Квадратне рівняння з одним коренем приклад. Як вирішувати квадратні рівняння
», тобто рівняння першого ступеня. У цьому уроці ми розберемо, що називають квадратним рівняннямта як його вирішувати.
Що називають квадратним рівнянням
Важливо!
Ступінь рівняння визначають найбільшою мірою, в якій стоїть невідоме.
Якщо максимальний ступінь, в якій стоїть невідоме - «2», отже, перед вами квадратне рівняння.
Приклади квадратних рівнянь
- 5x 2 − 14x + 17 = 0
- −x 2 + x +
= 01 3 - x 2 + 0,25 x = 0
- x 2 − 8 = 0
Важливо!
Загальний вигляд квадратного рівняння виглядає так:
A x 2 + b x + c = 0- "a", "b" і "c" - задані числа.
- "a" - перший або старший коефіцієнт;
- "b" - другий коефіцієнт;
"c" - вільний член.
Щоб знайти «a», «b» та «c» потрібно порівняти своє рівняння із загальним виглядом квадратного рівняння «ax 2 + bx + c = 0».
| Давайте потренуємося визначати коефіцієнти «a», «b» та «c» у квадратних рівняннях. | Рівняння | |||
|---|---|---|---|---|
|
||||
|
||||
| 1 |
| 3 |
- −x 2 + x +
- a = −1
- b = 1
1 3
- x 2 + 0,25 x = 0
- a = 1
- b = 0,25
- x 2 + 0,25 x = 0
- x 2 − 8 = 0
- b = 0
з = −8
Як вирішувати квадратні рівняння На відміну відлінійних рівнянь для вирішення квадратних рівнянь використовується спеціальна.
формула для знаходження коріння
Запам'ятайте!
- Щоб розв'язати квадратне рівняння потрібно:
- привести квадратне рівняння до загального вигляду "ax 2 + bx + c = 0".
Тобто у правій частині має залишитися лише «0»;
використовувати формулу для коріння:
Давайте на прикладі розберемо, як застосовувати формулу для знаходження коріння квадратного рівняння. Вирішимо квадратне рівняння. X 2 − 3x − 4 = 0.
Рівняння x 2 − 3x − 4 = 0 вже приведено до загального вигляду ax 2 + bx + c = 0 і не вимагає додаткових спрощень. Для його вирішення нам достатньо застосувати
формулу знаходження коріння квадратного рівняння
формулу знаходження коріння квадратного рівняння
формулу знаходження коріння квадратного рівняння
формулу знаходження коріння квадратного рівняння
Визначимо коефіцієнти «a», «b» та «c» для цього рівняння.
x 1; 2 =
З її допомогою вирішується будь-яке квадратне рівняння.
У формулі «x 1;2 = » часто замінюють підкорене вираз
"b 2 - 4ac" на букву "D" і називають дискримінантом. Докладніше поняття дискримінанта у в уроці «Що таке дискримінант ».
Розглянемо інший приклад квадратного рівняння.
x 2 + 9 + x = 7x
У цьому вигляді визначити коефіцієнти «a», «b» та «c» досить складно. Давайте спочатку наведемо рівняння до загального вигляду "ax 2 + bx + c = 0".
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0
Тепер можна використати формулу для коріння.
X 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x =
| 6 |
| 2 |
x = 3
Відповідь: x = 3
Трапляються випадки, коли в квадратних рівняннях немає коріння. Така ситуація виникає, як у формулі під коренем виявляється негативне число.
Просто. За формулами та точними нескладними правилами. На першому етапі
треба задане рівнянняпривести до стандартного вигляду, тобто. до вигляду:
Якщо рівняння вам дано вже у такому вигляді – перший етап робити не потрібно. Найголовніше - правильно
визначити всі коефіцієнти, а, bі c.
Формула для знаходження коріння квадратного рівняння.
Вираз під знаком кореня називається дискримінант . Як бачимо, для знаходження ікса, ми
використовуємо тільки a, b і с. Тобто. коефіцієнти з квадратного рівняння. Просто акуратно підставляємо
значення a, b і су цю формулу і рахуємо. Підставляємо зі своїмизнаками!
Наприклад, у рівнянні:
а =1; b = 3; c = -4.
Підставляємо значення та записуємо:
Приклад практично вирішено:
Це відповідь.
Найпоширеніші помилки - плутанина зі знаками значень a, bі з. Точніше, з підстановкою
негативних значень формулу для обчислення коренів. Тут рятує докладний запис формули
із конкретними числами. Якщо є проблеми з обчисленнями, то й робіть!
Припустимо, треба такий приклад вирішити:
Тут a = -6; b = -5; c = -1
Розписуємо все докладно, уважно, нічого не втрачаючи з усіма знаками та дужками:
Часто квадратні рівняння виглядають трохи інакше. Наприклад, ось так:
А тепер прийміть до уваги практичні прийоми, які різко знижують кількість помилок.
Прийом перший. Не лінуйтесь перед розв'язанням квадратного рівнянняпривести його до стандартного вигляду.
Що це означає?
Припустимо, після будь-яких перетворень ви отримали таке рівняння:
Не кидайтеся писати формулу коріння! Майже напевно, ви переплутаєте коефіцієнти a, b та с.
Побудуйте приклад правильно. Спочатку ікс у квадраті, потім без квадрата, потім вільний член. Ось так:
Позбудьтеся мінусу. Як? Потрібно помножити все рівняння на -1. Отримаємо:
А ось тепер можна сміливо записувати формулу для коріння, рахувати дискримінант і дорішувати приклад.
Дорішайте самостійно. У вас має вийти коріння 2 і -1.
Прийом другий.Перевіряйте коріння! за теоремі Вієта.
Аби вирішити наведених квадратних рівнянь, тобто. якщо коефіцієнт
x 2 +bx+c=0,
тодіx 1 x 2 = c
x 1 +x 2 =−b
Для повного квадратного рівняння, в якому a≠1:
x 2 +bx+c=0,
ділимо все рівняння на а:
→ 
→
де x 1і x 2 – коріння рівняння.
Прийом третій. Якщо у вашому рівнянні є дробові коефіцієнти, - позбавтеся дробів! Домножте
рівняння загальний знаменник.
Висновок. Практичні поради:
1. Перед рішенням наводимо квадратне рівняння до стандартного вигляду, вибудовуємо його правильно.
2. Якщо перед іксом у квадраті стоїть негативний коефіцієнт, ліквідуємо його множенням всього
рівняння на -1.
3. Якщо коефіцієнти дробові - ліквідуємо дроби множенням всього рівняння на відповідний
множник.
4. Якщо ікс у квадраті – чистий, коефіцієнт при ньому дорівнює одиниці, рішення можна легко перевірити по
Квадратне рівняння - це рівняння виду ax^2 + bx + c = 0 де коефіцієнти a, b і c - довільні числа, причому a ≠ 0 інакше це буде вже не квадратне рівняння. Квадратні рівняння або не мають коріння, або мають рівно один корінь, або два різні корені. Першим кроком шукають дискримінанти. Формула: D = b^2 − 4ac.< 0, корней нет; 2. Если D = 0, есть ровно один корень; 3. Если D >1. Якщо D
0, коріння буде два. З першим варіантом зрозуміло, коріння немає. Якщо дискримінант D > 0, коріння можна знайти таким чином: x12 = (-b + - √D) / 2a. Що ж до другого варіанта, коли D = 0, можна використовувати верхню формулу.
Квадратні рівняння починають вивчати у шкільній програмі з курсу математики. Але, на превеликий жаль, далеко не кожен розуміє і знає, як правильно вирішити квадратне рівняння та обчислити його коріння. Спочатку розберемося що таке квадратне рівняння.
Що таке квадратне рівняння Під терміном квадратне рівняння прийнято мати на увазі рівняння алгебри загального виду.Це рівняння маєнаступний вигляд
- : ax2 + bx + c = 0, при цьому a, b і c є якими - чи певними числами, x - невідоме. Дані три числа прийнято називати коефіцієнтами квадратного рівняння:
- a – перший коефіцієнт;
- b – другий коефіцієнт;
с – третій коефіцієнт.
Як знайти коріння квадратного рівняння
Для того, щоб обчислити, чому дорівнюватимуть коріння квадратного рівняння, необхідно знайти дискримінант рівняння. Дискримінантом квадратного рівняння називається вираз, який дорівнює та обчислюється за формулою b2 - 4ac. Якщо дискримінант більший за нуль, корінь обчислюється за формулою: х = -b +-корінь із дискримінанта розділити на 2 а.
Розглянемо з прикладу рівняння 5х у квадраті - 8х +3 = 0
Дискримінант дорівнює вісім у квадраті, мінус чотири помножити на п'ять, помножити на три, тобто = 64 - 4 * 5 * 3 = 64-60 = 4
х1 = 8 +-корінь з чотирьох розділити на два помножені на п'ять = 8 +2/10 = 1
х2 = 8-2/10 = 6/10 = 3/5 = 0, 6
Завдання на квадратне рівняння вивчаються і у шкільній програмі, і у ВНЗ. Під ними розуміють рівняння виду a * x ^ 2 + b * x + c = 0 де x -змінна, a, b, c – константи; a<>0 . Завдання полягає у відшуканні коренів рівняння.
Геометричний зміст квадратного рівняння
Графіком функції, представленої квадратним рівнянням є парабола. Рішення (коріння) квадратного рівняння - це точки перетину параболи з віссю абсцис (х). З цього випливає, що є три можливі випадки:
1) парабола не має точок перетину з віссю абсцис. Це означає, що вона знаходиться у верхній площині з гілками вгору або нижній з гілками вниз. У таких випадках квадратне рівняння не має дійсних коренів (має два комплексні корені).
2) парабола має одну точку перетину з віссю Ох. Таку точку називають вершиною параболи, а квадратне рівняння в ній набуває свого мінімального або максимального значення. У цьому випадку квадратне рівняння має один дійсний корінь (або два однакові корені).
3) Останній випадок на практиці цікавий більше – існує дві точки перетину параболи з віссю абсцис. Це означає, що існує два дійсних кореня рівняння.
На основі аналізу коефіцієнтів при ступенях змінних можна зробити цікаві висновки щодо розміщення параболи.
1) Якщо коефіцієнт а більший за нуль то парабола спрямована гілками вгору, якщо негативний - гілки параболи спрямовані вниз.
2) Якщо коефіцієнт b більший за нуль то вершина параболи лежить у лівій напівплощині, якщо приймає від'ємне значення- то у правій.
Висновок формули для розв'язання квадратного рівняння
Перенесемо константу із квадратного рівняння 
за знак рівності, отримаємо вираз
Помножимо обидві частини на 4а 
Щоб отримати ліворуч повний квадрат додамо в обох частинах b^2 і здійснимо перетворення
Звідси знаходимо
Формула дискримінанта та коріння квадратного рівняння
Дискримінантом називають значення підкореного виразу. Якщо він позитивний, то рівняння має два дійсні корені, що обчислюються за формулою. 
При нульовому дискримінанті квадратне рівняння має одне рішення (два збігаються корені), які легко отримати з наведеної вище формули при D=0 При негативному дискримінанті рівняння дійсних коренів немає. Проте ісують розв'язки квадратного рівняння у комплексній площині, та їх значення обчислюють за формулою 
Теорема Вієта
Розглянемо два корені квадратного рівняння і побудуємо на їх основі квадратне рівняння. З запису легко слідує сама теорема Вієта: якщо маємо квадратне рівняння виду 
то сума його коренів дорівнює коефіцієнту p, взятому з протилежним знаком, а добуток коренів рівняння дорівнює вільному доданку q. Формульний запис вищесказаного буде мати вигляд Якщо в класичному рівнянні константа а відмінна від нуля, то потрібно розділити на неї все рівняння, а потім застосовувати теорему Вієта.
Розклад квадратного рівняння на множники
Нехай поставлене завдання: розкласти квадратне рівняння на множники. Для його виконання спочатку розв'язуємо рівняння (знаходимо коріння). Далі, знайдене коріння підставляємо у формулу розкладання квадратного рівняння. На цьому завдання буде вирішено.
Завдання на квадратне рівняння
Завдання 1. Знайти коріння квадратного рівняння
x^2-26x+120=0.
Рішення: Запишемо коефіцієнти та підставимо у формулу дискримінанта
Корінь із даного значеннядорівнює 14 його легко знайти з калькулятором, або запам'ятати при частому використанніОднак для зручності, наприкінці статті я Вам дам список квадратів чисел, які часто можуть зустрічатися при подібних завданнях.
Знайдене значення підставляємо у формулу коріння 
і отримуємо 
Завдання 2. Вирішити рівняння
2x2+x-3=0.
Рішення: Маємо повне квадратне рівняння, виписуємо коефіцієнти та знаходимо дискримінант 
За відомими формулами знаходимо коріння квадратного рівняння 
Завдання 3. Вирішити рівняння
9x2-12x+4=0.
Рішення: Маємо повне квадратне рівняння. Визначаємо дискримінант
Отримали випадок коли коріння збігається. Знаходимо значення коренів за формулою 
Завдання 4. Вирішити рівняння
x^2+x-6=0.
Рішення: У випадках коли є малі коефіцієнти при їх доцільно застосовувати теорему Вієта. За її умовою одержуємо два рівняння
З другої умови отримуємо, що твір має дорівнювати -6 . Це означає, що один з коренів негативний. Маємо наступну можливу пару рішень (-3; 2), (3; -2). З урахуванням першої умови другу пару рішень відкидаємо.
Коріння рівняння дорівнює
Завдання 5. Знайти довжини сторін прямокутника, якщо його периметр 18 см, а площа 77 см 2 .
Рішення: Половина периметра прямокутника дорівнює сумі сусідніх сторін. Позначимо х – більший біктоді 18-х менша його сторона. Площа прямокутника дорівнює добутку цих довжин:
х (18-х) = 77;
або
х 2 -18х +77 = 0.
Знайдемо дискримінант рівняння
Обчислюємо коріння рівняння 
Якщо х = 11,то 18-х = 7,навпаки теж справедливо (якщо х=7, то 21-х=9).
Завдання 6. Розкласти квадратне 10x2-11x+3=0 рівняння на множники.
Рішення: Обчислимо коріння рівняння, для цього знаходимо дискримінант 
Підставляємо знайдене значення у формулу коренів та обчислюємо 
Застосовуємо формулу розкладання квадратного рівняння за корінням 
Розкривши дужки отримаємо тотожність.
Квадратне рівняння з параметром
Приклад 1. При яких значеннях параметра а ,рівняння (а-3) х 2 + (3-а) х-1/4 = 0 має один корінь?
Рішення: Прямою підстановкою значення а=3 бачимо, що вона не має рішення. Далі скористаємося тим, що з нульовому дискримінанті рівняння має один корінь кратності 2 . Випишемо дискримінант 
спростимо його і прирівняємо до нуля
Отримали квадратне рівняння щодо параметра а рішення якого легко отримати за теоремою Вієта. Сума коренів дорівнює 7 , а їх добуток 12 . Простим перебором встановлюємо, що числа 3,4 будуть корінням рівняння. Оскільки рішення а=3 ми вже відкинули на початку обчислень, єдиним правильним буде - а=4.Таким чином, при а=4 рівняння має один корінь.
Приклад 2. При яких значеннях параметра а ,рівняння а(а+3)х^2+(2а+6)х-3а-9=0має більше одного кореня?
Рішення: Розглянемо спочатку спеціальні точки, ними будуть значення а = 0 і а = -3 . При а = 0 рівняння спроститься до виду 6х-9 = 0; х = 3/2 і буде один корінь. При а=-3 отримаємо тотожність 0=0.
Обчислимо дискримінант 
і знайдемо значення а при якому воно позитивне 
З першої умови отримаємо а>3. Для другого знаходимо дискримінант та коріння рівняння 
Визначимо проміжки, де функція набуває позитивних значень. Підстановкою точки а = 0 отримаємо 3>0
.
Отже, поза проміжку (-3;1/3) функція негативна. Не варто забувати про точку а = 0,яку слід виключити, оскільки в ній вихідне рівняння має один корінь.
В результаті отримаємо два інтервали, які задовольняють умову задачі 
Подібних завдань на практиці буде багато, постарайтеся розібратися із завданнями самостійно та не забувайте враховувати умови, які взаємовиключають один одного. Добре вивчіть формули для вирішення квадратних рівнянь, вони досить часто потрібні при обчисленнях в різних завданняхта науках.
Деякі завдання математики вимагають вміння обчислювати значення кореня квадратного. До таких завдань належить вирішення рівнянь другого порядку. У цій статті наведемо ефективний методобчислення квадратного корінняі використовуємо його під час роботи з формулами коренів квадратного рівняння.
Що таке квадратний корінь?
У математиці цьому поняттю відповідає символ √. Історичні дані кажуть, що він почав використовуватися вперше приблизно у першій половині XVI століття у Німеччині (перша німецька праця з алгебри Крістофа Рудольфа). Вчені вважають, що вказаний символ є трансформованою латинською літерою r (radix означає "корінь" латиною).
Корінь із якогось числа дорівнює такому значенню, квадрат якого відповідає підкореному виразу. На мові математики це визначення виглядатиме так: x = y, якщо y 2 = x.
Корінь з позитивного числа(x > 0) є також позитивним числом (y > 0), проте якщо беруть корінь з негативного числа(x< 0), то его результатом уже будет комплексное число, включающее мнимую единицу i.
Наведемо два простих приклади:
√9 = 3, оскільки 32 = 9; √(-9) = 3i, оскільки i 2 = -1.
Ітераційна формула Герона для знаходження значень коренів квадратних
Наведені вище приклади є дуже простими, і обчислення коренів у них не становить жодних труднощів. Складнощі починають з'являтися вже при знаходженні значень кореня для будь-якого значення, яке не може бути представлене у вигляді квадрата натурального числанаприклад, √10, √11, √12, √13, не кажучи вже про те, що на практиці необхідно знаходити коріння для нецілих чисел: наприклад √(12,15), √(8,5) тощо.
У всіх вищезгаданих випадках слід застосовувати спеціальний метод обчислення квадратного кореня. В даний час таких методів відомо кілька: наприклад, розкладання в ряд Тейлора, поділ стовпчиком і деякі інші. З усіх відомих методів, мабуть, найпростішим і найефективнішим є використання ітераційної формули Герона, яка також відома як вавилонський спосіб визначення квадратних коренів (існують свідчення, що давні вавилоняни застосовували її у своїх практичних обчисленнях).
Нехай необхідно визначити значення x. Формула знаходження квадратного коренямає такий вигляд:
a n+1 = 1/2(a n +x/a n), де lim n->∞ (a n) => x.
Розшифруємо цей математичний запис. Для обчислення √x слід взяти деяке число a 0 (воно може бути довільним, однак для швидкого отримання результату слід вибирати його таким, щоб (a 0) 2 було максимально близько до x. Потім підставити його у вказану формулу обчислення квадратного кореня і отримати нове число a 1 , яке вже буде ближчим до шуканого значення.
Приклад застосування ітераційної формули Герона
Описаний вище алгоритм отримання квадратного кореня з деякого заданого числа для багатьох може звучати досить складно і заплутано, насправді ж виявляється все набагато простіше, оскільки ця формула сходиться дуже швидко (особливо якщо обрано вдале число a 0).
Наведемо простий приклад: необхідно обчислити √11. Виберемо a 0 = 3, тому що 3 2 = 9, що ближче до 11, ніж 4 2 = 16. Підставляючи у формулу, отримаємо:
a 1 = 1/2 (3 + 11/3) = 3,333333;
a 2 = 1/2 (3,33333 + 11/3,33333) = 3,316668;
a 3 = 1/2 (3,316668 + 11/3,316668) = 3,31662.
Далі немає сенсу продовжувати обчислення, оскільки ми отримали, що a 2 і a 3 починають відрізнятись лише у 5-му знаку після коми. Таким чином, достатньо було застосувати лише 2 рази формулу, щоб обчислити √11 з точністю до 0,0001.
В даний час широко використовуються калькулятори та комп'ютери для обчислення коренів, проте зазначену формулу корисно запам'ятати, щоб мати можливість вручну обчислювати їх точне значення.
Рівняння другого порядку
Розуміння того, що таке квадратний корінь, і вміння його обчислювати використовується при вирішенні квадратних рівнянь. Цими рівняннями називають рівності з однією невідомою, загальний виглядяких наведено на малюнку нижче.
Тут c, b і a є деякі числа, причому a не повинно дорівнювати нулю, а значення c і b можуть бути абсолютно довільними, в тому числі і рівними нулю.
Будь-які значення ікса, що задовольняють вказаній на малюнку рівність, називаються його корінням (слід не плутати це поняття з квадратним коренем √). Оскільки аналізоване рівняння має 2-й порядок (x 2), то коріння йому може бути більше, ніж дві числа. Розглянемо далі у статті, як знаходити це коріння.
Знаходження коріння квадратного рівняння (формула)
Цей спосіб розв'язання типу рівностей також називається універсальним, або методом через дискримінант. Його можна використовувати для будь-яких квадратних рівнянь. Формула дискримінанта і коріння квадратного рівняння має такий вигляд:
З неї видно, що коріння залежить від значення кожного з трьох коефіцієнтів рівняння. Більше того, обчислення x 1 відрізняється від розрахунку x 2 лише знаком перед коренем квадратним. Підкорене вираз, яке дорівнює b 2 - 4ac, є чим іншим, як дискримінантом аналізованої рівності. Дискримінант у формулі коріння квадратного рівняння грає важливу роль, оскільки він визначає число та тип рішень. Так, якщо він дорівнює нулю, то рішення буде всього одне, якщо він позитивний, то рівняння має два дійсні коріння, нарешті, негативний дискримінант призводить до двох комплексних коренів x 1 і x 2 .
Теорема Вієта або деякі властивості коренів рівнянь другого порядку
Наприкінці XVI століття один із основоположників сучасної алгебри француз вивчаючи рівняння другого порядку, зміг отримати властивості його коріння. Математично їх можна записати так:
x 1 + x 2 = -b/a та x 1 * x 2 = c/a.
Обидві рівності легко може отримати кожен, для цього необхідно лише виконати відповідні математичні операції з корінням, отриманим через формулу з дискримінантом.
Сукупність цих двох виразів можна по праву назвати другою формулою коренів квадратного рівняння, що дає можливість вгадувати його рішення, не використовуючи у своїй дискримінант. Тут слід зазначити, що хоча обидва вирази справедливі завжди, застосовувати їх для вирішення рівняння зручно тільки в тому випадку, якщо воно може бути розкладене на множники.
Завдання на закріплення здобутих знань
Розв'яжемо математичне завдання, в якому продемонструємо всі прийоми, що обговорюються у статті. Умови завдання такі: необхідно знайти два числа, котрим твір дорівнює -13, а сума становить 4.
Ця умова відразу нагадує про теорему Вієта, застосовуючи формули суми квадратного коріння та їх твори, записуємо:
x 1 + x 2 = -b/a = 4;
x 1 * x 2 = c/a = -13.
Якщо припустити, що a = 1, тоді b = -4 та c = -13. Ці коефіцієнти дозволяють скласти рівняння другого порядку:
x 2 – 4x – 13 = 0.
Скористаємося формулою з дискримінантом, отримаємо наступне коріння:
x 1,2 = (4±√D)/2, D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68.
Тобто завдання звелося до знаходження числа √68. Зауважимо, що 68 = 4 * 17, тоді, використовуючи властивість квадратного кореня, отримаємо: √68 = 2√17.
Тепер скористаємось розглянутою формулою квадратного кореня: a 0 = 4, тоді:
a 1 = 1/2 (4 + 17/4) = 4,125;
a 2 = 1/2 (4,125 + 17/4,125) = 4,1231.
У обчисленні a 3 немає необхідності, оскільки знайдені значення відрізняються лише на 0,02. Таким чином, √68 = 8,246. Підставляючи його у формулу для x 1,2 отримаємо:
x 1 = (4 + 8,246) / 2 = 6,123 і x 2 = (4 - 8,246) / 2 = -2,123.
Як бачимо, сума знайдених чисел дійсно дорівнює 4, якщо ж знайти їх добуток, то він дорівнює -12,999, що задовольняє умові завдання з точністю до 0,001.
