≡×МЕНЮ

• Інтер'єр
• Вікна
• Стіни
• Проекти
• Будівлі

Розв'язання задач «Теорема Піфагора. Самостійна робота "завдання на тему "теорема піфагора" Тренувальні завдання з теореми піфагора

Слайд 2

"Геометрія володіє двома скарбами: один з них - це теорема Піфагора". Йоганн Кеплер

Слайд 3

Закінчіть пропозицію:

Прямокутним трикутником називається трикутник, у якого один із кутів дорівнює ____ 90°

Слайд 4

Сторони трикутника, що утворюють прямий кут, називаються катетами _________

Слайд 5

Сторона трикутника, що лежить проти прямого кута, називається ____________ Закінчіть пропозицію: гіпотенузою

Слайд 6

У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює ____________ Закінчіть речення: сумі квадратів катетів

Слайд 7

Сформульована вище пропозиція зветься ____________ Теорема Піфагора c² = a² + b²

Слайд 8

Якщо у трикутнику квадрат однієї сторони дорівнює суміквадратів двох інших сторін, то такий трикутник – ____________ Закінчіть речення: прямокутний

Слайд 9

S=½d1 d2 S=a² S=ab S=½ah S=ah Проведіть лінії так, щоб відповідність між фігурою та формулою обчислення її площі була вірною S=½ (a +b)h S=½ ab

Слайд 10

Долина усних завдань Острів Незнайок Полянка Здоров'я Місто Майстрів Фортеця Формул Історична стежка

Слайд 11

Долина усних завдань

Слайд 12

Н S Р 12 см 9 см 15 см? Знайдіть: SP

Слайд 13

До? 12 см 13 cм N М Знайдіть: КN 5 cм

Слайд 14

У? 8 см 17 см А D З Знайдіть: АD 15 cм

Слайд 15

Острів Незнайок

Слайд 16

Завдання індійського математика XII століття Бхаскари "На березі річки зростала тополя самотня. річки.Залишилося три фути всього від стовбура,Прошу тебе, скоро тепер мені скажи:У тополі як велика висота?"

Слайд 17

З однієї точки на землі вирушили в дорогу автомобіль та літак. Автомобіль подолав відстань 8 км, коли літак опинився на висоті 6 км. Який шлях пролетів літак у повітрі з моменту зльоту? Завдання

Слайд 18

8 км 6 км? км

Слайд 19

Вирішуємо за підручником завдання № 494 (стор. 133)

Слайд 20

Полянка Здоров'я

Слайд 21

(580 – 500 р. до н.е.) Піфагор

Слайд 22

Щоб пізнати науки, Піфагор багато подорожував, в одній із грецьких колонійПівденній Італії у місті Кротоні він організував гурток молоді з представників аристократії, куди приймалися з великими церемоніями після тривалих випробувань. Кожен вступник зрікався свого майна і давав клятву зберігати в таємниці вчення засновника. Так виникла знаменита "Піфагорійська школа".

Слайд 23

Піфагорійці займалися математикою, філософією, науками. Ними було зроблено багато важливих відкриттів в арифметиці та геометрії. Проте, у школі існував Декрет, яким авторство всіх математичних робіт приписувалося Піфагору.

Коли ви тільки починали вивчати квадратне коріння і способи вирішення ірраціональних рівнянь (рівностей, що містять невідому під знаком кореня), ви, ймовірно, отримали перше уявлення про їхнє практичному використанні. Вміння отримувати квадратний коріньз чисел також необхідно вирішення завдань застосування теореми Піфагора. Ця теорема пов'язує довжини сторін будь-якого прямокутного трикутника.

Нехай довжини катетів прямокутного трикутника (тих двох сторін, які сходяться під прямим кутом) будуть позначені літерами і , а довжина гіпотенузи (найдовшої сторони трикутника, розташованої навпроти прямого кута) буде позначена літерою . Тоді відповідні довжини пов'язані наступним співвідношенням:

Дане рівняння дозволяє знайти довжину сторони прямокутного трикутника у тому випадку, коли відома довжина двох інших сторін. Крім того, воно дозволяє визначити, чи трикутник, що розглядається, прямокутним, за умови, що довжини всіх трьох сторін заздалегідь відомі.

Розв'язання задач з використанням теореми Піфагора

Для закріплення матеріалу вирішимо такі завдання застосування теореми Піфагора.

Отже, дано:

1. Довжина одного з катетів дорівнює 48, гіпотенузи - 80.
2. Довжина катета дорівнює 84, гіпотенузи - 91.

Приступимо до вирішення:

a) Підстановка даних у наведене вище рівняння дає такі результати:

48 2 + b 2 = 80 2

2304 + b 2 = 6400

b 2 = 4096

b= 64 або b = -64

Оскільки довжина сторони трикутника не може бути виражена негативним числом, другий варіант автоматично відкидається.

Відповідь до першого малюнку: b = 64.

b) Довжина катета другого трикутника знаходиться тим самим способом:

84 2 + b 2 = 91 2

7056 + b 2 = 8281

b 2 = 1225

b= 35 або b = -35

Як і в попередньому випадку, негативне рішеннявідкидається.

Відповідь до другого малюнку: b = 35

Нам дано:

1. Довжини менших сторін трикутника дорівнюють 45 і 55 відповідно, більшій – 75.
2. Довжини менших сторін трикутника дорівнюють 28 і 45 відповідно, більшій – 53.

Вирішуємо завдання:

a) Необхідно перевірити, чи дорівнює сума квадратів довжин менших сторін даного трикутника квадрату довжини більшої:

45 2 + 55 2 = 2025 + 3025 = 5050

Отже, перший трикутник не прямокутний.

b) Виконується та сама операція:

28 2 + 45 2 = 784 + 2025 = 2809

Отже, другий трикутник прямокутний.

Спочатку знайдемо довжину найбільшого відрізка, утвореного точками з координатами (-2, -3) та (5, -2). Для цього використовуємо відому формулу для знаходження відстані між точками у прямокутній системі координат:

Аналогічно знаходимо довжину відрізка, укладеного між точками з координатами (-2, -3) та (2, 1):

Нарешті, визначаємо довжину відрізка між точками з координатами (2, 1) та (5, -2):

Оскільки має місце рівність:

то відповідний трикутник прямокутний.

Таким чином, можна сформулювати відповідь до завдання: оскільки сума квадратів сторін із найменшою довжиною дорівнює квадрату сторони з найбільшою довжиною, точки є вершинами прямокутного трикутника.

Основа (розташована строго горизонтально), косяк (розташований строго вертикально) і трос (протягнутий по діагоналі) формують прямокутний трикутник, відповідно, для знаходження довжини троса може використовуватися теорема Піфагора:

Таким чином, довжина троса складатиме приблизно 3,6 метра.

Дано: відстань від точки R до точки P (катет трикутника) дорівнює 24, від точки R до точки Q (гіпотенуза) – 26.

Отже, допомагаємо Віте вирішити завдання. Оскільки сторони трикутника, зображеного на малюнку, імовірно утворюють прямокутний трикутник, для знаходження довжини третьої сторони можна використовувати теорему Піфагора:

Отже, ширина ставка становить 10 метрів.

Сергій Валерійович

ПЕРЕВІРНА РОБОТА ЗА ТЕМОЮ "ТЕОРЕМА ПІФАГОРА" 8 КЛАС, 1 варіант

У квадраті АВСД сторона АВ дорівнює 6 см. Чому дорівнює діагональ квадрата ВД? Зробіть малюнок

ПЕРЕВІРНА РОБОТА ЗА ТЕМОЮ "ТЕОРЕМА ПІФАГОРА" 8 КЛАС, 2 варіант

Знайдіть гіпотенузу у прямокутному трикутнику з катетами 5 і 12 см. Зробіть малюнок.

Знайдіть катет у прямокутному трикутнику, якщо гіпотенуза дорівнює 17 м, а другий катет дорівнює 8 м. Зробіть малюнок

У квадраті АВСД сторона АВ дорівнює 10 см. Чому дорівнює діагональ квадрата ВД? Зробіть малюнок

______________________________________________________________________________________

У прямокутнику довжина дорівнює 40, а ширина - 9, знайдіть діагональ прямокутника. Зробіть малюнок.

У рівнобедреному трикутнику МРК, основа 20 см, знайдіть висоту РН, проведену до основи трикутника, якщо бічна сторона МР дорівнює 26. Зробіть малюнок.

Знайдіть висоту, опущену на гіпотенузу прямокутного трикутника, якщо його катети дорівнюють 3 см і 5 см. Зробіть малюнок.

ПЕРЕВІРНА РОБОТА ЗА ТЕМОЮ "ТЕОРЕМА ПІФАГОРА" 8 КЛАС, 3 варіант

Знайдіть гіпотенузу у прямокутному трикутнику з катетами 6 та 8 см. Зробіть малюнок.

Знайдіть катет у прямокутному трикутнику, якщо гіпотенуза дорівнює 13 м, а другий катет дорівнює 12 м. Зробіть малюнок

У квадраті АВСД сторона АВ дорівнює 11 см. Чому дорівнює діагональ квадрата ВД? Зробіть малюнок

______________________________________________________________________________________

У прямокутнику довжина дорівнює 40, а ширина - 9, знайдіть діагональ прямокутника. Зробіть малюнок.

У рівнобедреному трикутнику МРК, основа 20 см, знайдіть висоту РН, проведену до основи трикутника, якщо бічна сторона МР дорівнює 26. Зробіть малюнок.

Знайдіть висоту, опущену на гіпотенузу прямокутного трикутника, якщо його катети дорівнюють 3 см і 5 см. Зробіть малюнок.

ПЕРЕВІРНА РОБОТА ЗА ТЕМОЮ "ТЕОРЕМА ПІФАГОРА" 8 КЛАС, 4 варіант

Знайдіть гіпотенузу у прямокутному трикутнику з катетами 6 та 8 см. Зробіть малюнок.

Знайдіть катет у прямокутному трикутнику, якщо гіпотенуза дорівнює 17 м, а другий катет дорівнює 8 м. Зробіть малюнок

У квадраті АВСД сторона АВ дорівнює 70 см. Чому дорівнює діагональ квадрата ВД? Зробіть малюнок

______________________________________________________________________________________

У прямокутнику довжина дорівнює 40, а ширина - 9, знайдіть діагональ прямокутника. Зробіть малюнок.

У рівнобедреному трикутнику МРК, основа 20 см, знайдіть висоту РН, проведену до основи трикутника, якщо бічна сторона МР дорівнює 26. Зробіть малюнок.

Знайдіть висоту, опущену на гіпотенузу прямокутного трикутника, якщо його катети дорівнюють 3 см і 5 см. Зробіть малюнок.

Цікаві завдання на тему «Теорема Піфагора» (8 клас)

Землянухіна Д.В., вчитель математики МБОУ «Аннінська ЗОШ з УІОП»

Теорема Піфагора по праву вважається найважливішою в курсі геометрії і заслуговує на пильну увагу. Вона є основою розв'язання багатьох завдань. Тому для формування розуміння значущості теореми Піфагора при вивченні як геометрії, так і інших дисциплін, умінь застосовувати теорему Піфагора до вирішення завдань я пропоную восьмикласникам індивідуальні різнорівневі завдання, що вимагають творчого підходуу рішенні та оформленні. Рішення таких цікавих завдань допомагає також виховувати в учнів інтерес до предмета: математика не здається їм сухою і нудною наукою, діти бачать, що тут потрібні вигадка, політ фантазії, творчі здібності.

Завдання №1. Давньоіндійське завдання.

Над озером тихим
З півфута розміром
Височив лотоса колір.
Він ріс самотньо,
І вітер поривом
Відніс його убік. Ні
Болі квітки над водою.
Знайшов же рибалка його
Ранньою весною
За два фути від місця, де ріс.
Отже, запропоную я запитання:
"Як озера вода тут глибока?"

Яка глибина в сучасних одиницяхдовжини (1 фут ≈ 0,3 м)?

Рішення.

Виконаємо креслення до завдання та позначимо глибину озера АС = Х, тоді AD = AB = Х + 0,5 .

З трикутника ACB за теоремою Піфагора маємо AB 2 – AC 2 = BC 2 ,

(Х + 0,5) 2 - Х 2 = 2 2,

Х 2 + Х + 0,25 - Х 2 = 4,

Таким чином, глибина озера складає 3,75 фути.

3, 75 ∙ 0,3 = 1,125 (м)

Відповідь: 3,75 фути або 1,125 м.

Завдання №2. Завдання індійського математика XII ст. Бхаскар.

На березі річки росла тополя самотня. Раптом вітру порив його ствол надламав. Бідолашна тополя впала. І кут прямий з течією річки його ствол становив. Запам'ятай тепер, що там ріка чотири лише фута була широка. Верхівка схилилася біля краю річки, залишилося три фути всього від стовбура. Прошу тебе, скоро тепер скажи: у тополі як велика висота?

Рішення.

Відповідь: 8 футів.

Завдання №3. Завдання арабського математика XI в.

На обох берегах річки росте по пальмі одна проти одної. Висота однієї 30 ліктів, інший – 20 ліктів. Відстань між їх основами – 50 ліктів. На верхівці кожної пальми сидить птах. Раптом обидві птахи помітили рибу, що випливла до поверхні води між пальмами. Вони кинулися до неї одразу і досягли її одночасно. На якій відстані від основи більше високої пальмиз'явилася риба?

Завдання №4. Єгипетське завдання.

На глибині 12 футів росте лотос із 13-футовим стеблом. Визначте, яку відстань квітка може відхилитися від вертикалі, що проходить через точку кріплення стебла до дна.

Рішення.

Відповідь: 5 футів.

Завдання №5.

Бамбуковий стовбур в 9 футів заввишки переломлений бурею так, що якщо верхню частинуйого пригнути до землі, то верхівка торкнеться землі на відстані 3 футів від основи стовбура. На якій висоті переломлений ствол?

Рішення.

Відповідь: 4 фути.

Завдання №6.

У центрі квадратного ставка, що має 10 футів у довжину і ширину, росте очерет, що височить на один фут над поверхнею води. Якщо його пригнути до берега, до середини боку ставка, він своєю верхівкою досягне берега. Яка глибина ставка в сучасних одиницях довжини (1 фут ≈ 0,3 м)?

Рішення.

Позначимо глибину озера D = х, тоді АВ = ВС = х + 1 – довжина тростини. З ∆ВDС за теоремою Піфагора СD 2 = СВ 2 -ВD 2

5 2 = (х + 1) 2 - х 2,

25 = х 2 + 2х + 1 - х 2,

Значить, глибина ставка 12 футів. 12 ∙ 0,3 = 3,6 (м).

Відповідь: 3,6 м.

Завдання №7.

Ескалатор метрополітену має 17 сходинок від підлоги наземного вестибюля до підлоги підземної станції. Ширина сходів 40 см, висота 20 см. Визначте а) довжину сходів; б) глибину станції по вертикалі.

Рішення.

а) Нехай АВ – довжина сходів із 17 сходинок. З ∆АК D з теореми Піфагора АD= (см), АВ = 45 ∙ 17 = 765 (см) = 7, 65 (м). б) ВС = 40 ∙ 17 = 680 (см). З ∆АСВза теоремою Піфагора АС= (см) = = 3,5 (м).

Відповідь: довжина сходів 7, 65 м, глибина станції 3,5 м.

Завдання №8.

Паралельно прямій дорозі на відстані 500м від неї розташований ланцюг стрільців. Відстань між крайніми стрілками дорівнює 120 м, дальність польоту кулі 2800 м. Яка ділянка дороги знаходиться під обстрілом?

Рішення.

З ∆АН D з теореми Піфагора АН= (Км), АВ = 2 ∙ АН + НК, АВ = 2 ∙ 2,755 + 0,12 ≈ 5,63 (км).

Відповідь: 5,63 км.

Завдання №9.

Пловець поплив від берега річки, весь час гребучи у напрямку перпендикуляром до берега (береги річки вважаємо паралельними). Плив він, наближаючись до протилежного берега зі швидкістю 3 км/год. Через 5 хв. він був протилежному березі. Дізнайтеся, на відстані від помсти початку запливу він вийшов на протилежному березі, вважаючи швидкість течії скрізь рівною 6 км/год.

Рішення.

	Пловець наближався до протилежного берега зі швидкістю , отже ширина річки АВ = 50 ∙ 5 = 250 (м). Швидкість течії річки , отже, протягом знесло його за 5 хв. на 500м (ВС = 500м). По теоремі Піфагора знаходимо відстань від точки початкового запливу до точки виходу протилежний берег АС = ≈ 250 ∙ 2,24=560 (м)

Відповідь: 560 м.

Завдання №10.

Ви пливете на човні озером і хочете дізнатися його глибину. Чи не можна скористатися для цього очеретом, що стирчить з води, не вириваючи його?

Рішення.

Злегка відхиливши очерет і тримаючи його в натягнутому стані, заміряємо відстаньа між точками А і В, в яких очерет перетинає поверхню води відповідно у вертикальному та нахиленому положенні. Повернемо очерет у вихідне положення та визначимо висоту в над водою, на яку підніметься при цьому точка В нахиленого очерету, зайнявши вихідне положення С. Тоді позначивши через D основу очерету, а через х – шукану глибину АD, з прямокутного ∆АВD за теоремою Піфагора знаходимо х 2 +а 2 = (х + в) 2 , х 2 +а 2 = х 2 +2хв+в 2 2хв = а 2 -у 2 , х=

Завдання №11.

Як далеко видно з маяка цієї висоти над рівнем моря?

Рішення.

Відповідь: з висоти маяка 125 м оглядається відстань 40 км.

Завдання №12.

Вертоліт піднімається вертикально нагору зі швидкістю 4 м/с. Визначте швидкість вертольота, якщо швидкість вітру, що дме горизонтально, дорівнює 3 м/с.

Рішення.

v 2 = 3 2 + 4 2 = 25

Відповідь: 5 м/с.

Література:

Борисова Н.А. Урок-конференція з геометрії у 8-му класі