≡× МЕНЮ

• Интерьер
• Окна
• Стены
• Проекты
• Постройки

Характеристическое уравнение. Корни характеристического уравнения. Постоянные времени. Время переходного процесса. Характеристическое уравнение и собственный вектор линейного оператора Характеристическое уравнение определение

Свободный режим схемы не зависит от источников энергии, определяется только структурой схемы и параметрами ее элементов. Из этого следует, что корни характеристического уравнения p1, p2,…, pn будут одинаковыми для всех переменных функций (токов и напряжений).

Характеристическое уравнение можно составить различными методами. Первый метод – классический, когда характеристическое уравнение составляется строго в соответствии с дифференциальным по классической схеме. При расчете переходных процессов в сложной схеме составляется система из “m” дифференциальных уравнений по законам Кирхгофа для схемы цепи после коммутации. Так как корни характеристического уравнения являются общими для всех переменных, то решение системы дифференциальных уравнений выполняется относительно любой переменной (по выбору). В результате решения получают неоднородное дифференциальное уравнение с одной переменной. Составляют характеристическое уравнение в соответствии с полученным дифференциальным и определяют его корни.

Пример. Составить характеристическое уравнение и определить его корни для переменных в схеме рис. 59.1. Параметры элементов заданы в общем виде.

Система дифференциальных уравнений по законам Кирхгофа:

Решим систему уравнений относительно переменной i3, в результате получим неоднородное дифференциальное уравнение:

Второй способ составления характеристического уравнения заключается в приравнивании нулю главного определителя системы уравнений Кирхгофа для свободных составляющих переменных.

Пусть свободная составляющая произвольного тока имеет вид iксв=Аkept, тогда:

Система уравнений для свободных составляющих получается из системы дифференциальных уравнений Кирхгофа путем замены производных от переменных на множитель р, а интегралов – на 1/р. Для рассматриваемого примера система уравнений для свободных составляющих имеет вид:

Характеристическое уравнение и его корень:

Третий способ составления характеристического уравнения (инженерный) заключается в приравнивании нулю входного операторного сопротивления схемы относительно любой ее ветви.

Операторное сопротивление элемента получается из его комплексного сопротивления путем простой замены множителя jω на р, следовательно

Для рассматриваемого примера:

Третий способ является наиболее простым и экономичным, поэтому он чаще других применяется при расчете переходных процессов в электрических цепях.

Корни характеристического уравнения характеризуют свободный переходной процесс в схеме без источников энергии. Такой процесс протекает с потерями энергии и поэтому затухает во времени. Из этого следует, что корни характеристического уравнения должны быть отрицательными или иметь отрицательную вещественную часть.

В общем случае порядок дифференциального уравнения, которым описывается переходный процесс в схеме, и, следовательно, степень характеристического уравнения и число его корней равны числу независимых начальных условий, или числу независимых накопителей энергии (катушек L и конденсаторов C). Если в схеме цепи содержатся параллельно включенные конденсаторы С1, С2,… или последовательно включенные катушки L1, L2,…, то при расчете переходных процессов они должны быть заменены одним эквивалентным элемен¬том СЭ =С1 +С2+… или LЭ =L1 +L2+…

Таким образом, общий вид решения для любой переменной при расчете переходного процесса может быть составлен только из анализа схемы цепи, без составления и решения системы дифференциальных уравнений.

Для рассматриваемого выше примера.

Характеристическое уравнение имеет вид:

Для определения вида свободной составляющей необходимо составить и решить характеристическое уравнение: z(p)=0.Для записи характеристического уравнения необходимо нарисовать схему,в которой все источники ЭДС и тока следует заменить на их же внутреннее сопротивление,а сопротивление индуктивности и емкости принять соответственно равным Pl и ,далее необходимо разорвать любую ветвь данной схемы,записать ее исходное сопротивление относительно точек разрыва,прировнять его нулю,решить и определить корни p,если корни получились действительными отрицательными,то своб.составляющая искомой функции:

,где m-количество корней уравнения;

Корни; -постоянные интегрируемые.

Если корни характер.уравнения получились комплексно сопряженными,то своб.сост.будет иметь вид:

где -частота свободных колебаний;

Начальная фаза свободных колебаний.

8.Время переходного процесса. Определение практически t пп. Расчет времени переходного процесса.

Время переходного процесса зависит от коэфициента затухания .Величина,обратная ,называется постоянной времени и представляет собой время,в течении которого значение свободной составляющей переходного процесса уменьшится в e=2,72 раза. Величина зависит от схемы и параметров.Так для цепи с последовательным соединением r и L = ,а при последовательном соединениии

95% окончания переходного процесс 3 .

Кривые свободных составляющих переходного процесса проще всего построить, задавая времени t значения 0, ,2 …..Если вещественных корней несколько,то результирующая кривая получается путем суммирования ординат отдельных слагаемых (рис.1.)

Рисунок 1:

9.10,Переходный процесс в r, С – цепи при включении на источник постоянного напряжения. Анализ произвести классическим методом; привести аналитические выражения для U C (t); i C (t); графики. (Классический метод).

Уравнение состояния rC-цепи после коммутации следующее:

(1) ,или rC (2)

Его решение:

Емкость С после замыкания ключа при t зарядится до установившегося значения .Свободная составляющая

Поскольку начальные условия нулевые,согласно закону коммутации при t=0,или 0=A ,откуда A=-E.

Решение уравнения (2) примет вид:

Ток в цепи i(t)=C

Рисунок 1.

Рисунок 2.

Графики изменения напряжения и тока i(t) приведены на рисунке 1 и 2. Из рисунков видно,что напряжение на конденсаторе возростает по экспоненциальному закону от 0 до E,сила тока же в момент коммутации скачком достигает значения E/r, а затем убывает до нуля.

11.12.Переходный процесс в r, C – цепи при подключении к источнику синусоидального напряжения. Анализ произвести классическим методом; привести аналитические выражения для U C (t); i C (t); графики. (Классический метод).

Уравнение состояния rC-цепи в переходном режиме следующее

rC .

Решение этого уравнения:

Свободная составляющая

где =rC

Так цепь линейна,то при синусоидальном воздействиии в установившемся режиме напряжение на емкости также будет изменяться по синусоидальному закону с частотой входного воздействия,Поэтому для определения = воспользуемся методом комплексных амплитуд:

;

Учитывая, что j= ,получаем:

Постоянную интегрирования А свободной составляющей

Найдем из начальных условий в цепи с учетом закона коммутации:

.При t=0 последнее выражение имеет вид

Откуда A=-

Cложив составляющие и ,получим окончательное выражение для напряжения на емкости в переходном режиме:

= + = - (1)

Анализ выражения (1) показывает, что переходный процесс в rC-цепи при синусоидальном воздействии зависит от начальной фазы ЭДС источника в момент коммутации и от постоянной времени rC-цепи.

Если ,то =0 и в цепи сразу после коммутации наступит установившийся режим,т.е.

При напряжение =- , т.е. напряжение на емкости сразу после коммутации может достигать почти удвоенного значения положительного знака,а затем постепенно приближаться к = .

Разность фаз приведет уравнение (1) к виду:

Отличие данного режима от предыдущего состоит в том,что напряжение на емкости сразу после коммутации может достичь почти удвоенного значения отрицательного знака.

Для расмотренной Rc-цепи с источником синусоидального тока в установившемся режиме начальная фаза входного напряжения никакой роли не играет, но в переходном процессе ее влияние существенно.

13.Переходный процесс в r, L, C – цепи при подключении к источнику постоянного напряжения. Периодический процесс. Аналитические выражения для i(t), графики. (Классический метод).

Корни действительные, отрицательные, разные.

I(t)=I уст +A1e p 1 t +A2e p 2 t

Процесс периодический:

t=0 {i(0)=A1+A2; A1=-A2

{

t=0 i l (0)*r+L +Uc(0)=E A1=-A2= ()

i l (t)= ()

14.Переходный процесс в r, L, C – цепи при подключении к источнику постоянного напряжения. Критический процесс. Аналитические выражения для i(t), графики. (Классический метод).

i l (t)=i уст +(B1+B2*t)*

t=0: i l (0)=β1=0

Если корни получились действительные, отрицательные, равные, значит процесс критический.

15.Переходный процесс в r, L, C – цепи при подключении к источнику постоянного напряжения. Колебательный процесс. Аналитическое выражение для i(t), графики. (Классический метод).

P t = -δ±j*ω св ω св=

Корни отрицательные действительные, частью комплексносопряженные.

i l (t)=i уст A1e - δt *sin(ω св t+ψ)

i l (t)=i уст +(M*cos ω св t+N*sin ω св t)*

i l (t)= * = *

16. Переходный процесс в r, L, C – цепи при подключении к источнику синусоидального напряжения. Апериодический процесс. Аналитическое выражение для i(t), графики. (Классический метод).

R(t)=E max *sin(ωt+ψ)

2.

В классическом Число уравнений в этом случае равно числу ветвей схемы

методе находится решение в виде суммы общего и частного решения. Расчета переходный процесс описывается системой обыкновенных дифф.уравнений, составленных одним из методов расчета для мгновенных значений функций времени. Решение для каждой переменной этой системы находится в виде суммы общего и частного решения. Для составления уравнения могут быть использованы: метод, основанный на применении законов Кирхгофа, метод узловых потенциалов, метод контурных токов и т.д. Например, система дифференциальных уравнений, составленная после коммутации согласно первому и второму законам Кирхгофа, имеет вид:

Например,

Число уравнений в этом случае равно числу ветвей схемы. Пусть требуется найти ток i k в ветви с номером К.Исключая последовательно токи ветвей, в результате получим ток i k и его производные до порядка n:

Порядок дифф.уравнения n определяется количеством независимых реактивных элементов схемы (m). Обычно n=m, но в зависимости от способа соединения может быть и так, что n

Последовательно включенные емкостные элементы можно заменить одним элементом, так же как и парал включенные индуктивные элементы можно заменить одним эквивалентным. На рисунке 9.5 показана замена 2х последовательно включенных емкостей одной эквивалентной.

В общем случае порядок диф.уравнения n равен: n=n lc -n ce -n lj , где n lc -количество реактивных элементов(L и C) в схеме, n ce - количество емкостных контуров, n lj -количество индуктивных узлов или сечений.

Под ёмкостным понимается контур, состоящих из емкостных элементов или емкостных элементов и идеальных источников ЭДС, рис 9.6.а.Под индуктивным понимается узел, в который сходятся индуктивные ветви или индуктивные ветви и источники тока(рис. 9.6.б), либо сечения, которые пересекают только индуктивные ветви или индуктивные ветви и источники тока.

Отметим, что этап составления диф.уравнения не явл-ся обязательным и переходный ток или напряжение могут быть найдены без составления ур-ния. Как было указано, в классическом методе расчета переходных процессов решения уравнений представляется виде суммы общего и частного решения.

Частное решение описывает режим, который называется принужденным. Решение однородного уравнения(правая часть равна нулю) описывает процесс при отсутствии внешних ЭДС и источников тока и называется свободным. Соответственно рассматриваются свободные и принужденные токи, напряжения, заряды.

Таким образом, ток в ветви с номером К представляется в виде суммы .

) А = ||a ik || n 1 вычитанием величины λ из диагональных элементов. Этот определитель представляет собой многочлен относительно Х - характеристический многочлен. В раскрытом виде Х. у. записывается так:

где S 1 = a 11 + a 22 +... a nn - т. н. след матрицы, S 2 - сумма всех главных миноров 2-го порядка, т. е. миноров вида i k) и т.д., а S n - определитель матрицы А . Корни Х. у. λ 1 , λ 2 ,..., λ n называются собственными значениями матрицы А . У действительной симметричной матрицы, а также у эрмитовой матрицы все λ k действительны, у действительной кососимметричной матрицы все λ k чисто мнимые числа; в случае действительной ортогональной матрицы, а также унитарной матрицы все |λ k | = 1.

Х. у. встречаются в самых разнообразных областях математики, механики, физики, техники. В астрономии при определении вековых возмущений планет также приходят к Х. у.; отсюда и второе название для Х. у. - вековое уравнение.

2) Х. у. линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

a 0 λy (n ) + a 1 y (n-1 ) +... + a n-1 y" + a n y = 0

Алгебраическое уравнение, которое получается из данного дифференциального уравнения после замены функции у и её производных соответствующими степенями величины λ, т. е. уравнение

a 0 λ n + a 1 λ n-1 + ... + a n-1 y" + a n y = 0.

К этому уравнению приходят при отыскании частного решения вида у = се λх для данного дифференциального уравнения. Для системы линейных дифференциальных уравнений

Х. у. записывается при помощи определителя

Х. у. матрицы A =

Большая советская энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . 1969-1978 .

Смотреть что такое "Характеристическое уравнение" в других словарях:

Во многих случаях физические процессы, происходящие в системах, описываются системой обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, которая в достаточно общем случае может быть сведена к дифференциальному уравнению … Энциклопедия техники

Алгебраическое уравнение видаОпределитель в этой формуле получается из определителя матрицы вычитанием величины x из диагональных элементов; он представляет собой многочлен относительно x и называется характеристическим многочленом … Большой Энциклопедический словарь

характеристическое уравнение - — [В.А.Семенов. Англо русский словарь по релейной защите] Тематики релейная защита EN characteristic equation … Справочник технического переводчика

Алгебраическое уравнение вида. Определитель в этой формуле получается из определителя матрицы х из диагональных элементов; он представляет собой многочлен относительно х и называется характеристическим многочленом. * * * ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ… … Энциклопедический словарь

характеристическое уравнение - būdingoji lygtis statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. characteristic equation; performance equation vok. charakteristische Gleichung, f; Stammgleichung, f rus. характеристическое уравнение, n pranc. équation caractéristique, f … Automatikos terminų žodynas

характеристическое уравнение - būdingoji lygtis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. characteristic equation; performance equation vok. charakteristische Gleichung, f rus. характеристическое уравнение, n pranc. équation caractéristique, f … Fizikos terminų žodynas

характеристическое уравнение Энциклопедия «Авиация»

характеристическое уравнение - характеристическое уравнение. Во многих случаях физические процессы, происходящие в системах, описываются системой обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, которая в достаточно общем случае может быть сведена … Энциклопедия «Авиация»

Вековое уравнение, см. в ст. Характеристический многочлен … Математическая энциклопедия

Характеристический многочлен это многочлен, определяющий собственные значения матрицы. Другое значение: Характеристический многочлен линейной рекурренты это многочлен. Содержание 1 Определение … Википедия

Книги

• Характеристические кольца Ли и нелинейные интегрируемые уравнения , Жибер А.В.. Книга посвящена систематическому изложению алгебраического подхода к исследованию нелинейных интегрируемых уравнений в частных производных и их дискретных аналогов, основанного на понятии…