Що називають лінійним рівнянням із однією змінною. Лінійні рівняння. Рішення, приклади. Щоб знайти корінь рівняння потрібно рівносильними перетворення привести дане нам рівняння до виду
- Рівність із змінною називають рівнянням.
- Вирішити рівняння – значить знайти безліч його коренів. Рівняння може мати один, два, кілька, безліч коренів або не мати їх зовсім.
- Кожне значення змінної, у якому дане рівняння перетворюється на правильну рівність, називається коренем рівняння.
- Рівняння, що мають те саме коріння, називаються рівносильними рівняннями.
- Будь-яке складове рівняння можна перенести з однієї частини рівності до іншої, змінивши при цьому знак доданку на протилежний.
- Якщо обидві частини рівняння помножити або розділити на те саме відмінне від нуля число, то вийде рівняння, рівносильне даному рівнянню.
приклади. Вирішити рівняння.
1. 1,5 х +4 = 0,3 х-2.
1,5 х-0,3 х = -2-4. Зібрали доданки, що містять змінну, у лівій частині рівності, а вільні члени – у правій частині рівності. При цьому застосовували властивість:
1,2 х = -6. Навели подібні доданки за правилом:
х = -6 : 1,2. Обидві частини рівності розділили на коефіцієнт при змінній, оскільки
х = -5. Ділили за правилом розподілу десяткового дробу на десятковий дріб:
щоб розділити число на десятковий дріб, потрібно перенести коми в діленому і дільнику на стільки цифр вправо, скільки їх коштує після коми в дільнику, а потім виконати поділ на натуральне число:
6 : 1,2 = 60 : 12 = 5.
Відповідь: 5.
2. 3∙ (2х-9) = 4 ∙ (Х-4).
6х-27 = 4х-16. Розкрили дужки, використовуючи розподільчий закон множення щодо віднімання: (a-b) ∙ c = a ∙ c-b ∙ c.
6х-4х = -16 +27. Зібрали доданки, що містять змінну, у лівій частині рівності, а вільні члени – у правій частині рівності. При цьому застосовували властивість: будь-яке доданок рівняння можна перенести з однієї частини рівності в іншу, змінивши при цьому знак доданку на протилежний.
2х = 11. Навели подібні доданки за правилом: щоб привести подібні доданки, треба скласти їх коефіцієнти та отриманий результат помножити на їхню загальну буквену частину (тобто до отриманого результату приписати їхню загальну буквену частину).
х = 11 : 2. Обидві частини рівності розділили на коефіцієнт при змінній, оскільки якщо обидві частини рівняння помножити або розділити на те саме відмінне від нуля число, то вийде рівняння, рівносильне даному рівнянню.
Відповідь: 5,5.
3. 7х-(3+2х) = х-9.
7х-3-2х = х-9. Розкрили дужки за правилом розкриття дужок, перед якими стоїть знак «-»: якщо перед дужками стоїть знак "-", то прибираємо дужки, знак "-" і записуємо доданки, що стояли в дужках, із протилежними знаками.
7х-2х-х = -9 +3. Зібрали доданки, що містять змінну, у лівій частині рівності, а вільні члени – у правій частині рівності. При цьому застосовували властивість: будь-яке доданок рівняння можна перенести з однієї частини рівності в іншу, змінивши при цьому знак доданку на протилежний.
4х = -6. Навели подібні доданки за правилом: щоб привести подібні доданки, треба скласти їх коефіцієнти та отриманий результат помножити на їхню загальну буквену частину (тобто до отриманого результату приписати їхню загальну буквену частину).
х = -6 : 4. Обидві частини рівності розділили на коефіцієнт при змінній, оскільки якщо обидві частини рівняння помножити або розділити на те саме відмінне від нуля число, то вийде рівняння, рівносильне даному рівнянню.
Відповідь: -1,5.
3 ∙ (х-5) = 7 ∙ 12 — 4 ∙ (2х-11). Помножили обидві частини рівності на 12 – найменший загальний знаменник для знаменників цих дробів.
3х-15 = 84-8х +44. Розкрили дужки, використовуючи розподільчий закон множення щодо віднімання: щоб різницю двох чисел помножити на третє число, можна окремо зменшується і окремо віднімається помножити на третє число, а потім від першого результату відняти другий результат, тобто.(a-b) ∙ c = a ∙ c-b ∙ c.
3х +8 х = 84 +44 +15. Зібрали доданки, що містять змінну, у лівій частині рівності, а вільні члени – у правій частині рівності. При цьому застосовували властивість: будь-яке доданок рівняння можна перенести з однієї частини рівності в іншу, змінивши при цьому знак доданку на протилежний.
У цьому уроці ти навчишся вирішувати лінійні рівняння та зрозумієш як робити два види перетворень, щоб вирішувати лінійні рівняння було ЛЕГШЕ!
Скільки яблук дісталося кожному другові?
Кожен із нас, не замислюючись, відповість: «Кожному другові дісталося по яблука».
А ось тепер я пропоную все ж таки задуматися... Так-так. Виявляється, відповідаючи на таке просте запитання, ти в голові вирішуєш лінійне рівняння!
або в усній формі - трьом друзям дали по яблуках з розрахунку, що всього є у Васі яблук.
І ось ти вже вирішив лінійне рівняння.
Тепер дамо цьому терміну математичне визначення.
Що таке «лінійні рівняння»
Лінійне рівняння - це рівняння алгебри, у якого повний ступінь складових його багаточленів дорівнює. Воно виглядає так:
Де і - будь-які числа та
Для нашого випадку з Васею та яблуками ми запишемо:
- «Якщо Вася роздасть усім трьом друзям однакову кількість яблук, у нього яблук не залишиться»
«Приховані» лінійні рівняння, або важливість тотожних перетворень
Незважаючи на те, що на перший погляд все гранично просто, при вирішенні рівнянь необхідно бути уважним, тому що лінійними рівняннями називаються не тільки рівняння виду, але й будь-які рівняння, які є перетвореннями та спрощеннями. зводяться до цього виду.
Наприклад:
Ми бачимо, що справа стоїть, що, за ідеєю, вже говорить про те, що рівняння не є лінійним.
Мало того, якщо ми розкриємо дужки, то отримаємо ще два доданки, в яких буде, але не треба поспішати з висновками!
Перш ніж судити, чи є рівняння лінійним, необхідно зробити всі перетворення і таким чином спростити вихідний приклад.
При цьому перетворення можуть змінювати зовнішній вигляд, але не саму суть рівняння.
Іншими словами дані перетворення мають бути тотожнимиабо рівносильними.
Таких перетворень всього два, але вони грають дуже, дуже важливу роль при вирішенні завдань.Розглянемо обидва перетворення на конкретних прикладах.
Перенесення вліво – вправо.
Допустимо, нам необхідно вирішити таке рівняння:
Ще у початковій школі нам казали: «з іксами – вліво, без іксів – вправо».
Який вираз із іксом стоїть праворуч?
Правильно, а не як не.
І це важливо, оскільки при неправильному розумінні цього, начебто простого питання, виходить невірна відповідь.
А який вираз із іксом стоїть зліва?
Правильно, .
Тепер, коли ми з цим розібралися, переносимо всі доданки з невідомими в ліву сторону, а все, що відомо – праворуч.
І пам'ятаючи, що якщо перед числом немає ніякого знака, наприклад, то число позитивно, тобто перед ним стоїть знак « ».
Переніс? Що в тебе вийшло?
Все, що залишилося зробити - навести подібні доданки. Наводимо:
Отже, перше тотожне перетворення ми успішно розібрали, хоч впевнена, що ти і без мене його знав і активно використовував.
Головне - не забувай про знаки при числах і змінюй їх на протилежні під час перенесення через знак рівності!
Множення-поділ.
Почнемо відразу ж із прикладу
Дивимось і розуміємо: що нам не подобається у цьому прикладі?
Невідоме все в одній частині, відомі – в іншій, але щось нам заважає…
І це щось – четвірка, бо якби її не було, все було б ідеально – ікс дорівнює числу – саме так, як нам і потрібно!
Як можна її позбутися?
Перенести праворуч ми не можемо, тому що тоді нам потрібно переносити весь множник (ми ж не можемо її взяти і відірвати від), а переносити весь множник теж немає сенсу.
Настав час згадати про поділ, у зв'язку з чим розділимо все якраз на!
Все це означає і ліву, і праву частину. Так тільки так!
Що в нас виходить?
Ось і відповідь.
Подивимося тепер інший приклад:
Чи здогадуєшся, що потрібно зробити в цьому випадку? Правильно, помножити ліву та праву частини на! Яка ти отримала відповідь? Правильно. .
Напевно, все про тотожні перетворення ти й так уже знав. Вважай, що ми просто освіжили ці знання у твоїй пам'яті і настав час для чогось більшого - Наприклад, для вирішення нашого великого прикладу:
Як ми вже говорили раніше, дивлячись на нього, не скажеш, що дане рівняння є лінійним, але нам необхідно розкрити дужки та здійснити тотожні перетворення. Тож почнемо!
Для початку згадуємо формули скороченого множення, зокрема, квадрат суми та квадрат різниці. Якщо ти не пам'ятаєш, що це таке і як розкриваються дужки, настійно рекомендую почитати тему, тому що ці навички стануть у нагоді тобі при вирішенні практично всіх прикладів, що зустрічаються на іспиті.
Розкрив? Порівнюємо:
Тепер настав час навести подібні доданки. Пам'ятаєш, як нам у тих самих початкових класах казали «не складаємо мухи з котлетами»? Ось нагадую про це. Складаємо все окремо - множники, які мають, множники, які мають й інші множники, у яких немає невідомих. Як приведеш подібні доданки, перенеси всі невідомі вліво, а все, що відомо праворуч. Що в тебе вийшло?
Як ти бачиш, ікси у квадраті зникли, і ми бачимо цілком звичайне лінійне рівняння. Залишилося лише знайти!
І насамкінець скажу ще одну дуже важливу річ про тотожні перетворення - тотожні перетворення застосовні не тільки для лінійних рівнянь, але і для квадратних, дробових раціональних та інших. Просто потрібно запам'ятати, що при перенесенні множників через знак рівності ми змінюємо знак на протилежний, а при розподілі або множенні на якесь число ми множимо/ділимо обидві частини рівняння на ОДНО і те ж число.
Що ще ти виніс із цього прикладу? Що дивлячись на рівняння не завжди можна прямо і точно визначити, чи воно є лінійним чи ні. Необхідно спочатку повністю спростити вираз, і потім судити, яким воно є.
Лінійні рівняння. 3 приклади
Ось тобі ще кілька прикладів для самостійного тренування - визнач, чи є рівняння лінійним і якщо так, знайди його коріння:
Відповіді:
1. Є.
2. Не є.
Розкриємо дужки і наведемо такі складові:
Зробимо тотожне перетворення - розділимо ліву та праву частину на:
Ми бачимо, що рівняння не є лінійним, тому шукати його коріння не потрібно.
3. Є.
Зробимо тотожне перетворення - помножимо ліву і праву частину, щоб позбутися знаменника.
Подумай, чому так важливо, щоб? Якщо ти знаєш відповідь на це питання, переходимо до подальшого вирішення рівняння, якщо ні – обов'язково заглянь у тему, щоб не наробити помилок у складніших прикладах. До речі, як бачиш, ситуація, коли неможлива. Чому?
Отже, продовжуємо та перетворюємо рівняння:
Якщо ти легко з усім упорався, поговоримо про лінійні рівняння з двома змінними.
Лінійні рівняння із двома змінними
Тепер перейдемо до більш складного - лінійних рівнянь із двома змінними.
Лінійні рівнянняз двома змінними мають вигляд:
Де, і – будь-які числа в.
Як ти бачиш, вся різниця лише в тому, що до рівняння додається ще одна змінна. А так все те саме - тут немає іксів у квадраті, немає поділу на змінну тощо. і т.п.
Який би навести тобі життєвий приклад...
Візьмемо того ж Васю. Припустимо, він вирішив, що кожному з трьох друзів він дасть однакову кількість яблук, а яблука залишить собі.
Скільки яблук потрібно купити Васі, якщо кожному другові він дасть по яблуку? А по? А якщо по?
Залежність кількості яблук, яку отримає кожна людина до загальної кількості яблук, яку необхідно придбати, буде виражена рівнянням:
- - кількість яблук, яку отримає людина (або, або);
- - кількість яблук, що Вася візьме собі;
- - скільки всього яблук потрібно купити Васі з урахуванням кількості яблук на людину.
Вирішуючи це завдання, ми отримаємо, що якщо одному другу Вася дасть яблуко, йому необхідно купувати штук, якщо дасть яблука - і т.д.
І взагалі. У нас дві змінні.
Чому б не збудувати цю залежність на графіку?
Будуємо та відзначаємо значення наших, тобто точки, з координатами, і!
Як ти бачиш, і залежать один від одного лінійно, звідси і назва рівнянь - лінійні».
Абстрагуємось від яблук і розглянемо графічно різні рівняння.
Подивися уважно на два побудовані графіки - прямий та параболи, заданими довільними функціями:
Знайди і познач на обох малюнках точки, відповідні.
Що в тебе вийшло?
Ти бачиш, що на графіку першої функції одномувідповідає один, Тобто і лінійно залежать один від одного, що не скажеш про другу функцію.
Звичайно, ти можеш заперечити, що на другому графіку так само відповідає ікс - , але це тільки одна точка, тобто окремий випадок, тому що ти все одно можеш знайти такий, якому відповідає не тільки один.
Та й збудований графік ніяк не нагадує лінію, а є параболою.
Повторюся, ще раз: графіком лінійного рівняння має бути ПРЯМА лінія.
З тим, що рівняння не буде лінійним, якщо у нас йде якоюсь мірою – це зрозуміло на прикладі параболи, хоча для себе ти можеш побудувати ще кілька простих графіків, наприклад, або.
Але я тебе запевняю - жоден з них не являтиме собою ПРЯМУ ЛІНІЮ.
Не віриш? Побудуй, а потім порівняй з тим, що вийшло у мене:
А що буде, якщо ми розділимо щось на, наприклад, якесь число?
Чи буде лінійна залежність та?
Не будемо міркувати, а будуватимемо! Наприклад, збудуємо графік функції.
Якось не виглядає збудоване прямою лінією… відповідно, рівняння не лінійне.
Підведемо підсумки:
- Лінійне рівняння -це рівняння алгебри, у якого повна ступінь складових його багаточленів дорівнює.
- Лінійне рівнянняз однією змінною має вигляд:
, де і - будь-які числа;
Лінійне рівнянняз двома змінними:
, Де, і - будь-які числа. - Не завжди одразу можна визначити, чи є рівняння лінійним чи ні. Іноді, щоб зрозуміти це, необхідно зробити тотожні перетворення перенести вліво/вправо подібні члени, не забувши змінити знак, або помножити/розділити обидві частини рівняння на те саме число.
ЛІНІЙНІ РІВНЯННЯ. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ
1. Лінійне рівняння
Це рівняння алгебри, у якого повний ступінь складових його багаточленів дорівнює.
2. Лінійне рівняння з однією змінноюмає вигляд:
Де і – будь-які числа;
3. Лінійне рівняння із двома зміннимимає вигляд:
Де, і – будь-які числа.
4. Тотожні перетворення
Щоб визначити чи є рівняння лінійним чи ні, необхідно зробити тотожні перетворення:
- перенести ліворуч/праворуч такі члени, не забувши змінити знак;
- помножити/розділити обидві частини рівняння на те саме число.
Стати учнем YouClever,
Підготуватися до ОДЕ або ЄДІ з математики,
А також отримати доступ до підручника YouClever без обмежень.
Лінійне рівняння з однією змінною має загальний вигляд
ax+b=0.
Тут x – це змінна, a та b – коефіцієнти. Інакше a називають «коефіцієнт при невідомій», b – «вільний член».
Коефіцієнти це якісь числа, а розв'язати рівняння - це означає знайти значення x , у якому вираз ax + b = 0 вірно. Наприклад, маємо лінійне рівняння 3x – 6 = 0. Вирішити його – це означає знайти, чому має дорівнювати x , щоб 3x – 6 дорівнювало 0. Виконуючи перетворення, отримаємо:
3x = 6
x = 2
Таким чином, вираз 3x – 6 = 0 вірний при x = 2:
3 * 2 – 6 = 0
2 – це корінь даного рівняння. Коли вирішують рівняння, то знаходять його коріння.
Коефіцієнти a і b можуть бути будь-якими числами, проте бувають такі значення, коли корінь лінійного рівняння з однією змінною не один.
Якщо a = 0, то ax + b = 0 перетворюється на b = 0. Тут x «знищується». Саме вираз b = 0 може бути істинним тільки в тому випадку, якщо знання b - це 0. Тобто рівняння 0 * x + 3 = 0 невірно, тому що 3 = 0 - це хибне твердження. Однак 0 * x + 0 = 0 вірний вираз. Звідси робиться висновок, якщо a = 0 і b ≠ 0 лінійне рівняння з одним змінним корінням немає взагалі, але якщо a = 0 і b = 0, то коріння у рівняння нескінченне безліч.
Якщо b = 0, а a ≠ 0, то рівняння набуде вигляду ax = 0. Зрозуміло, що якщо a ≠ 0, але в результаті множення виходить 0, то значить x = 0. Тобто коренем цього рівняння є 0.
Якщо ж ні a , ні b не дорівнюють нулю, то рівняння ax + b = 0 перетворюється на вигляд
x = -b / a.
Значення x у разі буде залежати від значень a і b . При цьому воно буде одним єдиним. Тобто не можна при одних і тих же коефіцієнтах отримати два або більше різних значень x. Наприклад,
-8.5x - 17 = 0
x = 17 / -8.5
x = -2
Жодне інше число, крім –2 не можна отримати, ділячи 17 на –8.5.
Бувають рівняння, які з першого погляду не схожі на загальний вигляд лінійного рівняння з однією змінною, проте легко перетворюються на нього. Наприклад,
-4.8 + 1.3x = 1.5x + 12
Якщо перенести все до лівої частини, то у правій залишиться 0:
-4.8 + 1.3x - 1.5x - 12 = 0
Тепер рівняння наведено до стандартного вигляду і можна вирішити:
x = 16.8/0.2
x = 84
У статті розглянемо принцип розв'язання таких рівнянь як лінійні рівняння. Запишемо визначення цих рівнянь, поставимо загальний вигляд. Розберемо всі умови знаходження рішень лінійних рівнянь, використовуючи, зокрема, практичні приклади.
Звернемо увагу, що матеріал нижче містить інформацію щодо лінійних рівнянь з однією змінною. Лінійні рівняння із двома змінними розглядаються в окремій статті.
Що таке лінійне рівняння
Визначення 1Лінійне рівняння- Це рівняння, запис якого такий:
a · x = b, де x- Змінна, aі b- Деякі числа.
Таке формулювання використано у підручнику алгебри (7 клас) Ю.М.Макаричева.
Приклад 1
Прикладами лінійних рівнянь будуть:
3 · x = 11(Рівняння з однією змінною xпри а = 5і b = 10);
− 3 , 1 · y = 0 (лінійне рівняння зі змінною y, де а = - 3, 1і b = 0);
x = − 4і − x = 5 , 37(лінійні рівняння, де число aзаписано у явному вигляді і дорівнює 1 і - 1 відповідно. Для першого рівняння b = - 4;для другого - b = 5, 37) і т.п.
У різних навчальних матеріалах можуть траплятися різні визначення. Наприклад, Віленкін Н.Я. до лінійних відносить також ті рівняння, які можна перетворити на вигляд a · x = bза допомогою перенесення доданків з однієї частини до іншої зі зміною знака та приведення подібних доданків. Якщо слідувати такому трактуванню, рівняння 5 · x = 2 · x + 6 -також лінійне.
А ось підручник алгебри (7 клас) Мордковіча А.Г. задає такий опис:
Визначення 2
Лінійне рівняння з однією змінною x – це рівняння виду a · x + b = 0, де aі b- Деякі числа, звані коефіцієнтами лінійного рівняння.
Приклад 2
Прикладом лінійних рівнянь такого виду можуть бути:
3 · x − 7 = 0 (a = 3 , b = − 7) ;
1, 8 · y + 7, 9 = 0 (a = 1, 8, b = 7, 9).
Але також наведено приклади лінійних рівнянь, які ми вже використовували вище: виду a · x = b, наприклад, 6 · x = 35.
Ми відразу домовимося, що в цій статті під лінійним рівнянням з однією змінною ми розумітимемо рівняння запису a · x + b = 0, де x- Змінна; a, b – коефіцієнти. Подібна форма лінійного рівняння нам бачиться найбільш виправданою, оскільки лінійні рівняння – це рівняння алгебри першого ступеня. А інші рівняння, вказані вище, та рівняння, наведені рівносильними перетвореннями на вигляд a · x + b = 0, Визначимо, як рівняння, що зводяться до лінійних рівнянь.
За такого підходу рівняння 5 · x + 8 = 0 – лінійне, а 5 · x = − 8- Рівняння, що зводиться до лінійного.
Принцип розв'язання лінійних рівнянь
Розглянемо, як визначити, чи буде задане лінійне рівняння мати коріння і, якщо так, то скільки і як його визначити.
Визначення 3
Факт наявності коренів лінійного рівняння визначаться значеннями коефіцієнтів aі b.Запишемо ці умови:
- при a ≠ 0лінійне рівняння має єдиний корінь x = - b a;
- при a = 0і b ≠ 0лінійне рівняння не має коріння;
- при a = 0і b = 0лінійне рівняння має безліч коренів. По суті, у даному випадку будь-яке число може стати коренем лінійного рівняння.
Дамо пояснення. Нам відомо, що в процесі розв'язування рівняння можливо здійснювати перетворення заданого рівняння в рівносильне йому, а значить має те ж коріння, що вихідне рівняння, або також не має коріння. Ми можемо робити наступні рівносильні перетворення:
- перенести доданок з однієї частини до іншої, змінивши знак на протилежний;
- помножити або розділити обидві частини рівняння на те саме число, не рівне нулю.
Таким чином, перетворимо лінійне рівняння a · x + b = 0, перенісши доданок bз лівої частини у праву частину зі зміною знака. Отримаємо: a · x = − b.
Отже, виробляємо поділ обох частин рівняння на рівне нулю число а,отримавши в результаті рівність виду x = - b a. Тобто, коли a ≠ 0 ,вихідне рівняння a · x + b = 0рівносильно рівності x = - ba , в якому очевидний корінь - ba .
Методом від протилежного можна продемонструвати, що знайдений корінь - єдиний. Задамо позначення знайденого кореня - b a як х 1 .Висловимо припущення, що є ще один корінь лінійного рівняння з позначенням х 2 .І звичайно: x 2 ≠ x 1 ,а це, у свою чергу, спираючись на визначення рівних чисел через різницю, рівнозначне умові x 1 − x 2 ≠ 0 .З урахуванням вищесказаного ми можемо скласти такі рівності, підставивши коріння:
a · x 1 + b = 0та a · x 2 + b = 0 .
Властивість числових рівностей дає можливість зробити почленное віднімання частин рівностей:
a · x 1 + b − (a · x 2 + b) = 0 − 0, звідси: a · (x 1 − x 2) + (b − b) = 0і далі a · (x 1 − x 2) = 0 .Рівність a · (x 1 − x 2) = 0є невірною, оскільки раніше умовою було поставлено, що a ≠ 0і x 1 − x 2 ≠ 0 .Отримана суперечність і служить доказом того, що при a ≠ 0лінійне рівняння a · x + b = 0має лише один корінь.
Обґрунтуємо ще два пункти умов, що містять a = 0.
Коли a = 0лінійне рівняння a · x + b = 0запишеться як 0 · x + b = 0. Властивість множення числа на нуль дає нам право стверджувати, що яке б число не було взято як x, підставивши його на рівність 0 · x + b = 0отримаємо b = 0 . Рівність справедлива при b = 0; в інших випадках, коли b ≠ 0 ,рівність стає невірною.
Таким чином, коли a = 0та b = 0 , будь-яке число може стати коренем лінійного рівняння a · x + b = 0, оскільки при виконанні цих умов, підставляючи замість xбудь-яке число, отримуємо вірну числову рівність 0 = 0 . Коли ж a = 0і b ≠ 0лінійне рівняння a · x + b = 0зовсім не матиме коріння, оскільки при виконанні зазначених умов, підставляючи замість xбудь-яке число, отримуємо неправильну числову рівність b = 0.
Всі наведені міркування дають нам можливість записати алгоритм, що дає змогу знайти рішення будь-якого лінійного рівняння:
- за видом запису визначаємо значення коефіцієнтів aі bта аналізуємо їх;
- при a = 0і b = 0рівняння матиме нескінченно багато коренів, тобто. будь-яке число стане коренем заданого рівняння;
- при a = 0і b ≠ 0
- при a, відмінному від нуля, починаємо пошук єдиного кореня вихідного лінійного рівняння:
- перенесемо коефіцієнт bу праву частину зі зміною знака на протилежний, наводячи лінійне рівняння до виду a · x = − b;
- обидві частини отриманої рівності ділимо на число a, що дасть нам корінь заданого рівняння, що шукається: x = - b a .
Власне описана послідовність дій і є відповідь на питання, як знаходити рішення лінійного рівняння.
Насамкінець уточнимо, що рівняння виду a · x = bвирішуються за схожим алгоритмом з єдиною відмінністю, що число bу такому записі вже перенесено в потрібну частину рівняння, і при a ≠ 0можна відразу виконувати розподіл частин рівняння на число a.
Таким чином, щоб знайти рішення рівняння a · x = b,використовуємо такий алгоритм:
- при a = 0і b = 0рівняння матиме нескінченно багато коренів, тобто. будь-яке число може стати його коренем;
- при a = 0і b ≠ 0задане рівняння не матиме коріння;
- при a, не рівному нулю, обидві частини рівняння поділяються на число a, що дає можливість знайти єдиний корінь, який дорівнює b a.
Приклади розв'язування лінійних рівнянь
Приклад 3Необхідно вирішити лінійне рівняння 0 · x − 0 = 0.
Рішення
Після запису заданого рівняння бачимо, що a = 0і b = − 0(або b = 0,що те саме). Таким чином, задане рівняння може мати безліч коренів або будь-яке число.
Відповідь: x- Будь-яке число.
Приклад 4
Необхідно визначити, чи має коріння рівняння 0 · x + 2, 7 = 0.
Рішення
За записом визначаємо, що а = 0, b = 2, 7. Таким чином, задане рівняння не матиме коріння.
Відповідь:вихідне лінійне рівняння немає коренів.
Приклад 5
Задано лінійне рівняння 0 , 3 · x − 0 , 027 = 0 .Потрібно вирішити його.
Рішення
По запису рівняння визначаємо, що а = 0,3; b = - 0 , 027 що дозволяє нам стверджувати наявність єдиного кореня у заданого рівняння.
Наслідуючи алгоритм, переносимо b у праву частину рівняння, змінивши знак, отримуємо: 0,3 · x = 0,027.Далі розділимо обидві частини отриманої рівності на а = 0 3 тоді, x = 0 027 0 3 .
Здійснимо поділ десяткових дробів:
0,027 0,3 = 27 300 = 3 · 9 3 · 100 = 9 100 = 0, 09
Отриманий результат є коренем заданого рівняння.
Коротко рішення запишемо так:
0 , 3 · x - 0 , 027 = 0 , 0 , 3 · x = 0 , 027 , x = 0 , 027 0 , 3 , x = 0 , 09 .
Відповідь: x = 0,09.
Для наочності наведемо рішення рівняння запису a · x = b.
Приклад N
Задані рівняння: 1) 0 · x = 0; 2) 0 · x = − 9; 3) - 3 8 · x = - 3 3 4 . Потрібно вирішити їх.
Рішення
Усі задані рівняння відповідають запису a · x = b. Розглянемо по черзі.
У рівнянні 0 · x = 0, a = 0 і b = 0що означає: будь-яке число може бути коренем цього рівняння.
У другому рівнянні 0 · x = − 9: a = 0 і b = − 9 ,таким чином, це рівняння не матиме коріння.
По виду останнього рівняння - 3 8 · x = - 3 3 4 запишемо коефіцієнти: a = - 3 8, b = - 3 3 4, тобто. рівняння має єдиний корінь. Знайдемо його. Поділимо обидві частини рівняння на a отримаємо в результаті: x = - 3 3 4 - 3 8 . Спростимо дріб, застосувавши правило поділу негативних чисел з наступним переведенням змішаного числа в звичайний дріб і поділом звичайних дробів:
3 3 4 - 3 8 = 3 3 4 3 8 = 15 4 3 8 = 15 4 · 8 3 = 15 · 8 4 · 3 = 10
Коротко рішення запишемо так:
3 8 · x = - 3 3 4 , x = - 3 3 4 - 3 8 x = 10 .
Відповідь: 1) x– будь-яке число; 2) рівняння не має коріння; 3) x = 10 .
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter
