Ohýbání s kroucením kruhových nosníků. Ohýbání s krutem kruhového nosníku Ohýbání s krutem nosníku kruhového průřezu.
Ohybem rozumíme druh zatížení, při kterém v průřezech nosníku vznikají ohybové momenty. Pokud je ohybový moment v řezu jediným silovým faktorem, pak se ohyb nazývá čistý. Pokud spolu s ohybovým momentem vznikají v průřezech nosníku i příčné síly, pak se ohyb nazývá příčný.
Předpokládá se, že ohybový moment a smyková síla leží v jedné z hlavních rovin nosníku (předpokládejme, že tato rovina je ZOY). Tento typ ohybu se nazývá plochý.
Ve všech níže uvažovaných případech dochází k plochému příčnému ohybu nosníků.
Pro výpočet nosníku na pevnost nebo tuhost je nutné znát součinitele vnitřní síly, které vznikají v jeho řezech. Za tímto účelem jsou sestrojeny diagramy příčných sil (diagram Q) a ohybových momentů (M).
Při ohýbání se přímá osa nosníku ohýbá, neutrální osa prochází těžištěm řezu. Pro jistotu při konstrukci diagramů příčných sil a ohybových momentů pro ně stanovíme znaménková pravidla. Předpokládejme, že ohybový moment bude považován za kladný, pokud se nosníkový prvek ohne konvexně dolů, tzn. takovým způsobem, že jeho stlačená vlákna jsou v horní části.
Pokud moment ohne paprsek konvexně nahoru, bude tento moment považován za negativní.
Při konstrukci diagramu se kladné hodnoty ohybových momentů vykreslují jako obvykle ve směru osy Y, což odpovídá konstrukci diagramu na stlačeném vláknu.
Proto lze pravidlo znamének pro diagram ohybových momentů formulovat následovně: pořadnice momentů jsou vyneseny ze strany vrstev nosníku.
Ohybový moment v řezu rovnající se součtu momenty vzhledem k tomuto řezu všech sil umístěných na jedné straně (buď) řezu.
Pro určení příčných sil (Q) stanovíme pravidlo znaménka: příčná síla je považována za kladnou, pokud má vnější síla tendenci otáčet odříznutou částí nosníku každou hodinu. šipka vzhledem k bodu osy, který odpovídá nakreslenému řezu.
Příčná síla (Q) v libovolném průřezu nosníku je číselně rovna součtu průmětů na osu vnějších sil působících na jeho komolou část.
Uvažujme několik příkladů konstrukce diagramů příčných sil a ohybových momentů. Všechny síly jsou kolmé na osu nosníků, takže vodorovná složka reakce je nulová. Deformovaná osa nosníku a síly leží v hlavní rovině ZOY.
Nosník délky je upnut na jeho levém konci a zatížen soustředěnou silou F a momentem m=2F.
Sestrojme diagramy příčných sil Q a ohybových momentů M z.
V našem případě na nosníku s pravá strana nejsou vytvořena žádná spojení. Aby se tedy neurčovaly podporové reakce, je vhodné uvažovat o rovnováze pravé odříznuté části nosníku. Daný nosník má dva zatěžovací úseky. Hranice řezů, ve kterých působí vnější síly. 1. úsek - SV, 2. - VA.
Provedeme libovolný řez v řezu 1 a uvažujeme rovnováhu pravé odříznuté části délky Z 1.
Z podmínky rovnováhy vyplývá:
Q=F; M out = -FZ 1 ()
Smyková síla je kladná, protože vnější síla F má tendenci otáčet odříznutou částí ve směru hodinových ručiček. Ohybový moment je považován za negativní, protože ohýbá příslušnou část paprsku konvexní nahoru.
Při sestavování rovnovážných rovnic mentálně fixujeme umístění řezu; z rovnic () vyplývá, že příčná síla v řezu I nezávisí na Z 1 a je konstantní hodnotou. Kladnou sílu Q=F vyneseme na stupnici směrem nahoru od osy paprsku, kolmo k ní.
Ohybový moment závisí na Z 1.
Když Z 1 = O M z =O, když Z 1 = M z =
Výslednou hodnotu () položíme dolů, tzn. diagram M from je postaven na stlačeném vláknu.
Pojďme k druhé části
Řezíme řez II v libovolné vzdálenosti Z 2 od volného pravého konce nosníku a uvažujeme rovnováhu řezané části délky Z 2 . Změna smyková síla a ohybový moment na základě podmínek rovnováhy lze vyjádřit následujícími rovnicemi:
Q=FM od = - FZ 2 + 2F
Velikost a znaménko smykové síly se nezměnily.
Velikost ohybového momentu závisí na Z 2 .
Když Z 2 = M z =, když Z 2 =
Ohybový moment se ukázal jako kladný, a to jak na začátku úseku II, tak na jeho konci. V řezu II se nosník ohýbá konvexně dolů.
Vyneseme na stupnici velikost momentů nahoru podél středové osy paprsku (tj. diagram je postaven na stlačeném vláknu). Největší ohybový moment nastává v úseku, kde působí vnější moment m a absolutní hodnota rovná se
Všimněte si, že po délce nosníku, kde Q zůstává konstantní, se ohybový moment M mění lineárně a je v diagramu znázorněn nakloněnými přímkami. Z diagramů Q a M z je zřejmé, že v řezu, kde působí vnější příčná síla, má diagram Q skok o velikost této síly a diagram M z má zlom. V úseku, kde je aplikován vnější ohybový moment, má Miz diagram skok o hodnotu tohoto momentu. To se v Q diagramu neodráží. Z diagramu M to vidíme
max M od =
proto je nebezpečný úsek extrémně blízko na levé straně k tzv.
Pro nosník zobrazený na obr. 13 a sestrojte diagramy příčných sil a ohybových momentů. Nosník je po své délce zatížen rovnoměrně rozloženým zatížením o intenzitě q(KN/cm).
Na podpěře A (pevný závěs) dojde k vertikální reakci R a (horizontální reakce je nulová) a na podpěře B (pohyblivý závěs) k vertikální reakci R v.
Stanovme svislé reakce podpor složením rovnice momentů vzhledem k podporám A a B.
Zkontrolujeme správnost definice reakce:
těch. reakce podpory jsou určeny správně.
Daný nosník má dva zatěžovací úseky: Řez I - AC.
Sekce II - SV.
V prvním úseku a, v aktuálním úseku Z 1 máme z podmínky rovnováhy odříznutého dílu
Rovnice ohybových momentů na 1 řezu nosníku:
Moment z reakce R a ohne nosník v řezu 1, konvexní stranou dolů, takže ohybový moment z reakce Ra se do rovnice zadá se znaménkem plus. Zatížení qZ 1 ohýbá nosník svou konvexitou nahoru, takže moment z něj se do rovnice zadává se znaménkem mínus. Ohybový moment se mění podle zákona čtvercové paraboly.
Proto je nutné zjistit, zda existuje extrém. Mezi smyková síla Q a ohybový moment existuje diferenciální vztah, jehož analýze se budeme věnovat níže
Jak víte, funkce má extrém, kde je derivace nula. Abychom tedy určili, při jaké hodnotě Z 1 bude ohybový moment extrémní, je nutné rovnici příčné síly přirovnat k nule.
Protože příčná síla v daném úseku mění znaménko z plus na mínus, bude ohybový moment v tomto úseku maximální. Pokud Q změní znaménko z mínus na plus, pak bude ohybový moment v tomto řezu minimální.
Takže ohybový moment v
je maximum.
Proto sestrojíme parabolu pomocí tří bodů
Když Z 1 =0 M od =0
Druhý řez odřízneme ve vzdálenosti Z 2 od podpory B. Z podmínky rovnováhy pravé odříznuté části nosníku máme:
Když hodnota Q=konst,
ohybový moment bude:
v, v, tj. M OD
se mění podle lineárního zákona.
Nosník na dvou podpěrách, mající rozpětí 2 a levou konzolu délky, je zatížen, jak je znázorněno na obr. 14, a., kde q(KN/cm) je lineární zatížení. Podpěra A je sklopně stacionární, podpěra B je pohyblivý váleček. Sestrojte diagramy Q a M z.
Řešení problému by mělo začít určením reakcí podpor. Z podmínky, že součet průmětů všech sil na osu Z je roven nule, vyplývá, že vodorovná složka reakce na podpoře A je rovna 0.
Pro kontrolu použijeme rovnici
Rovnováha rovnováhy je splněna, proto jsou reakce vypočteny správně. Přejděme k definování vnitřních silových faktorů. Daný nosník má tři zatěžovací úseky:
- 1. sekce - SA,
- Oddíl 2 – AD,
- Sekce 3 - Dálný východ.
Uřízneme 1 řez ve vzdálenosti Z 1 od levého konce trámu.
při Zi =0 Q=0 MIZ =0
při Z 1 = Q= -q M OD =
Na diagramu příčných sil se tak získá nakloněná přímka a na diagramu ohybových momentů parabola, jejíž vrchol je umístěn na levém konci nosníku.
V řezu II (a Z 2 2a) pro určení součinitelů vnitřní síly uvažujeme rovnováhu levé odříznuté části nosníku o délce Z 2. Z podmínky rovnováhy máme:
Smyková síla v této oblasti je konstantní.
V části III()
Z diagramu vidíme, že největší ohybový moment nastává v řezu pod silou F a je roven. Tento úsek bude nejnebezpečnější.
V diagramu M od je ráz na podpěře B, rovný vnějšímu momentu působícímu v tomto řezu.
Při pohledu na výše zkonstruované diagramy je snadné si všimnout určité přirozené souvislosti mezi diagramy ohybových momentů a diagramy příčných sil. Pojďme to dokázat.
Derivace smykové síly po délce nosníku je rovna modulu intenzity zatížení.
Vynecháním množství vyššího řádu maličkosti dostaneme:
těch. smyková síla je derivací ohybového momentu po délce nosníku.
S přihlédnutím k přijatému diferenciální závislosti lze vyvodit obecné závěry. Pokud je nosník zatížen rovnoměrně rozloženým zatížením o intenzitě q=konst, je zřejmé, že funkce Q bude lineární a M bude kvadratická.
Pokud je nosník zatížen soustředěnými silami nebo momenty, pak v intervalech mezi body jejich působení je intenzita q=0. V důsledku toho Q = const a M from je lineární funkcí Z. V bodech působení koncentrovaných sil graf Q podstoupí skok o velikost vnější síly a v diagramu M z odpovídajícího zlomu (nespojitost v derivátu) se objeví.
V místě, kde působí vnější ohybový moment, je pozorována mezera v momentovém diagramu, která se rovná velikosti působícího momentu.
Pokud Q>0, pak M roste, a pokud Q<0, то М из убывает.
Diferenciální závislosti se používají ke kontrole rovnic sestavených pro konstrukci diagramů Q a M, jakož i k objasnění typu těchto diagramů.
Ohybový moment se mění podle zákona paraboly, jejíž konvexnost vždy směřuje k vnějšímu zatížení.
Prostorové (komplexní) ohýbání
Prostorový ohyb je druh komplexního odporu, při kterém působí v průřezu nosníku pouze ohybové momenty. Úplný ohybový moment nepůsobí v žádné z hlavních rovin setrvačnosti. Neexistuje žádná podélná síla. Prostorové nebo komplexní ohýbání se často nazývá nerovinné ohýbání, protože ohýbaná osa tyče není rovinná křivka. Tento ohyb je způsoben silami působícími v různých rovinách kolmých k ose nosníku (obr. 1.2.1).
Obr.1.2.1
V souladu s výše uvedeným pořadím řešení problémů s komplexním odporem rozložíme prostorový systém sil znázorněný na obr. 1.2.1 na dvě tak, že každá z nich působí v jedné z hlavních rovin. V důsledku toho získáme dva ploché příčné ohyby - vertikální a horizontální rovina. Ze čtyř vnitřních silových faktorů, které vznikají v průřezu nosníku, budeme brát v úvahu vliv pouze ohybových momentů. Sestrojíme diagramy způsobené odpovídajícími silami (obr. 1.2.1).
Analýzou diagramů ohybových momentů dojdeme k závěru, že úsek A je nebezpečný, protože právě v tomto úseku dochází k největším ohybovým momentům. Nyní je nutné stanovit nebezpečné body úseku A. K tomu sestrojíme nulovou čáru. Rovnice nulové čáry, s přihlédnutím ke znaménkovému pravidlu pro výrazy zahrnuté v této rovnici, má tvar:
Zde je znaménko „“ přijato poblíž druhého členu rovnice, protože napětí v první čtvrtině způsobená momentem budou záporná.
Určíme úhel sklonu nulové přímky s kladným směrem osy (obr. 12.6):
Rýže. 1.2.2
Z rovnice (8) vyplývá, že nulová přímka pro prostorový ohyb je přímka a prochází těžištěm řezu.
Z Obr. 1.2.2 je zřejmé, že největší napětí budou vznikat v bodech úseku č. 2 a č. 4 nejvzdálenějších od nulové čáry. Podle velikosti normální stres v těchto bodech budou stejné, ale odlišné ve znaménku: v bodě č. 4 budou napětí kladná, tzn. tahové, v bodě č. 2 - negativní, tzn. kompresní. Známky těchto stresů byly stanoveny na základě fyzických úvah.
Nyní, když jsou nebezpečné body stanoveny, vypočítejme maximální napětí v sekci A a zkontrolujeme pevnost nosníku pomocí výrazu:
Pevnostní podmínka (10) umožňuje nejen kontrolu pevnosti nosníku, ale také volbu jeho rozměrů průřez, pokud je zadán poměr stran průřezu.
V případě kalkulace kulatina při působení ohybu a krutu (obr. 34.3) je nutné vzít v úvahu normálová a tangenciální napětí, protože maximální hodnoty napětí se v obou případech vyskytují na povrchu. Výpočet by měl být proveden podle teorie pevnosti, nahrazující komplexní stav napětí stejně nebezpečným jednoduchým.
Maximální torzní napětí v řezu
Maximální ohybové napětí v řezu
Podle jedné teorie pevnosti se v závislosti na materiálu nosníku vypočítá ekvivalentní napětí pro nebezpečný úsek a nosník se zkouší na pevnost pomocí dovoleného ohybového napětí pro materiál nosníku.
Pro kruhový nosník jsou průřezové momenty odporu následující:
Při výpočtu podle třetí teorie pevnosti, teorie maximálního smykového napětí, se ekvivalentní napětí vypočítá pomocí vzorce
Teorie je aplikovatelná na plastové materiály.
Při výpočtu podle teorie energie změny tvaru se pomocí vzorce vypočítá ekvivalentní napětí
Teorie je použitelná pro tvárné a křehké materiály.
teorie maximálního smykového napětí:
Ekvivalentní napětí při výpočtu podle teorie energie změny tvaru:
kde je ekvivalentní moment.
Pevnostní stav
Příklady řešení problémů
Příklad 1. Pro daný napěťový stav (obr. 34.4) s využitím hypotézy maximálních tečných napětí vypočítejte součinitel bezpečnosti, pokud σ T = 360 N/mm 2.
1. Jak je charakterizován stav napětí v bodě a jak je znázorněn?
2. Jaké oblasti a jaká napětí se nazývají hlavní?
3. Vyjmenujte typy stresových stavů.
4. Čím se vyznačuje deformovaný stav v bodě?
5. V jakých případech vznikají mezní stavy napětí u tvárných a křehkých materiálů?
6. Co je ekvivalentní napětí?
7. Vysvětlete účel teorií pevnosti.
8. Napište vzorce pro výpočet ekvivalentních napětí ve výpočtech s využitím teorie maximálních tangenciálních napětí a teorie energie změny tvaru. Vysvětlete, jak je používat.
PŘEDNÁŠKA 35
Téma 2.7. Výpočet nosníku kruhového průřezu s kombinací základních deformací
Znát vzorce pro ekvivalentní napětí na základě hypotéz nejvyšších tečných napětí a energie změny tvaru.
Umět vypočítat pevnost nosníku kruhového průřezu při kombinaci základních deformací.
Vzorce pro výpočet ekvivalentních napětí
Ekvivalentní napětí podle hypotézy maximálního smykového napětí
Ekvivalentní napětí podle energetické hypotézy změny tvaru
Stav pevnosti při kombinovaném působení ohybu a kroucení
Kde M EKV- ekvivalentní moment.
Ekvivalentní moment podle hypotézy maximálních tečných napětí
Ekvivalentní moment podle energetické hypotézy změny tvaru
Funkce výpočtu hřídele
U většiny hřídelí dochází ke kombinaci ohybu a torzní deformace. Typicky jsou hřídele přímé tyče s kruhovým nebo prstencovým průřezem. Při výpočtu hřídelí se pro jejich nevýznamnost neberou v úvahu tangenciální napětí od působení příčných sil.
Výpočty se provádějí na nebezpečných průřezech. Při prostorovém zatěžování hřídele se využívá hypotéza nezávislosti působení sil a ohybové momenty jsou uvažovány ve dvou vzájemně kolmých rovinách a celkový ohybový moment je určen geometrickým součtem.
Příklady řešení problémů
Příklad 1. Vnitřní silové faktory vznikají v nebezpečném průřezu kruhového nosníku (obr. 35.1) M x; Můj; Mz.
M x A Můj- ohybové momenty v rovinách ooh A zOx podle toho; Mz- točivý moment. Zkontrolujte pevnost pomocí hypotézy maximálních tečných napětí, pokud [ σ ] = 120 MPa. Počáteční údaje: M x= 0,9 kN m; M y = 0,8 kN m; Mz = 2,2 kN*m; d= 60 mm.
Řešení
Sestrojujeme diagramy normálových napětí z působení ohybových momentů vzhledem k osám Ach A OU a diagram smykových napětí v důsledku krutu (obr. 35.2).
Maximální smykové napětí vzniká na povrchu. Maximální normální napětí od okamžiku M x vzniknout v bodě A, maximální normální napětí od okamžiku Můj na místě V. Normálová napětí se sčítají, protože ohybové momenty ve vzájemně kolmých rovinách se geometricky sčítají.
Celkový ohybový moment:
Ekvivalentní moment vypočítáme pomocí teorie maximálních tečných napětí:
Podmínka pevnosti:
Průřezový moment odporu: W oce in oe = 0,1 60 3 = 21600 mm 3.
Kontrola síly:
Trvanlivost je zaručena.
Příklad 2 Z pevnostního stavu vypočítejte požadovaný průměr hřídele. Na hřídeli jsou namontována dvě kola. Na kola působí dvě obvodové síly Ft 1 = 1,2 kN; Ft 2= 2kN a dvě radiální síly v vertikální rovinaF r 1= 0,43 kN; F r 2 = 0,72 kN (obr. 35.3). Průměry kol jsou vždy stejné d 1= 0,1 m; d 2= 0,06 m.
Přijměte materiál hřídele [ σ ] = 50 MPa.
Výpočet se provádí podle hypotézy maximálních tečných napětí. Zanedbávejte hmotnost hřídele a kol.
Řešení
Poznámka. Využíváme principu nezávislého působení sil a vypracováváme návrhová schémata hřídele ve svislé a vodorovné rovině. Reakce v podporách v horizontální a vertikální rovině určujeme zvlášť. Sestrojíme diagramy ohybových momentů (obr. 35.4). Vlivem obvodových sil se hřídel kroutí. Určete krouticí moment působící na hřídel.
Sestavme konstrukční schéma hřídele (obr. 35.4).
1. Točivý moment na hřídeli:
2. Ohyb uvažujeme ve dvou rovinách: horizontální (pl. H) a vertikální (pl. V).
Ve vodorovné rovině určíme reakce v podpoře:
S A V:
 |
Ve svislé rovině určujeme reakce v podpoře:
Určete ohybové momenty v bodech C a B:
Celkové ohybové momenty v bodech C a B:
Na místě V zde působí i maximální ohybový moment;
Průměr hřídele vypočítáme na základě nejvíce zatíženého úseku.
3. Ekvivalentní moment v bodě V podle třetí teorie síly
4. Z pevnostní podmínky určete průměr hřídele kruhového průřezu
Výslednou hodnotu zaokrouhlíme: d= 36 mm.
Poznámka. Při výběru průměrů hřídele použijte standardní rozsah průměrů (Příloha 2).
5. Určete požadované rozměry hřídele prstencového průřezu při c = 0,8, kde d je vnější průměr hřídele.
Průměr prstencového hřídele lze určit podle vzorce
Přijmeme d = 42 mm.
Přetížení je nepatrné. dBH = 0,8d = 0,8 42 = 33,6 mm.
Zaokrouhlete na hodnotu dBH= 33 mm.
6. Porovnejme náklady na kov podle plochy průřezu hřídele v obou případech.
Průřezová plocha plného hřídele
Průřezová plocha dutého hřídele
Plocha průřezu plné hřídele je téměř dvakrát větší než plocha prstencového hřídele:
Příklad 3. Určete rozměry průřezu hřídele (obr. 2.70, A)řídící pohon. Tažná síla pedálu P 3, síly přenášené mechanismem P 1, P 2, P 4. Materiál hřídele - StZ ocel s mezí kluzu σ t = 240 N/mm 2, požadovaný koeficient bezpečnosti [ n] = 2,5. Výpočet se provádí pomocí hypotézy energie změny tvaru.
Řešení
Uvažujme o rovnováze hřídele, když jsme předtím zavedli síly R1, R2, R3, R4 do bodů ležících na její ose.
Přenos síly P 1 v bodech paralelně k sobě NA A E, je nutné sečíst dvojice sil s momenty rovnými momentům sil P 1 vzhledem k bodům NA A E, tj.
Tyto dvojice sil (momenty) jsou konvenčně znázorněny na Obr. 2,70 , b ve formě obloukových čar se šipkami. Podobně při přenášení sil R2, R3, R4 na body K, E, L, N potřeba přidat pár sil s momenty
Podpěry hřídele znázorněné na Obr. 2.70, a, by měly být považovány za prostorové závěsné podpěry, které zabraňují pohybu ve směru os X A na(vybraný souřadnicový systém je na obr. 2.70, b).
Pomocí výpočtového schématu znázorněného na Obr. 2,70, PROTI, pojďme vytvořit rovnice rovnováhy:
 |
 |
tedy podpůrné reakce NA A N V definované správně.
Diagramy točivého momentu M z a ohybové momenty Můj jsou uvedeny na Obr. 2,70, G. Nebezpečný úsek je ten vlevo od bodu L.
Podmínka pevnosti má tvar:
kde je ekvivalentní moment podle energetické hypotézy změny tvaru
Požadovaný vnější průměr hřídele
Vezmeme d = 45 mm, pak d 0 = 0,8 * 45 = 36 mm.
Příklad 4. Zkontrolujte pevnost mezihřídele (obr. 2.71) čelní převodovky, pokud hřídel přenáší výkon N= 12,2 kW při otáčkách P= 355 ot./min. Hřídel je vyrobena z oceli St5 s mezí kluzu σ t = 280 N/mm2. Požadovaný bezpečnostní faktor [ n] = 4. Při výpočtu použijte hypotézu nejvyšších tečných napětí.
Poznámka. Okresní úsilí P 1 A R 2 leží ve vodorovné rovině a směřují tangenciálně ke kružnicím ozubených kol. Radiální síly T 1 A T 2 leží ve svislé rovině a jsou vyjádřeny pomocí odpovídající obvodové síly takto: T = 0,364R.
Řešení
Na Obr. 2,71, A je uveden schematický výkres hřídele; na Obr. 2.71, b znázorňuje schéma hřídele a sil vznikajících v ozubení.
Určíme moment přenášený hřídelí:
Očividně, m = mi = m2(torzní momenty působící na hřídel při rovnoměrném otáčení jsou stejné velikosti a opačného směru).
Určíme síly působící na ozubená kola.
Obvodové síly:
Radiální síly:
Zvažte vyvážení hřídele AB, který předtím přinesl síly P 1 A R 2 do bodů ležících na ose hřídele.
Přenášení síly P 1 rovnoběžná sama se sebou do bodu L, musíte přidat pár sil s momentem rovným momentu síly P 1 vzhledem k bodu L, tj.
Tato dvojice sil (moment) je konvenčně znázorněna na Obr. 2,71, PROTI ve formě obloukové čáry se šipkou. Podobně při přenášení síly R 2 přesně NA potřebujete připojit (přidat) pár sil na okamžik
Podpěry hřídele znázorněné na Obr. 2,71, A, by měly být považovány za prostorové podpěry závěsu, které zabraňují lineárním pohybům ve směrech os X A na(vybraný souřadnicový systém je na obr. 2.71, b).
Pomocí výpočtového schématu znázorněného na Obr. 2,71, G, sestavme rovnice rovnováhy pro hřídel ve svislé rovině:
Vytvořme ověřovací rovnici:
proto jsou podporové reakce ve vertikální rovině určeny správně.
Zvažte vyvážení hřídele v horizontální rovině:
Vytvořme ověřovací rovnici:
proto jsou podporové reakce ve vodorovné rovině určeny správně.
Diagramy točivého momentu M z a ohybové momenty M x A Můj jsou uvedeny na Obr. 2,71, d.
Úsek je nebezpečný NA(viz obr. 2.71, G,d). Ekvivalentní moment podle hypotézy největších tečných napětí
Ekvivalentní napětí podle hypotézy nejvyšších tečných napětí pro nebezpečný bod hřídele
Bezpečnostní faktor
což je podstatně více [ n] = 4, takže pevnost hřídele je zajištěna.
Při výpočtu pevnosti hřídele nebyla brána v úvahu změna napětí v čase, proto byl získán tak významný bezpečnostní faktor.
Příklad 5. Určete rozměry průřezu nosníku (obr. 2.72, A). Materiál nosníku je ocel 30XGS s podmíněnými mezemi kluzu v tahu a tlaku σ o, 2р = σ tr = 850 N/mm 2, σ 0,2 c = σ Tc = 965 N/mm 2. Bezpečnostní faktor [ n] = 1,6.
Řešení
Nosník pracuje při kombinovaném působení tahu (komprese) a kroucení. Při takovém zatížení vznikají v průřezech dva faktory vnitřní síly: podélná síla a točivý moment.
Diagramy podélných sil N a točivé momenty Mz znázorněno na Obr. 2,72, před naším letopočtem. V tomto případě určete polohu nebezpečného úseku pomocí diagramů N A Mz nemožné, protože průřezové rozměry sekcí nosníku jsou různé. Pro určení polohy nebezpečného úseku by měly být sestrojeny diagramy normálových a maximálních smykových napětí po délce nosníku.
Podle vzorce
spočítáme normálová napětí v průřezech nosníku a sestrojíme diagram o (obr. 2.72, Obr. G).
Podle vzorce
Vypočteme maximální tangenciální napětí v průřezech nosníku a sestrojíme diagram t tah(obr.* 2.72, d).
Případně nebezpečné body jsou obrysové body příčných řezů AB A CD(viz obr. 2.72, A).
Na Obr. 2,72, E jsou zobrazeny diagramy σ A τ pro průřezy průřezů AB.
Připomeňme, že v tomto případě (nosník kruhového průřezu pracuje při kombinovaném působení tahu, tlaku a kroucení) jsou všechny body obrysu průřezu stejně nebezpečné.
Na Obr. 2,72, a
Na Obr. 2,72, h Diagramy a a t jsou zobrazeny pro průřezy průřezu CD.
Na Obr. 2,72, A jsou zobrazena napětí na původních místech v nebezpečném bodě.
Hlavní napětí v nebezpečném místě v řezu CD: 
Podle Mohrovy pevnostní hypotézy je ekvivalentní napětí pro nebezpečný bod uvažovaného úseku
Obrysové body příčných řezů řezu AB se ukázaly jako nebezpečné.
Podmínka pevnosti má tvar:
Příklad 2.76. Určete hodnotu přípustné síly R od stavu pevnosti tyče slunce(Obr. 2.73 Materiál tyče je litina s pevností v tahu σ vr = 150 N/mm 2 a pevností v tlaku σ sun = 450 N/mm 2). Požadovaný bezpečnostní faktor [ n] = 5.
Poznámka.
Rozbité dřevo ABC umístěné ve vodorovné rovině a tyč AB kolmo k Slunce. Síly R, 2R, 8R ležet ve svislé rovině; síla 0,5 R, 1,6 R- vodorovně a kolmo k tyči Slunce; síla 10R, 16R shodují se s osou tyče slunce; dvojice sil s momentem m = 25Pd je umístěna ve svislé rovině kolmé k ose tyče Slunce.
Řešení
Přinesme sílu R a 0,5P k těžišti průřezu B.
Přenesete-li sílu P rovnoběžně se sebou na bod B, musíte přidat pár sil s momentem rovným momentu síly R vzhledem k bodu V, tj. dvojice s momentem m 1 = 10 Pd.
Síla 0,5 R přesuneme se po jeho linii působení do bodu B.
Zatížení působící na tyč slunce, znázorněno na Obr. 2,74, A.
Pro tyč sestrojíme diagramy činitelů vnitřní síly Slunce. Při stanoveném zatížení tyče jich v jejích průřezech vzniká šest: podélná síla N, smykové síly Qx A Qy, točivý moment Mz ohybové momenty Mx A Mu.
Diagramy N, Mz, Mx, Mu jsou uvedeny na Obr. 2,74, b(souřadnice diagramů jsou vyjádřeny jako R A d).
Diagramy Qy A Qx nestavíme, jelikož tangenciální napětí odpovídající příčným silám jsou malá.
V uvažovaném příkladu není poloha nebezpečného úseku patrně zřejmá, úsek K (konec úseku já) a S.
Hlavní napětí v bodě L:
Podle Mohrovy pevnostní hypotézy je ekvivalentní napětí pro bod L
Určeme velikost a rovinu působení ohybového momentu Mie v řezu C, znázorněný samostatně na Obr. 2,74, d. Stejný obrázek ukazuje diagramy σ И, σ N, τ pro oddíl C.
Zdůrazňuje původní místa v místě N(obr. 2.74, E)
Hlavní napětí v bodě N:
Podle Mohrovy hypotézy pevnosti ekvivalentní napětí pro bod N
Napětí na původních místech v bodě E (obr. 2.74, a):
Hlavní napětí v bodě E:
Podle Mohrovy pevnostní hypotézy je ekvivalentní napětí pro bod E
Bod se ukázal jako nebezpečný L, pro který
Podmínka pevnosti má tvar:
Testové otázky a úkoly
1. K jakému napěťovému stavu dochází v průřezu hřídele při kombinovaném působení ohybu a krutu?
2. Napište pevnostní podmínku pro výpočet hřídele.
3. Napište vzorce pro výpočet ekvivalentního momentu při výpočtu podle hypotézy maximálních tečných napětí a hypotézy energie změny tvaru.
4. Jak se vybírá nebezpečný úsek při výpočtu šachty?
Tato kombinace součinitelů vnitřní síly je typická při výpočtu hřídelí. Problém je plochý, protože koncept „šikmého ohybu“ pro nosník kruhového průřezu, ve kterém je hlavní libovolná středová osa, není použitelný. V obecný případ působení vnějších sil, takový paprsek zažívá kombinaci následující typy deformace: rovná příčné ohýbání, kroucení a středové napětí (komprese). Na Obr. Obrázek 11.5 ukazuje nosník zatížený vnějšími silami, které způsobují všechny čtyři typy deformací.
Diagramy vnitřních sil umožňují identifikovat nebezpečné úseky a diagramy napětí pomáhají identifikovat nebezpečné body v těchto řezech. Tangenciální napětí od příčných sil dosahují maxima na ose nosníku a jsou nevýznamná pro nosník plného průřezu a lze je zanedbat ve srovnání s tangenciálními napětími od krutu, která dosahují maxima v obvodových bodech (bod B).
Nebezpečným úsekem je uložení, kde mají velký význam současně podélné a příčné síly, ohybové a krouticí momenty.
Nebezpečným bodem v tomto úseku bude bod, kde σ x a τ xy dosáhnou významné hodnoty (bod B). V tomto okamžiku působí největší normální napětí z ohybu a smykové napětí z kroucení, stejně jako normální napětí z protahování
Po určení hlavních napětí pomocí vzorce:
najdeme σ červené =
(při použití kritéria nejvyšších tečných napětí m = 4, při použití kritéria měrné energie tvarové změny m = 3).
Dosazením výrazů σ α a τ xy získáme:
nebo s přihlédnutím ke skutečnosti, že W р =2 W z, A= (viz 10.4),
Pokud dojde k ohybu hřídele ve dvou vzájemně kolmých rovinách, pak ve vzorci místo M z je nutné dosadit M tot =
Redukované napětí σ red nesmí překročit dovolené napětí σ adm stanovené při zkoušení za lineárního namáhání s přihlédnutím k bezpečnostnímu faktoru. Pro dané rozměry a povolená napětí se provede ověřovací výpočet Ze stavu jsou zjištěny rozměry nutné k zajištění bezpečné pevnosti
11.5. Výpočet bezmomentových skořepin otáček
V technice jsou široce používány konstrukční prvky, které lze z hlediska pevnostních a pevnostních výpočtů klasifikovat jako tenké skořepiny. Skořápka je považována za tenkou, pokud je poměr její tloušťky k celkové velikosti menší než 1/20. Pro tenké skořepiny platí hypotéza přímých normál: normálové segmenty ke střední ploše zůstávají po deformaci rovné a neroztažitelné. V tomto případě dochází k lineárnímu rozložení deformací, a tedy normálových napětí (při malých pružných deformacích) po tloušťce skořepiny.
Povrch skořepiny se získá rotací ploché křivky kolem osy ležící v rovině křivky. Pokud je křivka nahrazena přímkou, pak když se otáčí rovnoběžně s osou, získá se kruhová válcová skořepina a když se otočí pod úhlem k ose, získá se kuželová skořepina.
Ve výpočtových schématech je skořepina reprezentována svou střední plochou (ekvidistantní od předních ploch). Střední plocha je obvykle spojena s křivočarým ortogonálním souřadnicovým systémem Ө a φ. Úhel θ () určuje polohu rovnoběžky s průsečíkem střední plochy s rovinou procházející kolmo k ose rotace.
Obr.11.6 Obr. 11.7
Přes normálu ke středu plochy můžete nakreslit mnoho rovin, které k ní budou kolmé, a v úsecích s ní tvořit čáry s různými poloměry zakřivení. Dva z těchto poloměrů mají extrémní hodnoty. Čáry, kterým odpovídají, se nazývají čáry hlavního zakřivení. Jedna z přímek je poledník, její poloměr zakřivení je označen r 1. Poloměr zakřivení druhé křivky – r 2(střed křivosti leží na ose rotace). Středy poloměru r 1 A r 2 může se shodovat (kulový plášť), ležet na jedné nebo různých stranách střední plochy, jeden ze středů může jít do nekonečna (válcové a kuželové pláště).
Při sestavování základních rovnic vztahujeme síly a posunutí k normálovým řezům skořepiny v rovinách hlavního zakřivení. Vytvořme rovnice pro vnitřní úsilí. Uvažujme nekonečně malý skořepinový prvek (obr. 11.6), vyříznutý dvěma sousedními poledníkovými rovinami (s úhly θ a θ+dθ) a dvěma sousedními rovnoběžnými kružnicemi kolmými k ose rotace (s úhly φ a φ+dφ). Jako soustavu promítacích os a momentů volíme pravoúhlou soustavu os X, y, z. Osa y směřuje tečně k meridiánu, os z- podle normálu.
Vzhledem k osové symetrii (zatížení P=0) budou na prvek působit pouze normálové síly. N φ - lineární poledníková síla směřující tangenciálně k poledníku: N θ - lineární prstencová síla směřující tečně ke kružnici. Rovnice ΣХ=0 se stává identitou. Promítneme všechny síly na osu z:
2N θ r 1 dφsinφ+r o dθdφ+P z r 1 dφr o dθ=0.
Zanedbáme-li infinitezimální veličinu vyššího řádu ()r o dθ dφ a vydělíme rovnici r 1 r o dφ dθ, pak vezmeme-li v úvahu, že díky P. Laplaceovi dostaneme rovnici:
Místo rovnice ΣY=0 pro uvažovaný prvek sestavíme rovnovážnou rovnici pro horní část pláště (obr. 11.6). Promítněme všechny síly na osu rotace:
ude: R v - svislý průmět výsledných vnějších sil působících na odříznutou část pláště. Tak,
Dosazením hodnot N φ do Laplaceovy rovnice zjistíme N θ. Určení sil v rotačním plášti podle bezmomentové teorie je staticky definovatelný problém. To bylo možné díky tomu, že jsme okamžitě postulovali zákon změn napětí podél tloušťky pláště - považovali jsme je za konstantní.
V případě kulové kopule máme r 1 = r 2 = r a r o = r. Pokud je zatížení specifikováno jako intenzita P na vodorovnou projekci pláště
V poledním směru je tedy kopule rovnoměrně stlačena. Složky plošného zatížení podél normály z se rovná Pz =P. Dosadíme hodnoty N φ a P z do Laplaceovy rovnice a zjistíme z ní:
Prstencové tlakové síly dosahují svého maxima v horní části kopule při φ = 0. Při φ = 45º - N θ =0; při φ > 45-N se θ =0 stává tažným a dosahuje maxima při φ = 90.
Horizontální složka poledníkové síly je rovna:
Uvažujme příklad výpočtu bezmomentové skořápky. Hlavní potrubí naplněné plynem, jehož tlak se rovná R.
Zde r 1 = R, r 2 = a v souladu s dříve přijatým předpokladem, že napětí jsou rozložena rovnoměrně po celé tl. δ skořápka
kde: σ m - normálová meridionální napětí, a
σ t - obvodová (šířková, prstencová) normálová napětí.
Při výpočtu hřídelí se nejčastěji uvažuje kombinace ohybu a krutu nosníků kruhového průřezu. Případy ohybu s kroucením nosníků jsou mnohem méně časté. kulatý úsek.
V § 1.9 je stanoveno, že v případě, kdy jsou momenty setrvačnosti průřezu vzhledem k hlavním osám navzájem stejné, není možný šikmý ohyb nosníku. V tomto ohledu je šikmé ohýbání kruhových nosníků nemožné. Proto, v obecném případě vnějších sil, kruhový nosník zažívá kombinaci následujících typů deformace: přímý příčný ohyb, kroucení a středové napětí (nebo tlak).
Uvažujme takový speciální případ výpočtu nosníku kruhového průřezu, kdy v jeho průřezech je podélná síla rovna nule. V tomto případě nosník pracuje při kombinovaném působení ohybu a kroucení. Pro nalezení nebezpečného bodu nosníku je nutné zjistit, jak se mění hodnoty ohybových a krouticích momentů po délce nosníku, tedy sestrojit diagramy celkových ohybových momentů M a krouticích momentů těchto diagramů na konkrétní příklad hřídel zobrazený na Obr. 22.9, a. Hřídel spočívá na ložiskách A a B a je poháněna motorem C.
Na hřídeli jsou namontovány řemenice E a F, přes které jsou vrženy hnací řemeny s napětím. Předpokládejme, že hřídel se otáčí v ložiskách bez tření; zanedbáváme vlastní hmotnost hřídele a řemenic (v případě, že je jejich vlastní hmotnost významná, je třeba ji vzít v úvahu). Nasměrujme osu průřezu hřídele svisle a osu vodorovně.
Velikosti sil lze určit pomocí vzorců (1.6) a (2.6), je-li znám např. výkon přenášený každou řemenicí, úhlová rychlost hřídele a poměry Po určení velikostí sil, např. tyto síly se přenášejí rovnoběžně s podélnou osou hřídele. V tomto případě jsou torzní momenty aplikovány na hřídel v úsecích, ve kterých jsou umístěny řemenice E a F a jsou rovny, resp. Tyto momenty jsou vyváženy momentem přenášeným z motoru (obr. 22.9, b). Síly se pak rozkládají na vertikální a horizontální složky. Svislé síly vyvolají svislé reakce v ložiscích a vodorovné síly vyvolají reakce vodorovné. Velikosti těchto reakcí jsou určeny jako pro nosník ležící na dvou podporách.
Diagram ohybových momentů působících ve vertikální rovině je sestrojen ze svislých sil (obr. 22.9, c). Je to znázorněno na Obr. 22.9, d Obdobně se z vodorovných sil (obr. 22.9, e) sestrojí diagram ohybových momentů působících ve vodorovné rovině (obr. 22.9, f).
Z diagramů můžete určit (v libovolném řezu) celkový ohybový moment M pomocí vzorce
Pomocí hodnot M získaných pomocí tohoto vzorce se sestrojí diagram celkových ohybových momentů (obr. 22.9, g). V těch úsecích hřídele, ve kterých přímé, omezující diagramy protínají osy diagramů v bodech umístěných na stejné svislici, je diagram M omezen přímkami a v ostatních řezech je omezen křivkami.
(viz sken)
Například v příslušném řezu hřídele je délka diagramu M omezena na přímku (obr. 22.9, g), protože diagramy v tomto řezu jsou omezeny přímkami a protínajícími osy diagramů. v bodech umístěných na stejné vertikále.
Bod O průsečíku přímky s osou diagramu je umístěn na stejné svislici. Podobná situace je typická pro hřídelový úsek s délkou
Diagram celkových (celkových) ohybových momentů M charakterizuje velikost těchto momentů v každém úseku hřídele. Roviny působení těchto momentů v různých částech hřídele jsou různé, ale ordináty diagramu pro všechny části jsou konvenčně zarovnány s rovinou výkresu.
Diagram točivého momentu je konstruován stejným způsobem jako u čistého kroucení (viz § 1.6). Pro dotyčnou šachtu je to znázorněno na Obr. 22.9, z.
Nebezpečný úsek hřídele se stanoví pomocí diagramů celkových ohybových momentů M a momentů Pokud v úseku nosníku o konstantním průměru s největším ohybovým momentem M působí i největší moment, pak je tento úsek nebezpečný. Zejména uvažovaný hřídel má takový úsek umístěný napravo od řemenice F v nekonečně malé vzdálenosti od ní.
Působí-li maximální ohybový moment M a maximální krouticí moment v různých průřezech, pak se úsek, ve kterém ani jedna hodnota není největší, může ukázat jako nebezpečný. U nosníků s proměnným průměrem může být nejnebezpečnější úsek, ve kterém působí výrazně nižší ohybové a torzní momenty než v jiných úsecích.
V případech, kdy nelze nebezpečný úsek určit přímo z diagramů M a je nutné zkontrolovat pevnost nosníku v několika jeho řezech a tímto způsobem stanovit nebezpečná napětí.
Jakmile je stanoven nebezpečný úsek paprsku (nebo je identifikováno několik úseků, z nichž jeden se může ukázat jako nebezpečný), je nutné v něm najít nebezpečná místa. K tomu uvažujme napětí vznikající v průřezu nosníku, když v něm současně působí ohybový moment M a krouticí moment.
U nosníků kruhového průřezu, jejichž délka je mnohonásobně větší než průměr, jsou hodnoty nejvyšších tangenciálních napětí od příčné síly malé a nejsou brány v úvahu při výpočtu pevnosti nosníků při kombinovaném působení. ohybu a kroucení.
Na Obr. Obrázek 23.9 ukazuje průřez kruhového nosníku. V tomto řezu působí ohybový moment M a krouticí moment. Osa y je kolmá k rovině působení ohybového momentu. Osa y je tedy neutrální osou řezu.
V průřezu nosníku vznikají normálová napětí od ohybu a smyková napětí od krutu.
Normálová napětí a jsou určena vzorcem Diagram těchto napětí je na Obr. 23.9. Největší normálová napětí v absolutní hodnotě se vyskytují v bodech A a B. Tato napětí jsou stejná
kde je osový moment odporu průřezu nosníku.
Tangenciální napětí jsou určena vzorcem Diagram těchto napětí je na Obr. 23.9.
V každém bodě řezu směřují kolmo k poloměru spojujícímu tento bod se středem řezu. Nejvyšší smyková napětí se vyskytují v bodech umístěných po obvodu průřezu; jsou si rovni
kde je polární moment odporu průřezu paprsku.
U plastového materiálu body A a B průřezu, ve kterých současně dosahují normálové i smykové napětí nejvyšší hodnotu, jsou nebezpečné. Pro křehký materiál je nebezpečný bod, ve kterém vznikají tahová napětí od ohybového momentu M.
Napjatý stav elementárního rovnoběžnostěnu izolovaného v blízkosti bodu A je na Obr. 24.9, a. Podél ploch rovnoběžnostěnu, které se shodují s průřezy nosníku, působí normálová napětí a tangenciální napětí. Na základě zákona o párování tečných napětí vznikají napětí také na horní a spodní straně kvádru. Jeho zbývající dvě tváře jsou bez stresu. V tomto případě tedy existuje soukromý pohled rovinný napjatostní stav, podrobně rozebrán v kap. 3. Hlavní napětí amax a jsou určena vzorcem (12.3).
Po dosazení hodnot do nich dostaneme
Napětí mají různá znamení a proto
Elementární rovnoběžnostěn, zvýrazněný v blízkosti bodu A hlavními plochami, je znázorněn na Obr. 24,9, b.
Výpočet pevnosti nosníků při ohybu s kroucením, jak již bylo uvedeno (viz začátek § 1.9), se provádí pomocí pevnostních teorií. V tomto případě se výpočet nosníků z plastových materiálů obvykle provádí na základě třetí nebo čtvrté teorie pevnosti a z křehkých - podle Mohrovy teorie.
Podle třetí teorie síly [viz. vzorec (6.8)], dosazením výrazů do této nerovnosti [viz. vzorec (23.9)], získáme
