Kartézské souřadnice bodů v rovině. Rovnice kruhu
Co je souřadnicová rovina?
Termín "souřadnice" přeložený z latinský jazyk znamená slovo "objednaný".
Řekněme, že potřebujeme naznačit polohu bodu v rovině. K tomu vezmeme 2 kolmé přímky, které se nazývají souřadnicové osy, kde X bude osa úsečky, Y bude osa pořadnice a počátek souřadnic bude bod O. Pravé úhly vytvořené pomocí souřadnicových os budeme nazývat souřadnicové úhly.
Tím se dostáváme k definici a nyní víme, že souřadnicová rovina je rovina s daným souřadným systémem.
Nyní se podívejme na číslování souřadnicových úhlů:
Nyní si zobrazme pravoúhlý souřadnicový systém a označme v něm bod M.
Dále musíme nakreslit přímku přes bod M, která bude rovnoběžná s osou Y. Nyní se podívejme, co jsme dostali. Jak vidíme, přímka protíná osu X v bodě, ve kterém bude souřadnice rovna −2. Tato souřadnice je úsečkou bodu M.
Nyní potřebujeme nakreslit přímku bodem M, která bude rovnoběžná s osou X.
Vidíme, že tato přímka protíná osu X v bodě, jehož souřadnice je rovna třem. Tato souřadnice bude pořadnicí bodu M.
Záznam souřadnic aktuálního M bude vypadat takto:
V takovém zápisu je vždy na prvním místě úsečka a na druhém místě ordináta. Pokud vezmeme v úvahu příklad souřadnic bodu M(-2;3), pak -2 funguje jako osa bodu M a pořadnice tohoto bodu bude číslo 3.
Z toho vyplývá, že souřadnicová rovina Každý bod M odpovídá dvojici čísel, jako je jeho úsečka a pořadnice. Bude platit i opačné tvrzení, to znamená, že každá taková dvojice čísel odpovídá jednomu bodu v rovině, pro který jsou tato čísla souřadnicemi.
Cvičení:
Souřadnicová rovina v životě
Myslíte, že by to mohlo být užitečné v Každodenní život znalosti o souřadnicové rovině? A už jste někdy slyšeli frázi jako „zanechte své souřadnice“ nebo „na jakých souřadnicích vás najdete“? A přemýšleli jste někdy o tom, co tyto výrazy mohou znamenat?
Ukazuje se, že vše je velmi jednoduché a banální, a to znamená umístění toho či onoho předmětu, pomocí kterého je snadné najít osobu nebo konkrétní místo. Lze s jistotou říci, že souřadnicové systémy jsou nezbytné praktický život lidé všude.
Takovým souřadnicovým systémem může být buď adresa bydliště, telefonní číslo, místo výkonu práce atd.
Ostatně i při nákupu jízdenek na vlak znáte nejen jeho číslo a cílovou destinaci, ale je třeba uvést i číslo vagónu a sedačky.
K cestě za spolužákem nestačí znát pouze dům, ve kterém bydlí, ale potřebujete znát i číslo bytu.
Cvičení
1. Jaké informace potřebujete vědět, abyste se mohli usadit v divadle?
2. Jaké údaje potřebujete mít k určení bodů na zemském povrchu?
3. Jaké souřadnice lze použít k určení místa v kině?
4. Co potřebujete vědět k určení pozice figurky na šachovnici?
5. Jaké souřadnice používáte při hraní námořní bitvy?
Historický odkaz
Myšlenka použití souřadnic sahá až do starověku. Zpočátku je začali používat astronomové k určování nebeských těles a geografové – k určování polohy a objektů na povrchu Země.
Díky pracím starověkého řeckého astronoma Claudia Plotomea se již ve druhém století vědci naučili určovat zeměpisnou délku a šířku.
Víte, proč v matematice existuje něco jako „kartézský souřadnicový systém“? Ukazuje se, že souřadnicovou metodu, která má obecný matematický význam, objevili francouzští matematici Pierre Fermat a René Descartes v 17. století a v roce 1637 ji René Descartes poprvé popsal v knize o geometrii.
Ale termíny „úsečka“, „souřadnice“ a „souřadnice“ poprvé zavedl Wilhelm Leibniz v sedmnáctém století.
Domácí práce:
Pochopení souřadnicové roviny
Každý objekt (například dům, místo v hledišti, bod na mapě) má svou uspořádanou adresu (souřadnice), která má číselné nebo písmenné označení.
Matematici vyvinuli model, který umožňuje určit polohu předmětu a je tzv souřadnicová rovina.
Chcete-li sestrojit souřadnicovou rovinu, musíte nakreslit $2$ kolmé přímky, na jejichž konci jsou směry „doprava“ a „nahoru“ označeny šipkami. Na čáry se použijí dělení a průsečík čar je nulová značka pro obě měřítka.
Definice 1
Vodorovná čára se nazývá osa x a označuje se x a nazývá se svislá čára osa y a označuje se y.
Dvě kolmé osy x a y s dělením tvoří obdélníkový nebo karteziánský, souřadnicový systém, který navrhl francouzský filozof a matematik René Descartes.
Souřadnicová rovina
Souřadnice bodu
Bod na souřadnicové rovině je definován dvěma souřadnicemi.
Chcete-li určit souřadnice bodu $A$ na souřadnicové rovině, musíte přes něj nakreslit rovné čáry, které budou rovnoběžné se souřadnicovými osami (na obrázku označeny tečkovanou čarou). Průsečík přímky s osou x udává souřadnici $x$ bodu $A$ a průsečík s osou y udává souřadnici y bodu $A$. Při zápisu souřadnic bodu se nejprve zapíše souřadnice $x$ a poté souřadnice $y$.
Bod $A$ na obrázku má souřadnice $(3; 2)$ a bod $B (–1; 4)$.
Chcete-li vykreslit bod na rovině souřadnic, zakročte obrácené pořadí.
Konstrukce bodu na zadaných souřadnicích
Příklad 1
Na souřadnicové rovině sestrojte body $A(2;5)$ a $B(3; –1).$
Řešení.
Konstrukce bodu $A$:
- položte číslo $2$ na osu $x$ a nakreslete kolmou čáru;
- Na ose y vyneseme číslo $5$ a nakreslíme přímku kolmou na osu $y$. V průsečíku kolmých čar získáme bod $A$ se souřadnicemi $(2; 5)$.
Konstrukce bodu $B$:
- Vynesme číslo $3$ na osu $x$ a nakreslete přímku kolmou na osu x;
- Na ose $y$ vyneseme číslo $(–1)$ a nakreslíme přímku kolmou na osu $y$. V průsečíku kolmých čar získáme bod $B$ se souřadnicemi $(3; –1)$.
Příklad 2
Sestrojte body na souřadnicové rovině s danými souřadnicemi $C (3; 0)$ a $D(0; 2)$.
Řešení.
Konstrukce bodu $C$:
- vložte číslo $3$ na osu $x$;
- souřadnice $y$ je rovna nule, což znamená, že bod $C$ bude ležet na ose $x$.
Konstrukce bodu $D$:
- umístit číslo $2$ na osu $y$;
- souřadnice $x$ je rovna nule, což znamená, že bod $D$ bude ležet na ose $y$.
Poznámka 1
Proto na souřadnici $x=0$ bude bod ležet na ose $y$ a na souřadnici $y=0$ bude bod ležet na ose $x$.
Příklad 3
Určete souřadnice bodů A, B, C, D.$
Řešení.
Určíme souřadnice bodu $A$. Za tímto účelem nakreslíme rovné čáry přes tento bod $2$, které budou rovnoběžné se souřadnicovými osami. Průsečík přímky s osou x udává souřadnici $x$, průsečík přímky s pořadnicí souřadnici $y$. Dostaneme tedy, že bod $A (1; 3).$
Určíme souřadnice bodu $B$. Za tímto účelem nakreslíme rovné čáry přes tento bod $2$, které budou rovnoběžné se souřadnicovými osami. Průsečík přímky s osou x udává souřadnici $x$, průsečík přímky s pořadnicí souřadnici $y$. Najdeme ten bod $B (–2; 4).$
Určíme souřadnice bodu $C$. Protože je umístěn na ose $y$, pak je souřadnice $x$ tohoto bodu nula. Souřadnice y je $–2$. Tedy bod $C (0; –2)$.
Určíme souřadnice bodu $D$. Protože je na ose $x$, pak je souřadnice $y$ nula. Souřadnice $x$ tohoto bodu je $–5$. Tedy bod $D (5; 0).$
Příklad 4
Sestrojte body $E(–3; –2), F(5; 0), G(3; 4), H(0; –4), O(0; 0).$
Řešení.
Konstrukce bodu $E$:
- dejte číslo $(–3)$ na osu $x$ a nakreslete kolmou čáru;
- na ose $y$ vyneseme číslo $(–2)$ a nakreslíme kolmici k ose $y$;
- v průsečíku kolmých přímek získáme bod $E (–3; –2).$
Konstrukce bodu $F$:
- souřadnice $y=0$, což znamená, že bod leží na ose $x$;
- Vynesme číslo $5$ na osu $x$ a získáme bod $F(5; 0).$
Konstrukce bodu $G$:
- vložte číslo $3$ na osu $x$ a nakreslete kolmou čáru na osu $x$;
- na ose $y$ vyneseme číslo $4$ a nakreslíme kolmici na osu $y$;
- v průsečíku kolmých přímek získáme bod $G(3; 4).$
Konstrukce bodu $H$:
- souřadnice $x=0$, což znamená, že bod leží na ose $y$;
- Vynesme číslo $(–4)$ na osu $y$ a získáme bod $H(0;–4).$
Konstrukce bodu $O$:
- obě souřadnice bodu jsou rovny nule, což znamená, že bod leží současně jak na ose $y$, tak na ose $x$, je tedy průsečíkem obou os (počátkem souřadnic).
Pravoúhlý souřadnicový systém v rovině
Pravoúhlý souřadnicový systém v rovině tvoří dvě vzájemně kolmé souřadnicové osy X’X a Y’Y. Souřadnicové osy se protínají v bodě O, který se nazývá počátek, na každé ose je zvolen kladný směr. Kladný směr os (v pravotočivém souřadnicovém systému) je zvolen tak, aby při rotaci osy X'X. proti směru hodinových ručiček o 90°, jeho kladný směr se shoduje s kladným směrem osy Y'Y. Čtyři úhly (I, II, III, IV) tvořené souřadnicovými osami X'X a Y'Y se nazývají souřadnicové úhly (viz obr. 1).
Poloha bodu A v rovině je určena dvěma souřadnicemi x a y. Souřadnice x je rovna délce segmentu OB, souřadnice y je rovna délce segmentu OC ve zvolených měrných jednotkách. Segmenty OB a OC jsou definovány čarami vedenými z bodu A rovnoběžně s osami Y'Y a X'X. Souřadnici x nazýváme úsečkou bodu A, souřadnici y nazýváme pořadnicí bodu A. Zapisuje se takto: A(x, y).
Jestliže bod A leží v souřadnicovém úhlu I, pak má bod A kladnou úsečku a pořadnici. Pokud bod A leží v souřadnicovém úhlu II, pak má bod A zápornou úsečku a kladnou osu. Pokud bod A leží v souřadnicovém úhlu III, pak má bod A zápornou úsečku a pořadnici. Pokud bod A leží v souřadnicovém úhlu IV, pak má bod A kladnou úsečku a zápornou osu.
Pravoúhlý souřadnicový systém v prostoru je tvořena třemi navzájem kolmými souřadnými osami OX, OY a OZ. Souřadnicové osy se protínají v bodě O, který se nazývá počátek, na každé ose je zvolen kladný směr označený šipkami a měrná jednotka pro segmenty na osách. Jednotky měření jsou stejné pro všechny osy. OX - osa úsečky, OY - osa pořadnice, OZ - osa aplikace. Kladný směr os je volen tak, že při otočení osy OX proti směru hodinových ručiček o 90° se její kladný směr shoduje s kladným směrem osy OY, pokud je tato rotace pozorována z kladného směru osy OZ. Takový souřadnicový systém se nazývá pravotočivý. Li palec pravá ruka vezměte směr X jako směr X, indexový jako směr Y a střední jako směr Z, pak se vytvoří pravotočivý souřadnicový systém. Podobné prsty levé ruky tvoří levý souřadnicový systém. Není možné kombinovat pravý a levý souřadný systém tak, aby se příslušné osy shodovaly (viz obr. 2).
Poloha bodu A v prostoru je určena třemi souřadnicemi x, y a z. Souřadnice x je rovna délce segmentu OB, souřadnice y je délka segmentu OC, souřadnice z je délka segmentu OD ve zvolených měrných jednotkách. Úseky OB, OC a OD jsou definovány rovinami vedenými z bodu A rovnoběžnými s rovinami YOZ, XOZ a XOY. Souřadnice x se nazývá úsečka bodu A, souřadnice y se nazývá pořadnice bodu A, souřadnice z se nazývá aplikace bodu A. Píše se takto: A(a, b, c).
Orty
Obdélníkový souřadnicový systém (jakéhokoli rozměru) je také popsán sadou jednotkových vektorů zarovnaných se souřadnicovými osami. Počet jednotkových vektorů je roven rozměru souřadnicového systému a všechny jsou na sebe kolmé.
V trojrozměrném případě se takové jednotkové vektory obvykle označují i j k nebo E X E y E z. V tomto případě v případě pravotočivého souřadnicového systému platí následující vzorce s vektorovým součinem vektorů:
- [i j]=k ;
- [j k]=i ;
- [k i]=j .
Příběh
Pravoúhlý souřadnicový systém poprvé představil René Descartes ve svém díle „Discourse on Method“ v roce 1637. Proto se pravoúhlý souřadnicový systém také nazývá - Kartézský souřadnicový systém. Souřadnicová metoda popisu geometrických objektů znamenala začátek analytické geometrie. Pierre Fermat také přispěl k rozvoji souřadnicové metody, ale jeho práce byly poprvé publikovány až po jeho smrti. Descartes a Fermat použili souřadnicovou metodu pouze v rovině.
Souřadnicovou metodu pro trojrozměrný prostor poprvé použil Leonhard Euler již v 18. století.
viz také
Odkazy
Nadace Wikimedia. 2010.
Podívejte se, co je „Rovina souřadnic“ v jiných slovnících:
řezná rovina- (Pn) Souřadnice roviny tečné k ostří v dotyčném bodě a kolmo k hlavní rovině. [...
V topografii síť pomyslných čar, které se obklopují Země v zeměpisné šířce a poledníku, pomocí kterých můžete přesně určit polohu jakéhokoli bodu na zemském povrchu. Zeměpisné šířky se měří od rovníku - velkého kruhu... ... Zeměpisná encyklopedie
V topografii síť pomyslných čar obepínajících zeměkouli v šířkách a polednících, s jejichž pomocí můžete přesně určit polohu libovolného bodu na zemském povrchu. Zeměpisné šířky se měří od rovníku velkého kruhu,... ... Collierova encyklopedie
Tento termín má jiné významy, viz Fázový diagram. Fázová rovina je souřadnicová rovina, ve které jsou podél souřadnicových os vyneseny libovolné dvě proměnné (fázové souřadnice), které jednoznačně určují stav systému... ... Wikipedia
hlavní řezná rovina- (Pτ) Rovina souřadnic kolmá k průsečíku hlavní roviny a roviny řezu. [GOST 25762 83] Témata: zpracování řezání Obecné pojmy: systémy souřadnicových rovin a souřadnicové roviny... Technická příručka překladatele
instrumentální hlavní řezná rovina- (Pτi) Souřadnicová rovina kolmá k průsečíku instrumentální hlavní roviny a řezné roviny. [GOST 25762 83] Témata: zpracování řezání Obecné pojmy: systémy souřadnicových rovin a souřadnicové roviny... Technická příručka překladatele
nástrojová řezná rovina- (Pni) Souřadnicová rovina tečná k řezné hraně v uvažovaném bodě a kolmá k přístrojové hlavní rovině. [GOST 25762 83] Předměty zpracování řezání Obecné pojmy souřadnicového rovinného systému a... ... Technická příručka překladatele
Sestrojíme-li dvě vzájemně kolmé číselné osy v rovině: VŮL A OY, pak budou voláni souřadnicové osy. Horizontální osa VŮL volal osa x(osa X), svislá osa OY - osa y(osa y).
Tečka Ó, stojící na průsečíku os, se nazývá původ. Je to nulový bod pro obě osy. Kladná čísla jsou znázorněny na ose x body vpravo a na ose pořadnice body nahoru od nulového bodu. Záporná čísla jsou znázorněny body vlevo a dolů od počátku souřadnic (body Ó). Rovina, na které leží souřadnicové osy, se nazývá souřadnicová rovina.
Souřadnicové osy rozdělují rovinu na čtyři části, tzv ve čtvrtích nebo kvadranty. Je obvyklé očíslovat tyto čtvrti římskými číslicemi v pořadí, v jakém jsou číslovány na výkresu.
Souřadnice bodu v rovině
Pokud vezmeme libovolný bod na souřadnicové rovině A a nakreslete z něj kolmice k souřadnicovým osám, pak budou základny kolmiček padat na dvě čísla. Číslo, ke kterému se nazývá svislá kolmice úsečka A. Číslo, ke kterému směřuje vodorovná kolmice - pořadnice bodu A.
Na výkrese úsečka bodu A se rovná 3 a pořadnice je 5.
Úsečka a ordináta se nazývají souřadnice daného bodu v rovině.
Souřadnice bodu jsou zapsány v závorkách vpravo od označení bodu. Nejprve se píše úsečka, za ní ordináta. Takže záznam A(3; 5) znamená, že úsečka bodu A se rovná třem a na pořadnici je pět.
Souřadnice bodu jsou čísla, která určují jeho polohu v rovině.
Pokud bod leží na ose x, je jeho pořadnice nula (například bod B se souřadnicemi -2 a 0). Pokud bod leží na ose pořadnice, pak je jeho úsečka rovna nule (např. C se souřadnicemi 0 a -4).
Původ - bod Ó- má úsečku i pořadnici rovnou nule: Ó (0; 0).
Tento systém se nazývá souřadnice obdélníkový nebo karteziánský.
