Яка знайти найменше загальне кратне. Знаходження найменшого загального кратного: способи, приклади знаходження НОК
Але багато натуральних чисел діляться націло ще й на інші натуральні числа.
Наприклад:
Число 12 ділиться на 1, 2, 3, 4, 6, 12;
Число 36 ділиться на 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36.
Числа, на які число ділиться націло (для 12 це 1, 2, 3, 4, 6 та 12) називаються дільниками числа. Дільник натурального числа a- це таке натуральне число, яке ділить це число aбез залишку. Натуральне число, яке має більше двох дільників, називається складовим .
Зверніть увагу, що числа 12 та 36 мають спільні дільники. Це числа: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Найбільший із дільників цих чисел – 12. Загальний дільник двох даних чисел aі b- це число, на яке діляться без залишку обидва дані числа aі b.
Загальним кратнимкількох чисел називається число, яке поділяється на кожне із цих чисел. Наприклад, Числа 9, 18 і 45 мають загальне кратне 180. Але 90 і 360 - теж їх загальні кратні. Серед усіх jбщих кратних завжди є найменше, в даному випадку це 90. Це число називається найменшимзагальним кратним (НОК).
НОК завжди натуральне число, яке має бути більшим за найбільший з чисел, для яких воно визначається.
Найменше загальне кратне (НОК). Властивості.
Комутативність:
Асоціативність:
Зокрема, якщо і взаємно-прості числа, то:
Найменше загальне кратне двох цілих чисел mі nє дільником всіх інших загальних кратних mі n. Більш того, безліч спільних кратних m, nзбігається з безліччю кратних для НОК( m, n).
Асимптотики можуть бути виражені через деякі теоретико-числові функції.
Так, функція Чебишева. А також:
Це випливає з визначення та властивостей функції Ландау g(n).
Що випливає із закону розподілу простих чисел.
Знаходження найменшого загального кратного (НОК).
НОК( a, b) можна обчислити декількома способами:
1. Якщо відомий найбільший спільний дільник, можна використовувати його зв'язок із НОК:
2. Нехай відоме канонічне розкладання обох чисел на прості множники:
де p 1 ,...,p k- Різні прості числа, а d 1 ,...,d kі e 1 ,...,e k- Невід'ємні цілі числа (вони можуть бути нулями, якщо відповідне просте відсутнє у розкладанні).
Тоді НОК ( a,b) обчислюється за формулою:
Іншими словами, розкладання НОК містить усі прості множники, що входять хоча б в одне з розкладів чисел a, b, причому із двох показників ступеня цього множника береться найбільший.
приклад:
Обчислення найменшого загального кратного кількох чисел може бути зведено до кількох послідовних обчислень НОК від двох чисел:
Правило.Щоб знайти НОК ряду чисел, потрібно:
- Розкласти числа на прості множники;
— перенести у множники шуканого твору найбільше розкладання (твір множників найбільшої кількості із заданих), та був додати множники з розкладання інших чисел, які зустрічаються у першому числі чи стоять у ньому менше разів;
- отриманий добуток простих множників буде НОК заданих чисел.
Будь-які два і більше натуральних чиселмають своє НОК. Якщо числа не кратні один одному або не мають однакових множників у розкладанні, то їх НОК дорівнює добутку цих чисел.
Прості множники числа 28 (2, 2, 7) доповнили множником 3 (числа 21), отриманий добуток (84) буде найменшим числом, яке поділяється на 21 та 28 .
Прості множники найбільшого числа 30 доповнили множником 5 числа 25, отриманий добуток 150 більший за найбільше число 30 і ділиться на всі задані числа без залишку. Це найменший твір із можливих (150, 250, 300...), якому кратні всі задані числа.
Числа 2,3,11,37 - прості, тому їх НОК дорівнює добутку заданих чисел.
Правило. Щоб обчислити НОК простих чисел, всі ці числа потрібно перемножити між собою.
Ще один варіант:
Щоб знайти найменше загальне кратне (НОК) кількох чисел потрібно:
1) уявити кожне число як добуток його простих множників, наприклад:
504 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7 ,
2) записати ступені всіх простих множників:
504 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7 = 2 3 · 3 2 · 7 1 ,
3) виписати всі прості дільники (множники) кожного із цих чисел;
4) вибрати найбільший ступінь кожного з них, що зустрівся у всіх розкладах цих чисел;
5) перемножити ці ступені.
приклад. Знайти НОК чисел: 168, 180 та 3024.
Рішення. 168 = 2 · 2 · 2 · 3 · 7 = 2 3 · 3 1 · 7 1 ,
180 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 2 2 · 3 2 · 5 1 ,
3024 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 7 = 2 4 · 3 3 · 7 1 .
Виписуємо найбільші ступенівсіх простих дільників і перемножуємо їх:
НОК = 24 · 33 · 51 · 71 = 15120.
Математичні висловлювання та завдання вимагають безлічі додаткових знань. НОК - це одне з основних, особливо часто застосовується в Тема вивчається в середній школі, при цьому не є особливо складним у розумінні матеріалом, людині знайомій зі ступенями та таблицею множення не важко виділити необхідні числа та виявити результат.
Визначення
Загальне кратне - число, здатне націло розділитись на два числа одночасно (а і b). Найчастіше це число отримують методом перемноження вихідних чисел a і b. Число має ділитися одночасно на обидва числа, без відхилень.
НОК - це прийнята для позначення коротка назва, зібрана з перших букв.
Способи отримання числа
Для знаходження НОК не завжди підходить спосіб перемноження чисел, він краще підходить для простих однозначних або двозначних чисел. прийнято розділяти на множники, що більше число, то більше вписувалося множників буде.
Приклад №1
Для найпростішого прикладу у школах зазвичай беруться прості, однозначні чи двоцифрові числа. Наприклад, необхідно вирішити наступне завдання, знайти найменше загальне кратне від чисел 7 і 3, рішення досить просте, їх просто перемножити. У результаті є число 21, менше просто немає.
Приклад №2
Другий варіант завдання набагато складніший. Дано числа 300 і 1260, знаходження НОК - обов'язково. Для вирішення завдання передбачаються такі дії:
Розкладання першого та другого чисел на найпростіші множники. 300 = 2 2 * 3 * 5 2; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. Перший етап завершено.
Другий етап передбачає роботу з отриманими даними. Кожне з отриманих чисел має брати участь у обчисленні підсумкового результату. Для кожного множника зі складу вихідних чисел береться саме велике числовходжень. НОК - це загальне число, Тому множники з чисел повинні в ньому повторяться все до єдиного, навіть ті, що присутні в одному екземплярі. Обидва початкові числа мають у своєму складі числа 2, 3 і 5, у різних ступенях, 7 є тільки в одному випадку.
Для обчислення підсумкового результату необхідно взяти кожне число у найбільшій їх представлених ступенів, до рівняння. Залишається тільки перемножити і отримати відповідь, при правильному заповненні завдання укладається у дві дії без пояснень:
1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.
2) НОК = 6300.
Ось і вся задача, якщо спробувати обчислити потрібне число за допомогою перемноження, то відповідь однозначно не буде правильною, оскільки 300 * 1260 = 378000.
Перевірка:
6300/300 = 21 - вірно;
6300/1260 = 5 - вірно.
Правильність отриманого результату визначається за допомогою перевірки - розподілу НОК на обидва вихідні числа, якщо число ціле в обох випадках, то відповідь вірна.
Що означає НОК у математиці
Як відомо, у математиці немає жодної марної функції, ця – не виняток. Найпоширенішим призначенням цього числа є приведення дробів до спільному знаменнику. Що вивчають зазвичай у 5-6 класах середньої школи. Також додатково є спільним дільником для всіх кратних чисел, якщо такі умови стоять у завданні. Подібний вираз може знайти кратне не тільки до двох чисел, але і до набагато більшої кількості - трьох, п'яти і так далі. Чим більше чисел- тим більше дій у завданні, але складність від цього не збільшується.
Наприклад, дані числа 250, 600 і 1500, необхідно знайти їх загальний НОК:
1) 250 = 25 * 10 = 5 2 * 5 * 2 = 5 3 * 2 - на цьому прикладі детально описано розкладання на множники, без скорочення.
2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;
3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;
Для того щоб скласти вираз, потрібно згадати всі множники, в цьому випадку дано 2, 5, 3 - для всіх цих чисел потрібно визначити максимальний ступінь.
Увага: всі множники необхідно доводити до спрощення, по можливості, розкладаючи до рівня однозначних.
Перевірка:
1) 3000/250 = 12 - вірно;
2) 3000/600 = 5 - вірно;
3) 3000/1500 = 2 - вірно.
Даний метод не вимагає будь-яких хитрощів чи здібностей рівня генія, все просто і зрозуміло.
Ще один спосіб
У математиці багато що пов'язано, багато що можна вирішити двома і більше способами, те саме стосується пошуку найменшого загального кратного, НОК. Наступний спосіб можна використовувати у випадку із простими двозначними та однозначними числами. Складається таблиця, в яку вносяться по вертикалі множинне, по горизонталі множник, а в клітинах стовпця, що перетинаються, вказується твір. Можна відобразити таблицю за допомогою рядка, береться число і в ряд записуються результати множення цього числа на цілі числа, від 1 до нескінченності, іноді вистачає і 3-5 пунктів, друге та наступні числа піддаються тому ж обчислювальному процесу. Все відбувається до того, як знайдеться загальне кратне.
Дані числа 30, 35, 42 необхідно знайти НОК, що пов'язує всі числа:
1) Кратні 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 і т.д.
2) Кратні 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245 і т.д.
3) Кратні 42: 84, 126, 168, 210, 252 і т.д.
Помітно, що всі числа досить різні, єдине серед них число 210, ось воно і буде НОК. Серед пов'язаних із цим обчисленням процесів є також найбільший спільний дільник, що обчислюється за схожими принципами і часто зустрічається в задачах, що сусідять. Відмінність невелика, але досить значуща, НОК передбачає обчислення числа, яке поділяється на всі дані вихідні значення, а НОД передбачає під собою обчислення найбільшого значенняяке діляться вихідні числа.
Визначення.Найбільше натуральне число, яке діляться без залишку числа а і b, називають найбільшим спільним дільником (НДД)цих чисел.
Знайдемо найбільший спільний дільник чисел 24 та 35.
Дільниками 24 будуть числа 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, а дільниками 35 будуть числа 1, 5, 7, 35.
Бачимо, що числа 24 і 35 мають лише один спільний дільник – число 1. Такі числа називають взаємно простими.
Визначення.Натуральні числа називають взаємно простимиякщо їх найбільший спільний дільник (НОД) дорівнює 1.
Найбільший спільний дільник (НДД)можна знайти, не виписуючи всіх дільників цих чисел.
Розкладемо на множники числа 48 і 36, отримаємо:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
З множників, що входять до розкладання першого з цих чисел, викреслимо ті, які не входять до розкладання другого числа (тобто дві двійки).
Залишаються множники 2 * 2 * 3. Їх добуток дорівнює 12. Це число і є найбільшим спільним дільником чисел 48 і 36. Також знаходять найбільший спільний дільник трьох і більше чисел.
Щоб знайти найбільший спільний дільник
2) з множників, що входять до розкладання одного з цих чисел, викреслити ті, які не входять до розкладання інших чисел;
3) знайти виробництво множників, що залишилися.
Якщо всі дані числа діляться одне з них, це число і є найбільшим спільним дільникомданих чисел.
Наприклад, найбільшим загальним дільником чисел 15, 45, 75 і 180 буде число 15, тому що на нього діляться всі інші числа: 45, 75 та 180.
Найменше загальне кратне (НОК)
Визначення. Найменшим загальним кратним (НОК)натуральних чисел а та Ь називають найменше натуральне число, яке кратне і a, і b. Найменше загальне кратне (НОК) чисел 75 і 60 можна знайти і не виписуючи кратні поспіль цих чисел. Для цього розкладемо 75 і 60 на прості множники: 75 = 3*5*5, а 60 = 2*2*3*5.
Випишемо множники, що входять у розкладання першого з цих чисел, і додамо до них множники 2 і 2, що відсутні, з розкладання другого числа (тобто об'єднуємо множники).
Отримуємо п'ять множників 2*2*3*5*5, добуток яких дорівнює 300. Це число є найменшим загальним кратним чисел 75 та 60.
Також знаходять найменше загальне кратне для трьох і більше чисел.
Щоб знайти найменше загальне кратнекількох натуральних чисел, треба:
1) розкласти їх у прості множники;
2) виписати множники, що входять до розкладання одного з чисел;
3) додати до них множники, що відсутні, з розкладів інших чисел;
4) знайти добуток множників, що вийшли.
Зауважимо, що й одне з даних чисел ділиться попри всі інші числа, це число і є найменшим загальним кратним даних чисел.
Наприклад, найменшим загальним кратним чисел 12, 15, 20 і 60 буде число 60, оскільки воно поділяється на всі ці числа.
Піфагор (VI ст. до н. е.) та його учні вивчали питання про подільність чисел. Число, рівну сумівсіх його дільників (без числа), вони називали досконалим числом. Наприклад, числа 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) вчинені. Наступні досконалі числа - 496, 8128, 33550336. Піфагорійці знали тільки перші три досконалих числа. Четверте – 8128 – стало відомо в I ст. н. е. П'яте - 33550336 - було знайдено в XV ст. До 1983 було відомо вже 27 досконалих чисел. Але досі вчені не знають, чи є непарні досконалі числа, чи є найбільше досконале число.
Інтерес древніх математиків до простим числам пов'язані з тим, що будь-яке число або просте, чи то, можливо представлено як твори простих чисел, т. е. прості числа - це хіба що цеглинки, у тому числі будуються інші натуральні числа.
Ви, напевно, звернули увагу, що прості числа у ряді натуральних чисел зустрічаються нерівномірно – в одних частинах ряду їх більше, в інших – менше. Але що далі ми просуваємося по числовому ряду, то рідше зустрічаються прості числа. Виникає питання: чи існує останнє (найбільше) просте число? Давньогрецький математик Евклід (III ст. до н. е.) у своїй книзі «початку», яка була протягом двох тисяч років основним підручником математики, довів, що простих чисел нескінченно багато, тобто за кожним простим числом є ще більше просте число.
Для віднайдення простих чисел інший грецький математик того ж часу Ератосфен придумав такий спосіб. Він записував усі числа від 1 до якогось числа, а потім викреслював одиницю, яка не є ні простим, ні складовим числом, потім викреслював через одне усі числа, що йдуть після 2 (числа, кратні 2, тобто 4, 6 , 8 і т. д.). Першим числом, що залишилося після 2 було 3. Далі викреслювалися через два всі числа, що йдуть після 3 (числа, кратні 3, тобто 6, 9, 12 і т. д.). зрештою залишалися невикресленими лише прості числа.
Онлайн калькулятор дозволяє швидко знаходити найбільший спільний дільник та найменше загальне кратне як для двох, так і для будь-якої іншої кількості чисел.
Калькулятор для знаходження НОД та НОК
Знайти НОД та НОК
Знайдено НІД та НОК: 5806
Як користуватися калькулятором
- Введіть цифри у полі для введення
- У разі введення некоректних символів, поле для введення буде підсвічене червоним.
- натисніть кнопку "Знайти НОД та НОК"
Як вводити числа
- Числа вводяться через прогалину, точку або кому
- Довжина чисел, що вводяться, не обмежена, так що знайти НОД і НОК довгих чисел не складе жодних труднощів
Що таке НОД та НОК?
Найбільший спільний дільниккількох чисел – це найбільше ціле число, на яке всі вихідні числа діляться без залишку. Найбільший спільний дільник скорочено записується як НІД.
Найменше загальне кратнекількох чисел – це найменше число, яке ділиться кожне з вихідних чисел без залишку. Найменше загальне кратне скорочено записується як НОК.
Як перевірити, чи число ділиться на інше число без залишку?
Щоб дізнатися, чи одне число ділиться на інше без залишку, можна скористатися деякими властивостями ділимості чисел. Тоді, комбінуючи їх, можна перевіряти подільність на деякі з них та їх комбінації.
Деякі ознаки ділимості чисел
1. Ознака ділимості числа на 2
Щоб визначити, чи ділиться число на два (чи є парним), достатньо подивитися на останню цифру цього числа: якщо вона дорівнює 0, 2, 4, 6 або 8, то число парне, а значить ділиться на 2.
Приклад:визначити, чи ділиться на 2 число 34 938 .
Рішення:дивимося останню цифру: 8 - отже число ділиться на два.
2. Ознака ділимості числа на 3
Число ділиться на три тоді, коли сума його цифр ділиться на три. Таким чином, щоб визначити, чи ділиться число на 3, потрібно порахувати суму цифр і перевірити, чи вона ділиться на 3. Навіть якщо сума цифр вийшла дуже великою, можна повторити цей же процес знову.
Приклад:визначити, чи ділиться число 34 938 на 3.
Рішення:рахуємо суму цифр: 3+4+9+3+8 = 27. 27 ділиться на 3, а значить і число ділиться на три.
3. Ознака ділимості числа на 5
Число ділиться на 5 тоді, коли його остання цифра дорівнює нулю чи п'яти.
Приклад:визначити, чи ділиться число 34 938 на 5.
Рішення:дивимося на останню цифру: 8 - означає число НЕ ділиться п'ять.
4. Ознака ділимості числа на 9
Ця ознака дуже схожа на ознаку ділимості на трійку: число ділиться на 9 тоді, коли його цифр ділиться на 9.
Приклад:визначити, чи ділиться число 34 938 на 9.
Рішення:вважаємо суму цифр: 3+4+9+3+8 = 27. 27 ділиться на 9, отже, і число ділиться на дев'ять.
Як знайти НОД та НОК двох чисел
Як знайти НОД двох чисел
Найбільш простим способомОбчислення найбільшого загального дільника двох чисел є пошук всіх можливих дільників цих чисел та вибір найбільшого з них.
Розглянемо цей спосіб з прикладу перебування НОД(28, 36) :
- Розкладаємо обидва числа на множники: 28 = 1 · 2 · 2 · 7, 36 = 1 · 2 · 2 · 3 · 3
- Знаходимо спільні множники, тобто ті, які є обох чисел: 1, 2 і 2.
- Обчислюємо добуток цих множників: 1 · 2 · 2 = 4 - це і є найбільший загальний дільник чисел 28 і 36.
Як знайти НОК двох чисел
Найбільш поширені два способи знаходження найменшого кратного двох чисел. Перший спосіб полягає в тому, що можна виписати перші кратні двох чисел, а потім вибрати серед них таке число, яке буде загальним для обох чисел і при цьому найменшим. А другий полягає у знаходженні НОД цих чисел. Розглянемо лише його.
Для обчислення НОК потрібно обчислити добуток вихідних чисел і потім розділити його на попередньо знайдений НОД. Знайдемо НОК для тих же чисел 28 та 36:
- Знаходимо добуток чисел 28 і 36: 28 · 36 = 1008
- НОД(28, 36), як відомо, дорівнює 4
- НОК(28, 36) = 1008/4 = 252 .
Знаходження НОД та НОК для кількох чисел
Найбільший спільний дільник можна знаходити і для кількох чисел, а не лише двох. Для цього числа, що підлягають пошуку найбільшого спільного дільника, розкладають на прості множники, потім знаходять добуток простих множників цих чисел. Також для знаходження НОД кількох чисел можна скористатися таким співвідношенням: НОД(a, b, c) = НОД(НОД(a, b), c).
Аналогічне співвідношення діє і найменшого загального кратного чисел: НОК(a, b, c) = НОК(НОК(a, b), c)
Приклад:знайти НОД та НОК для чисел 12, 32 та 36.
- Спочатку розкладемо числа на множники: 12 = 1 · 2 · 2 · 3 , 32 = 1 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 , 36 = 1 · 2 · 2 · 3 · 3 ?
- Знайдемо множники: 1, 2 і 2 .
- Їх твір дасть НОД: 1 · 2 · 2 = 4
- Знайдемо тепер НОК: цього знайдемо спочатку НОК(12, 32): 12·32 / 4 = 96 .
- Щоб знайти НОК усіх трьох чисел, Необхідно знайти НОД(96, 36): 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3 , НОД = 1·2·2·3 = 12 .
- НОК (12, 32, 36) = 96 · 36 / 12 = 288 .
Загальні кратні
Простіше кажучи, будь-яке ціле число, яке ділиться на кожне з цих чисел, є загальним кратнимданих цілих чисел.
Можна знаходити загальне кратне двох і більшої кількостіцілих чисел.
Приклад 1
Обчислити загальне кратне двох чисел: $2$ та $5$.
Рішення.
За визначенням загальним кратним чисел $2$ і $5$ є число $10$, т.к. воно кратне числу $2$ і числу $5$:
Загальними кратними чисел $2$ і $5$ також будуть числа $-10, 20, -20, 30, -30 $ і т.д., т.к. вони діляться на числа $2$ і $5$.
Зауваження 1
Нуль є загальним кратним будь-якої кількості ненульових цілих чисел.
Відповідно до властивостей ділимості, якщо деяке число є загальним кратним кількох чисел, то й протилежне за знаком число також буде загальним кратним заданих чисел. Це видно з розглянутого прикладу.
Для заданих цілих чисел можна знайти їх загальне кратне.
Приклад 2
Обчислити загальне кратне чисел $111$ та $55$.
Рішення.
Перемножимо задані числа: $111\div 55 = 6105 $. Нескладно переконається, що число $6105$ ділиться на число $111$ і на $55$:
$ 6105 \ div 111 = 55 $;
$ 6105 \ div 55 = 111 $.
Таким чином, число $6105$ – загальне кратне чисел $111$ та $55$.
Відповідь: загальне кратне чисел $111$ і $55$ і $6105$.
Але, як ми вже бачили із попереднього прикладу, це спільне кратне не одне. Іншими загальними кратними будуть числа $-6105, 12210, -12210, 61050, -61050 $ і т.д. Таким чином, ми дійшли такого висновку:
Примітка 2
Будь-який набір цілих чисел має безліч загальних кратних.
Насправді обмежуються знаходженням загальних кратних лише цілих позитивних (натуральних) чисел, т.к. безлічі кратних даного числа і протилежного йому збігаються.
Визначення найменшого загального кратного
Найчастіше із усіх кратних заданих чисел використовують найменше загальне кратне (НОК).
Визначення 2
Найменше позитивне загальне кратне заданих цілих чисел є найменшим загальним кратнимцих чисел.
Приклад 3
Обчислити НОК чисел $4$ та $7$.
Рішення.
Т.к. у даних чисел немає спільних дільників, то $НОК(4,7)=28$.
Відповідь: $НОК (4,7) = 28 $.
Знаходження НОК через НОД
Т.к. існує зв'язок між НОК та НОД, з її допомогою можна обчислити НОК двох цілих позитивних чисел:
Примітка 3
Приклад 4
Обчислити НОК чисел $232$ та $84$.
Рішення.
Скористаємося формулою для знаходження НОК через НОД:
$НОК (a,b)=\frac(a\cdot b)(НОД (a,b))$
Знайдемо НОД чисел $232$ і $84$ за допомогою алгоритму Евкліда:
$232=84\cdot 2+64$,
$84=64\cdot 1+20$,
$64=20\cdot 3+4$,
Тобто. $НОД (232, 84) = 4 $.
Знайдемо $НОК (232, 84)$:
$НОК (232,84) = frac (232 cdot 84) (4) = 58 cdot 84 = 4872 $
Відповідь: $НОК (232,84) = 4872 $.
Приклад 5
Обчислити $НОК (23, 46)$.
Рішення.
Т.к. $ 46 $ ділиться націло на $ 23 $, то $ НОД (23, 46) = 23 $. Знайдемо НОК:
$НОК (23,46) = frac (23 cdot 46) (23) = 46 $
Відповідь: $НОК (23,46) = 46 $.
Таким чином, можна сформулювати правило:
Примітка 4
