≡×МЕНЮ

• Інтер'єр
• Вікна
• Стіни
• Проекти
• Будівлі

Знайти найбільший за модулем корінь рівняння. Модуль числа (абсолютна величина числа), визначення, приклади, властивості

Модуль числа a- Це відстань від початку координат до точки А(a).

Щоб зрозуміти це визначення, підставимо замість змінної aбудь-яке число, наприклад 3 і спробуємо знову прочитати його:

Модуль числа 3 - Це відстань від початку координат до точки А(3 ).

Стає ясно, що модуль це ні що інше, як звичайна відстань. Спробуймо побачити відстань від початку координат до точки А( 3 )

Відстань від початку координат до точки А( 3 ) дорівнює 3 (трьом одиницям або трьом крокам).

Модуль числа позначає двома вертикальними лініями, наприклад:

Модуль числа 3 позначається так: |3|

Модуль числа 4 позначається так: |4|

Модуль числа 5 позначається так: |5|

Ми шукали модуль числа 3 і з'ясували, що він дорівнює 3. Так і записуємо:

Читається як: «Модуль числа три дорівнює три»

Тепер спробуємо відшукати модуль числа -3. Знову ж таки повертаємося до визначення і підставляємо в нього число -3. Тільки замість крапки Aвикористовуємо нову точку B. Крапку Aми вже використали у першому прикладі.

Модулем числа - 3 називають відстань від початку координат до точки B(—3 ).

Відстань від одного пункту до іншого може бути негативним. Тому і модуль будь-якого негативного числабудучи відстанню теж не буде негативним. Модуль числа -3 буде число 3. Відстань від початку координат до точки B(-3) дорівнює також трьом одиницям:

Читається як: «Модуль числа мінус три дорівнює три»

Модуль числа 0 дорівнює 0, оскільки точка з координатою 0 збігається з початком координат, тобто. відстань від початку координат до точки O(0)одно нулю:

«Модуль нуля дорівнює нулю»

Робимо висновки:

• Модуль числа може бути негативним;
• Для позитивного числа та нуля модуль дорівнює самому числу, а для негативного – протилежному числу;
• Протилежні числа мають рівні модулі.

Протилежні числа

Числа, що відрізняються лише знаками називають протилежними. Наприклад, числа −2 та 2 є протилежними. Вони відрізняються лише знаками. У числа −2 знак мінуса, а у 2 знак плюса, але ми його не бачимо, тому що плюс, як ми говорили раніше, за традицією не пишуть.

Ще приклади протилежних чисел:

Протилежні числа мають рівні модулі. Наприклад, знайдемо модулі для −2 та 2

На малюнку видно, що відстань від початку координат до точок A(−2)і B(2)однаково дорівнює двом крокам.

Сподобався урок?
Вступай у нашу нову групу Вконтакте та почні отримувати повідомлення про нові уроки

Модуль — одна з тих речей, про які начебто всі чули, але насправді ніхто нормально не розуміє. Тому сьогодні буде великий урок, присвячений вирішенню рівнянь із модулями.

Відразу скажу: урок буде нескладним. І взагалі модулі взагалі тема відносно нескладна. «Звісно, ​​нескладна! У мене від неї мозок розривається! - скажуть багато учнів, але всі ці розриви мозку відбуваються через те, що у більшості людей у ​​голові не знання, а якась хрень. І мета цього уроку - перетворити хрень на знання.

Трохи теорії

Тож поїхали. Почнемо з найважливішого: що таке модуль? Нагадаю, що модуль числа — це просто те саме число, але взяте без знака «мінус». Тобто, наприклад, $ \ left | -5 \right | = 5 $. Або $ \ left | -129,5 \ right | = 129,5 $.

Ось так просто? Да просто. А чому тоді дорівнює модуль позитивного числа? Тут ще простіше: модуль позитивного числа дорівнює самому цьому числу: $ \ left | 5 \right|=5$; $ \ left | 129,5 \right | = 129,5 $ і т.д.

Виходить цікава річ: різні числаможуть мати той самий модуль. Наприклад: $ \ left | -5 \right|=\left| 5 \right|=5$; $ \ left | -129,5 \right|=\left| 129,5 \ right | = 129,5 $. Неважко помітити, що це числа, у яких модулі однакові: ці числа протилежні. Отже, відзначимо собі, що модулі протилежних чисел рівні:

\[\left| -a \right|=\left| a \right|\]

Ще один важливий факт: модуль ніколи не буває негативним. Яке число ми не взяли — хоч позитивне, хоч негативне — його модуль завжди виявляється позитивним (або в крайньому випадку нулем). Саме тому модуль часто називають абсолютною величиною числа.

Крім того, якщо поєднати визначення модуля для позитивного та негативного числа, то отримаємо глобальне визначення модуля для всіх чисел. А саме: модуль числа дорівнює самому числу, якщо число позитивне (або нуль), або дорівнює протилежному числу, якщо число негативне. Можна записати це у вигляді формули:

Ще є модуль нуля, але він завжди дорівнює нулю. Крім того, нуль — однина, яка не має протилежного.

Отже, якщо розглянути функцію $y=\left| x \right|$ і спробувати намалювати її графік, то вийде така «галка»:

Графік модуля та приклад розв'язання рівняння

З цієї картинки відразу видно, що $ \ left | -m \right|=\left| m \right|$, а графік модуля ніколи не опускається нижче за осі абсцис. Але це ще не все: червоною лінією відзначена пряма $y=a$, яка при позитивних $a$ дає нам відразу два корені: $((x)_(1))$ і $((x)_(2)) $, але про це ми поговоримо пізніше.

Крім чисто алгебраїчного визначення є геометричне. Припустимо, є дві точки на числовій прямій: $((x)_(1))$ і $((x)_(2))$. І тут вираз $\left| ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ - це просто відстань між зазначеними точками. Або, якщо завгодно, довжина відрізка, що з'єднує ці точки:

Модуль - це відстань між точками на числовій прямій

З цього визначення також випливає, що модуль завжди негативний. Але вистачить визначень та теорії — перейдемо до справжніх рівнянь.

Основна формула

Ну гаразд, з визначенням розібралися. Але легше від цього не стало. Як розв'язувати рівняння, що містять цей модуль?

Спокій тільки спокій. Почнемо з найпростіших речей. Розглянемо щось типу такого:

\[\left| x \right|=3\]

Отже, модуль$x$ дорівнює 3. Чому може дорівнювати $x$? Ну, судячи з визначення, нас цілком влаштує $x=3$. Дійсно:

\[\left| 3 \right|=3\]

Чи є інші числа? Кеп ніби натякає, що є. Наприклад, $ x = -3 $ - для нього теж $ \ left | -3 \right | = 3 $, тобто. необхідну рівність виконується.

То, може, якщо пошукати, подумати, ми знайдемо ще числа? А от обломіться: більше чиселні. Рівняння $ \ left | x \right|=3$ має лише два корені: $x=3$ і $x=-3$.

Тепер трохи ускладнимо завдання. Нехай замість змінної $x$ під знаком модуля тусується функція $f\left(x \right)$, а праворуч замість трійки поставимо довільне число $a$. Отримаємо рівняння:

\[\left| f\left(x \right) \right|=a\]

Ну, і як таке вирішувати? Нагадаю: $f\left(x \right)$ - довільна функція, $ a $ - будь-яке число. Тобто. взагалі будь-яке! Наприклад:

\[\left| 2x+1 \right|=5\]

\[\left| 10x-5 \right|=-65\]

Звернімо увагу на друге рівняння. Про нього відразу можна сказати: коріння в нього немає. Чому? Все правильно: тому що в ньому потрібно, щоб модуль дорівнював негативному числу, чого ніколи не буває, оскільки ми вже знаємо, що модуль - число завжди позитивне або в крайньому випадку нуль.

А ось із першим рівнянням все веселіше. Тут два варіанти: або під знаком модуля стоїть позитивний вираз, і тоді $ \ left | 2x+1 \right|=2x+1$, або це вираз все-таки негативне, і тоді $\left| 2x+1 \right|=-\left(2x+1 \right)=-2x-1$. У першому випадку наше рівняння перепишеться так:

\[\left| 2x+1 \right|=5\Rightarrow 2x+1=5\]

І раптово виходить, що підмодульний вираз $2x+1$ дійсно позитивний - він дорівнює числу 5. Тобто. ми можемо спокійно вирішувати це рівняння - отриманий корінь буде шматком відповіді:

Особливо недовірливі можуть спробувати підставити знайдений корінь у вихідне рівняння та переконатися, що справді під модулем буде позитивне число.

Тепер розберемо випадок негативного підмодульного виразу:

\[\left\( \begin(align)& \left| 2x+1 \right|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\end(align) \right.\Rightarrow -2x-1=5 \Rightarrow 2x+1=-5\]

Опа! Знову все чітко: ми припустили, що $2x+1 \lt 0$, і в результаті отримали, що $2x+1=-5$ — це вираз менше нуля. Вирішуємо отримане рівняння, при цьому вже точно знаючи, що знайдений корінь нас влаштує:

Разом ми знову отримали дві відповіді: $ x = 2 $ і $ x = 3 $. Так, обсяг обчислень виявився трохи більшим, ніж у зовсім простому рівнянні $ \ left | x \right|=3$, але нічого не змінилося. То, може, існує якийсь універсальний алгоритм?

Так, такий алгоритм існує. І зараз ми його розберемо.

Звільнення від знаку модуля

Нехай нам дано рівняння $ \ left | f\left(x \right) \right|=a$, причому $a\ge 0$ (інакше, як ми вже знаємо, коріння немає). Тоді можна позбавитися знака модуля за таким правилом:

\[\left| f\left(x \right) \right|=a\Rightarrow f\left(x \right)=\pm a\]

Таким чином, наше рівняння із модулем розпадається на два, але вже без модуля. Ось і вся розробка! Спробуємо вирішити кілька рівнянь. Почнемо ось із такого

\[\left| 5x+4 \right|=10\Rightarrow 5x+4=\pm 10\]

Окремо розглянемо, коли праворуч стоїть десятка з плюсом, і окремо коли з мінусом. Маємо:

\[\begin(align)& 5x+4=10\Rightarrow 5x=6\Rightarrow x=\frac(6)(5)=1,2; \&& 5x+4=-10\Rightarrow 5x=-14\Rightarrow x=-\frac(14)(5)=-2,8. \\\end(align)\]

От і все! Отримали два корені: $ x = 1,2 $ і $ x = -2,8 $. Все рішення зайняло буквально два рядки.

Ок, не питання, давайте розглянемо щось трохи серйозніше:

\[\left| 7-5x \right|=13\]

Знову відкриваємо модуль з плюсом та мінусом:

\[\begin(align)& 7-5x=13\Rightarrow -5x=6\Rightarrow x=-\frac(6)(5)=-1,2; \&& 7-5x=-13\Rightarrow -5x=-20\Rightarrow x=4. \\\end(align)\]

Знову кілька рядків — і відповідь готова! Як я й казав, у модулях немає нічого складного. Потрібно лише запам'ятати кілька правил. Тому йдемо далі і приступаємо з справді складнішим завданням.

Випадок змінної правої частини

А тепер розглянемо таке рівняння:

\[\left| 3x-2 \right|=2x\]

Це рівняння принципово відрізняється від попередніх. Чим? А тим, що праворуч від знака рівності стоїть вираз $2x$ — і ми не можемо заздалегідь знати, чи воно позитивне, чи негативне.

Як бути у такому разі? По-перше, треба раз і назавжди зрозуміти, що якщо права частина рівняння виявиться негативною, то рівняння не матиме коріння— ми вже знаємо, що модуль не може дорівнювати негативному числу.

А по-друге, якщо права частина таки позитивна (або дорівнює нулю), то можна діяти так само, як раніше: просто розкрити модуль окремо зі знаком «плюс» і окремо — зі знаком «мінус».

Таким чином, сформулюємо правило для довільних функцій $f\left(x \right)$ і $g\left(x \right)$ :

\[\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\Rightarrow \left\( \begin(align)& f\left(x \right)=\pm g\left(x \right) ), \\& g\left(x \right)\ge 0. \\\end(align) \right.\]

Щодо нашого рівняння отримаємо:

\[\left| 3x-2 \right|=2x\Rightarrow \left\( \begin(align)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\end(align) \right.\]

Ну, з вимогою $2x\ge 0$ ми якось впораємося. Зрештою, можна тупо підставити коріння, яке ми отримаємо з першого рівняння, і перевірити: чи виконується нерівність чи ні.

Тому розв'яжемо саме рівняння:

\[\begin(align)& 3x-2=2\Rightarrow 3x=4\Rightarrow x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\Rightarrow 3x=0\Rightarrow x=0. \\\end(align)\]

Ну і яке з цих двох коренів задовольняє вимогу $2x\ge 0$? Так обоє! Тому у відповідь підуть два числа: $ x = (4) / (3) \; $ і $ x = 0 $. Ось і все рішення.

Підозрюю, що хтось із учнів уже почав нудьгувати? Що ж, розглянемо ще складніше рівняння:

\[\left| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\]

Хоч воно і виглядає злісно, ​​за фактом це все те саме рівняння виду «модуль дорівнює функції»:

\[\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\]

І вирішується воно так само:

\[\left| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\Rightarrow \left\( \begin(align)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \left(x-((x)^(3)) \right), \\& x-((x )^(3))\ge 0. \\\end(align) \right.\]

З нерівністю ми потім розберемося — воно якесь надто злісне (насправді просте, але ми його вирішувати не будемо). Поки що краще займемося отриманими рівняннями. Розглянемо перший випадок — коли модуль розкривається зі знаком «плюс»:

\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]

Ну, тут і їжу зрозуміло, що потрібно все зібрати зліва, навести подібні і подивитися, що вийде. А вийде ось що:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \&& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\\end(align)\]

Виносимо загальний множник $((x)^(2))$ за дужку і отримуємо дуже просте рівняння:

\[((x)^(2))\left(2x-3 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin(align)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\end(align) \right.\]

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1,5.\]

Тут ми скористалися важливим властивістютвори, заради якого ми і розкладали вихідний багаточлен на множники: твір дорівнює нулю, коли хоча б один із множників дорівнює нулю.

Тепер так само розберемося з другим рівнянням, яке виходить при розкритті модуля зі знаком «мінус»:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\left(x-((x)^(3)) \right); \&((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \&& -3((x)^(2))+2x=0; \& x\left(-3x+2 \right)=0. \\\end(align)\]

Знову те саме: твір дорівнює нулю, коли дорівнює нулю хоча б один із множників. Маємо:

\[\left[ \begin(align)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\end(align) \right.\]

Ну ось ми отримали три корені: $ x = 0 $, $ x = 1,5 $ і $ x = (2) / (3) \; $. Ну, і що з цього набору піде в остаточну відповідь? Для цього пригадаємо, що ми маємо додаткове обмеження у вигляді нерівності:

Як врахувати цю вимогу? Та просто підставимо знайдене коріння і перевіримо: виконується нерівність при цих $x$ чи ні. Маємо:

\[\begin(align)& x=0\Rightarrow x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1,5\Rightarrow x-((x)^(3))=1,5-((1,5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\Rightarrow x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27) \ ge 0; \\\end(align)\]

Таким чином, корінь $ x = 1,5 $ нас не влаштовує. І у відповідь підуть лише два корені:

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(2)(3).\]

Як бачите, навіть у цьому випадку нічого складного не було – рівняння з модулями завжди вирішуються за алгоритмом. Потрібно лише добре розумітися на багаточленах і нерівностях. Тому переходимо до складніших завдань — там уже буде не один, а два модулі.

Рівняння з двома модулями

Досі ми вивчали лише самі прості рівняння— там був один модуль і ще щось. Це "щось ще" ми відправляли в іншу частину нерівності, подалі від модуля, щоб у результаті все звелося до рівняння виду $ \ left | f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$ або навіть більш простому $\left| f\left(x \right) \right|=a$.

Але дитячий садокзакінчився — настав час розглянути щось серйозніше. Почнемо з рівнянь такого типу:

\[\left| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\]

Це рівняння виду "модуль дорівнює модулю". Важливо важливим моментомє відсутність інших доданків і множників: тільки один модуль ліворуч, ще один модуль праворуч - і нічого більше.

Хтось зараз подумає, що такі рівняння вирішуються складніше, ніж те, що ми досі вивчали. А ось і ні: ці рівняння вирішуються навіть простіше. Ось формула:

\[\left| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\Rightarrow f\left(x \right)=\pm g\left(x \right)\]

Всі! Ми просто прирівнюємо підмодульні вирази, ставлячи перед одним із них знак «плюс-мінус». А потім вирішуємо отримані два рівняння - і коріння готове! Жодних додаткових обмежень, жодних нерівностей тощо. Все дуже просто.

Давайте спробуємо вирішувати таке завдання:

\[\left| 2x+3 \right|=\left| 2x-7 \right|\]

Елементарно, Ватсон! Розкриваємо модулі:

\[\left| 2x+3 \right|=\left| 2x-7 \right|\Rightarrow 2x+3=\pm \left(2x-7 \right)\]

Розглянемо окремо кожен випадок:

\[\begin(align)& 2x+3=2x-7\Rightarrow 3=-7\Rightarrow \emptyset ; \\& 2x+3=-\left(2x-7 \right)\Rightarrow 2x+3=-2x+7. \\\end(align)\]

У першому рівнянні коріння немає. Тому що коли це $3=-7$? За яких значень $x$? «Який ще нафіг $x$? Ти обкурився? Там взагалі немає $x$» - скажете ви. І будете праві. Ми здобули рівність, яка не залежить від змінної $x$, і при цьому сама рівність — неправильна. Тому і немає коріння.

З другим рівнянням все трохи цікавіше, але теж дуже просто:

Як бачимо, все вирішилося буквально в пару рядків - іншого від лінійного рівняння ми й не очікували.

У результаті остаточна відповідь: $ x = 1 $.

Ну як? Важко? Звичайно, ні. Спробуємо ще щось:

\[\left| x-1 \right|=\left| ((x)^(2))-3x+2 \right|\]

Знову у нас рівняння виду $ \ left | f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|$. Тому одразу переписуємо його, розкриваючи знак модуля:

\[((x)^(2))-3x+2=\pm \left(x-1 \right)\]

Можливо, хтось зараз запитає: «Гей, що за маячня? Чому «плюс-мінус» стоїть у правого вираження, а не у лівого? Спокійно зараз все поясню. Дійсно, по-хорошому ми повинні були переписати наше рівняння так:

Потім потрібно розкрити дужки, перенести всі складові в один бік від знака рівності (оскільки рівняння, очевидно, в обох випадках буде квадратним), та й далі відшукати коріння. Але погодьтеся: коли «плюс-мінус» стоїть перед трьома доданками (особливо коли один із цих доданків — квадратний вираз), це якось складніше виглядає, ніж ситуація, коли «плюс-мінус» стоїть лише перед двома доданками.

Але ж ніщо не заважає нам переписати вихідне рівняння так:

\[\left| x-1 \right|=\left| ((x)^(2))-3x+2 \right|\Rightarrow \left| ((x)^(2))-3x+2 \right|=\left| x-1 \right|\]

Що сталося? Та нічого особливого: просто поміняли ліву та праву частину місцями. Дрібниця, яка в результаті трохи спростить нам життя.

Загалом вирішуємо це рівняння, розглядаючи варіанти з плюсом і з мінусом:

\[\begin(align)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\Rightarrow ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\left(x-1 \right)\Rightarrow ((x)^(2))-2x+1=0. \\\end(align)\]

Перше рівняння має коріння $x=3$ та $x=1$. Друге взагалі є точним квадратом:

\[((x)^(2))-2x+1=((\left(x-1 \right))^(2))\]

Тому має єдиний корінь: $x=1$. Але це коріння ми вже отримували раніше. Таким чином, у підсумкову відповідь підуть лише два числа:

\[((x)_(1))=3;\quad ((x)_(2))=1.\]

Місія виконана! Можна взяти з полиці та з'їсти пиріжок. Там їх 2, ваш середній.:)

Важливе зауваження. Наявність однакового корінняпри різних варіантахРозкриття модуля означає, що вихідні багаточлени розкладаються на множники, і серед цих множників обов'язково буде загальним. Дійсно:

\[\begin(align)& \left| x-1 \right|=\left| ((x)^(2))-3x+2 \right|; \\& \left| x-1 \right|=\left| \left(x-1 \right)\left(x-2 \right) \right|. \\\end(align)\]

Одна з властивостей модуля: $ \ left | acdot b \right|=\left| a \right|\cdot \left| b \right|$ (тобто модуль твору дорівнює добутку модулів), тому вихідне рівняння можна переписати так:

\[\left| x-1 \right|=\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|\]

Як бачимо, у нас справді виник спільний множник. Тепер, якщо зібрати всі модулі з одного боку, можна винести цей множник за дужку:

\[\begin(align)& \left| x-1 \right|=\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|; \\& \left| x-1 \right|-\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|=0; \\& \left| x-1 \right|\cdot \left(1-\left| x-2 \right| \right)=0. \\\end(align)\]

Ну а тепер згадуємо, що добуток дорівнює нулю, коли хоча б один із множників дорівнює нулю:

\[\left[ \begin(align)& \left| x-1 \right|=0, \\& \left| x-2 \right|=1. \\\end(align) \right.\]

Таким чином, вихідне рівняння з двома модулями звелося до двох найпростіших рівнянь, про які ми говорили на початку уроку. Такі рівняння вирішуються буквально в пару рядків.

Дане зауваження, можливо, здасться надмірно складним та незастосовним на практиці. Однак насправді вам можуть зустрітися набагато більше складні завдання, ніж ті, що ми сьогодні розуміємо. У них модулі можуть комбінуватися з багаточленами, арифметичним корінням, логарифмами і т.д. І в таких ситуаціях можливість знизити загальний ступінь рівняння шляхом винесення чогось за дужку може виявитися дуже доречним.

Тепер хотілося б розібрати ще одне рівняння, яке на перший погляд може здатися маревним. На ньому «залипають» багато учнів, навіть ті, які вважають, що добре розібралися в модулях.

Проте це рівняння вирішується навіть простіше, ніж те, що ми розглядали раніше. І якщо ви зрозумієте чомусь, то отримаєте ще один прийом для швидкого вирішення рівнянь з модулями.

Отже, рівняння:

\[\left| x-((x)^(3)) \right|+\left| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\]

Ні, це не друкарська помилка: між модулями саме плюс. І нам потрібно знайти, за яких $x$ сума двох модулів дорівнює нулю.:)

У чому взагалі проблема? А проблема в тому, що кожен модуль — позитивне число, або в крайньому випадку нуль. А що буде, якщо скласти два позитивні числа? Очевидно, знову позитивне число:

\[\begin(align)& 5+7=12 \gt 0; 0,004+0,0001=0,0041 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\end(align)\]

Останній рядок може наштовхнути на думку: єдиний випадок, коли сума модулів дорівнює нулю - це якщо кожен модуль дорівнюватиме нулю:

\[\left| x-((x)^(3)) \right|+\left| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\Rightarrow \left\( \begin(align)& \left| x-((x)^(3)) \right|=0, \\& \left| ((x)^(2))+x-2 \right|=0.

А коли модуль дорівнює нулю? Тільки в одному випадку - коли підмодульний вираз дорівнює нулю:

\[((x)^(2))+x-2=0\Rightarrow \left(x+2 \right)\left(x-1 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin(align)& x=-2 \\& x=1 \\end(align) \right.\]

Таким чином, у нас є три точки, в яких обнулюється перший модуль: 0, 1 та −1; а також дві точки, в яких обнулюється другий модуль: −2 і 1. Однак нам потрібно, щоб обидва модулі обнулялися одночасно, тому серед знайдених чисел потрібно вибрати ті, що входять до обох наборів. Очевидно, таке число лише одне: $x=1$ — це буде остаточною відповіддю.

Метод розщеплення

Що ж, ми вже розглянули купу завдань та вивчили безліч прийомів. Думаєте, на цьому все? А ось і ні! Зараз ми розглянемо заключний прийом – і водночас найважливіший. Йтиметься про розщеплення рівнянь із модулем. Про що взагалі йтиметься? Повернемося трохи назад і розглянемо якесь просте рівняння. Наприклад, це:

\[\left| 3x-5 \right|=5-3x\]

В принципі ми вже знаємо, як вирішувати таке рівняння, тому що це стандартна конструкція виду $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$. Але спробуємо подивитись на це рівняння трохи під іншим кутом. Точніше, розглянемо вираз, що стоїть під знаком модуля. Нагадаю, що модуль будь-якого числа може дорівнювати самому числу, а може бути протилежний цьому числу:

\[\left| a \right|=\left\( \begin(align)& a,\quad a\ge 0, \\& -a, \quad a \lt 0. \\end(align) \right.\]

Власне, у цій неоднозначності і полягає вся проблема: оскільки число під модулем змінюється (воно залежить від змінної), нам неясно — воно позитивне чи негативне.

Але що якщо спочатку вимагати, щоб це число було позитивним? Наприклад, потрібно, щоб $3x-5 \gt 0$ — у цьому випадку ми гарантовано отримаємо позитивне число під знаком модуля, і цього самого модуля можна повністю позбутися:

Таким чином, наше рівняння перетвориться на лінійне, яке легко вирішується:

Щоправда, всі ці роздуми мають сенс лише за умови $3x-5 \gt 0$ — ми самі запровадили цю вимогу, щоб однозначно розкрити модуль. Тому давайте підставимо знайдений $x=\frac(5)(3)$ в цю умову і перевіримо:

Виходить, що з зазначеному значенні $x$ наша вимога не виконується, т.к. вираз виявився рівним нулю, а нам потрібно, щоб воно було строго більше нуля. Журбинка.:(

Але нічого страшного! Адже є ще варіант $3x-5 0$. Більше того: є ще й випадок $3x-5=0$ — це також потрібно розглянути, інакше рішення буде неповним. Отже, розглянемо випадок $3x-5 \lt 0$:

Очевидно, що модуль розкриється зі знаком «мінус». Але тоді виникає дивна ситуація: і ліворуч, і праворуч у вихідному рівнянні стирчатиме той самий вираз:

Цікаво, за яких таких $x$ вираз $5-3x$ дорівнюватиме виразу $5-3x$? Від таких рівнянь навіть Капітан очевидність подавився б слиною, але ми знаємо: це рівняння є тотожністю, тобто. воно вірне за будь-яких значень змінної!

А це означає, що нас влаштують будь-які $x$. Водночас ми маємо обмеження:

Іншими словами, відповіддю буде не якесь окреме число, а цілий інтервал:

Нарешті залишилося розглянути ще один випадок: $3x-5=0$. Тут все просто: під модулем буде нуль, а модуль нуля теж дорівнює нулю (це прямо випливає з визначення):

Але тоді вихідне рівняння $ \ left | 3x-5 \right|=5-3x$ перепишеться так:

Це коріння ми вже отримували вище, коли розглядали випадок $3x-5 \gt 0$. Більше того, це корінь є рішенням рівняння $3x-5=0$ - це обмеження, яке ми самі ж і ввели, щоб обнулити модуль.

Таким чином, крім інтервалу нас влаштує ще й число, що лежить на самому кінці цього інтервалу:

Об'єднання коренів у рівняннях з модулем

Разом остаточна відповідь: $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \right]$ Не дуже звично бачити таку хрень у відповіді до досить простого (по суті - лінійного) рівняння з модулем Що ж, звикайте: в тому і полягає складність модуля, що відповіді в таких рівняннях можуть виявитися абсолютно непередбачуваними.

Набагато важливіше інше: ми щойно розібрали універсальний алгоритм розв'язання рівняння з модуляєм! І складається цей алгоритм із наступних кроків:

1. Прирівняти кожен модуль, що є у рівнянні, до нуля. Отримаємо кілька рівнянь;
2. Вирішити всі ці рівняння і відзначити коріння на числовій прямій. В результаті пряма розіб'ється на кілька інтервалів, на кожному з яких всі модулі однозначно розкриваються;
3. Вирішити вихідне рівняння для кожного інтервалу та об'єднати отримані відповіді.

От і все! Залишається лише одне питання: куди подіти самі корені, отримані на 1-му кроці? Припустимо, у нас вийшло два корені: $x=1$ та $x=5$. Вони розіб'ють числову пряму на 3 шматки:

Розбиття числової осі на інтервали за допомогою точок

Ну, і які тут інтервали? Зрозуміло, що їх три:

1. Найлівіший: $x \lt 1$ — сама одиниця в інтервал не входить;
2. Центральний: $1\le x \lt 5$ - ось тут одиниця в інтервал входить, проте не входить п'ятірка;
3. Найправіший: $x\ge 5$ - п'ятірка входить тільки сюди!

Я гадаю, ви вже зрозуміли закономірність. Кожен інтервал включає лівий кінець і не включає правий.

На перший погляд, такий запис може здатися незручним, нелогічним і взагалі якимось маревним. Але повірте: після невеликого тренування ви виявите, що саме такий підхід є найбільш надійним і при цьому не заважає однозначно розкривати модулі. Краще використовувати таку схему, ніж щоразу думати: віддавати лівий/правий кінець у поточний інтервал або «перекидати» його в наступний.

Інструкція

Якщо модуль представлений як безперервної функції, то значення її аргументу то, можливо як позитивним, і негативним: |х| = х, х ≥ 0; |х| = - х, х

z1 + z2 = (x1 + x2) + i (y1 + y2);
z1 - z2 = (x1 - x2) + i(y1 - y2);

Легко помітити, що додавання та віднімання комплексних чисел підпорядковується тому ж правилу, що додавання і .

Добуток двох комплексних чисел дорівнює:

z1*z2 = (x1 + iy1) * (x2 + iy2) = x1 * x2 + i * y1 * x2 + i * x1 * y2 + (i ^ 2) * y1 * y2.

Оскільки i^2 = -1, то кінцевий результат дорівнює:

(x1 * x2 - y1 * y2) + i (x1 * y2 + x2 * y1).

Операції зведення у ступінь та вилучення кореня для комплексних чисел визначаються так само, як і для дійсних. Однак у комплексної областідля будь-якого числа існує рівно n таких чисел b, що b n = a, тобто n коренів n-ого ступеня.

Зокрема, це означає, що будь-яке рівняння алгебри n-ого ступеня з однією змінною має рівно n комплексних коренів, деякі з яких можуть бути і .

Відео на тему

Джерела:

• Лекція "Комплексні числа" у 2019

Коренем називають значок, що позначає математичну операцію знаходження такого числа, зведення якого в зазначений перед знаком кореня ступінь має дати число, вказане під цим знаком. Часто на вирішення завдань, у яких є коріння, недостатньо лише розрахувати значення. Доводиться здійснювати і додаткові операції, однією з яких є внесення числа, змінної чи виразу під знак кореня.

Інструкція

Визначте показник ступеня кореня. Показником називають ціле число, що вказує ступінь, в який треба звести результат обчислення кореня, щоб отримати підкорене вираз (то число, з якого витягується цей корінь). Показник ступеня кореня як верхнього індексу перед значком кореня. Якщо це не вказано, це квадратний корінь, Ступінь якого дорівнює двійці. Наприклад, показник кореня √3 двом, показник ³√3 дорівнює трьом, показник кореня ⁴√3 дорівнює чотирьом і т.д.

Зведіть число, яке потрібно внести під знак кореня, до рівня, що дорівнює показнику цього кореня, визначеного вами на попередньому кроці. Наприклад, якщо потрібно внести число 5 під знак кореня ⁴√3, то показником ступеня кореня є четвірка і вам треба результат зведення 5 четвертий ступінь 5⁴=625. Зробити це можна будь-яким зручним вам способом - в розумі, за допомогою калькулятора або відповідних сервісів, розміщених.

Внесіть отримане на попередньому кроці значення під знак кореня як множник підкореного виразу. Для використаного в попередньому кроці прикладу з внесенням під корінь ⁴√3 5 (5*⁴√3), цю дію можна зробити так: 5*⁴√3=⁴√(625*3).

Спростіть отриманий підкорений вираз, якщо це можливо. Наприклад з попередніх кроків це , що треба просто перемножити числа, що стоять під знаком кореня: 5*⁴√3=⁴√(625*3)=⁴√1875. На цьому операцію внесення числа під корінь буде завершено.

Якщо в задачі присутні невідомі змінні, то описані вище кроки можна зробити в загальному вигляді. Наприклад, якщо потрібно внести під корінь четвертого ступеня невідому змінну x, а підкорене вираз дорівнює 5/x³, то вся послідовність дій може бути записана так: x*⁴√(5/x³)=⁴√(x⁴*5/x³)= ⁴√(x*5).

Джерела:

• як називається знак кореня

Дійсних чисел недостатньо для того, щоб вирішити будь-яке квадратне рівняння. Найпростіше з квадратних рівнянь, які мають коріння серед дійсних чисел - це x^2+1=0. При його вирішенні виходить, що x=±sqrt(-1), а згідно із законами елементарної алгебри, витягти корінь парного ступеня з негативного числане можна.

А обчислюється відповідно до таких правил:

Для стислості запису застосовують |а|. Так, |10| = 10; - 1/3 = | 1/3 |; | -100 | =100 і т.д.

Будь-якій величині хвідповідає досить точна величина х|. І значить тотожність у= |х| встановлює уяк деяку функцію аргументу х.

Графікцією функціїпредставлений нижче.

Для x > 0 |x| = x, а для x< 0 |x|= -x; у зв'язку з цим лінія у = | x| при x> 0 поєднана з прямою у = х(бісектриса першого координатного кута), а при х< 0 - с прямой у = -х(бісектриса другого координатного кута).

Окремі рівняннявключають невідомі під знаком модуля.

Довільні приклади таких рівнянь – | х— 1| = 2, |6 — 2х| =3х+ 1 і т.д.

Розв'язання рівняньмістять невідому під знаком модуля базується на тому, що якщо абсолютна величина невідомого числа х дорівнює позитивному числуа, те саме це число х дорівнює або а, або -а.

Наприклад:, якщо | х| = 10, або х=10, або х = -10.

Розглянемо вирішення окремих рівнянь.

Проаналізуємо рішення рівняння х- 1| = 2.

Розкриємо модультоді різниця х- 1 може дорівнювати або + 2, або - 2. Якщо х - 1 = 2, то х= 3; якщо ж х- 1 = - 2, то х= - 1. Робимо підставку і отримуємо, що ці значення задовольняють рівнянню.

Відповідь.Зазначене рівняння має два корені: x 1 = 3, x 2 = - 1.

Проаналізуємо вирішення рівняння | 6 — 2х| = 3х+ 1.

Після розкриття модуляотримуємо: або 6 - 2 х= 3х+ 1, або 6 - 2 х= - (3х+ 1).

В першому випадку х= 1, а в другому х= - 7.

Перевірка.При х= 1 |6 — 2х| = |4| = 4, 3x+ 1 = 4; від суду випливає, х = 1 - коріньданого рівняння.

При x = - 7 |6 — 2x| = |20| = 20, 3x+ 1 = - 20; оскільки 20 ≠ -20, то х= - 7 перестав бути коренем даного рівняння.

Відповідь. Урівняння єдиний корінь: х = 1.

Рівняння такого типу можна вирішувати та графічно.

Так вирішимо, наприклад, графічне рівняння | х- 1| = 2.

Спочатку виконаємо побудову графіка функції у = |x- 1 |. Першим накреслимо графік функції у=х- 1:

Ту частину цього графіка, яка розташована вище за осю хміняти не будемо. Для неї х- 1 > 0 і тому | х-1|=х-1.

Частина графіка, розташована під віссю х, зобразимо симетричнощодо цієї осі. Бо для цієї частини х - 1 < 0 и соответственно |х - 1|= - (х - 1). Утворилася в результаті лінія(суцільна лінія) і буде графіком функціїу = | х—1|.

Ця лінія перетнеться з прямий у= 2 у двох точках: M 1 з абсцисою -1 та М 2 з абсцисою 3. І, відповідно, у рівняння | х- 1 | =2 буде два корені: х 1 = - 1, х 2 = 3.

Термін (module) у буквальному перекладі з латинської означає «захід». Це було введено в математику англійським ученим Р. Котесом. А німецький математик К. Вейєрштрас ввів в обіг знак модуля - символ, яким це поняття позначається при написанні.

Вперше дане поняттявивчається у математиці за програмою 6 класу середньої школи. Згідно з одним із визначень, модуль - це абсолютне значення дійсного числа. Іншими словами, щоб дізнатись модуль дійсного числа, необхідно відкинути його знак.

Графічно абсолютне значення апозначається як |a|.

Основна відмінна рисацього поняття у тому, що він є неотрицательной величиною.

Числа, які відрізняються один від одного лише знаком, називаються протилежними. Якщо значення позитивне, протилежне йому буде негативним, а нуль є протилежним самому собі.

Геометричне значення

Якщо розглядати поняття модуля з позицій геометрії, він позначатиме відстань, яке вимірюється в одиничних відрізках від початку координат до заданої точки. Це визначення повністю розкриває геометричний зміст терміну, що вивчається.

Графічно можна висловити так: |a| = OA.

Властивості абсолютної величини

Нижче будуть розглянуті всі математичні властивості цього поняття та способи запису у вигляді буквених виразів:

Особливості вирішення рівнянь із модулем

Якщо говорити про розв'язання математичних рівнянь і нерівностей, у яких міститься module, необхідно пам'ятати, що їх вирішення потрібно відкрити цей знак.

Наприклад, якщо знак абсолютної величини містить у собі деяке математичне вираз, перед тим як розкрити модуль, необхідно враховувати діючі математичні визначення.

|А + 5| = А + 5якщо, А більше або дорівнює нулю.

5-Аякщо А значення менше нуля.

У деяких випадках знак може розкриватися однозначно за будь-яких значень змінної.

Розглянемо ще один приклад. Побудуємо координатну пряму, де відзначимо все числові значенняабсолютною величиною яких буде 5.

Для початку необхідно накреслити координатну пряму, позначити на ній початок координат і встановити розмір одиничного відрізка. Крім того, пряма повинна мати напрямок. Тепер на цій прямій необхідно нанести розмітки, які дорівнюють величині одиничного відрізка.

Таким чином, ми можемо побачити, що на цій координатній прямій будуть дві точки, що цікавлять нас, зі значеннями 5 і -5.