Co je průřez a příčné prohnutí. Ohyb. Moment setrvačnosti pravoúhlého průřezu
Klasifikace typů ohýbání tyčí
Ohyb Tento typ deformace se nazývá, při kterém dochází k ohybovým momentům v průřezech tyče. Tyč, která se ohýbá, se obvykle nazývá paprsek. Jsou-li ohybové momenty jedinými vnitřními silovými faktory v průřezech, pak je tyč vystavena čistý ohyb. Pokud se ohybové momenty vyskytují společně s příčnými silami, pak se takový ohyb nazývá příčný.
Pro ohýbání pracují nosníky, nápravy, hřídele a další konstrukční díly.
Pojďme si představit některé pojmy. Rovina procházející jednou z hlavních středových os řezu a geometrická osa tyče se nazývá hlavní rovina. Nazývá se rovina, ve které působí vnější zatížení způsobující ohyb nosníku silová rovina. Nazve se přímka průsečíku roviny síly s rovinou průřezu tyče elektrické vedení. V závislosti na vzájemné poloze síly a hlavních rovin nosníku se rozlišuje přímý nebo šikmý ohyb. Pokud se rovina síly shoduje s jednou z hlavních rovin, pak tyč zažije rovný oblouk(obr. 5.1, A), pokud se neshoduje - šikmý(obr. 5.1, b).
Rýže. 5.1. Ohyb tyče: A- rovný; b- šikmý
Z geometrického hlediska je ohýbání tyče doprovázeno změnou zakřivení osy tyče. Původně přímá osa tyče se při ohýbání zakřiví. Na rovný oblouk zakřivená osa tyče leží v rovině síly, zatímco když je šikmá, leží v rovině odlišné od roviny síly.
Při pozorování ohybu pryžové tyče si můžete všimnout, že část jejích podélných vláken je natažena a druhá část je stlačena. Je zřejmé, že mezi napnutými a stlačenými vlákny tyče je vrstva vláken, která nepodléhají tahu ani tlaku - tzv. neutrální vrstva. Nazývá se čára průsečíku neutrální vrstvy tyče s rovinou jejího průřezu neutrální úseková čára.
Zatížení působící na nosník lze zpravidla klasifikovat do jednoho ze tří typů: soustředěné síly R, koncentrované momenty M rozložené zátěže intenzity ts(obr. 5.2). Část I nosníku umístěného mezi podporami se nazývá v letu,část II nosníku umístěného na jedné straně podpěry - řídicí panel.
Rovný příčný ohyb nastává, když všechna zatížení působí kolmo k ose tyče, leží ve stejné rovině a navíc rovina jejich působení se shoduje s jednou z hlavních středních os setrvačnosti řezu. Přímé příčné ohýbání označuje jednoduchý pohled odpor je plochý stresový stav, tj. dvě hlavní napětí jsou nenulová. Při tomto typu deformace vznikají vnitřní síly: smyková síla a ohybový moment. Zvláštním případem přímého příčného ohýbání je čistý ohyb s takovým odporem existují zatěžovací oblasti, ve kterých se příčná síla rovná nule a ohybový moment je odlišný od nuly. V průřezech tyčí při přímém příčném ohybu vznikají normálová a tangenciální napětí. Napětí jsou funkcí vnitřní síly, v tomto případě normálová napětí jsou funkcí ohybového momentu a tangenciální napětí jsou funkcí smykové síly. Pro přímé příčné ohýbání je zavedeno několik hypotéz:
1) Průřezy nosníku, ploché před deformací, zůstávají po deformaci ploché a ortogonální k neutrální vrstvě (hypotéza rovinných řezů nebo hypotéza J. Bernoulliho). Tato hypotéza je splněna při čistém ohybu a je porušena, když nastanou smykové síly, smyková napětí a úhlová deformace.
2) Mezi podélnými vrstvami není vzájemný tlak (hypotéza netlaku vláken). Z této hypotézy vyplývá, že podélná vlákna podléhají jednoosému tahu nebo tlaku, takže při čistém ohybu platí Hookův zákon.
Prut procházející ohýbáním se nazývá paprsek. Při ohýbání se jedna část vláken natahuje, druhá část se stahuje. Vrstva vláken umístěná mezi napnutými a stlačenými vlákny se nazývá neutrální vrstva, prochází těžištěm sekcí. Nazývá se čára jeho průsečíku s průřezem nosníku neutrální osa. Na základě zavedených hypotéz at čistý ohyb byl získán vzorec pro stanovení normálových napětí, který se používá i pro přímý příčný ohyb. Normálové napětí lze zjistit pomocí lineárního vztahu (1), ve kterém je poměr ohybového momentu k osovému momentu setrvačnosti ( 
) v určité sekci je konstantní hodnota a vzdálenost ( y) podél svislé osy od těžiště řezu k bodu, ve kterém je určeno napětí, se pohybuje od 0 do
.
.
(1)
K určení smykového napětí při ohýbání v roce 1856. Ruský inženýr a stavitel mostů D.I. Zhuravsky se stal závislým
.
(2)
Smykové napětí v konkrétním řezu nezávisí na poměru příčné síly k osovému momentu setrvačnosti ( 
), protože tato hodnota se nemění v rámci jednoho řezu, ale závisí na poměru statického momentu plochy řezané části k šířce řezu na úrovni řezné části ( 
).
Při přímém příčném ohybu pohyby: výchylky (proti
) a úhly natočení (Θ
)
. K jejich určení použijte rovnice metody počátečních parametrů (3), které získáte integrací diferenciální rovnice zakřivené osy nosníku ( 
).
Tady proti 0 , Θ 0 ,M 0 , Q 0 - počáteční parametry, X – vzdálenost od počátku k úseku, ve kterém se určuje posunutí , A– vzdálenost od počátku souřadnic k místu aplikace nebo začátku zatížení.
Výpočty pevnosti a tuhosti se provádějí pomocí podmínek pevnosti a tuhosti. Pomocí těchto podmínek můžete řešit ověřovací problémy (kontrolovat splnění podmínky), určit velikost průřezu nebo vybrat přípustnou hodnotu parametru zatížení. Existuje několik podmínek pevnosti, z nichž některé jsou uvedeny níže. Normální stav síly stresu má tvar:
,
(4)
Tady 
–
moment únosnosti průřezu vůči ose z, R – návrhová únosnost na základě normálových napětí.
Pevnostní podmínky pro tangenciální napětí vypadá jako:
,
(5)
zde jsou zápisy stejné jako ve vzorci Žuravského a R s – vypočtená únosnost ve smyku nebo vypočtená odolnost vůči tangenciálním napětím.
Pevnostní podmínka podle třetí pevnostní hypotézy nebo hypotézu největších tečných napětí lze napsat v následujícím tvaru:
.
(6)
Podmínky závažnosti lze napsat za průhyby (proti ) A úhly otáčení (Θ ) :
kde platí hodnoty posunutí v hranatých závorkách.
Ukázka splnění samostatného úkolu č. 4 (termín 2-8 týdnů)
Při příčném ohybu v průřezu nosníku (nosníku) působí kromě ohybového momentu také příčná síla. Pokud je příčný ohyb přímý, pak ohybový moment působí v rovině shodné s jednou z hlavních rovin nosníku.
Příčná síla je v tomto případě obvykle rovnoběžná s rovinou působení ohybového momentu a, jak je znázorněno níže (viz § 12.7), prochází určitým bodem průřezu, který se nazývá střed ohybu. Poloha středu ohybu závisí na tvaru a rozměrech průřezu nosníku. U průřezu, který má dvě osy symetrie, se střed ohybu shoduje s těžištěm průřezu.
Experimentální a teoretické studie ukazují, že vzorce získané pro případ přímého čistého ohybu jsou použitelné i pro přímé příčné ohyby.
Příčná síla působící v řezu nosníku souvisí se smykovými napětími vznikajícími v tomto řezu, závislost
kde je složka smykového napětí v průřezu nosníku rovnoběžně s osou y a silou
Veličina představuje elementární tangenciální sílu (rovnoběžnou se silou Q) působící na elementární plochu průřezu nosníku.
Pojďme se na některé podívat průřez dřeva (obr. 37.7). Tangenciální napětí v bodech blízko obrysu řezu směřují tangenciálně k obrysu. Pokud by totiž tečné napětí mělo složku směřující podél normály k obrysu, pak by podle zákona o párování tečných napětí vzniklo stejné napětí na boční ploše nosníku, což je nemožné, protože boční plocha je bez stresu.
Smykové napětí v každém bodě řezu lze rozložit na dvě složky: .
Podívejme se na definici komponent. Definice součástí je probrána v § 12.7 pouze pro některé typy průřezů.
Předpokládá se, že složky tečných napětí po celé šířce průřezu ve směru rovnoběžném s osou jsou stejné (obr. 37.7), tj. že se hodnota mění pouze po výšce průřezu.
Pro určení vertikálních složek tečných napětí vybereme prvek 1-2-3-4 z nosníku konstantního průřezu, symetrického podle osy y, se dvěma průřezy nakreslenými ve vzdálenostech od levého konce nosníku, a jeden úsek rovnoběžný s neutrální vrstvou, od ní vzdálený (obr. 38.7).
V průřezu nosníku s úsečkou je ohybový moment M a s úsečkou ohybový moment M. V souladu s tím normálová napětí a působící podél oblastí 1-2 a 3-4 vybraný prvek jsou určeny výrazy [viz. vzorec (17.7)]
Diagramy normálových napětí působících na místech 1-2 a 3-4 at kladná hodnota M, znázorněné na Obr. 39.7. Tangenciální napětí také působí na stejné oblasti, také znázorněné na Obr. 39.7. Velikost těchto napětí se mění podél výšky průřezu.
Označme velikost smykového napětí v dolních bodech oblastí 1-2 a 3-4 (na úrovni ). Podle zákona o párování tečných napětí z toho vyplývá, že tangenciální napětí stejné velikosti působí podél spodní oblasti 1-4 zvoleného prvku. Normálová napětí podél této oblasti jsou považována za nulová, protože v teorii ohybu se předpokládá, že podélná vlákna nosníku na sebe nevyvíjejí tlak.
Nástupiště 1-2 nebo 3-4 (obr. 39.7 a 40.7), tj. část příčného řezu umístěná nad úrovní (nad nástupištěm 1-4), se nazývá odříznutá část příčného řezu. Označme jeho oblast
Vytvořme rovnovážnou rovnici pro prvek 1-2-3-4 ve formě součtu průmětů všech sil na něj působících na osu nosníku:
Zde je výslednice elementárních sil vznikajících podél oblasti 1-2 prvků; - výslednice elementárních sil vznikajících na místě 3-4 prvků; - výslednice elementárních tečných sil vznikajících podél oblasti 1-4 prvků; - šířka průřezu nosníku v úrovni y
Dosadíme výrazy pomocí vzorců (26.7) do rovnice (27.7):
Ale na základě Zhuravského teorému [vzorec (6.7)]
Integrál představuje statický moment plochy kolem neutrální osy průřezu nosníku.
Proto,
Podle zákona o párování tečných napětí jsou napětí v bodech průřezu nosníku, vzdálených od neutrální osy, stejná (o absolutní hodnota) tj.
Hodnoty tangenciálních napětí v příčných řezech nosníku a v řezech jeho rovin rovnoběžných s neutrální vrstvou jsou tedy určeny vzorcem
Zde Q je smyková síla v průřezu uvažovaného nosníku; - statický moment (vzhledem k neutrální ose) řezné části průřezu nacházející se na jedné straně úrovně, na které se zjišťují smyková napětí; J je moment setrvačnosti celého průřezu vzhledem k neutrální ose; - šířka průřezu nosníku v úrovni, ve které se určují smyková napětí.
Výraz (28.7) se nazývá Zhuravského formule.
Tangenciální napětí se určí pomocí vzorce (28.7) v následujícím pořadí:
1) je nakreslen průřez nosníku;
2) pro tento průřez jsou určeny hodnoty příčné síly Q a hodnota J momentu setrvačnosti průřezu vzhledem k hlavní středové ose, která se shoduje s neutrální osou;
3) v příčném řezu na úrovni, pro kterou jsou stanovena tangenciální napětí, je nakreslena přímka rovnoběžná s neutrální osou, která odřízne část řezu; délka segmentu této přímky, uzavřeného uvnitř obrysu příčného řezu, je šířkou zahrnutou ve jmenovateli vzorce (28.7);
4) vypočítá se statický moment S části řezu (umístěné na jedné straně přímky specifikované v odstavci 3) vzhledem k neutrální ose;
5) vzorec (28.7) určuje absolutní hodnotu smykového napětí. Znaménko tečných napětí v průřezu nosníku se shoduje se znaménkem příčné síly působící v tomto řezu. Znaménko tangenciálních napětí v oblastech rovnoběžných s neutrální vrstvou je opačné než znaménko příčné síly.
Určijme jako příklad tangenciální napětí v pravoúhlém průřezu nosníku znázorněného na Obr. 41,7, a. Příčná síla v tomto úseku působí rovnoběžně s osou y a je rovna
Moment setrvačnosti průřezu kolem osy
Pro určení smykového napětí v určitém bodě C vedeme tímto bodem přímku 1-1 rovnoběžnou s osou (obr. 41.7, a).
Určíme statický moment S části řezu odříznuté přímkou 1-1 vzhledem k ose. Jak část úseku umístěná nad přímkou 1-1 (na obr. 41.7, a), tak i část umístěná pod touto přímkou, lze považovat za odříznutou.
Pro vrchol
Dosadíme hodnoty Q, S, J a b do vzorce (28.7):
Z tohoto výrazu vyplývá, že smyková napětí se mění po výšce průřezu podle zákona čtvercové paraboly. Při napětí Nejvyšší napětí jsou přítomna v bodech neutrální osy, tj. při
kde je plocha průřezu.
Tedy v případě obdélníkový úsek největší tečné napětí je 1,5krát větší než jeho průměrná hodnota, rovná se Diagram tečných napětí, znázorňující jejich změnu po výšce úseku nosníku, je na Obr. 41,7, ž.
Pro kontrolu výsledného výrazu [viz vzorec (29.7)] dosadíme do rovnosti (25.7):
Výsledná identita udává správnost vyjádření (29.7).
Parabolický diagram tečných napětí znázorněný na Obr. 41.7, b, je důsledkem toho, že u pravoúhlého řezu se se změnou polohy přímky 1-1 mění statický moment řezné části řezu (viz obr. 41.7, a) podle Obr. podle zákona čtvercové paraboly.
Pro průřezy jakéhokoli jiného tvaru závisí povaha změny tečných napětí podél výšky průřezu na zákoně, kterým se poměr mění, je-li v určitých částech výšky průřezu šířka b konstantní, pak napětí v těchto úseky se mění podle zákona o změně statického momentu
V bodech průřezu nosníku, které jsou nejvzdálenější od neutrální osy, jsou tangenciální napětí rovna nule, jelikož při stanovení napětí v těchto bodech je hodnota statického momentu odříznuté části řezu rovna nule. , rovno nule, se dosadí do vzorce (28.7).
Hodnota 5 dosahuje maxima pro body umístěné na neutrální ose, avšak smyková napětí pro sekce s proměnnou šířkou b nemusí být maximální na neutrální ose. Takže například diagram tečných napětí pro řez znázorněný na Obr. 42.7 a má tvar znázorněný na Obr. 42,7, b.
Tangenciální napětí vznikající při příčném ohybu v rovinách rovnoběžných s neutrální vrstvou charakterizují interakční síly mezi jednotlivými vrstvami nosníku; tyto síly mají tendenci pohybovat sousedními vrstvami vůči sobě navzájem v podélném směru.
Pokud mezi jednotlivými vrstvami nosníku není dostatečné spojení, pak k takovému posunu dojde. Například desky položené na sebe (obr. 43.7, a) budou odolávat vnější zátěž, jako celý nosník (obr. 43.7, b), dokud síly podél rovin dotyku desek nepřekročí třecí síly mezi nimi. Při překonání třecích sil se desky budou pohybovat jedna přes druhou, jak je znázorněno na obr. 43,7, c. V tomto případě se průhyby desek prudce zvýší.
Tangenciální napětí působící v příčných řezech nosníku a v řezech rovnoběžných s neutrální vrstvou způsobují smykové deformace, v jejichž důsledku se pravé úhly mezi těmito úseky deformují, to znamená, že přestávají být přímé. K největším deformacím úhlů dochází v těch bodech průřezu, ve kterých působí největší tangenciální napětí; Na horním a spodním okraji nosníku nedochází k žádným úhlovým deformacím, protože tangenciální napětí jsou nulová.
V důsledku smykových deformací se průřezy nosníku při příčném ohybu ohýbají. To však významně neovlivňuje deformaci podélných vláken, a tedy rozložení normálových napětí v příčných řezech nosníku.
Uvažujme nyní rozložení smykových napětí u tenkostěnných nosníků s průřezy symetrickými vzhledem k ose y, v jejímž směru působí příčná síla Q např. u nosníku průřezu I znázorněného na Obr. 44,7, a.
K tomu pomocí Zhuravského vzorce (28.7) určíme tangenciální napětí v některých charakteristických bodech průřezu nosníku.
V horním bodě 1 (obr. 44.7, a) jsou smyková napětí, protože celá plocha průřezu je umístěna pod tímto bodem, a proto statický moment 5 vzhledem k ose (část plochy průřezu umístěná nad bodem 1) je nula.
V bodě 2, který se nachází přímo nad čárou procházející spodním okrajem vrchní Polička I-nosník, tečná napětí vypočtená pomocí vzorce (28.7),
Mezi body 1 a 2 se napětí [určená vzorcem (28.7)] mění podél čtvercové paraboly jako u pravoúhlého řezu. Ve stěně I nosníku v bodě 3, který se nachází přímo pod bodem 2, smyková napětí
Protože šířka b příruby nosníku I je podstatně větší než tloušťka d vertikální stěna, pak má diagram tečných napětí (obr. 44.7, b) prudký skok v úrovni odpovídající spodní hraně horní pásnice. Pod bodem 3 se tangenciální napětí ve stěně I nosníku mění podle zákona čtvercové paraboly jako u obdélníku. Nejvyšší smyková napětí se vyskytují na úrovni neutrální osy:
Diagram tangenciálních napětí, sestrojený ze získaných hodnot a , je znázorněn na Obr. 44,7, b; je symetrická podle ordináty.
Podle tohoto diagramu působí v bodech umístěných na vnitřních okrajích pásnic (například v bodech 4 na obr. 44.7, a) tečná napětí kolmá na obrys řezu. Ale jak již bylo uvedeno, taková napětí nemohou vzniknout v blízkosti obrysu řezu. V důsledku toho není předpoklad rovnoměrného rozložení tečných napětí podél šířky b průřezu, který je základem pro odvození vzorce (28.7), použitelný pro pásnice I-nosníku; není použitelná pro některé prvky jiných tenkostěnných nosníků.
Tangenciální napětí v pásnicích I-nosníku nelze určit metodami odolnosti materiálů. Tato napětí jsou velmi malá ve srovnání s napětími ve stěně I-nosníku. Proto se s nimi nepočítá a tangenciální diagram napětí je sestaven pouze pro stěnu I nosníku, jak je znázorněno na Obr. 44,7, c.
V některých případech, například při výpočtu složených nosníků, se určuje hodnota T tečných sil působících v úsecích nosníku rovnoběžných s neutrální vrstvou a na jednotku délky. Tuto hodnotu zjistíme vynásobením hodnoty napětí šířkou sekce b:
Dosadíme hodnotu pomocí vzorce (28.7):
Stejně jako v § 17 předpokládáme, že průřez tyče má dvě osy souměrnosti, z nichž jedna leží v rovině ohybu.
Při příčném ohybu tyče vznikají v jejím průřezu tangenciální napětí a při deformaci tyče nezůstává plochá, jako u čistého ohybu. U nosníku plného průřezu však lze vliv tečných napětí při příčném ohybu zanedbat a lze přibližně předpokládat, že stejně jako v případě čistého ohybu zůstává průřez tyče plochý během jeho deformace. Pak zůstávají přibližně platné vzorce pro napětí a křivost odvozené v § 17. Jsou přesné pro speciální případ konstantní smykové síly po délce tyče 1102).
Na rozdíl od čistého ohýbání nezůstává při příčném ohybu ohybový moment a zakřivení konstantní po celé délce tyče. Hlavním úkolem v případě příčného ohybu je určení průhybů. Pro určení malých průhybů můžete použít známou přibližnou závislost zakřivení ohýbané tyče na průhybu 11021. Na základě této závislosti je zakřivení ohnuté tyče x c a průhyb V e, vyplývající z dotvarování materiálu, souvisí vztahem x c = = dV
Dosazením křivosti do tohoto vztahu podle vzorce (4.16) to zjistíme
Integrace poslední rovnice umožňuje získat průhyb vyplývající z dotvarování materiálu nosníku.
Analýzou výše uvedeného řešení problému tečení ohýbané tyče můžeme dojít k závěru, že je zcela ekvivalentní řešení problému ohýbání tyče vyrobené z materiálu, pro který lze aproximovat diagramy tah-tlak. výkonová funkce. Určení průhybů vznikajících v důsledku dotvarování v uvažovaném případě lze proto provést také pomocí Mohrova integrálu k určení pohybu tyčí vyrobených z materiálu, který se neřídí Hookovým zákonem)
