Неоднорідне рівняння теплопровідності однорідні крайові умови. Метод фур'є для рівняння теплопровідності. Миттєве точкове джерело
Нижче буде розглянуто декілька завдань на визначення температурних полів щодо простих геометричних і фізичних умов, які допускають нескладні за формою аналітичні рішення і водночас дають корисну ілюстрацію характерних фізичних процесів, пов'язаних з теплопередачею в твердому тілі.
Розглянемо стрижень із термоізольованою бічною поверхнею (рис. 38). У цьому випадку теплопередача може здійснюватись вздовж стрижня. Якщо поєднати стрижень з віссю декартової системи координат, то стаціонарне рівняння теплопровідності матиме виглядПри постійних значеннях коефіцієнта теплопровідності об'ємної потужності тепловиділення останнє рівняння можна двічі проінтегрувати
(75)
Постійне інтегрування можна знайти з граничних умов. Наприклад, якщо на кінцях стрижня встановлено температуру , . Тоді з (75) маємо
Звідси знайдемо постійні інтегрування та . Рішення за вказаних граничних умов набуде вигляду
З останньої формули видно, що за відсутності джерел тепловиділення. Температура у стрижні змінюється за лінійним законом від одного граничного значення до іншого
Розглянемо тепер інше поєднання граничних умов. Нехай на лівому кінці стрижня зовнішнє джерелостворює тепловий потік. На правому кінці стрижня збережемо колишню умову, таким чином маємо
Висловлюючи ці умови за допомогою загального інтеграла (75), отримаємо систему щодо постійних інтегрувань
Знайшовши з отриманої системи невідомі постійні, отримаємо рішення у вигляді
Як і в попередньому прикладі за відсутності внутрішніх джерел тепловиділення, розподіл температури вздовж стрижня буде лінійним.
При цьому температура на лівому кінці стрижня, де розташоване зовнішнє джерело тепла, дорівнюватиме .
Як наступний приклад знайдемо стаціонарний розподіл температури по радіусу в суцільному довгому круговому циліндрі (рис. 39). Істотно спростить завдання у разі застосування циліндричної системи координат. У разі циліндра з великим відношенням довжини до радіусу і постійним розподілом
їм внутрішнього джерелатепловиділення, температуру далеко від кінців циліндра вважатимуться незалежної від осьової координати циліндричної системи . Тоді стаціонарне рівняння теплопровідності (71) набуде вигляду
Дворазове інтегрування останнього рівняння (при постійній) дає
Умова симетрії розподілу температури на осі циліндра () дає
Звідки маємо
Остання умова буде виконана за умови . Нехай на поверхні циліндра () задана температура. Тоді можна знайти другу постійну інтеграцію з рівняння
Звідси знайдемо та запишемо рішення в остаточному вигляді
Як чисельний приклад застосування отриманого результату розглянемо розподіл температури у плазмі циліндричного дугового розряду радіусом мм. Кордон розрядного каналу формується як область, де припиняються іонізаційні процеси. Вище ми бачили, що помітна іонізація газу при нагріванні припиняється при K. Тому наведене значення можна прийняти в якості граничного K. σ
- електропровідність плазми, E- Напруженість електричного поляу каналі розряду. Характерні для дугового розряду значення становлять 1/Ом, В/м. Теплопровідність дугової плазми вище, ніж у нейтральному газі, при температурах близько 10000 К її значення може бути прийнято рівним . Таким чином, параметр 
. Розподіл температури за радіусом показано на рис. 39. При цьому температура на осі розряду () становитиме 8000 K.
У наступному прикладі ми розглянемо теплове поле, Що має сферичну симетрію. Такі умови виникають, зокрема, якщо джерело тепловиділення малого розміру розміщено у великому масиві, наприклад, міжвиткове дугове замикання в обмотці великої електричної машини. У цьому випадку поєднуючи центр сферичної системи координат із джерелом тепловиділення ми можемо навести стаціонарне рівняння теплопровідності (64) до вигляду:
Двічі інтегруючи це рівняння, знайдемо
Повертаючись до прикладу, припустимо, що дугове замикання має місце всередині сферичної порожнини радіуса (рис. 40). Приймемо опір дугового розряду рівним Ом, струм розряду А. Тоді потужність, що виділяється в порожнині, становитиме . Розглянемо рішення поза сферою дії джерела тепловиділення.Тоді інтеграл рівняння теплопровідності спроститься
Для обчислення постійних інтегрування скористаємося по-перше умовою нескінченно віддалених від місця розряду точках , де C - температура навколишнього середовища. З останнього виразу знаходимо. Для визначення постійної приймемо, що виділяється в розряді теплова енергіярівномірно розподіляється по поверхні сферичної порожнини радіусу. Тому тепловий потік на межі порожнини становитиме
Оскільки , то з двох останніх рівнянь маємо
а рішення в остаточному вигляді
При цьому температура на межі порожнини (мм) при Вт/мК становитиме 
K (рис. 40).
Як перший приклад цієї групи розглянемо теплове поле у перерізі дроту круглого перерізу, має канал охолодження (рис. 41, а). Проводи з каналами охолодження застосовують в потужних обмотках електричних машинта котушок для отримання сильних магнітних полів. Для цих пристроїв характерне тривале протікання струмів з амплітудою в сотні і навіть тисячі ампер. Наприклад, прокачується рідина, наприклад вода, або газ (водень, повітря), що забезпечує відбір теплової енергії з внутрішньої поверхніканалу та охолодження дроту в цілому. У разі ми маємо справу з примусовим конвективним охолодженням поверхні каналу, на яку можна використовувати обгрунтоване вище граничне умова третього роду (67). Якщо поєднати вісь циліндричної системи координат із віссю дроту, то температура залежатиме лише від радіальної координати. Загальний інтеграл стаціонарного рівняння теплопровідності для цього випадку було отримано нами раніше
Об'ємна щільність потужності тепловиділення знаходиться із закону Джоуля-Ленца: j- Щільність струму, σ - електропровідність,
де R- радіус перерізу дроту, a- Радіус охолоджуючого каналу. Провід зовні оточений шарами ізоляції, що має порівняно з провідником відносно низьку теплопровідність. Тому в першому наближенні приймемо зовнішню поверхню теплоізольованої дроту, тобто тепловий потік на ній
На поверхні охолоджуючого каналу тепловий потік визначається умовою третього роду
де - Коефіцієнт тепловіддачі, - температура охолоджуючого потоку. Знак мінус у правій частині взятий внаслідок того, що нормаль до внутрішньої поверхні каналу спрямована у протилежному до осі напрямку.
Підставляючи в першу з виписаних граничних умов вираз для температури (76), отримаємо
звідки. Друга гранична умова дає
звідки знаходимо
Разом з тим (76)
Порівнюючи останні два вирази, знайдемо
Після підстановки знайдених постійних у загальне рішення(76) та перетворень отримаємо
Температура на межах перерізу дроту з отриманого рішення розраховуватиметься за формулами
Розподіл температури за радіусом перерізу для дроту з каналом охолодження з параметрами: A, Вт/мК, 
1/Ом м, С, мм, см показано на рис. 41, б.
З рис. 41, бслід, що в межах перерізу дроту зміна температури відносно мало порівняно з її середньою величиною, що пояснюється високою теплопровідністю λ та відносно малими розмірами перерізу дроту.
Інша ситуація виникає у розподілі температури вздовж дроту, що складається з окремих ділянок, що контактують одна з одною. Погіршення якості контактів між провідниками, що з'єднуються, призводить до підвищення тепловиділення в місці з'єднання двох проводів порівняно з самим проводом. Дистанційне вимірювання температури дроту за допомогою тепловізорів або пірометрів дозволяє діагностувати якість контактних з'єднань.Розрахуємо розподіл температури вздовж дроту за наявності дефектного контакту. Попередній приклад показав, що навіть у найжорсткіших умовах зміна температури в межах перерізу дроту дуже мала. Тому для нашого розрахунку можна в першому наближенні прийняти розподіл температури в межах перерізу однорідним проводу. Розподіл тепловиділення вздовж дроту залежить від розподілу електричного опорувздовж дроту, яке однорідно далеко від контакту та зростає при наближенні до нього. Сумісний вісь декартової системи координат з віссю дроту, а початок координат - з центром контактної області (рис. 42). Як модель розподілу опору вздовж дроту візьмемо наступний розподіл погонного опору
де , - Параметр, що характеризує лінійний розмір контактної області . Потужність тепловиділення на одиницю довжини дроту становить 
. У розрахунку на одиницю обсягу потужність тепловиділення дорівнює
де S- Переріз проводу. Охолодження дроту здійснюється природною конвекцією з його поверхні. Конвективний тепловий потік з одиниці довжини дроту є
де α - Коефіцієнт тепловіддачі, - температура навколишнього повітря, p- Періметр перерізу дроту. Тепловіддача в навколишнє середовищеу розрахунку на одиницю обсягу провідника становитиме
Стаціонарний розподіл температури вздовж проводу підпорядковуватиметься рівнянню теплопровідності
Для подальших перетворень отриманого рівняння приймемо постійним уздовж проводу коефіцієнт теплопровідності , підставимо отримані вище вирази для і , а також як потрібна функція замість Tвізьмемо:
прийдемо до лінійного неоднорідного диференціального рівняння
Рішення отриманого рівняння шукатимемо у вигляді суми загального рішення однорідного рівняння
та приватного рішення у формі правої частини
.
Розв'язання рівнянь алгебри методом Ньютона
Досить популярним методом розв'язування рівнянь є метод дотичних, або метод Ньютона. У цьому випадку рівняння виду f(x) = 0 вирішується так. Спочатку вибирається нульове наближення (точка x 0). У цій точці будується дотична до графіка y = f(x). Точка перетину цієї дотичної з віссю абсцис є наступним наближенням для кореня (точка x 1). У цій точці знову будується дотична і т.д. Послідовність точок x 0 , x 1 , x 2 … має призвести до справжнього значення кореня. Умовою збіжності є.
Так як рівняння прямої, що проходить через точку x 0 , f(x 0) (а це і є дотична), записується у вигляді
а як наступне наближення x 1 для кореня вихідного рівняння приймається точка перетину цієї прямої з віссю абсцис, слід покласти в цій точці y = 0:
звідки негайно слідує рівняння для знаходження наступного наближення через попереднє:
Рис. 3 показано реалізацію методу Ньютона засобами Excel. У комірку B3 вводиться початкове наближення ( x 0 = -3), а потім інших осередках стовпця обчислюються всі проміжні величини аж до обчислення x 1 . Для виконання другого кроку в комірку C3 вводиться значення комірки B10 і процес обчислень повторюється в стовпці C. Потім, виділивши комірки C2:C10 можна, потягнувши за маркер в правому нижньому куті виділеної області, поширити його на стовпці D:F. У результаті осередку F6 отримано значення 0, тобто. значення в комірці F3 є коренем рівняння.
Цей результат можна отримати, використовуючи циклічні обчислення. Тоді після заповнення першого стовпця та отримання першого значення x 1 слід ввести в комірку H3 формулу = H10. При цьому обчислювальний процес буде зациклений і для того, щоб він виконувався в меню Сервіс | Параметрина вкладці Обчисленнянеобхідно встановити прапорець Ітераціїі вказати граничну кількість кроків ітераційного процесу та відносну похибку (встановлене за умовчанням число 0,001 явно недостатньо у багатьох випадках), після досягнення якої обчислювальний процес зупиниться.
Як відомо, такі фізичні процеси, як перенесення тепла, перенесення маси в процесі дифузії, підпорядковуються закону.
де l- Коефіцієнт теплопровідності (дифузії), а T- Температура (концентрація), а - потік відповідної величини. З математики відомо, що дивергенція потоку дорівнює об'ємній щільності джерела Qцієї величини, тобто.
або для двовимірного випадку, коли досліджується розподіл температури в одній площині, це рівняння може бути записане у вигляді:
Вирішення цього рівняння аналітично можливе тільки для областей простої форми: прямокутник, коло, кільце. У інших ситуаціях точне розв'язання цього рівняння неможливе, тобто. неможливо і визначити розподіл температури (або концентрації речовини) у складних випадках. Тоді доводиться використовувати наближені методи розв'язання таких рівнянь.
Наближене рішення рівняння (4) в області складної формискладається з кількох етапів: 1) побудова сітки; 2) побудова різницевої схеми; 3) розв'язання системи рівнянь алгебри. Розглянемо послідовно кожен із етапів та його реалізацію з допомогою пакета Excel.
Побудова сітки.Нехай область має форму, показану на рис. 4. При такій формі точне аналітичне рішення рівняння (4), наприклад, методом поділу змінних неможливо. Тому шукатимемо наближене рішення цього рівняння в окремих точках. Нанесемо на область рівномірну сітку, що складається із квадратів зі стороною h. Тепер, замість шукати безперервне рішення рівняння (4), визначене у кожній точці області, шукатимемо наближене рішення, визначене лише у вузлових точках сітки, нанесеної область, тобто. у кутах квадратів.
Побудова різницевої схеми.Для побудови схеми різниці розглянемо довільний внутрішній вузол сітки Ц (центральний) (рис.5). З ним сусідять чотири вузли: В (верхній), Н (нижній), Л (лівий) та П (правий). Нагадаємо, відстань між вузлами в сітці дорівнює h. Тоді, використовуючи вираз (2) для наближеного запису других похідних у рівнянні (4), можна наближено записати:
звідки легко отримати вираз, що зв'язує значення температури у центральній точці з її значеннями у сусідніх точках:
Вираз (5) дозволяє нам, знаючи значення температури у сусідніх точках, обчислити її значення у центральній точці. Така схема, у якій похідні замінюються кінцевими різницями, а пошуку значень у точці сітки використовуються лише значення у найближчих сусідніх точках, називається цетрально-разностной схемою, а сам метод – методом кінцевих різниць.
Потрібно розуміти, що рівняння, аналогічне (5), ми отримуємо ДЛЯ КОЖНОЇ точки сітки, які таким чином виявляються пов'язаними один з одним. Тобто ми маємо систему рівнянь алгебри, в якій число рівнянь дорівнює числу вузлів сітки. Вирішувати таку систему рівнянь можна різними методами.
Розв'язання системи рівнянь алгебри. Метод ітерацій.Нехай у граничних вузлах температура задана і дорівнює 20, а потужність теплового джерела дорівнює 100. h= 1. Тоді вираз (5) для обчислення температури у внутрішніх точках набуває вигляду
Поставимо у відповідність кожному УЗЛ осередок на аркуші Excel. У осередках, що відповідають граничним точкам, введемо число 20 (на рис. 6 вони виділені сірим кольором). У решті осередків запишемо формулу (6). Наприклад, у клітинці F2 вона виглядатиме так: =(F1 + F3 + E2 + G2)/4 + 100*(1^2)/4. Записавши цю формулу в комірку F2, можна її скопіювати і вставити в інші комірки області, що відповідають внутрішнім вузлам. При цьому Excel повідомлятиме про неможливість проведення обчислень через зациклювання результатів:
Натисніть «Скасувати» та перейдіть у вікно Сервіс|Параметри|Обчислення, де встановіть прапорець у розділі «Ітерації», вказавши при цьому як відносну похибку величину 0,00001, а як граничну кількість ітерацій 10000:
Такі значення забезпечать нам малу лічильну похибку та гарантують, що ітераційний процес дійде до заданої похибки.
Однак ці значення не забезпечують малу похибку самого методу, оскільки остання залежить від похибки при заміні других похідних кінцевими різницями. Вочевидь, що це похибка тим менше, що менше крок сітки, тобто. розмір квадрата, на якому будується наша різницева схема. Це означає, що точно ВИЧИСЛЕНЕ значення температури у вузлах сітки, представлене на рис. 6, насправді може виявитися зовсім не відповідним дійсності. Існує єдиний метод перевірити знайдене рішення: знайти його на більш дрібній сітці та порівняти з попереднім. Якщо ці рішення відрізняються мало, можна вважати, що знайдений розподіл температури відповідає дійсності.
Зменшимо крок удвічі. Замість 1 він стане рівним? Число вузлів у нас відповідно зміниться. По вертикалі замість 7 вузлів (було 6 кроків, тобто 7 вузлів) стане 13 (12 квадратів, тобто 13 вузлів), а по горизонталі замість 9 стане 17. При цьому не слід забувати, що величина кроку зменшилася вдвічі і тепер у формулі (6) замість 1 2 потрібно у правій частині підставляти (1/2) 2 . Як контрольна точка, в якій будемо порівнювати знайдені рішення, візьмемо точку з максимальною температурою, зазначену на рис. 6 жовтим кольором. Результат обчислень показано на рис. 9:
Видно, що зменшення кроку призвело до істотної зміни значення температури контрольної точки: на 4%. Для підвищення точності знайденого рішення слід зменшити крок сітки. Для h= отримаємо в контрольній точці 199,9, а для h = 1/8 відповідне значення дорівнює 200,6. Можна побудувати графік залежності знайденої величини від величини кроку:
З малюнка можна дійти невтішного висновку, що подальше зменшення кроку призведе до істотного зміни температури в контрольній точці і точність знайденого рішення вважатимуться задовільною.
Використовуючи можливості пакета Excel, можна побудувати поверхню температури, що наочно представляє її розподіл у області, що досліджується.
з початковими умовами
та граничними умовами
Розв'язання цього завдання шукатимемо у вигляді ряду Фур'є за системою власних функцій (94)
тобто. у формі розкладання
вважаючи при цьому tпараметром.
Нехай функції f(x, t) є безперервною і має кусково-безперервну похідну 1-го порядку хі за всіх t>0 виконуються умови
Припустимо тепер, що функції f(x,
t)
і 
можна розкласти в ряд Фур'є за синусами
, (117)
(118)
, (119)
. (120)
Підставимо (116) до рівняння (113) та з урахуванням (117), отримаємо
.
Ця рівність виконується тоді, коли
, (121)
або, якщо 
, то це рівняння (121) можна записати у вигляді
. (122)
Користуючись початковою умовою (114) з урахуванням (116), (117) та (119) отримуємо, що
. (123)
Таким чином, для знаходження шуканої функції 
приходимо до завдання Коші (122), (123) для звичайного неоднорідного диференціального рівняння першого порядку. Користуючись формулою Ейлера, можна записати загальне рішення рівняння (122)
,
а з урахуванням (123) рішення задачі Коші
.
Отже, коли ми підставимо значення цієї функції у вираз (116), у результаті отримаємо рішення вихідної задачі
(124)
де функції f(x,
t)
і 
визначені формулами (118) та (120).
приклад 14. Знайти рішення неоднорідного рівняння параболічного типу
за початкової умови
(14.2)
та граничних умовах
. (14.3)
▲ Підберемо спочатку таку функцію , щоб задовольняла граничні умови (14.3). Нехай, наприклад, = xt 2 . Тоді
Отже, функція визначається як
задовольняє рівняння
(14.5)
однорідним граничним умовам
та нульовим початковим умовам
. (14.7)
Застосовуючи метод Фур'є на вирішення однорідного рівняння
за умов (14.6), (14.7), покладемо
.
Приходимо до наступного завдання Штурма-Ліувіля:
,
.
Вирішуючи це завдання, знаходимо власні значення
та відповідні їм власні функції
. (14.8)
Розв'язання задачі (14.5)-(14.7) шукаємо у вигляді ряду
, (14.9)
(14.10)
Підставивши 
з (14.9) до (14.5) отримаємо
. (14.11)
Для знаходження функції T n (t) розкладемо функцію (1- х) у ряд Фур'є за системою функцій (14.8) на інтервалі (0,1):
. (14.12)
,
і з (14.11) та (14.12) отримуємо рівняння
, (14.13)
яке є звичайним неоднорідним лінійним диференціальним рівнянням першого порядку. Його загальне рішення знайдемо за формулою Ейлера
а з урахуванням умови (14.10), знайдемо розв'язання задачі Коші
. (14.14)
З (14.4), (14.9) та (14.14) знаходимо рішення вихідного завдання (14.1)- (14.3)
Завдання для самостійної роботи
Розв'язати початково-крайові завдання
3.4. Завдання Коші для рівняння теплопровідності
Насамперед розглянемо завдання Коші для однорідного рівняння теплопровідності.
задовольняюче
Почнемо з того, що замінимо змінні x
і tна 
та введемо на розгляд функцію 
. Тоді функції 
будуть задовольняти рівнянням
де 
- функція Гріна, яка визначається формулою
, (127)
і володіє властивостями
; (130)
. (131)
Помноживши перше рівняння на G* , а друге на іі потім склавши отримані результати, отримаємо рівність
. (132)
Після інтегрування частинами рівності (132) по 
у межах від -∞ до +∞ і по 
в межах від 0 до t, отримаємо
Якщо припустити, що функція 
та її похідна 
обмежені при 
, то з властивостей (131) інтеграл у правій частині (133) дорівнює нулю. Отже, можна записати
Замінивши в цій рівності на 
, а 
на 
, отримаємо співвідношення
.
Звідси, використовуючи формулу (127), остаточно отримаємо
. (135)
Формула (135) називається формулою Пуассона та визначає розв'язання задачі Коші (125), (126) для однорідного рівняння теплопровідності з неоднорідною початковою умовою.
Рішення ж завдання Коші для неоднорідного рівняння теплопровідності
задовольняюче неоднорідній початковій умові
є сумою рішень:
де є рішенням задачі Коші для однорідного рівняння теплопровідності . , що задовольняє неоднорідної початкової умови, а є рішенням, що задовольняє однорідну початкову умову. Таким чином, розв'язання задачі Коші (136), (137) визначається формулою
приклад 15. Знайти рішення рівняння
(15.1)
для наступного розподілу температури стрижня:
▲ Стрижень є нескінченним, тому рішення можна записати, використовуючи формулу (135)
.
Так як 
в інтервалі 
дорівнює постійній температурі 
, а поза цим інтервалом температура дорівнює нулю, то рішення набуває вигляду
. (15.3)
Вважаючи в (15.3) 
, отримаємо
.
Оскільки
є інтеграл ймовірностей, то остаточне рішення вихідної задачі (13.1), (13.2) можна виразити формулою
.▲
Рівняння теплопровідності для нестаціонарного випадку
нестаціонарнимякщо температура тіла залежить як від положення точки, так і від часу.
Позначимо через і = і(М, t) температуру в точці Моднорідного тіла, обмеженого поверхнею S, у момент часу t. Відомо, що кількість теплоти dQ, що поглинається за час dt, виражається рівністю
де dS− елемент поверхні, k− коефіцієнт внутрішньої теплопровідності, − похідна функції іу напрямку зовнішньої нормалі до поверхні S. Оскільки поширюється у напрямі зниження температури, то dQ> 0, якщо > 0, та dQ < 0, если < 0.
З рівності (1) випливає
Тепер знайдемо Qіншим способом. Виділимо елемент dVобсягу V, обмеженого поверхнею S. Кількість теплоти dQ, одержуваної елементом dVза час dt, пропорційно підвищенню температури у цьому елементі та масі самого елемента, тобто.
де густина речовини, коефіцієнт пропорційності, званий теплоємністю речовини.
З рівності (2) випливає
Таким чином,
де. Враховуючи, що = , , отримаємо
Замінюючи праву частину рівності за допомогою формули Остроградського – Гріна, отримаємо
для будь-якого обсягу V. Звідси отримуємо диференціальне рівняння
яке називають рівнянням теплопровідності для нестаціонарного випадку.
Якщо тіло є стрижень, спрямований по осі Ох, то рівняння теплопровідності має вигляд
Розглянемо завдання Коші для наступних випадків.
1. Випадок необмеженого стрижня.Знайти рішення рівняння (3) ( t> 0, ), що задовольняє початкову умову. Використовуючи метод Фур'є, отримаємо рішення у вигляді
− інтеграл Пуассона.
2. Випадок стрижня, обмеженого з одного боку.Рішення рівняння (3), що задовольняє початкову умову і крайову умову, виражається формулою
3. Випадок стрижня, обмеженого із двох сторін.Завдання Коші полягає, щоб при х= 0 і х = lзнайти рішення рівняння (3), що задовольняє початковій умові та двом крайовим умовам, наприклад, або .
У цьому випадку приватне рішення шукається у вигляді ряду
для крайових умов
і у вигляді ряду
для крайових умов.
приклад.Знайти рішення рівняння
що задовольняє початковим умовам
та крайовим умовам.
□ Розв'язання задачі Коші шукатимемо у вигляді
Таким чином,
Рівняння теплопровідності для стаціонарного випадку
Розподіл тепла в тілі називають стаціонарнимякщо температура тіла ізалежить від положення точки М(х, у, z), але не залежить від часу t, тобто.
і = і(М) = і(х, у, z).
У цьому випадку 0 і рівняння теплопровідності для стаціонарного випадку звертається до рівняння Лапласа
яке часто записують у вигляді.
Щоб температура іу тілі визначалася однозначно з цього рівняння, потрібно знати температуру на поверхні Sтіла. Таким чином, для рівняння (1) крайова задача формулюється в такий спосіб.
Знайти функцію і, що відповідає рівнянню (1) всередині обсягу Vі приймаючу в кожній точці Мповерхні Sзадані значення
Це завдання називається завданням Діріхлеабо першим крайовим завданнямдля рівняння (1).
Якщо на поверхні тіла температура невідома, а відомий тепловий потік у кожній точці поверхні, який пропорційний, то на поверхні Sзамість крайової умови (2) матимемо умову
Завдання знаходження рішення рівняння (1), що задовольняє крайову умову (3), називається завданням Нейманаабо другим крайовим завданням.
Для плоских фігур рівняння Лапласа записується як
Такий самий вигляд має рівняння Лапласа і для простору, якщо іне залежить від координати z, тобто. і(М) зберігає постійне значення при переміщенні точки Мпо прямій, паралельній осі Oz.
Заміною , рівняння (4) можна перетворити до полярних координат
З рівнянням Лапласа пов'язане поняття гармонійної функції. Функція називається гармонійноюв області Dякщо в цій галузі вона безперервна разом зі своїми похідними до другого порядку включно і задовольняє рівняння Лапласа.
приклад.Знайти стаціонарне розподілення температури в тонкому стрижні з теплоізольованою бічною поверхнею, якщо на кінцях стрижня , .
□ Маємо одновимірний випадок. Потрібно знайти функцію і, що задовольняє рівняння та крайових умов . Загальне рівняннязазначеного рівняння має вигляд. Враховуючи крайові умови, отримаємо
Таким чином, розподіл температури у тонкому стрижні з теплоізольованою бічною поверхнею лінійно. ■
Завдання Диріхлі для кола
Нехай дано коло радіусу Rз центром у полюсі Прополярної системи координат. Треба знайти функцію , гармонійну в колі та умову , що задовольняє на його колі , де − задана функція, безперервна на колі. Шукана функція має задовольняти у колі рівняння Лапласа
Використовуючи метод Фур'є, можна отримати
− інтеграл Пуассона.
приклад.Знайти стаціонарний розподіл температури на однорідній тонкій круглій пластинці радіусу R, верхня половина підтримується за нормальної температури , а нижня – за нормальної температури .
□ Якщо, то, а якщо, то. Розподіл температури виражається інтегралом
Нехай точка розташування у верхньому півкрузі, тобто. ; тоді змінюється від до, і цей інтервал довжини не містить точок. Тому введемо підстановку, звідки, . Тоді отримаємо
Так права частина негативна, то іпри задовольняє нерівності. Для цього випадку отримуємо рішення
Якщо точка розташована в нижньому півкрузі, тобто. , то інтервал зміни містить точку , але не містить 0, і можна зробити підстановку , звідки , , Тоді для цих значень маємо
Провівши аналогічні перетворення, знайдемо
Оскільки права частина тепер позитивна, то. ■
Метод кінцевих різниць для вирішення рівняння теплопровідності
Нехай потрібно знайти рішення рівняння
задовольняюче:
початковій умові
та крайових умов
Отже, потрібно знайти рішення рівняння (1), яке б задовольняло умовам (2), (3), (4), тобто. потрібно знайти рішення в прямокутнику, обмеженому прямими , , , якщо задані значення шуканої функції на трьох його сторонах , , .
Побудуємо прямокутну сітку, утворену прямими
− крок уздовж осі Ох;
− крок уздовж осі Від.
Введемо позначення:
З поняття кінцевих різниць можна записати
аналогічно
Враховуючи формули (6), (7) та введені позначення, запишемо рівняння (1) у вигляді
Звідси отримаємо розрахункову формулу
З (8) випливає, що якщо відомі три значення до k-ом шарі сітки: , , , то можна визначити значення ( k+ 1)-му шарі.
Початкова умова (2) дозволяє знайти всі значення на прямій; крайові умови (3), (4) дозволяють знайти значення на прямих та . За формулою (8) знаходимо значення переважають у всіх внутрішніх точках наступного шару, тобто. для k= 1. Значення шуканої функції крайніх точках відомі з граничних умов (3), (4). Переходячи від одного шару сітки до іншого, визначаємо значення шуканого рішення у всіх вузлах сітки.
; Займемося рішенням першої змішаної задачі для рівняння теплопровідності: знайти рішення і(х, t) рівняння, що задовольняє початкову умову та граничні умови Почнемо знайпростішого завдання : знайти рішення u(x,t) однорідного рівняння, що задовольняє початковій умові і нульовим (однорідним) граничним умовам Метод Фур'є для рівняння теплопровідності Будемо шукати нетривіальні рішення рівняння (4), що задовольняють граничним умовам (6), у вигляді до рівняння (4), отримаємо або звідки маємо два звичайні диференціальні рівняння Щоб отримати нетривіальні рішення та (х, *) виду (7), що задовольняють граничним умовам (6), необхідно знайти нетривіальні рішення рівняння (10), що задовольняють граничним умовам. , визначення фунмдои Х(х) ми приходимо до завдання на власні значення: знайти значення параметра А, у яких існують нетривіальні розв'язання задачі Це завдання було розглянуто у попередньому розділі. Там було показано, що тільки при існують нетривіальні рішення При А = А„ загальне рішення рівняння (9) має вигляд задовольняють рівнянню (4) та граничним умовам (6). Утворимо формальний ряд Зажадавши, щоб функція і(х) t), яка визначається формулою (12), задовольняла початковій умові, отримаємо Ряд (13) являє собою розкладання у ряд Фур'є за синусами в інтервалі (О, I). p align="justify"> Коефіцієнти а" розкладання визначаються за відомими формулами Метод Фур'є для рівняння теплопровідності Припустимо, що Тодіряд (13) з коефіцієнтами, що визначаються за формулами (14), буде сходитися до функції абсолютно і рівномірно. Так як при те ряд при цьому сходиться абсолютно і поступово. Тому функція і(х, t) - сума ряду (12) - безперервна в області та задовольняє початковому та граничному умовам. Залишається показати, що функція і(х, t) задовольняє рівнянню (4) в області 0. Для цього достатньо показати, що ряди, отримані з (12) почленним диференціюванням по t один раз і почленним диференціюванням по х двічі, також абсолютно і Поступово сходяться при. Але це випливає з того, що за будь-якого t > 0 якщо п досить велике. Єдиність розв'язання задачі (4)-(6) та безперервна залежність рішення від початкової функції були вже встановлені раніше. Отже, для t > 0 завдання (4)-(6) поставлено коректно; навпаки, для негативних t завдання ця некоректна. Зауваження. На відміну від будинкового рівняння рівняння неомметрично огносн про час t: якщо замінити t на -t, то отримуємо рівняння іншого виду описує незворотні процеси: Ми можемо передбачити, яким стане дане і через проміжок часу даної t, але ми не можемо з упевненістю сказати, як м було це і за час t до моменту, що розглядається. Це раоліч іміж передбачення м і передісторією типово для параболічного рівняння і не має місця, наприклад, для хвильового рівняння; у разі останнього зазирнути у минуле так само легко, як у майбутнє. приклад. Знайти розподіл температури в однорідному стерві довжини, якщо початкова температура стрижня і на кінцях стрижня підтримується нульова температура. 4 Завдання зводиться до розв'язання рівняння за початкової умови та граничних умов Застосовуючи метод Фур'є, шукаємо нетривіальні рішення рівняння (15), що задовольняють граничним умовам (17), у вигляді Підставляючи u(x,t) у формі (18) до рівняння (15) і поділяючи змінні, отримаємо звідки Власні значення задачі. власні функції Хп(х) = мп пх. При А = А„ загальне рішення рівняння (19) має вигляд Tn(t) = апе а п\ так що Розв'язання задачі (15)-(17) шукаємо у вигляді ряду Зажадавши виконання початкової умови (16), отримаємо звідки. Тому розв'язком вихідної задачі буде функція 2. Розглянемо тепер таку задачу: знайти рішення гх(ж, t) неоднорідного рівняння _ задовольняє початковій умові і однорідним граничним умовам Припустимо, що функція / безперервна, має безперервну похідну і при всіх 0 виконується умова. Розв'язання задачі (1)-(3) будемо шукати у вигляді де визначимо як розв'язання задачі а функці - як розв'язання задачі Завдання (8)-(10) розглянуто в п. 1. Будемо шукати рішення v(x, t) задачі (5 )-(7) у вигляді ряду за власними функціями (крайової задачі. Підсгааяяя t) у вигляді в рівняння (5), отримаємо Розкладемо функцію /ОМ) в ряд Фур'є за синусами, де Порівнюючи два розкладання (12) і (13) функції /(х, t) у ряд Фур'є, отримуємо! Користуючись початковою умовою для v(x, t), Метод Фур'є для рівняння теплопровідності знаходимо, що Рішення рівнянь (15) за початкових умов (16) мають вигляд: Підставляючи знайдені вирази для Tn(t) у ряд (11), отримаємо рішення Функція буде вирішенням вихідного завдання (1)-(3). 3. Розглянемо завдання: знайти в області рішення рівняння за початкової умови та неоднорідних граничних умов Безпосередньо метод Фур'є не застосовується через неоднорідність умов (20). Введемо нову невідому функцію v(x, t), поклавши де Тоді розв'язання задачі (18)-(20) зведеться до розв'язання задачі (1)-(3), розглянутої в п. 2, для функції v(x, J). Вправи 1. Задано нескінченний однорідний стрижень. Покажи ті, що якщо початкова температура то в момент момент температура стрижня 2. Корці стрижня довжиною ж підтримуються при температурі, що дорівнює нулю. Початкова температура визначається формулою Визначте температуру стрижня для будь-якого моменту часу t > 0. 3. Кінці стрижня завдовжки I підтримуються при температурі, що дорівнює нулю. Початкова температура стрижня визначається формулою Визначте температуру стрижня для будь-якого моменту часу t > 0. 4. Кінці стрижня завдовжки I підтримуються при температурі, що дорівнює нулю. Початковий розподіл температури Визначте температуру стрижня для будь-якого моменту часу t > 0. Відповіді
