Mínusová mocnina čísla jak řešit příklady. Zvýšení čísla na zápornou mocninu
Umocňování je operace úzce související s násobením, tato operace je výsledkem opakovaného násobení čísla samo o sobě. Představme si to vzorcem: a1 * a2 * … * an = an.
Například a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8 .
Obecně se umocňování často používá v různých vzorcích v matematice a fyzice. Tato funkce má více vědecký účel než čtyři hlavní: sčítání, odčítání, násobení, dělení.
Zvyšování čísla na mocninu
Zvýšení čísla na mocninu není složitá operace. S násobením souvisí podobně jako vztah mezi násobením a sčítáním. Zápis an je krátký zápis n-tého počtu čísel „a“ vynásobených navzájem.
Zvažte maximálně umocnění jednoduché příklady, přecházíme ke složitějším.
Například 42. 42 = 4 * 4 = 16. Čtyři na druhou (na druhou mocninu) se rovná šestnácti. Pokud nerozumíte násobení 4 * 4, přečtěte si náš článek o násobení.
Podívejme se na další příklad: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Pět krychlových (na třetí mocninu) se rovná sto dvaceti pěti.
Další příklad: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Devět krychlových se rovná sedm set dvacet devět.
Umocňovací vzorce
Abyste správně zvýšili na moc, musíte si zapamatovat a znát níže uvedené vzorce. Není v tom nic extra přirozeného, hlavní je pochopit podstatu a pak se nejen zapamatují, ale budou se i zdát snadné.
Povýšení monomiálu na moc
Co je to monomial? Jedná se o součin čísel a proměnných v libovolném množství. Například dvojka je jednočlenný. A tento článek je právě o povýšení takových monomií na mocnosti.
Pomocí vzorců pro umocňování nebude obtížné vypočítat umocnění monomiu.
Například, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; Pokud umocníte jednočlen na mocninu, pak se každá složka jednočlenu zvýší na mocninu.
Zvýšením proměnné, která již má mocninu na mocninu, se mocniny násobí. Například (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;
Povýšení na negativní sílu
Záporná mocnina je převrácená hodnota čísla. Jaké je reciproční číslo? Převrácená hodnota libovolného čísla X je 1/X. To znamená, že X-1=1/X. To je podstata negativního stupně.
Zvažte příklad (3Y)^-3:
(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).
proč tomu tak je? Protože je ve stupni mínus, jednoduše převedeme tento výraz do jmenovatele a poté jej zvýšíme na třetí mocninu. Jednoduché, že?
Zvýšení na zlomkovou moc
Začněme zvažovat problém na konkrétní příklad. 43/2. Co znamená stupeň 3/2? 3 – čitatel, znamená zvýšení čísla (v tomto případě 4) na kostku. Číslo 2 je jmenovatel, jedná se o extrakci druhé odmocniny čísla (v tomto případě 4).
Pak dostaneme druhou odmocninu z 43 = 2^3 = 8. Odpověď: 8.
Takže jmenovatel zlomkového stupně může být buď 3 nebo 4 nebo jakékoli číslo do nekonečna, a toto číslo určuje stupeň odmocnina, extrahovaný z daného čísla. Jmenovatel samozřejmě nemůže být nula.
Pozvednout kořen k moci
Pokud je odmocnina zvýšena na stupeň rovnající se stupni samotné odmocniny, pak bude odpovědí radikální výraz. Například (√x)2 = x. A tak je v každém případě stupeň kořene a stupeň zvednutí kořene stejné.
Pokud (√x)^4. Potom (√x)^4=x^2. Pro kontrolu řešení převedeme výraz na výraz s desetinnou mocninou. Protože je odmocnina čtvercová, jmenovatel je 2. A pokud je odmocnina zvýšena na čtvrtou mocninu, pak je čitatel 4. Dostaneme 4/2=2. Odpověď: x = 2.
Tak jako tak nejlepší možnost jednoduše převeďte výraz na výraz se zlomkovou mocninou. Pokud se zlomek neruší, pak je to odpověď za předpokladu, že kořen daného čísla není izolovaný.
Zvýšení komplexního čísla na mocninu
Co je komplexní číslo? Komplexní číslo je výraz, který má vzorec a + b * i; a, b jsou reálná čísla. i je číslo, které po umocnění dává číslo -1.
Podívejme se na příklad. (2 + 3i)^2.
(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i + (3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.
Přihlaste se do kurzu „Zrychlete mentální aritmetiku, NE mentální aritmetiku“, abyste se naučili rychle a správně sčítat, odčítat, násobit, dělit, odmocňovat čísla a dokonce extrahovat odmocniny. Za 30 dní se naučíte používat jednoduché triky ke zjednodušení aritmetických operací. Každá lekce obsahuje nové techniky, jasné příklady a užitečné úkoly.
Umocňování online
Pomocí naší kalkulačky můžete vypočítat zvýšení čísla na mocninu:
Umocňování 7. třída
Školáci se začínají zvyšovat až v sedmé třídě.
Umocňování je operace úzce související s násobením, tato operace je výsledkem opakovaného násobení čísla samo o sobě. Představme si to vzorcem: a1 * a2 * … * an=an.
Například, a=2, n=3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.
Příklady řešení:
Prezentace umocňování
Prezentace o zvyšování k pravomocím, určená pro žáky sedmých tříd. Prezentace může objasnit některé nejasné body, ale tyto body se díky našemu článku pravděpodobně nevyjasní.
Sečteno a podtrženo
Podívali jsme se pouze na špičku ledovce, abychom lépe rozuměli matematice – přihlaste se do našeho kurzu: Zrychlení mentální aritmetiky – NE mentální aritmetiky.
Z kurzu se nejen naučíte desítky technik pro zjednodušené a rychlé násobení, sčítání, násobení, dělení a počítání procent, ale také si je procvičíte ve speciálních úkolech a výukových hrách! Mentální aritmetika také vyžaduje hodně pozornosti a soustředění, které se aktivně trénují při řešení zajímavých problémů.
V tomto článku zjistíme, co to je stupeň. Zde uvedeme definice mocniny čísla, přičemž podrobně zvážíme všechny možné exponenty, počínaje přirozeným exponentem a konče iracionálním. V materiálu najdete spoustu příkladů stupňů, pokrývajících všechny jemnosti, které se objevují.
Navigace na stránce.
Mocnina s přirozeným exponentem, druhá mocnina čísla, třetí mocnina čísla
Začněme s . Při pohledu dopředu řekněme, že pro a je dána definice mocniny čísla a s přirozeným exponentem n, kterou budeme nazývat stupně základ, a n, které budeme nazývat exponent. Všimli jsme si také, že stupeň s přirozeným exponentem se určuje prostřednictvím součinu, takže abyste porozuměli níže uvedenému materiálu, musíte rozumět násobení čísel.
Definice.
Mocnina čísla s přirozeným exponentem n je vyjádření tvaru a n, jehož hodnota je rovna součinu n faktorů, z nichž každý je roven a, tedy .
Konkrétně, mocnina čísla a s exponentem 1 je samotné číslo a, tedy a 1 =a.
Okamžitě stojí za zmínku o pravidlech pro čtení diplomů. Univerzální metodačtení záznamu a n je: „a na mocninu n“. V některých případech jsou přijatelné také následující možnosti: „a až n-tá mocnina“ a „n-tá mocnina a“. Vezměme například mocninu 8 12, to je „osm na dvanáct“ nebo „osm na dvanáctou mocninu“ nebo „dvanáctá mocnina osm“.
Druhá mocnina čísla, stejně jako třetí mocnina čísla, mají svá vlastní jména. Druhá mocnina čísla se nazývá odmocni číslo, například 7 2 se čte jako „sedm na druhou“ nebo „druhá mocnina čísla sedm“. Třetí mocnina čísla se nazývá krychlová čísla, například 5 3 lze číst jako „pět kostek“ nebo můžete říci „krychle s číslem 5“.
Je čas přinést příklady stupňů s přirozenými exponenty. Začněme stupněm 5 7, zde 5 je základ stupně a 7 je exponent. Uveďme další příklad: 4,32 je základ a přirozené číslo 9 – exponent (4,32) 9 .
Upozorňujeme, že v posledním příkladu je v závorce zapsán základ mocniny 4.32: abychom předešli nesrovnalostem, dáme do závorek všechny základy mocniny, které se liší od přirozených čísel. Jako příklad uvádíme následující stupně s přirozenými exponenty 
, jejich základy nejsou přirozená čísla, proto se píší v závorkách. Pro úplnou názornost si na tomto místě ukážeme rozdíl obsažený v záznamech ve tvaru (−2) 3 a −2 3. Výraz (−2) 3 je mocnina −2 s přirozeným exponentem 3 a výraz −2 3 (může být zapsán jako −(2 3) ) odpovídá číslu, hodnotě mocniny 2 3 .
Všimněte si, že existuje zápis pro mocninu čísla a s exponentem n ve tvaru a^n. Navíc, jestliže n je vícehodnotové přirozené číslo, pak se exponent bere v závorkách. Například 4^9 je jiný zápis pro mocninu 4 9 . A zde je několik dalších příkladů zápisu stupňů pomocí symbolu „^“: 14^(21) , (−2,1)^(155) . V následujícím budeme primárně používat zápis stupně tvaru a n .
Jedním z problémů obrácených k umocnění s přirozeným exponentem je problém najít základ mocniny podle známá hodnota stupně a známého ukazatele. Tento úkol vede k .
Je známo, že množina racionálních čísel se skládá z celých čísel a zlomků a každý zlomek může být reprezentován jako kladný nebo záporný obyčejný zlomek. V předchozím odstavci jsme definovali stupeň s celočíselným exponentem, proto, abychom dokončili definici stupně s racionálním exponentem, musíme dát význam stupni čísla a se zlomkovým exponentem m/n, kde m je celé číslo a n je přirozené číslo. Pojďme na to.
Uvažujme stupeň se zlomkovým exponentem tvaru . Aby vlastnost power-to-power zůstala platná, musí platit rovnost 
. Pokud vezmeme v úvahu výslednou rovnost a to, jak jsme určili , pak je logické ji přijmout, za předpokladu, že daný výraz m, n a a dává smysl.
Je snadné ověřit, že pro všechny vlastnosti stupně s celočíselným exponentem platí (to bylo provedeno v sekci vlastnosti stupně s racionálním exponentem).
Výše uvedená úvaha nám umožňuje učinit následující závěr: pokud je dáno m, n a a výraz dává smysl, pak se mocnina a se zlomkovým exponentem m/n nazývá n-tá odmocnina z a k mocnině m.
Toto tvrzení nás přibližuje k definici stupně se zlomkovým exponentem. Nezbývá než popsat, při čem m, n a a výraz dává smysl. V závislosti na omezeních m, n a a existují dva hlavní přístupy.
Nejjednodušší způsob je zavést omezení na a tím, že vezmeme a≥0 pro kladné m a a>0 pro záporné m (protože pro m≤0 není stupeň 0 m definován). Pak dostaneme následující definici stupně se zlomkovým exponentem.
Definice.
Mocnina kladného čísla a se zlomkovým exponentem m/n, kde m je celé číslo a n je přirozené číslo, se nazývá n-tá odmocnina čísla a na mocninu m, tedy .
Zlomková mocnina nuly je také určena s jedinou výhradou, že indikátor musí být kladný.
Definice.
Mocnina nuly se zlomkovým kladným exponentem m/n, kde m je kladné celé číslo a n je přirozené číslo, je definován jako 
.
Když stupeň není určen, to znamená, že stupeň čísla nula se zlomkovým záporným exponentem nedává smysl.
Je třeba poznamenat, že s touto definicí stupně se zlomkovým exponentem existuje jedna výhrada: pro některá záporná a a některá m a n výraz dává smysl a tyto případy jsme zavrhli zavedením podmínky a≥0. Například záznamy dávají smysl 
nebo , a výše uvedená definice nás nutí říci, že mocniny se zlomkovým exponentem tvaru 
nedávají smysl, protože základ by neměl být záporný.
Dalším přístupem k určení stupně se zlomkovým exponentem m/n je oddělené uvažování sudých a lichých exponentů odmocniny. Tento přístup vyžaduje dodatečná podmínka: mocnina čísla a, jehož exponent je, se považuje za mocninu čísla a, jehož exponentem je příslušný neredukovatelný zlomek (význam této podmínky si vysvětlíme níže). To znamená, že pokud m/n je neredukovatelný zlomek, pak pro jakékoli přirozené číslo k je stupeň nejprve nahrazen číslem .
Pro sudé n a kladné m má výraz smysl pro libovolné nezáporné a (sudá odmocnina záporného čísla nedává smysl pro záporné m, číslo a musí být stále jiné než nula (jinak dojde k dělení); nulou). A pro liché n a kladné m může být číslo a libovolné (lichý kořen je definován pro libovolný reálné číslo), a pro záporné m musí být číslo a nenulové (aby nedošlo k dělení nulou).
Výše uvedená úvaha nás vede k této definici stupně se zlomkovým exponentem.
Definice.
Nechť m/n je neredukovatelný zlomek, m celé číslo a n přirozené číslo. Pro jakýkoli redukovatelný zlomek je stupeň nahrazen znakem . Mocnina čísla s neredukovatelným zlomkovým exponentem m/n je pro
Vysvětleme, proč je stupeň s redukovatelným zlomkovým exponentem nejprve nahrazen stupněm s neredukovatelným exponentem. Pokud bychom jednoduše definovali stupeň jako , a neučinili výhradu k neredukovatelnosti zlomku m/n, pak bychom se ocitli v situacích podobných následujícím: protože 6/10 = 3/5, pak musí platit rovnost 
, Ale 
, A.
Zvýšení na zápornou mocninu je jedním ze základních prvků matematiky a často se s ním setkáváme při řešení algebraických problémů. Níže jsou uvedeny podrobné pokyny.
Jak se povznést k negativní síle - teorie
Když číslo umocníme na obyčejnou mocninu, jeho hodnotu několikrát vynásobíme. Například 3 3 = 3 × 3 × 3 = 27. C záporný zlomek je to naopak. Obecná forma podle vzorce bude mít další pohled: a-n = 1/a n. Chcete-li tedy zvýšit číslo na zápornou mocninu, musíte jedničku vydělit daným číslem, ale na kladnou mocninu.
Jak zvýšit na zápornou mocninu - příklady na obyčejných číslech
S ohledem na výše uvedené pravidlo vyřešme několik příkladů.
4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Odpověď: 4-2 = 1/16
4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Odpověď -4 -2 = 1/16.
Proč jsou ale odpovědi v prvním a druhém příkladu stejné? Faktem je, že když se záporné číslo zvýší na sudou mocninu (2, 4, 6 atd.), znaménko se stane kladným. Pokud by byl stupeň sudý, zůstalo by mínus:
4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)
Jak zvýšit čísla z 0 na 1 na zápornou mocninu
Připomeňme, že když je číslo mezi 0 a 1 zvýšeno na kladnou mocninu, hodnota se s rostoucí mocninou snižuje. Takže například 0,5 2 = 0,25. 0,25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.
Příklad 3: Vypočítejte 0,5 -2
Řešení: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Odpověď: 0,5 -2 = 4
Analýza (pořadí akcí):
- Převeďte desetinný zlomek 0,5 na zlomek 1/2. Je to tak jednodušší.
Zvyšte 1/2 na zápornou mocninu. 1/(2)-2. Vydělte 1 1/(2) 2, dostaneme 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4
Příklad 4: Vypočítejte 0,5 -3
Řešení: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8
Příklad 5: Vypočítejte -0,5 -3
Řešení: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Odpověď: -0,5 -3 = -8
Na základě 4. a 5. příkladu můžeme vyvodit několik závěrů:
- Pro kladné číslo v rozsahu od 0 do 1 (příklad 4), umocněné na zápornou mocninu, nezáleží na tom, zda je mocnina sudá nebo lichá, hodnota výrazu bude kladná. Navíc, čím vyšší stupeň, tím větší hodnota.
- Pro záporné číslo v rozsahu od 0 do 1 (příklad 5), umocněné na zápornou mocninu, nezáleží na tom, zda je mocnina sudá nebo lichá, hodnota výrazu bude záporná. V tomto případě platí, že čím vyšší stupeň, tím nižší hodnota.
Jak zvýšit na zápornou mocninu - mocninu ve tvaru zlomkového čísla
Výrazy tohoto typu mají následující tvar: a -m/n, kde a je regulární číslo, m je čitatel stupně, n je jmenovatel stupně.
Podívejme se na příklad:
Vypočítejte: 8 -1/3
Řešení (pořadí akcí):
- Připomeňme si pravidlo pro zvýšení čísla na zápornou mocninu. Dostaneme: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
- Všimněte si, že jmenovatel má číslo 8 ve zlomkové mocnině. Obecná forma výpočtu zlomkové mocniny je následující: a m/n = n √8 m.
- Tedy 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Dostaneme odmocninu z osmi, která se rovná 2. Odtud 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
- Odpověď: 8-1/3 = 2
Lekce a prezentace na téma: "Exponent se záporným exponentem. Definice a příklady řešení problémů"
Doplňkové materiály
Vážení uživatelé, nezapomeňte zanechat své komentáře, recenze, přání. Všechny materiály byly zkontrolovány antivirovým programem.
Vzdělávací pomůcky a simulátory v internetovém obchodě Integral pro 8. ročník
Manuál k učebnici Muravin G.K. Manuál k učebnici od Alimova Sh.A.
Určení stupně se záporným exponentem
Kluci, jsme dobří ve zvyšování počtu sil.Například: $2^4=2*2*2*2=16$ $((-3))^3=(-3)*(-3)*(-3)=27$.
Dobře víme, že jakékoli číslo s nulovou mocninou se rovná jedné. $a^0=1$, $a≠0$.
Nabízí se otázka, co se stane, když zvýšíte číslo na zápornou mocninu? Čemu se například bude rovnat číslo $2^(-2)$?
První matematici, kteří tuto otázku položili, usoudili, že nemá cenu znovu vynalézat kolo a je dobře, že všechny vlastnosti stupňů zůstaly stejné. To znamená, že při násobení mocnin se stejným základem se exponenty sčítají.
Uvažujme tento případ: $2^3*2^(-3)=2^(3-3)=2^0=1$.
Zjistili jsme, že součin takových čísel by měl dávat jedničku. Jednotka v součinu se získá vynásobením reciprokých čísel, tedy $2^(-3)=\frac(1)(2^3)$.
Taková úvaha vedla k následující definici.
Definice. Je-li $n$ přirozené číslo a $a≠0$, pak platí rovnost: $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$.
Důležitá identita, která se často používá, je: $(\frac(a)(b))^(-n)=(\frac(b)(a))^n$.
Konkrétně $(\frac(1)(a))^(-n)=a^n$.
Příklady řešení
Příklad 1Vypočítejte: $2^(-3)+(\frac(2)(5))^(-2)-8^(-1)$.
Řešení.
Zvažme každý termín zvlášť.
1. $2^(-3)=\frac(1)(2^3)=\frac(1)(2*2*2)=\frac(1)(8)$.
2. $(\frac(2)(5))^(-2)=(\frac(5)(2))^2=\frac(5^2)(2^2)=\frac(25) (4) $.
3. $8^(-1)=\frac(1)(8)$.
Zbývá provést operace sčítání a odčítání: $\frac(1)(8)+\frac(25)(4)-\frac(1)(8)=\frac(25)(4)=6\frac( 1) (4) $.
Odpověď: $6\frac(1)(4)$.
Příklad 2
Reprezentujte dané číslo jako mocninu prvočísla $\frac(1)(729)$.
Řešení.
Je zřejmé, že $\frac(1)(729)=729^(-1)$.
Ale 729 není prvočíslo končící 9. Dá se předpokládat, že toto číslo je mocninou tří. Důsledně vydělte 729 3.
1) $\frac(729)(3)=243$;
2) $\frac(243)(3)=81$;
3) $\frac(81)(3)=27$;
4) $\frac(27)(3)=9$;
5) $\frac(9)(3)=3$;
6) $\frac(3)(3)=1$.
Bylo provedeno šest operací a to znamená: $729=3^6$.
Pro náš úkol:
$729^{-1}=(3^6)^{-1}=3^{-6}$.
Odpověď: $3^(-6)$.
Příklad 3. Vyjádřete výraz jako mocninu: $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1))$.
Řešení. První akce se vždy provádí v závorkách, poté násobení $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1))= \frac (a^6*a^(-10))((a^5)^(-1))=\frac(a^((-4)))(a^((-5)))= a^ (-4-(-5))=a^(-4+5)=a$.
Odpověď: $a$.
Příklad 4. Prokažte totožnost:
$(\frac(y^2 (xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)*\frac(y^2(x^(-2) )+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y)):\frac(1-x^(-1) y)(xy^(-1) +1)=\frac(x-y)(x+y)$.
Řešení.
Na levé straně uvažujeme každý faktor v závorkách samostatně.
1. $\frac(y^2(xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)=\frac(y^2(\frac(x) )(y)-1)^2)(x(1+\frac(y)(x))^2) =\frac(y^2(\frac(x^2)(y^2)-2\ frac(x)(y)+1))(x(1+2\frac(y)(x)+\frac(y^2)(x^2)))=\frac(x^2-2xy+y ^2)(x+2y+\frac(y^2)(x))=\frac(x^2-2xy+y^2)(\frac(x^2+2xy+y^2)(x) ) =\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))$.
2. $\frac(y^2(x^(-2)+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y))=\frac(y^ 2(\frac(1)(x^2)+\frac(1)(y^2)))(x(\frac(x)(y)+\frac(y)(x))) =\frac (\frac(y^2)(x^2)+1)(\frac(x^2)(y)+y)=\frac(\frac(y^2+x^2)(x^2) )((\frac(x^2+y^2)(y)))=\frac(y^2+x^2)(x^2) *\frac(y)(x^2+y^2 )=\frac(y)(x^2)$.
3. $\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))*\frac(y)(x^2)=\frac(y(x) ^2-2xy+y^2))(x(x^2+2xy+y^2))=\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2)$.
4. Přejdeme ke zlomku, kterým dělíme.
$\frac(1-x^(-1)y)(xy^(-1)+1)=\frac(1-\frac(y)(x))(\frac(x)(y)+1 )=\frac(\frac(x-y)(x))(\frac(x+y)(y))=\frac(x-y)(x)*\frac(y)(x+y)=\frac( y(x-y))(x(x+y))$.
5. Udělejme dělení.
$\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2):\frac(y(x-y))(x(x+y))=\frac(y(x-y)^2)( x(x+y)^2)*\frac(x(x+y))(y(x-y))=\frac(x-y)(x+y)$.
Získali jsme správnou identitu, kterou jsme potřebovali prokázat.
Na konci lekce si ještě jednou napíšeme pravidla pro práci s mocninami, zde je exponent celé číslo.
$a^s*a^t=a^(s+t)$.
$\frac(a^s)(a^t)=a^(s-t)$.
$(a^s)^t=a^(st)$.
$(ab)^s=a^s*b^s$.
$(\frac(a)(b))^s=\frac(a^s)(b^s)$.
Problémy řešit samostatně
1. Vypočítejte: $3^(-2)+(\frac(3)(4))^(-3)+9^(-1)$.2. Reprezentujte dané číslo jako mocninu prvočísla $\frac(1)(16384)$.
3. Vyjádřete výraz jako mocninu:
$\frac(b^(-8)*(b^3)^(-4))((b^2*b^(-7))^3)$.
4. Prokažte totožnost:
$(\frac(b^(-m)-c^(-m))(b^(-m)+c^(-m))+\frac(b^(-m)+c^(-m ))(c^(-m)-b^(-m)))=\frac(4)(b^m c^(-m)-b^(-m)c^m) $.
Zjistili jsme, co je to vlastně mocnina čísla. Nyní musíme pochopit, jak to správně vypočítat, tzn. zvýšit čísla na mocnosti. V tomto materiálu rozebereme základní pravidla pro výpočet stupňů v případě celočíselných, přirozených, zlomkových, racionálních a iracionálních exponentů. Všechny definice budou ilustrovány příklady.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Pojem umocňování
Začněme formulací základních definic.
Definice 1
Umocňování- jedná se o výpočet hodnoty mocniny určitého čísla.
To znamená, že slova „vypočítat hodnotu moci“ a „pozvednout k moci“ znamenají totéž. Pokud tedy problém říká „Zvyšte číslo 0, 5 na pátou mocninu“, mělo by to být chápáno jako „vypočítejte hodnotu mocniny (0, 5) 5.
Nyní uvádíme základní pravidla, která je třeba při provádění takových výpočtů dodržovat.
Připomeňme si, co je mocnina čísla s přirozeným exponentem. Pro mocninu se základem a a exponentem n to bude součin n-tého počtu faktorů, z nichž každý je roven a. Dá se to napsat takto:
Chcete-li vypočítat hodnotu stupně, musíte provést akci násobení, to znamená vynásobit základy stupně stanoveným počtem. Samotný koncept titulu s přirozeným exponentem je založen na schopnosti rychle se množit. Uveďme příklady.
Příklad 1
Podmínka: zvýšení - 2 na výkon 4.
Řešení
Pomocí výše uvedené definice zapíšeme: (− 2) 4 = (− 2) · (− 2) · (− 2) · (− 2) . Dále musíme provést tyto kroky a získat 16.
Vezměme si složitější příklad.
Příklad 2
Vypočítejte hodnotu 3 2 7 2
Řešení
Tento záznam lze přepsat jako 3 2 7 · 3 2 7 . Dříve jsme se podívali na to, jak správně vynásobit smíšená čísla uvedená v podmínce.
Proveďme tyto kroky a získáme odpověď: 3 2 7 · 3 2 7 = 23 7 · 23 7 = 529 49 = 10 39 49
Pokud problém ukazuje na potřebu zvýšit iracionální čísla na přirozenou mocninu, budeme muset nejprve zaokrouhlit jejich základy na číslici, která nám umožní získat odpověď s požadovanou přesností. Podívejme se na příklad.
Příklad 3
Proveďte druhou mocninu π.
Řešení
Nejprve to zaokrouhlíme na setiny. Potom π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Pokud π ≈ 3. 14159, pak dostaneme přesnější výsledek: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.
Všimněte si, že potřeba počítat mocniny iracionálních čísel se v praxi objevuje poměrně zřídka. Odpověď pak můžeme napsat jako mocninu (ln 6) 3 samotnou, nebo pokud možno převést: 5 7 = 125 5 .
Samostatně by mělo být uvedeno, jaká je první mocnina čísla. Zde si můžete jednoduše zapamatovat, že jakékoli číslo umocněné na první mocninu zůstane samo sebou:
To je zřejmé ze záznamu 
.
Nezáleží na stupni.
Příklad 4
Takže (− 9) 1 = − 9 a 7 3 umocněné na první mocninu zůstanou rovné 7 3.
Pro usnadnění prozkoumáme tři případy zvlášť: je-li exponent kladné celé číslo, je-li nula a je-li záporné celé číslo.
V prvním případě je to stejné jako povznesení k přirozené síle: koneckonců k celku kladná čísla patří do množiny přírodních. O tom, jak s takovými tituly pracovat, jsme již hovořili výše.
Nyní se podívejme, jak správně zvýšit na nulový výkon. Pro jiný základ než nula tento výpočet vždy vydá 1. Dříve jsme vysvětlili, že nulovou mocninu a lze definovat pro jakékoli reálné číslo, které se nerovná 0, a a 0 = 1.
Příklad 5
5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1
0 0 - není definováno.
Zůstane nám pouze případ stupně s celočíselným záporným exponentem. Již jsme diskutovali, že takové stupně lze zapsat jako zlomek 1 az, kde a je libovolné číslo a z je záporné celé číslo. Vidíme, že jmenovatel tohoto zlomku není nic jiného než obyčejná mocnina s kladným celočíselným exponentem, a už jsme se ho naučili vypočítat. Uveďme příklady úkolů.
Příklad 6
Zvyšte 3 na sílu - 2.
Řešení
Pomocí výše uvedené definice zapíšeme: 2 - 3 = 1 2 3
Vypočítejme jmenovatele tohoto zlomku a dostaneme 8: 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8.
Pak odpověď zní: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8
Příklad 7
Zvyšte 1,43 na -2.
Řešení
Přeformulujme: 1, 43 - 2 = 1 (1, 43) 2
Vypočteme druhou mocninu ve jmenovateli: 1,43·1,43. Desetinná čísla lze násobit tímto způsobem: 
Ve výsledku jsme dostali (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2, 0449. Stačí, když tento výsledek zapíšeme ve tvaru obyčejného zlomku, ke kterému ho musíme vynásobit 10 tisíci (viz materiál o převodu zlomků).
Odpověď: (1, 43) - 2 = 10 000 20449
Zvláštním případem je zvýšení čísla na mínus první mocninu. Hodnota tohoto stupně je rovna reciproční původní hodnota báze: a - 1 = 1 a 1 = 1 a .
Příklad 8
Příklad: 3 − 1 = 1 / 3
9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .
Jak zvýšit číslo na zlomkovou mocninu
K provedení této operace si musíme pamatovat základní definice mocniny se zlomkovým exponentem: a m n = a m n pro libovolné kladné a, celé číslo m a přirozené n.
Definice 2
Výpočet zlomkové mocniny tedy musí být proveden ve dvou krocích: zvýšení na celočíselnou mocninu a nalezení odmocniny n-té mocniny.
Máme rovnost a m n = a m n , která se s přihlédnutím k vlastnostem kořenů obvykle používá k řešení úloh ve tvaru a m n = a n m . To znamená, že pokud umocníme číslo a na zlomkovou mocninu m/n, pak nejprve vezmeme n-tou odmocninu z a, pak výsledek umocníme na mocninu s celočíselným exponentem m.
Ukažme si to na příkladu.
Příklad 9
Vypočítejte 8 - 2 3 .
Řešení
Metoda 1: Podle základní definice to můžeme reprezentovat jako: 8 - 2 3 = 8 - 2 3
Nyní vypočítejme stupeň pod odmocninou a z výsledku extrahujeme třetí odmocninu: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4
Metoda 2. Transformujte základní rovnost: 8 - 2 3 = 8 - 2 3 = 8 3 - 2
Poté vyjmeme odmocninu 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 a výsledek odmocnime: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4
Vidíme, že řešení jsou totožná. Můžete jej použít, jak chcete.
Existují případy, kdy má stupeň vyjádřený ukazatel smíšené číslo nebo desetinný. Pro usnadnění výpočtů je lepší jej vyměnit obyčejný zlomek a počítat jako výše.
Příklad 10
Zvyšte 44, 89 na mocninu 2, 5.
Řešení
Převedeme hodnotu indikátoru na společný zlomek - 44 , 89 2 , 5 = 49 , 89 5 2 .
Nyní provedeme všechny výše uvedené akce v pořadí: 44, 89 5 2 = 44, 89 5 = 44, 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = 2 = 100701 = 2500701 13 501, 25107
Odpověď: 13 501, 25107.
Pokud čitatel a jmenovatel zlomkového exponentu obsahuje velká čísla, pak vypočítat takové mocniny s racionálními exponenty je docela obtížná práce. Obvykle to vyžaduje výpočetní techniku.
Zastavme se samostatně u mocnin s nulovým základem a zlomkovým exponentem. Výraz ve tvaru 0 m n může mít následující význam: pokud m n > 0, pak 0 m n = 0 m n = 0; pokud m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .
Jak zvýšit číslo na iracionální mocninu
Potřeba vypočítat hodnotu mocniny, jejíž exponent je iracionální číslo, nevzniká tak často. V praxi se úloha obvykle omezuje na výpočet přibližné hodnoty (do určitého počtu desetinných míst). To se obvykle počítá na počítači kvůli složitosti takových výpočtů, takže se tím nebudeme podrobně zabývat, pouze naznačíme hlavní ustanovení.
Pokud potřebujeme vypočítat hodnotu mocniny a s iracionálním exponentem a, tak vezmeme desetinnou aproximaci exponentu a počítáme z ní. Výsledkem bude přibližná odpověď. Čím přesnější je desetinná aproximace, tím přesnější je odpověď. Ukažme si to na příkladu:
Příklad 11
Vypočítejte přibližnou hodnotu 21, 174367....
Řešení
Omezme se na desetinnou aproximaci a n = 1, 17. Proveďte výpočty pomocí tohoto čísla: 2 1, 17 ≈ 2, 250116. Vezmeme-li například aproximaci a n = 1, 1743, pak bude odpověď o něco přesnější: 2 1, 174367. . . ≈ 2 1, 1743 ≈ 2, 256833.
Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter
