Решение задач «Теорема Пифагора. Самостоятельная работа "задачи на тему "теорема пифагора" Тренировочные задания по теореме пифагора
Слайд 2
«Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них – это теорема Пифагора». Иоганн Кеплер
Слайд 3
Закончите предложение:
Прямоугольным треугольником называется треугольник, у которого один из углов равен ____ 90°
Слайд 4
Стороны треугольника, образующие прямой угол, называются _________ катетами
Слайд 5
Сторона треугольника, лежащая против прямого угла, называется ____________ Закончите предложение: гипотенузой
Слайд 6
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен ____________ Закончите предложение: сумме квадратов катетов
Слайд 7
Сформулированное выше предложение носит название ____________ Теорема Пифагора c² = a² + b²
Слайд 8
Если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то такой треугольник – ____________ Закончите предложение: прямоугольный
Слайд 9
S=½d1 d2 S=a² S=ab S=½ah S=ah Проведите линии так, чтобы соответствие между фигурой и формулой вычисления её площади было верным S=½ (a +b)h S=½ ab
Слайд 10
Долина устных задач Остров Незнаек Полянка Здоровья Город Мастеров Крепость Формул Историческая тропинка
Слайд 11
Долина устных задач
Слайд 12
Н S Р 12 см 9 см 15 см? Найдите: SP
Слайд 13
К? 12 см 13 cм N М Найдите: КN 5 cм
Слайд 14
В? 8 см 17 см А D С Найдите: АD 15 cм
Слайд 15
Остров Незнаек
Слайд 16
Задача индийского математика XII века Бхаскары "На берегу реки рос тополь одинокий.Вдруг ветра порыв его ствол надломал.Бедный тополь упал. И угол прямойС теченьем реки его ствол составлял.Запомни теперь, что в этом месте рекаВ четыре лишь фута была широкаВерхушка склонилась у края реки.Осталось три фута всего от ствола,Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:У тополя как велика высота?"
Слайд 17
Из одной точки на земле отправились в путь автомобиль и самолет. Автомобиль преодолел расстояние 8 км, когда самолет оказался на высоте 6 км. Какой путь пролетел самолёт в воздухе с момента взлёта? Задача
Слайд 18
8 км 6 км? км
Слайд 19
Решаем по учебнику задачу № 494(стр. 133)
Слайд 20
Полянка Здоровья
Слайд 21
(580 - 500 г. до н.э.) Пифагор
Слайд 22
Дабы познать науки, Пифагор много путешествовал, в одной из греческих колоний Южной Италии в городе Кротоне он организовал кружок молодежи из представителей аристократии, куда принимались с большими церемониями после долгих испытаний. Каждый вступающий отрекался от своего имущества и давал клятву хранить в тайне учения основателя. Так возникла знаменитая «Пифагорейская школа».
Слайд 23
Пифагорейцы занимались математикой, философией, естественными науками. Ими было сделано много важных открытий в арифметике и геометрии. Однако, в школе существовал Декрет, по которому авторство всех математических работ приписывалось Пифагору.
Когда вы только начинали изучать квадратные корни и способы решения иррациональных уравнений (равенств, содержащих неизвестную под знаком корня), вы, вероятно, получили первое представление об их практическом использовании. Умение извлекать квадратный корень из чисел также необходимо для решения задач на применение теоремы Пифагора. Эта теорема связывает длины сторон любого прямоугольного треугольника.
Пусть длины катетов прямоугольного треугольника (тех двух сторон, которые сходятся под прямым углом) будут обозначены буквами и , а длина гипотенузы (самой длинной стороны треугольника, расположенной напротив прямого угла) будет обозначена буквой . Тогда соответствующие длины связаны следующим соотношением:
Данное уравнение позволяет найти длину стороны прямоугольного треугольника в том случае, когда известна длина двух других его сторон. Кроме того, оно позволяет определить, является ли рассматриваемый треугольник прямоугольным, при условии, что длины всех трёх сторон заранее известны.
Решение задач с использованием теоремы Пифагора
Для закрепления материала решим следующие задачи на применение теоремы Пифагора.
Итак, дано:
- Длина одного из катетов равняется 48, гипотенузы – 80.
- Длина катета равняется 84, гипотенузы – 91.
Приступим к решению:
a) Подстановка данных в приведённое выше уравнение даёт следующие результаты:
48 2 + b 2 = 80 2
2304 + b 2 = 6400
b 2 = 4096
b = 64 или b = -64
Поскольку длина стороны треугольника не может быть выражена отрицательным числом, второй вариант автоматически отбрасывается.
Ответ к первому рисунку: b = 64.
b) Длина катета второго треугольника находится тем же способом:
84 2 + b 2 = 91 2
7056 + b 2 = 8281
b 2 = 1225
b = 35 или b = -35
Как и в предыдущем случае, отрицательное решение отбрасывается.
Ответ ко второму рисунку: b = 35
Нам дано:
- Длины меньших сторон треугольника равны 45 и 55 соответственно, большей – 75.
- Длины меньших сторон треугольника равны 28 и 45 соответственно, большей – 53.
Решаем задачу:
a) Необходимо проверить, равна ли сумма квадратов длин меньших сторон данного треугольника квадрату длины большей:
45 2 + 55 2 = 2025 + 3025 = 5050
Следовательно, первый треугольник не является прямоугольным.
b) Выполняется та же самая операция:
28 2 + 45 2 = 784 + 2025 = 2809
Следовательно, второй треугольник является прямоугольным.
Сперва найдем длину наибольшего отрезка, образованного точками с координатами (-2, -3) и (5, -2). Для этого используем известную формулу для нахождения расстояния между точками в прямоугольной системе координат:
Аналогично находим длину отрезка, заключенного между точками с координатами (-2, -3) и (2, 1):
Наконец, определяем длину отрезка между точками с координатами (2, 1) и (5, -2):
Поскольку имеет место равенство:
то соответствующий треугольник является прямоугольным.
Таким образом, можно сформулировать ответ к задаче: поскольку сумма квадратов сторон с наименьшей длиной равняется квадрату стороны с наибольшей длиной, точки являются вершинами прямоугольного треугольника.
Основание (расположенное строго горизонтально), косяк (расположенный строго вертикально) и трос (протянутый по диагонали) формируют прямоугольный треугольник, соответственно, для нахождения длины троса может использоваться теорема Пифагора:
Таким образом, длина троса будет составлять приблизительно 3,6 метра.
Дано: расстояние от точки R до точки P (катет треугольника) равняется 24, от точки R до точки Q (гипотенуза) – 26.
Итак, помогаем Вите решить задачу. Поскольку стороны треугольника, изображённого на рисунке, предположительно образуют прямоугольный треугольник, для нахождения длины третьей стороны можно использовать теорему Пифагора:
Итак, ширина пруда составляет 10 метров.
Сергей Валерьевич
ПРОВЕРОЧНАЯ РАБОТА ПО ТЕМЕ «ТЕОРЕМА ПИФАГОРА» 8 КЛАСС, 1 вариант
В квадрате АВСД сторона АВ равна 6 см. Чему равна диагональ квадрата ВД? Сделайте рисунок
ПРОВЕРОЧНАЯ РАБОТА ПО ТЕМЕ «ТЕОРЕМА ПИФАГОРА» 8 КЛАСС, 2 вариант
Найдите гипотенузу в прямоугольном треугольнике с катетами 5 и 12 см. Сделайте рисунок.
Найдите катет в прямоугольном треугольнике, если гипотенуза равна 17 м, а второй катет равен 8 м. Сделайте рисунок
В квадрате АВСД сторона АВ равна 10 см. Чему равна диагональ квадрата ВД? Сделайте рисунок
______________________________________________________________________________________
В прямоугольнике длина равна √40, а ширина - 9, найдите диагональ прямоугольника. Сделайте рисунок.
В равнобедренном треугольнике МРК, основание 20 см, найдите высоту РН, проведенную к основанию треугольника, если боковая сторона МР равна 26. Сделайте рисунок.
Найдите высоту, опущенную на гипотенузу прямоугольного треугольника, если его катеты равны 3 см и 5 см. Сделайте рисунок.
ПРОВЕРОЧНАЯ РАБОТА ПО ТЕМЕ «ТЕОРЕМА ПИФАГОРА» 8 КЛАСС, 3 вариант
Найдите гипотенузу в прямоугольном треугольнике с катетами 6 и 8 см. Сделайте рисунок.
Найдите катет в прямоугольном треугольнике, если гипотенуза равна 13 м, а второй катет равен 12 м. Сделайте рисунок
В квадрате АВСД сторона АВ равна 11 см. Чему равна диагональ квадрата ВД? Сделайте рисунок
______________________________________________________________________________________
В прямоугольнике длина равна √40, а ширина - 9, найдите диагональ прямоугольника. Сделайте рисунок.
В равнобедренном треугольнике МРК, основание 20 см, найдите высоту РН, проведенную к основанию треугольника, если боковая сторона МР равна 26. Сделайте рисунок.
Найдите высоту, опущенную на гипотенузу прямоугольного треугольника, если его катеты равны 3 см и 5 см. Сделайте рисунок.
ПРОВЕРОЧНАЯ РАБОТА ПО ТЕМЕ «ТЕОРЕМА ПИФАГОРА» 8 КЛАСС, 4 вариант
Найдите гипотенузу в прямоугольном треугольнике с катетами 6 и 8 см. Сделайте рисунок.
Найдите катет в прямоугольном треугольнике, если гипотенуза равна 17 м, а второй катет равен 8 м. Сделайте рисунок
В квадрате АВСД сторона АВ равна 70 см. Чему равна диагональ квадрата ВД? Сделайте рисунок
______________________________________________________________________________________
В прямоугольнике длина равна √40, а ширина - 9, найдите диагональ прямоугольника. Сделайте рисунок.
В равнобедренном треугольнике МРК, основание 20 см, найдите высоту РН, проведенную к основанию треугольника, если боковая сторона МР равна 26. Сделайте рисунок.
Найдите высоту, опущенную на гипотенузу прямоугольного треугольника, если его катеты равны 3 см и 5 см. Сделайте рисунок.
Занимательные задачи по теме «Теорема Пифагора» (8 класс)
Землянухина Д.В., учитель математики МБОУ «Аннинская СОШ с УИОП»
Теорема Пифагора по праву считается самой важной в курсе геометрии и заслуживает пристального внимания. Она является основой решения множества задач. Поэтому для формирования понимания значимости теоремы Пифагора при изучении как геометрии, так и других дисциплин, умений применять теорему Пифагора к решению задач я предлагаю восьмиклассникам индивидуальные разноуровневые задачи, требующие творческого подхода в решении и оформлении. Решение таких занимательных задач помогает также воспитывать у учащихся интерес к предмету: математика уже не кажется им сухой и скучной наукой, дети видят, что и здесь нужны выдумка, полет фантазии, творческие способности.
Задача №1. Древнеиндийская задача.
Над озером тихим
С полфута размером
Высился лотоса цвет.
Он рос одиноко,
И ветер порывом
Отнёс его в сторону. Нет
Боле цветка над водой.
Нашёл же рыбак его
Ранней весною
В двух футах от места, где рос.
Итак, предложу я вопрос:
“Как озера вода здесь глубока?”
Какова глубина в современных единицах длины (1 фут ≈ 0,3 м) ?
Решение.
Выполним чертёж к задаче и обозначим глубину озера АС =Х, тогда AD = AB = Х + 0,5 .
Из треугольника ACB по теореме Пифагора имеем AB 2 – AC 2 = BC 2 ,
(Х + 0,5) 2 – Х 2 = 2 2 ,
Х 2 + Х + 0,25 – Х 2 = 4,
Таким образом, глубина озера составляет 3,75 фута.
3, 75 ∙ 0,3 = 1,125 (м)
Ответ: 3,75 фута или 1, 125 м.
Задача №2. Задача индийского математика XII в. Бхаскары.
На берегу реки рос тополь одинокий. Вдруг ветра порыв его ствол надломал. Бедный тополь упал. И угол прямой с теченьем реки его ствол составлял. Запомни теперь, что в том месте река в четыре лишь фута была широка. Верхушка склонилась у края реки, осталось три фута всего от ствола. Прошу тебя, скоро теперь мне скажи: у тополя как велика высота?
Решение.
Ответ: 8 футов.
Задача №3. Задача арабского математика XI в.
На обоих берегах реки растет по пальме, одна против другой. Высота одной 30 локтей, другой – 20 локтей. Расстояние между их основаниями – 50 локтей. На верхушке каждой пальмы сидит птица. Внезапно обе птицы заметили рыбу, выплывшую к поверхности воды между пальмами. Они кинулись к ней разом и достигли ее одновременно. На каком расстоянии от основания более высокой пальмы появилась рыба?
Задача №4. Египетская задача.
На глубине 12 футов растет лотос с 13-футовым стеблем. Определите, на какое расстояние цветок может отклониться от вертикали, проходящей через точку крепления стебля ко дну.
Решение.
Ответ: 5 футов.
Задача №5.
Бамбуковый ствол в 9 футов высотой переломлен бурей так, что если верхнюю часть его пригнуть к земле, то верхушка коснется земли на расстоянии 3 футов от основания ствола. На какой высоте переломлен ствол?
Решение.
Ответ: 4 фута.
Задача №6.
В центре квадратного пруда, имеющего 10 футов в длину и ширину, растет тростник, возвышающийся на один фут над поверхностью воды. Если его пригнуть к берегу, к середине стороны пруда, то он своей верхушкой достигнет берега. Какова глубина пруда в современных единицах длины (1 фут ≈ 0,3 м)?
Решение.
Обозначим глубину озера В D = х, тогда АВ = ВС = х + 1 – длина тростника. Из ∆ВDС по теореме Пифагора СD 2 = СВ 2 –ВD 2 ,
5 2 = (х + 1) 2 – х 2 ,
25 = х 2 + 2х + 1 – х 2 ,
Значит, глубина пруда 12 футов. 12 ∙ 0,3 = 3,6 (м).
Ответ: 3,6 м.
Задача №7.
Эскалатор метрополитена имеет 17 ступенек от пола наземного вестибюля до пола подземной станции. Ширина ступенек 40 см, высота 20 см. Определите а) длину лестницы, б) глубину станции по вертикали.
Решение.
|
| а) Пусть АВ – длина лестницы из 17 ступенек. Из ∆АК D по теореме Пифагора А D = (см), АВ = 45 ∙ 17 = 765 (см) = 7, 65 (м). б) ВС = 40 ∙ 17 = 680 (см). Из ∆АСВ по теореме Пифагора АС = (см) = = 3,5 (м). |
Ответ: длина лестницы 7, 65 м, глубина станции 3,5 м.
Задача №8.
Параллельно прямой дороге на расстоянии 500м от неё расположена цепь стрелков. Расстояние между крайними стрелками равно 120 м, дальность полёта пули 2800 м. Какой участок дороги находится под обстрелом?
Решение.
|
| Из ∆АН D по теореме Пифагора АН = (км), АВ = 2 ∙ АН + НК, АВ = 2 ∙ 2,755 + 0,12 ≈ 5,63 (км). |
Ответ: 5,63 км.
Задача №9.
Пловец поплыл от берега реки, всё время гребя в направлении по перпендикуляру к берегу (берега реки считаем параллельными). Плыл он, приближаясь к противоположному берегу со скоростью 3 км/ч. Через 5 мин. он был на противоположном берегу. Узнайте, на каком расстоянии от мести начала заплыва он вышел на противоположном берегу, считая скорость течения всюду равной 6 км/ч.
Решение.
|
| Пловец приближался к противоположному берегу со скоростью АВ = 50 ∙ 5 = 250 (м). Скорость течения реки АС = ≈ 250 ∙ 2,24=560 (м) |
, значит ширина реки
, следовательно, течение снесло его за 5 мин. на 500м (ВС=500м). По теореме Пифагора находим расстояние от точки первоначального заплыва до точки выхода на противоположный берег
Ответ: 560 м.
Задача №10.
Вы плывёте на лодке по озеру и хотите узнать его глубину. Нельзя ли воспользоваться для этого торчащим из воды камышом, не вырывая его?
Решение.
|
| Слегка отклонив камыш и держа его в натянутом состоянии, замерим расстояние а между точками А и В, в которых камыш пересекает поверхность воды соответственно в вертикальном и наклоненном положении. Возвратим камыш в исходное положение и определим высоту в над водой, на которую поднимется при этом точка В наклонённого камыша, заняв исходное положение С. Тогда обозначив через D основание камыша, а через х – искомую глубину АD, из прямоугольного ∆АВD по теореме Пифагора находим х 2 +а 2 = (х+в) 2 , х 2 +а 2 = х 2 +2хв+в 2 2хв=а 2 -в 2 , х= |
Задача №11.
Как далеко видно с маяка данной высоты над уровнем моря?
Решение.
Ответ: с высоты маяка в 125 м обозревается расстояние в 40 км.
Задача №12.
Вертолет поднимается вертикально вверх со скоростью 4 м/с. Определите скорость вертолета, если скорость ветра, дующего горизонтально, равна 3 м/с.
Решение.
v 2 = 3 2 + 4 2 = 25
Ответ: 5 м/с.
Литература:
Борисова Н.А. Урок-конференция по геометрии в 8-м классе
