Топологія тіла. "гумова геометрія" або топологія очима учня. Слова і текст підбиралися таким чином, щоб усе було інтуїтивно ясно. Як наслідок – повна відсутність математичної грамоти
Математичні структури та моделювання 2000, вип. 6, с. 107-114
УДК 530.12:531.18
ЧАС І ТОПОЛОГІЯ ЛЮДСЬКОГО ТІЛА
The Philosopher Kant визнали, що час ведеться за piori, i.e. is defined for person from birth. Has it relation with the topology and geometry of human body? У Minkowsky проміжок часу чотиримісний топологія людського тіла є тривіальним і неповносправним до R = x B, де BcRl Така топологія дозволяє відчути sensations, мабуть, будь-який пункт body. Якщо у нього є інші чотири-dimensional топологія, яка не є diffeomorphic до R, вони існують повний знімок пам'яті в ефект, щоб захистити сенсаційно. Hence, інша топологія фізичних засобів не має часу в той спосіб, на який ми збираємося.
Ця стаття написана з метою всебічного дослідження наслідків теорії абсолютного простору-часу. Відомо, що матеріальне тіло описується теоретично відносності сукупністю світових ліній, але фізика не цікавиться людським тілом. Постараємося з'ясувати, як співвідноситься псевдоевклідова геометрія простору-часу з чотиривимірною топологією тіла, яке може мати живий організм в абсолютному світі подій Мінковського.
1. Ілюзія часу
Життя людини відбувається у часі. Події, що з нами відбуваються, ми впорядковуємо, датуючи їх. Нам досконало відомо, що минуле в нашому житті - це те, що незворотно пішло, а майбутнє, яке нас чекає, невідоме, оскільки ще не настало. Але ми знаємо, що попереду нас чекає смерть.
При народженні людина отримує тіло. З погляду математики життя - це чотиривимірна область R, що має топологічну структуру, диффео-морфну D1 хВ, де D1 - одновимірний диск, відрізок часу, який судилося людині прожити, а його тіло в тривимірному просторі, топологія якого спрощено представлена на рис. 1. Сучасна теорія простору і часу передбачає, що Світ подій є так званим чотиривимірним псевдоевклідовим простором V4, названим простором-часом. Подія - це точка у просторі-часі V4. Життєвий шлях елементарного матеріального об'єкта є кривою, світовою лінією, у світі подій V4. Тому життя людини як сукупність всіх подій, що відбуваються в його житті, - це гладке вкладення h: D1 х В -> V4. Світова лінія
© 2000 А.К. Гуц
E-mail: [email protected]Омський державний університет
ВСТУПМайбутній дослідник народжується
не в 30 років, навчаючись в аспірантурі,
а набагато раніше того часу, коли
батьки вперше поведуть його до дитячого садка.
Олександр Ілліч Савєнков
д.п.н., професор МПГУ
В умовах розвитку нових технологій різко зріс попит на людей, які мають нестандартне мислення, вміють ставити і вирішувати нові завдання. Тому як ніколи актуальною стає математична підготовка учнів. Тут доречно згадати висловлювання великого російського вченого Михайла Васильовича Ломоносова «Математику вже потім вчити треба, що вона розум у порядок наводить».
Кожна людина має наочне поняття про простір, тіла і геометричні фігури. У шкільному курсі геометрії ми вивчатимемо різні тіла та їх властивості.
Але це буде в майбутньому, а поки що мене зацікавило питання: «Що таке листок Мебіуса?». Ви запитаєте мене, чому це мені цікаво. Відповім. Я дуже люблю читати. Особливо фантастику. Одним із моїх улюблених письменників – фантастів є Артур Кларк.
У його оповіданні «Стіна Мороку» один із героїв здійснює подорож незвичайною планетою, вигнутою у вигляді аркуша Мебіуса. Мені стало цікаво, що це за фігура та які її властивості.
Вивчивши відповідну літературу та Інтернет-джерела, я дізнався, що вивченням цього питання займається окремий розділ математики – топологія. Ось чому моя робота присвячена вирішенню найпростішого дослідницького завдання в цій галузі.
Ціль роботи можна сформулювати як отримання уявлення про один з найцікавіших і незвичайних розділів математики, а саме топології та вивчення топологічних властивостей деяких об'єктів.
Для реалізації мети мною було вирішено такі завдання:
розібратися у цьому, що вивчає ця наука;
вивчити історію її виникнення;
розглянути топологічні властивості деяких об'єктів;
дізнатися про практичне застосування топології.
Актуальність обраної теми у тому, що останнім часом дана наука дедалі більше проникає у такі фундаментальні області людських знань як фізика, хімія, біологія. Тому знання її основ стає значущим для технічно освіченої людини, яка живе вXXIвіці.
ОСНОВНА ЧАСТИНА
Топологія як наука та передумови її виникнення
На відміну від інших розділів геометрії, де велике значення мають співвідношення довжин, площ, кутів та інших кількісних характеристик об'єктів, топологію це все не цікавить, оскільки тут вивчаються інші, якісні властивості питання про геометричні структури.
Давайте почнемо осягнення азів цієї цікавої науки. Якщо ми звернемося до літературних джерел, можна знайти таке визначення даного поняття.
Топологія - Розділ математики, що займається вивченням властивостей фігур (або просторів), які зберігаються при безперервних деформаціях, таких, наприклад, як розтяг, стиснення або вигин.
Пояснимо поняття, що зустрічається тут, «безперервна деформація». Безперервна деформація – це деформація фігури, коли він відбувається розривів (тобто порушення цілісності фігури) чи склеювань (тобто ототожнення її точок) .
В основі кожного розділу математики є основна ідея. Не виняток і топологія. Основною ідеєю топології є ідея безперервності, тобто топологія вивчає властивості геометричних об'єктів, які зберігаються при безперервних перетвореннях.
Безперервні перетворення характеризуються тим, що точки, розташовані «близько одна до одної» до перетворення, залишаються такими і після завершення перетворення . При топологічних перетвореннях дозволяється розтягувати та згинати об'єкти, але не дозволяється їх рвати та ламати.
Для наочного уявлення визначення топології слід зазначити, що з погляду цієї науки такі об'єкти як чайна чашка і бублик не відрізняються друг від друга. Саме тому серед учених існує крилата фраза, яка свідчить, що математик, який займається топологією – це людина, яка не відрізнить бублик від чайної чашки. Дане твердження справедливе, оскільки, стискаючи і розтягуючи шматок гуми з якого виготовлені ці об'єкти, можна перейти від одного тіла до другого.
Малюнок 1Процес перетворення чашки на бублик (Тор)
Зробимо історичний екскурс і повернемося доXVIIIстоліття, коли було закладено основи цієї науки.
Одним із вчених, які стояли біля витоків зародження цієї науки є німецький математик та механікXVIIIстоліття Леонард Ейлер. В 1752 він довів формулу Декарта, що виражає зв'язок між числом вершин, ребер і граней простих багатогранників:
де, .
Наступний внесок Ейлера у розвиток топології – це розв'язання знаменитого завдання про мости. Йшлося про острові на річці Преголь у Кенігсберзі (у тому місці, де річка поділяється на два рукави – Старий і Новий Преголь) та сім мостів, що з'єднують острів з берегами (рис.2).
Потрібно було з'ясувати, чи можна обійти всі сім мостів безперервним маршрутом, побувавши на кожному тільки один раз і повернувшись у вихідну точку. Ейлер замінив ділянки суші крапками, а мости – лініями. Отриману схему Ейлер назвавграфом (Рис. 3), точки – його вершинами, а лінії – ребрами.
Малюнок 2Завдання про Кенігсберзькі мости
Л – лівий берег , П - правий берег ,
Малюнок 3Граф
Вершини вчений розділив на парні та непарні залежно від того, яке число ребер виходить з вершини. Ейлер довів, що всі ребра графа можна обійти рівно по одному разу по безперервному замкнутому маршруту, лише якщо граф містить лише парні вершини.
Так як граф у задачі про кенігсберзькі мости містить тільки непарні вершини, то необхідного маршруту прогулянки не існує.
Це завдання ілюструє практичне застосування поняття «унікурсальний граф», яке з'явилося в словнику топологіїXXвіці. Граф називаєтьсяунікурсальним , Якщо його можна «намалювати одним розчерком», тобто. пройти його весь безперервним рухом, не проходячи те саме ребро двічі .
Таким чином, граф завдання про кенігсберзькі мости є не унікурсальним і тому завдання не має рішення.
Термін «топологія» вперше зустрічається у листі до свого шкільного вчителя Мюллера, який німецький математик і фізик, професор Геттінгенського університету Йоганн Лістинг написав у 1836 році. Загальна топологія, що зародилася вXIXстолітті, остаточно оформилася в самостійну математичну дисципліну до другої половиниXXстоліття. Значною мірою цьому сприяли праці академіка П.С. Олександрова.
Топологічні властивості об'єктів
Топологію у науково-популярній літературі часто називають гумовою геометрією. Щоб це зрозуміти необхідно, уявити собі, що геометричний об'єкт виконаний з гуми і при цьому має наступні властивості: його можна стискати, розтягувати, закручувати (тобто піддавати усіляким видам деформації), але при цьому не можна розривати і склеювати.
Наприклад, маленьку кульку можна надути до розмірів великої, потім перетворити її на еліпс, потім – деформувати на гантель.
Малюнок 4Процес деформації об'єктів
Подібним чином можна поверхню кулі перетворити на поверхню куба, конуса та інших фігур. У математиці є властивості, які не порушуються за жодних безперервних деформацій. Це і єтопологічні властивості . Вивченням цих властивостей займається одне із розділів топології – загальна топологія.
Властивості, які вивчають у шкільній (евклідовій) геометрії, не є топологічними. Наприклад, прямолінійність не топологічна властивість, оскільки пряму лінію можна вигнути, і вона стане звивистою. Трикутність теж не є топологічною властивістю, тому що трикутник можна безперервно деформувати в коло.
Довжини відрізків, величини кутів, площі – ці поняття змінюються при безперервних перетвореннях. Прикладом топологічної властивості є наявність «дірки» утора (бублик). До того ж важливо, що дірка не є частиною тора. Яку б безперервну деформацію не зазнав тор, дірка залишиться.
Односторонні поверхні
У кожного з нас є уявлення про те, що таке "поверхня". Ми просто оточені різними поверхнями: поверхня аркуша паперу, поверхня озера, поверхня земної кулі.
Як правило, ми представляємо поверхню з двома сторонами: зовнішня та внутрішня, лицьова та виворітна тощо. Чи може бути щось несподіване і навіть таємниче у такому звичайному понятті? Виявляється, що може.
У 1858 р. німецький математик та астроном Август Фердинанд Мёбіус (1790-1868) відкрив поверхню, яку пізніше стали називати "лист Мёбіуса". Згідно з легендою відкрити Мебіусу свій «лист» допомогла покоївка, яка неправильно пошила кінці звичайної стрічки.
Лист Мёбіуса – найпростіша одностороння поверхня з краєм. Потрапити з однієї точки такої поверхні до іншої можна, не перетинаючи краю.
Давайте повторимо це відкриття. Створимо досліджувану поверхню та вивчимо її властивості.
Для роботи нам знадобиться лист формату А4, лінійка, олівець, ножиці та клей.
Малюнок 5Робочі інструменти
На листі накреслимо дві смужки завширшки 4 см і виріжемо їх. Це будуть заготовки, з яких ми робитимемо нашу стрічку (аркуш).
Малюнок 6Створення заготівлі
З однієї смужки ми склеїмо звичайне кільце, з другого - лист Мёбиуса. Для цього другу смужку повернемо на половину обороту та склеїмо кінці.
Малюнок 7Етапи роботи
Ось що має у нас вийти.
Малюнок 8Результат праці
Давайте займемося дослідженням властивостей отриманих фігур. У листа Мёбіуса не можна відрізнити лицьову сторону від виворітної. Вони безперервно переходять одна в одну. Завдання пофарбувати у кільця різні боки різними кольорами не спричинить труднощів. Давайте переконаємося у цьому простому прикладі. Візьміть фломастер, поставте крапку і починайте безперервно зафарбовувати один бік. Ви побачите, що зафарбується лише його внутрішня поверхня.
Малюнок 9Фарбування кільця
Але чи це буде справедливо для другого нашого паперового об'єкта? Давайте повторимо досвід, вибравши як дослідну поверхню не кільце, а лист Мебіуса.
Малюнок 10Забарвлення листа Мебіуса
Ви бачите, що весь лист став забарвленим. Адже ми, як і раніше, вели фломастером лише з одного боку. З цього можна зробити висновок про те,що у стрічки, з якої зроблено лист Мебіуса дві сторони, а у самого листа – одна .
Якщо рухатися по краю аркуша Мебіуса, то через повний оберт ми опинимося на іншому краю і прийдемо з протилежного боку.
Продовжимо наші дослідження і розглянемо питання про те, як поведуться наші дві фігури (кільце і лист Мебіуса) при їх розрізанні. Якщо розрізати кільце вздовж середньої лінії, то вийде два більш вузькі кільця
Малюнок 11Розрізання кільця
Малюнок 12Результат розрізання кільця
Якщо розрізати вздовж середньої лінії листок Мебіуса, то він не розпадеться на два кільця, як це було в досвіді з кільцем. Ми отримаємо одне кільце, але вдвічі довше (отримане кільце матиме двосторонню поверхню).
Малюнок 13Розрізання листа Мебіуса вздовж середньої лінії
А що буде, якщо розрізати лист Мебіуса по лінії, що лежить неподалік краю? Щоб прийти на початок розрізу, нам доведеться пройти шлях вдвічі довше, ніж з розрізанням цього листа по середній лінії. Вийде два зчеплені кільця, причому одне велике і вузьке, а інше маленьке і широке. Найбільш цікавим фактом є те, що велике кільце матиме односторонню поверхню, а маленьке – двосторонню.
Якщо виготовити лист Мебіуса, який закручений на 3 півоберта (540 градусів), а потім розрізати його навпіл, то вийде лист Мебіуса, закручений вузлом.
Цікаві речі виходити, якщо скласти папір гармошкою, потім зробити з нього листок Мебіуса і розрізати його навпіл або на одну третину. Перед нами з'являться три зчеплені між собою кільця.
Як дослідників властивостей цієї фігури нас зацікавило питання: чи завжди можна створити стрічку Мебіуса? Виявилося, що якщо взяти квадратний аркуш паперу і вирізати з нього смужку, то ми не зможемо отримати цікаву для нас фігуру.
Тоді постає нове питання: яке має бути відношення довжини та ширини смужки, щоб із неї завжди можна було отримати стрічку Мебіуса? Математично було доведено, що якщо приймемо ширину смужки за 1, то довжина має бути 1,73.
Практичне застосування топології
Коли говорять про топологію, то лист Мебіуса це перше, що спадає на думку людині знайомій з даним питанням. Тому у сфері практичного застосування цієї науки у різних галузях людської діяльності найчастіше зустрічається використання саме цієї постаті.
Дивовижні властивості стрічки Мебіуса є джерелом натхнення для письменників і поетів. Як приклад хочу навести невеликий уривок із вірша Наталії Іванової:
Аркуш Мебіуса - символ математики,
Що служить вищій мудрості вінцем...
Він сповнений неусвідомленої романтики:
У ньому нескінченність згорнута кільцем.
У ньому – простота, і разом із нею – складність,
що недоступна навіть мудрецям:
Тут на очах перетворилася площина
У поверхню без початку та кінця.
Класичною книгою про життя у двовимірному просторі по праву вважається «Флатландія» Едвіна Еббота та її продовження «Сферландія», написана Девідом Бюргером у 1976 році.
Флатландець живе планети, має форму двовимірної поверхні. Якщо його всесвіт нескінченна площина, він може подорожувати на будь-які відстані в будь-якому напрямку. Але якщо поверхня, на якій він мешкає, замкнута подібно до сфери, то вона необмежена і кінцева.
В який би бік не вирушив флатландець, рухаючись прямо і нікуди не повертаючи, він неодмінно повернеться туди, звідки він почав свою подорож. Коли флатландець здійснює кругосвітню подорож по сфері, він ніби рухається смужкою, склеєною в кільце.
Але якщо житель цієї планети подорожує стрічкою Мебіуса, то повернувшись у вихідну точку, він виявить у себе серце не зліва, а праворуч! Подібна ситуація описана у фантастичній розповіді Герберта Уеллса «Історія Платтнера». Людина, побувавши в четвертому вимірі, повернулася на Землю своїм дзеркальним двійником – із серцем, розташованим праворуч.
На виробництві у вигляді листа Мёбіуса виготовляють стрічку для конвеєра. Така конструктивна особливість дозволяє збільшити термін служби стрічки, оскільки відбувається рівномірне зношування її поверхні.
Малюнок 14Стрічковий конвеєр
Нещодавно основним пристроєм виведення інформації з комп'ютера на друк був матричний принтер. У його друкованій голівці стрічка також була покладена у вигляді стрічки Мебіуса.
Малюнок 15Матричний принтер
Оскільки розмова пішла про комп'ютери, то для того, щоб з'єднати кілька машин в єдине ціле, застосовується комп'ютерна мережа. Одним із основних термінів мережевої технології є поняття топології мережі.Топологія – загальна схема комп'ютерної мережі, що відображає фізичне розташування комп'ютерів та з'єднання між ними.
Малюнок 16Приклади топології комп'ютерної мережі
Форма стрічки Мёбіуса досить успішно застосовується і в архітектурі. Наведемо кілька таких прикладів.
Малюнок 18Логотипи на основі аркуша Мебіуса
Існує гіпотеза, що спіраль ДНК сама по собі є фрагментом листа Мебіуса і тому генетичний код такий складний для розшифрування та сприйняття. Крім того, така структура цілком логічно пояснює причину настання біологічної смерті – спіраль замикається сама на себе і відбувається самознищення.
Малюнок 19Спіраль ДНК
Художники і графіки також не обійшли своєю увагою тему, що цікавить нас. Показовою у цьому відношенні є творчість нідерландського художника-графікаXXстоліття Моріса Ешера. Відомий він своїми літографіями, в яких майстерно досліджував пластичні аспекти нескінченності та симетрії.
Про свою творчість він говорив: «Хоча я абсолютно необізнаний у точних науках, мені іноді здається, що я ближчий до математиків, ніж до моїх колег – художників».
Малюнок 20Літографії Моріса Ешера
ВИСНОВОК
Топологія наймолодша і наймолодша
потужна гілка геометрії, наочно
демонструє плідний вплив
протиріч між інтуїцією та логікою.
Ріхард Курант
американський математик
Російське народне прислів'я говорить: «Кінець - справі вінець». Ось і добігла завершення моя маленька подорож у захоплюючий і незвичайний світ топології. Настав час підбити підсумки.
У ході виконання роботи я познайомився з новою для мене галуззю математики – топологією. Розглянув деякі з найпростіших понять, що використовуються цією наукою і доступні для розуміння без серйозної математичної підготовки.
Насправді відтворив найвідомішу топологічну поверхню – лист Мёбиуса і досліджував його загальні властивості. Також познайомився із практичним застосуванням топологічних поверхонь у різних сферах людської діяльності.
Таким чином, було успішно вирішено всі завдання, поставлені мною на початку цієї роботи. Я сподіваюся, що моє знайомство з цією галуззю математики надалі не буде таким поверховим, що дає підстави для продовження роботи з обраної теми в міру накопичення мого математичного багажу.
СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ
Математичний енциклопедичний словник/Ю.В. Прохоров [та ін]. - М.: Видавництво «Радянська енциклопедія», 1988. - 340 с.
Болтянський, В.Г. Наочна топологія/В.Г. Болтянський, В.А. Єфремович - М.: Наука, 1975. - 160 с.
Старова, О.А. Топологія/О.А. Старова// Математика. Все для вчителя. - 2013. - № 9. - с.28-34.
Стюарт, Я. Топологія/Я. Стюарт// Квант. - 1992. - № 7. - с. 28-30.
Проект для обдарованих дітей: Яскраві вітрила [Електронний ресурс] – Режим доступу:http:// nsportal. ru/ ap/ blog/ nauchno- технічне- творчество/ list- myobiusa– дата доступу: 18.01.2017
Прасолов, В.В. Наочна топологія/В.В. Прасолів. - М.: МЦНМО, 1995. - 110 с.
Еббот, Е. Флатландія / Е. Еббот. - М.: Світ, 1976. - 130 с.
Топологія- Досить гарне, звучне слово, дуже популярне в деяких нематематичних колах, зацікавило мене ще в 9 класі. Точної думки звичайно ж я не мав, проте, підозрював, що все зав'язано на геометрії.
Слова і текст підбиралися таким чином, щоб усе було інтуїтивно ясно. Як наслідок – повна відсутність математичної грамоти.
Що таке топологія ? Відразу скажу, що є принаймні два терміни «Топологія» - один із них просто позначає деяку математичну структуру, другий - несе за собою цілу науку. Ця наука полягає у вивчення властивостей предмета, які не зміняться при його деформації.
Наочний приклад 1. Чашка бублик.
Ми бачимо, що гурток безперервними деформаціями переходить у бублик (у простолюді «двовимірний тор»). Було помічено, що топологія вивчає те, що залишається незмінним при таких деформаціях. У разі незмінним залишається кількість «дірок» у предметі - вона одна. Поки залишимо як є, трохи пізніше розберемося напевно)
Наочний приклад 2. Топологічна людина.
Безперервними деформаціями людина може розплутати пальці - факт. Не одразу очевидно, але можна здогадатися. А якщо ж наша топологічна людина завбачливо одягла годинник на одну руку, то наше завдання стане нездійсненним.
Давайте внесемо ясності
Отже, сподіваюся парочка прикладів привнесла деяку наочність до того, що відбувається.Спробуємо формалізувати це все по-дитячому.
Вважатимемо що ми працюємо з пластиліновими фігурками, і пластилін можемо розтягувати, стискати, при цьому заборонені склеювання різних точок та розриви. Гомеоморфними називаються фігури, які перекладаються одна в одну безперервними деформаціями, описаними трохи раніше.
Дуже корисний випадок – сфера з ручками. У сфери може бути 0 ручок - тоді це просто сфера, може бути одна - тоді це бублик (у народі «двовимірний тор») і т.д.
То чому ж сфера з ручками – відокремлюється серед інших фігур? Все дуже просто - будь-яка фігура гомеоморфна у сфері з деякою кількістю ручок. Тобто в нас більше нічого немає О_о Будь-який об'ємний предмет влаштований як сфера з деякою кількістю ручок. Будь то чашка, ложка, виделка (ложка = вилка!), комп'ютерна миша, людина.
Ось така досить змістовна теорема доведена. Чи не нами і не зараз. Точніше вона доведена для більш загальної ситуації. Поясню: ми обмежувалися розглядом фігур зліплених із пластиліну і без порожнин. Це спричиняє такі неприємності:
1) ми не можемо отримати неорієнтовану поверхню (Пляшка Клейна, Стрічка Мебіуса, проектна поверхня),
2) обмежуємося двомірними поверхнями (н/п: сфера - двомірна поверхня),
3) не можемо отримати поверхні, фігури, що простягаються на нескінченність (можна звичайно таке уявити, але ніякого пластиліну не вистачить).
Стрічка Мебіуса
Пляшка Клейна
Цей урок стане хорошим стартом для тих, хто хоче навчитися моделювати першокласних персонажів. Знаменитий у своєму колі Jahirul Amin розповість про важливість правильної топології, рівномірної сітки, важливість чотирикутних полігонів та багато іншого.
Перед тим, як занурюватися в 3D-вир, пропоную влаштувати короткий лікнеп і поплескатися на мілководді. Нижче ми торкнемося основ полігонального моделювання, без знання яких безглуздо рухатися далі.
Вступ
Коли геометрія стає підмогою моделера або аніматора, ідеальне компонування сітки (вона ж меш) стоїть на першому місці. Після цього в гру має вступити хороша топологія, яка знижує кількість дефектів при анімації персонажа. Іншими словами, правильно (і вчасно) створений полігон збереже не те, що годинник – дні вашого життя.
3-х кутник vs 4-х кутник vs N-кутник
Отже, у чому різниця між 3-, 4- і N-вугільними полігонами? Відповідь очевидна: у першого 3 сторони, у другого – 4, у третього – будь-яка їхня кількість, більша за 4-х. Якщо ви моделюєте допустимий персонаж для подальшої його анімації, то рекомендують використовувати тільки чотирикутники. Процес деформування та поділу чотирикутних полігонів проходить набагато простіше, до того ж, ви зіткнетеся з меншим спотворенням текстури.
Трикутники рекомендується ховати від своїх та чужих очей. Наприклад, у місцях пахв або в пахвинній ділянці персонажа. У свою чергу, на багатокутники накладено негласну заборону — їх не повинно бути. Вони провокують спотворення і завдають чимало клопоту, коли справа доходить до ригінгу та редагування груп вершин (воно ж «weight-painting»).
Нарешті, модель, яка складається переважно з чотирикутних полігонів, буде легко експортувати в інші програми моделювання, такі як або Mudbox.
Радості чотирьох та трикутних полігонів та жах N-кутника
Контури особи, що за визначенням нагадують N-кутник, потрібно максимально наблизити до чотирикутного формату. Мало того - розташування полігонів має бути настільки рівномірним, наскільки це в принципі можливо. Ось, до чого закликає однойменна геометрія. Дотримання цих правил полегшить проходження стадії ригінгу та допоможе при деформуванні персонажа у процесі анімації. Крім того, зменшиться масштаб спотворень, пов'язаний із застосуванням текстур, хоча тут не варто забувати про важливість самої UV розгортки.
Для виконання описаного завдання Maya передбачений інструмент Sculpt Geometry.
Інструмент Sculpt Geometry у Maya допоможе «розгладити» сітку моделі
Відповідає за плавність переходу кожного окремо взятого еджа (воно Edge Flow). Звучить, може, й просто, але на практиці це дуже підступна штука.
Якщо ви поставили собі за мету створити реалістичного персонажа, перед початком роботи рекомендується вивчити основи анатомії. Наслідуючи будову людського тіла і природний рух м'язів, аніматор, зрештою, отримує наближену до оригіналу копію. Особливо чітко це простежується у процесі деформації. Радимо почати з процесу утворення зморшок та розтягування шкіри.
Для стилізованих та мультиплікаційних персонажів Edge Flow має значно менше значення. Але все ж таки я настійно рекомендую отримати хоча б базове уявлення анатомії людини.
Щоб форма вийшла реалістичною, створіть хорошу топологію та обов'язково враховуйте плавність напрямку сітки (еджей, полігонів).
Вона ж – небагатоподібність (non-manifold). Означає, що тривимірний об'єкт неможливо розрізати та перетворити на плоский.
Приклад: створіть куб, виділіть будь-яке ребро (край) та видавіть його Edit Mesh > Extrude. Перед вами небагатоподібний об'єкт. (Приклад нижче зліва) Якби куб був виготовлений з паперу, то при розгортанні ви отримали б хрестоподібну фігуру з порушеними пропорціями. Використання подібного об'єкта у булієвих операціях (Boolean operation) практично неможливе.
Щоб виправити ситуацію, скористайтеся інструментом Cleanup.
Порушення топології геометрії може створити не один десяток проблем. Будьте пильні та періодично оглядайте фігуру під різними кутами.
У кожної петлі (ребра еджа) має бути мета
Як правило, моделювання починається з примітивної фігури (наприклад, з куба), будова якої згодом ускладнюється шляхом додавання петлею ребрів (edge loops).
Важливо, щоб кожен новий елемент було створено з конкретною метою. Бувають ситуації, в яких «менше» і «краще». Розуміння принципів оптимізації моделі приходить лише з досвідом, так що не турбуйтеся і продовжуйте працювати.
Не ускладнюйте собі життя: деталізація має бути доцільною
Все, що ми намагаємося зробити на екрані, є відображенням навколишнього світу в різних його формах та проявах. Саме тому так важливо час від часу вставати із-за столу. Важливо як для розробників, а й у аніматорів, ригерів, постановників світла тощо.
Придивіться до поверхні, її структури та тіні. Як вона відбиває світло? Як відбувається процес деформації? Відповідь на ці та інші питання допоможе вам прийняти правильне рішення під час моделювання будь-якого об'єкта.
