smykové napětí.
Řešení
Úhel zkroucení (ve stupních/m) pro jeden úsek se vypočítá pomocí vzorce
V tomto případě
Střídání číselné hodnoty, dostaneme
Vypočítáme maximální smykové napětí:
Příklad 6. Pro daný nosník (obr. 2.38, A) sestavte diagramy točivých momentů, maximálních smykových napětí a úhlů natočení průřezů.
Řešení
Daný nosník má řezy I, II, III, IV, V(obr. 2. 38, A). Připomeňme, že hranice řezů jsou řezy, ve kterých se uplatňují vnější (krutové) momenty a místa, kde se mění rozměry průřezu.
Pomocí poměru
Sestavíme diagram točivých momentů.
Sestavení diagramu M z Začneme od volného konce paprsku:
pro parcely III A IV
pro web PROTI
Diagram točivých momentů je na obr. 2.38, b. Sestrojíme diagram maximálních tečných napětí po délce nosníku. Podmíněně připisujeme τ zkontrolujte stejné značky jako odpovídající utahovací momenty. Umístění zapnuto já
Umístění zapnuto II
Umístění zapnuto III
Umístění zapnuto IV
Umístění zapnuto PROTI
Diagram maximálních tečných napětí je na Obr. 2,38, PROTI.
Úhel natočení průřezu paprsku při konstantním (v rámci každého průřezu) průměru průřezu a kroutícím momentu je určen vzorcem
Sestrojíme diagram úhlů natočení průřezů. Úhel natočení řezu A φ l = 0, protože nosník je v této sekci upevněn.
Schéma úhlů natočení příčných řezů je na Obr. 2,38, G.
Příklad 7. Na kladce V stupňovitý hřídel (obr. 2.39, A) výkon je přenášen z motoru N B = 36 kW, řemenice A A S podle toho přeneste výkon na stroje N A= 15 kW a N C= 21 kW. Rychlost hřídele P= 300 ot./min. Zkontrolujte pevnost a tuhost hřídele, pokud [ τ KJ = 30 N/mm2, [0] = 0,3 stupně/m, G = 8,0-104 N/mm2, d 1= 45 mm, d 2= 50 mm.
Řešení
Vypočítejme vnější (krutové) momenty působící na hřídel:
Sestavíme diagram točivých momentů. V tomto případě, pohybem z levého konce hřídele, podmíněně vypočítáme moment odpovídající N Ach, pozitivní Nc- negativní. Mz diagram je znázorněn na Obr. 2,39, b. Maximální napětí v průřezech průřezu AB
což je méně [tk] o
Relativní úhel natočení řezu AB
což je významně větší než [Θ] ==0,3 deg/m.
Maximální napětí v průřezech průřezu slunce
což je méně [tk] o
Relativní úhel natočení řezu slunce
což je výrazně větší než [Θ] = 0,3 deg/m.
V důsledku toho je zajištěna pevnost hřídele, ale nikoli tuhost.
Příklad 8. Od elektromotoru pomocí řemenu až po hřídel 1 přenášený výkon N= 20 kW, Z hřídele 1 vstupuje do šachty 2 Napájení N 1= 15 kW a k pracovním strojům - výkon N 2= 2 kW a N 3= 3 kW. Ze šachty 2 proud je dodáván pracovním strojům N 4= 7 kW, N 5= 4 kW, N 6= 4 kW (obr. 2.40, A). Určete průměry hřídelí d 1 a d 2 z podmínek pevnosti a tuhosti, pokud [ τ KJ = 25 N/mm2, [0] = 0,25 deg/m, G = 8,0-104 N/mm2. Sekce hřídele 1 A 2 být považován za konstantní po celé délce. Rychlost hřídele motoru n = 970 ot./min., průměry kladek D 1 = 200 mm, D 2 = 400 mm, D 3 = 200 mm, D 4 = 600 mm. Zanedbávejte prokluzování řemenového pohonu.
Řešení
Obr. 2,40, b znázorňuje hřídel já. Přijímá sílu N a odebere se z něj síla N l, N2, N 3.
Určíme úhlovou rychlost otáčení hřídele 1
a vnější torzní momenty m, m 1, t 2, t 3:
 |
Sestavíme diagram momentů pro hřídel 1 (obr. 2.40, PROTI). Současně, pohybem od levého konce hřídele, podmíněně vypočítáme momenty odpovídající N 3 A N 1, pozitivní a N- negativní. Jmenovitý (maximální) točivý moment N x 1 max = 354,5 H*m.
Průměr hřídele 1 z pevnostních podmínek
Průměr hřídele 1 z podmínky tuhosti ([Θ], rad/mm)
Nakonec akceptujeme zaokrouhlení na standardní hodnotu d 1 = 58 mm.
Rychlost hřídele 2
Na Obr. 2,40, G znázorňuje hřídel 2; energie je přiváděna do hřídele N 1 a odebere se z něj napájení N4, N5, N6.
Vypočítejme vnější kroutící momenty:
Diagram točivého momentu pro hřídel 2 znázorněno na Obr. 2,40, d. Odhadovaný (maximální) kroutící moment M i max " = 470 N-m.
Průměr hřídele 2 z pevnostního stavu
Průměr hřídele 2 ze stavu tuhosti
Nakonec přijímáme d2 = 62 mm.
Příklad 9. Určete výkon z podmínek pevnosti a tuhosti N(obr. 2.41, A), který může být přenášen ocelovou hřídelí o prům d = 50 mm, pokud [t k] = 35 N/mm2, [0J = 0,9 deg/m; G = 8,0* I04 N/mm2, n= 600 ot./min.
Řešení
Vypočítejme vnější momenty působící na hřídel:
Konstrukční schéma hřídele je na Obr. 2,41, b.
Na Obr. 2,41, PROTI je uveden diagram točivých momentů. Jmenovitý (maximální) točivý moment Mz = 9,54N. Pevnostní stav
Stav tuhosti
Omezující podmínkou je podmínka tuhosti. Proto je přípustná hodnota přenášeného výkonu [N] = 82,3 kW.
Působí-li při přímém nebo šikmém ohybu v průřezu nosníku pouze ohybový moment, jedná se podle toho o čistý přímý nebo čistě šikmý ohyb. Pokud v průřezu také působí střižná síla, pak je příčný přímý nebo příčný šikmý ohyb. Pokud je ohybový moment jediným faktorem vnitřní síly, pak se takový ohyb nazývá čistý(obr. 6.2). Při působení smykové síly se nazývá ohyb příčný. Přísně vzato, k jednoduché typy platí pouze odpor čistý ohyb; příčný ohyb je konvenčně klasifikován jako jednoduchý typ odporu, protože ve většině případů (u dostatečně dlouhých nosníků) lze vliv příčné síly při výpočtu pevnosti zanedbat. Viz podmínka pevnosti v ohybu v rovině. Při výpočtu nosníku pro ohyb je jedním z nejdůležitějších úkolů určení jeho pevnosti. Rovinný ohyb se nazývá příčný, pokud v příčných řezech nosníku vznikají dva vnitřní silové faktory: M - ohybový moment a Q - příčná síla, a čistý, pokud se vyskytuje pouze M Při příčném ohybu rovina síly prochází osou symetrie nosník, který je jednou z hlavních os setrvačnosti řezu.
Když se nosník ohne, některé jeho vrstvy se natáhnou, jiné stlačí. Mezi nimi je neutrální vrstva, která se pouze ohýbá, aniž by měnila svou délku. Čára průsečíku neutrální vrstvy s rovinou příčného řezu se shoduje s druhou hlavní osou setrvačnosti a nazývá se neutrální čára (neutrální osa).
Působením ohybového momentu vznikají v průřezech nosníku normálová napětí určená vzorcem
kde M je ohybový moment v uvažovaném úseku;
I – moment setrvačnosti průřezu nosníku vzhledem k neutrální ose;
y je vzdálenost od neutrální osy k bodu, ve kterém jsou určena napětí.
Jak je vidět ze vzorce (8.1), normálová napětí v řezu nosníku podél jeho výšky jsou lineární a dosahují maximální hodnoty v nejvzdálenějších bodech od neutrální vrstvy.
kde W je moment odporu průřezu paprsku vzhledem k neutrální ose.
27.Tečná napětí v průřezu nosníku. Žuravského formule.
Zhuravského vzorec umožňuje určit smyková napětí při ohybu, která vznikají v bodech průřezu nosníku umístěných ve vzdálenosti od neutrální osy x. 
ODVODENÍ VZORCE ZHURAVSKI
Z nosníku obdélníkového průřezu (obr. 7.10, a) (obr. 7.10, b) rozřízneme prvek o délce a přídavném podélném řezu na dvě části.
Uvažujme rovnováhu horní části: v důsledku rozdílu ohybových momentů vznikají různá tlaková napětí. Aby byla tato část nosníku v rovnováze (), musí v jeho podélném řezu vzniknout tečná síla. Rovnováha pro část paprsku:
kde se integrace provádí pouze přes odříznutou část plochy průřezu nosníku (na obr. 7.10 stínováno), 
– statický moment setrvačnosti odříznuté (zastíněné) části plochy průřezu vzhledem k neutrální ose x.
Předpokládejme: tangenciální napětí () vznikající v podélném řezu nosníku jsou rovnoměrně rozložena po jeho šířce () v průřezu:
Získáme výraz pro tangenciální napětí:
, a , pak vzorec pro tangenciální napětí () vznikající v bodech průřezu nosníku umístěných ve vzdálenosti y od neutrální osy x:
Zhuravského formule
Zhuravského vzorec získal v roce 1855 D.I. Zhuravsky, proto nese jeho jméno.
Podélná síla N vznikající v příčném řezu nosníku je výslednicí vnitřních normálových sil rozložených po ploše příčného řezu a souvisí s normálovými napětími vznikajícími v tomto řezu závislostí (4.1):
zde je normální napětí v libovolném bodě průřezu, který patří do elementární oblasti - průřezové plochy nosníku.
Součin představuje elementární vnitřní sílu na plochu dF.
Velikost podélné síly N v každém konkrétním případě lze snadno určit pomocí řezové metody, jak je uvedeno v předchozím odstavci. Chcete-li najít hodnoty napětí a v každém bodě průřezu nosníku, musíte znát zákon jejich rozložení v tomto úseku.
Zákon rozložení normálových napětí v průřezu nosníku je obvykle znázorněn grafem znázorňujícím jejich změnu podél výšky nebo šířky průřezu. Takový graf se nazývá normální diagram napětí (diagram a).
Výraz (1.2) lze splnit donekonečna velké číslo typy napěťových diagramů a (například s diagramy a na obr. 4.2). Proto, abychom objasnili zákon rozdělení normálových napětí v průřezech nosníku, je nutné provést experiment.
Nakreslete čáry na boční plochu nosníku, před jeho zatížením, kolmé k ose nosníku (obr. 5.2). Každou takovou čáru lze považovat za stopu roviny průřezu nosníku. Při zatížení nosníku osovou silou P zůstávají tyto čáry, jak ukazuje zkušenost, přímé a vzájemně rovnoběžné (jejich polohy po zatížení nosníku jsou na obr. 5.2 znázorněny čárkovaně). To nám umožňuje předpokládat, že průřezy nosníku, ploché před jeho zatížením, zůstanou ploché při působení zatížení. Tato zkušenost potvrzuje hypotézu ploché úseky(Bernoulliho domněnka), formulovaná na konci § 6.1.
Představme si paprsek skládající se z bezpočtu vláken rovnoběžných s jeho osou.
Když je nosník natažen, zůstávají libovolné dva průřezy ploché a vzájemně rovnoběžné, ale pohybují se od sebe o určitou hodnotu; Každé vlákno se prodlouží o stejnou hodnotu. A protože stejná prodloužení odpovídají stejným napětím, jsou napětí v průřezech všech vláken (a následně ve všech bodech průřezu nosníku) navzájem rovna.
To nám umožňuje odebrat hodnotu a z integrálního znaménka ve výrazu (1.2). Tím pádem,
Takže v příčných řezech nosníku během středového tahu nebo tlaku vznikají rovnoměrně rozložená normálová napětí, rovnající se poměru podélné síly k ploše průřezu.
Pokud dojde k zeslabení některých částí nosníku (například otvory pro nýty), při určování napětí v těchto částech je třeba vzít v úvahu skutečnou plochu oslabené části rovnající se celkové ploše zmenšené o hodnotu oblasti oslabení
Pro vizuální obraz změny normálových napětí v průřezech tyče (po její délce), sestrojí se diagram normálových napětí. Osou tohoto diagramu je úsečka, rovná délce tyčí a rovnoběžně s její osou. Pro tyč konstantního průřezu má diagram normálového napětí stejný tvar jako diagram podélné síly(liší se od něj pouze přijatým měřítkem). U tyče s proměnným průřezem je vzhled těchto dvou diagramů odlišný; konkrétně u tyče se stupňovitým zákonem změny průřezů má normálový diagram napětí skoky nejen v řezech, ve kterých působí soustředěná osová zatížení (kde má diagram podélných sil skoky), ale také v místech, kde rozměry změny průřezů. Konstrukce diagramu rozložení normálových napětí po délce tyče je uvažována v příkladu 1.2.
Uvažujme nyní napětí v nakloněných částech nosníku.
Označme a úhel mezi nakloněným průřezem a průřezem (obr. 6.2, a). Souhlasíme s tím, že úhel a budeme považovat za kladný, když se musí průřez otočit proti směru hodinových ručiček o tento úhel, aby se vyrovnal s nakloněným průřezem.
Jak je již známo, prodloužení všech vláken rovnoběžných s osou nosníku, když je natahován nebo stlačován, jsou stejné. To nám umožňuje předpokládat, že napětí p jsou ve všech bodech šikmého (stejně jako průřezu) stejná.
Uvažujme spodní část nosníku, odříznutou řezem (obr. 6.2, b). Z podmínek jeho rovnováhy vyplývá, že napětí jsou rovnoběžná s osou nosníku a směřují ve směru opačném k síle P a vnitřní síla působící v řezu je rovna P. Zde je plocha nakloněná část se rovná (kde je plocha průřezu nosníku).
Proto,
kde jsou normálová napětí v průřezech nosníku.
Rozložme napětí na dvě složky napětí: normálovou, kolmou k rovině řezu, a tečnou rovnoběžnou s touto rovinou (obr. 6.2, c).
Získáváme hodnoty a z výrazů
Normální napětí je obvykle považováno za pozitivní v tahu a negativní v tlaku. Tangenciální napětí je kladné, pokud vektor, který jej reprezentuje, má tendenci otáčet těleso kolem libovolného bodu C ležícího na vnitřní normále řezu ve směru hodinových ručiček. Na Obr. 6.2, c ukazuje kladné smykové napětí ta a na Obr. 6,2, g - negativní.
Ze vzorce (6.2) vyplývá, že normálová napětí mají hodnoty od (at do nuly (at a). Největší absolutní hodnota) v průřezech nosníku vznikají normálová napětí. Proto se pevnost tahového nebo stlačeného nosníku vypočítá podle normální napětí ve svých průřezech.
