Загальна формула синусу в тригонометрії. Основні тригонометричні тотожності: їх формулювання та висновок
У цій статті ми всебічно розглянемо. Основні тригонометричні тотожностіявляють собою рівності, що встановлюють зв'язок між синусом, косінус, тангенсом і котангенсом одного кута, і дозволяють знаходити будь-яку з цих тригонометричних функцій через відому іншу.
Відразу перерахуємо основні тригонометричні тотожності, які розберемо у цій статті. Запишемо їх у таблицю, а нижче дамо висновок цих формул і наведемо необхідні пояснення.
Навігація на сторінці.
Зв'язок між синусом і косинусом одного кута
Іноді говорять не про основні тригонометричні тотожності, перераховані в таблиці вище, а про одне єдине основному тригонометричному тотожностівиду 
. Пояснення цьому факту досить просте: рівності виходять з основного тригонометричного тотожності після поділу обох його частин на і відповідно, а рівності 
і 
випливають з визначень синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу. Докладніше про це поговоримо у наступних пунктах.
Тобто особливий інтерес представляє саме рівність , якій і дали назву основної тригонометричної тотожності.
Перш ніж довести основне тригонометричне тотожність, дамо його формулювання: сума квадратів синуса і косинуса одного кута тотожно дорівнює одиниці. Тепер доведемо його.
Основне тригонометричне тотожність дуже часто використовується при перетворенні тригонометричних виразів . Воно дозволяє суму квадратів синуса та косинуса одного кута замінювати одиницею. Не менш часто основне тригонометричне тотожність використовується і в зворотному порядку: одиниця замінюється сумою квадратів синуса та косинуса будь-якого кута.
Тангенс та котангенс через синус та косинус
Тотожності, що зв'язують тангенс і котангенс з синусом і косінусом одного кута виду і 
відразу випливають з визначень синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу. Справді, за визначенням синус є ордината y, косинус є абсциса x, тангенс є відношення ординати до абсциси, тобто, 
, а котангенс є ставлення абсциси до ординати, тобто, 
.
Завдяки такій очевидності тотожностей і часто визначення тангенсу та котангенсу дають не через відношення абсциси та ординати, а через відношення синуса та косинуса. Так тангенсом кута називають ставлення синуса до косинусу цього кута, а котангенсом – відношення косинуса до синуса.
На закінчення цього пункту слід зазначити, що тотожність і мають місце всім таких кутів , у яких входять до них тригонометричні функції мають сенс. Так формула справедлива для будь-яких, відмінних від (інакше в знаменнику буде нуль, а поділ на нуль ми не визначали), а формула - для всіх, відмінних від, де z-будь-яке.
Зв'язок між тангенсом та котангенсом
Ще більш очевидною тригонометричною тотожністю, ніж два попередні, є тотожність, що зв'язує тангенс і котангенс одного кута виду . Зрозуміло, що воно має місце для будь-яких кутів , відмінних від , інакше або тангенс, або котангенс не визначено.
Доказ формули дуже просто. За визначенням та , звідки 
. Можна було доказ провести і трохи інакше. Так як і , то 
.
Отже, тангенс та котангенс одного кута, при якому вони мають сенс, є .
Це останній і найголовніший урок, необхідний вирішення завдань B11. Ми вже знаємо, як переводити кути з радіанної міри в градусну (див. урок «Радіанна і градусна міра кута»), а також вміємо визначати знак тригонометричної функції, орієнтуючись за координатними чвертями (див. урок «Знаки тригонометричних функцій»).
Справа залишилася за малим: обчислити значення самої функції - те саме число, що записується у відповідь. Тут на допомогу приходить основне тригонометричне тотожність.
Основне тригонометричне тотожність. Для будь-якого кута α правильне твердження:
sin 2 α + cos 2 α = 1.
Ця формула пов'язує синус та косинус одного кута. Тепер, знаючи синус, ми легко знайдемо косинус – і навпаки. Достатньо витягти квадратний корінь:
Зверніть увагу на знак «±» перед корінням. Справа в тому, що з основного тригонометричного тотожності незрозуміло, яким був вихідний синус і косинус: позитивним чи негативним. Адже зведення у квадрат - парна функціяяка «спалює» всі мінуси (якщо вони були).
Саме тому у всіх завданнях B11, які зустрічаються в ЄДІ з математики, обов'язково є додаткові умови, які допомагають позбутися невизначеності зі знаками. Зазвичай це вказівку на координатну чверть, якою можна визначити знак.
Уважний читач напевно запитає: "А як бути з тангенсом та котангенсом?" Безпосередньо обчислити ці функції з наведених вище формул не можна. Однак існують важливі наслідки з основної тригонометричної тотожності, які вже містять тангенси та котангенси. А саме:
Для будь-якого кута α можна переписати основне тригонометричне тотожність таким чином:
Ці рівняння легко виводяться з основної тотожності - достатньо розділити обидві сторони на cos 2 α (для отримання тангенсу) або на sin 2 α (для котангенсу).
Розглянемо все це на конкретні приклади. Нижче наведені справжні завдання B11, які взяті із пробних варіантів ЄДІ з математики 2012 року.
Нам відомий косинус, але невідомий синус. Основне тригонометричне тотожність (у «чистому» вигляді) пов'язує саме ці функції, тому працюватимемо з ним. Маємо:
sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ sin 2 α + 99/100 = 1 ⇒ sin 2 α = 1/100 ⇒ sin α = ±1/10 = ±0,1.
Щоб розв'язати завдання залишилося знайти знак синуса. Оскільки кут α ∈ (π /2; π ), то градусною мірою це записується так: α ∈ (90°; 180°).
Отже, кут α лежить у II координатної чверті- Усі синуси там позитивні. Тому sin = 0,1.
Отже, нам відомий синус, а треба знайти косинус. Обидві ці функції є переважно тригонометричному тотожності. Підставляємо:
sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 3/4 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 1/4 ⇒ cos α = ±1/2 = ±0,5.
Залишилося розібратися зі знаком перед дробом. Що вибрати: плюс чи мінус? За умовою, кут α належить проміжку (π 3π /2). Переведемо кути з радіанної міри в градусну - отримаємо: α ∈ (180 °; 270 °).
Очевидно, це ІІІ координатна чверть, де всі косинуси негативні. Тому cos = −0,5.
Завдання. Знайдіть tg α якщо відомо наступне:
Тангенс і косинус пов'язані рівнянням, що випливає з основного тригонометричного тотожності:
Отримуємо: tg = ±3. Знак тангенсу визначаємо по куту α. Відомо, що α ∈ (3π /2; 2π). Переведемо кути з радіанної міри в градусну - отримаємо α ∈ (270 °; 360 °).
Очевидно, це IV координатна чверть, де всі тангенси є негативними. Тому tg = −3.
Завдання. Знайдіть cos α якщо відомо наступне:
Знову відомий синус і невідомий косинус. Запишемо основну тригонометричну тотожність:
sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 0,64 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 0,36 ⇒ cos α = ±0,6.
Знак визначаємо по кутку. Маємо: α ∈ (3π /2; 2π). Переведемо кути з градусного заходу в радіану: α ∈ (270 °; 360 °) - це IV координатна чверть, косинуси там позитивні. Отже cos α = 0,6.
Завдання. Знайдіть sin α якщо відомо наступне:
Запишемо формулу, яка випливає з основного тригонометричного тотожності і безпосередньо пов'язує синус і котангенс:
Звідси отримуємо, що sin 2 = 1/25, тобто. sin α = ±1/5 = ±0,2. Відомо, що кут α ∈ (0; π /2). У градусній мірі це записується так: α ∈ (0 °; 90 °) - I координатна чверть.
Отже, кут знаходиться в I координатній чверті – всі тригонометричні функції там позитивні, тому sin α = 0,2.
Тригонометричні тотожності— це рівності, які встановлюють зв'язок між синусом, косінусом, тангенсом і котангенсом одного кута, що дозволяє знаходити будь-яку з даних функцій за умови, що буде відома будь-яка інша.
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)
tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1
Ця тотожність говорить про те, що сума квадрата синуса одного кута і квадрата косинуса одного кута дорівнює одиниці, що на практиці дає можливість обчислити синус одного кута, коли відомий його косинус і навпаки.
При перетворенні тригонометричних виразів дуже часто використовують дану тотожність, яка дозволяє замінювати одиницею суму квадратів косинуса і синуса одного кута і проводити операцію заміни у зворотному порядку.
Знаходження тангенсу та котангенсу через синус та косинус
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace
Дані тотожності утворюються з визначень синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу. Адже якщо розібратися, то визначення ординатою y є синус, а абсцисою x — косинус. Тоді тангенс дорівнюватиме \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), а відношення \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)— буде котангенсом.
Додамо, що тільки для таких кутів \alpha , при яких тригонометричні функції, що входять до них, мають сенс, матимуть місце тотожності , ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).
Наприклад: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)є справедливою для кутів \alpha , які відмінні від \frac(\pi)(2)+\pi z, а ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- Для кута \alpha, відмінного від \pi z, z - є цілим числом.
Залежність між тангенсом та котангенсом
tg \alpha \cdot ctg \alpha=1
Ця тотожність справедлива тільки для таких кутів \alpha , які відмінні від \frac(\pi)(2) z. Інакше чи котангенс чи тангенс не будуть визначені.
Маючи вищевикладені пункти, отримуємо, що tg \alpha = \frac(y)(x), а ctg \alpha=\frac(x)(y). Звідси слідує що tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Таким чином, тангенс та котангенс одного кута, при якому вони мають сенс, є взаємно зворотними числами.
Залежності між тангенсом та косинусом, котангенсом та синусом
tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)— сума квадрата тангенса кута \alpha і 1 дорівнює зворотному квадрату косинуса цього кута. Ця тотожність справедлива для всіх \alpha , відмінних від \frac(\pi)(2)+ \pi z.
1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)— сума 1 і квадрат котангенсу кута \alpha дорівнює зворотному квадрату синуса даного кута. Ця тотожність справедлива для будь-якого \alpha , відмінного від \pi z .
Приклади з розв'язуванням задач на використання тригонометричних тотожностей
Приклад 1
Знайдіть \sin \alpha і tg \alpha якщо \cos \alpha=-\frac12і \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;
Показати рішення
Рішення
Функції \sin \alpha та \cos \alpha пов'язує формула \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Підставивши до цієї формули \cos \alpha = -\frac12, Отримаємо:
\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1
Це рівняння має 2 розв'язки:
\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)
За умовою \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . У другій чверті синус позитивний, тому \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).
Для того щоб знайти tg \alpha , скористаємося формулою tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)
tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3
Приклад 2
Знайдіть \cos \alpha і ctg \alpha , якщо і \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .
Показати рішення
Рішення
Підставивши у формулу \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1це за умовою число \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), отримуємо \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Це рівняння має два рішення \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.
За умовою \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . У другій чверті косинус негативний, тому \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.
Щоб знайти ctg \alpha , скористаємося формулою ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Відповідні величини нам відомі.
ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).
Тригонометричні функції- запит «sin» перенаправляється сюди; див. також інші значення. Запит "sec" перенаправляється сюди; див. також інші значення. Запит «Сінус» перенаправляється сюди; див. також інші значення … Вікіпедія
Tan
Мал. 1 Графіки тригонометричних функцій: синуса, косинуса, тангенсу, секансу, косекансу, котангенсу Тригонометричні функції вид елементарних функцій. Зазвичай до них відносять синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x), …
Косінус- Мал. 1 Графіки тригонометричних функцій: синуса, косинуса, тангенсу, секансу, косекансу, котангенсу Тригонометричні функції вид елементарних функцій. Зазвичай до них відносять синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x), …
Котангенс- Мал. 1 Графіки тригонометричних функцій: синуса, косинуса, тангенсу, секансу, косекансу, котангенсу Тригонометричні функції вид елементарних функцій. Зазвичай до них відносять синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x), …
Секанс- Мал. 1 Графіки тригонометричних функцій: синуса, косинуса, тангенсу, секансу, косекансу, котангенсу Тригонометричні функції вид елементарних функцій. Зазвичай до них відносять синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x), …
Історія тригонометрії- Геодезичні виміри (XVII століття) … Вікіпедія
Формула тангенсу половинного кута- У тригонометрії формула тангенса половинного кута пов'язує тангенс половинного кута з тригонометричними функціями повного кута: Різні варіаціїцієї формули виглядають наступним чином… Вікіпедія
Тригонометрія- (Від грец. τρίγονο (трикутник) і грец. μετρειν (вимірювати), тобто вимір трикутників) розділ математики, в якому вивчаються тригонометричні функції та їх застосування до геометрії. Даний термін вперше з'явився у 1595 р. як… … Вікіпедія
Рішення трикутників- (Лат. Solutio triangulorum) історичний термін, Що означає рішення головної тригонометричної задачі: за відомими даними про трикутник (сторони, кути і т. д.) знайти інші його характеристики. Трикутник може розташовуватись на … … Вікіпедія
Книги
- Набір таблиць. Алгебра та початку аналізу. 10 клас. 17 таблиць + методика, . Таблиці надруковані на щільному поліграфічному картоні розміром 680 х 980 мм. У комплект входить брошура зметодичними рекомендаціями
- для вчителя. Навчальний альбом із 17 аркушів.… Купити за 3944 рубТаблиці інтегралів та інші математичні формули, Двайт Г.Б.. Десяте видання відомого довідника містить досить докладні таблиці невизначених певних інтегралів, а також
велике число
інших математичних формул: розкладання в ряди,…
інших математичних формул: розкладання в ряди,…
інших математичних формул: розкладання в ряди,…
інших математичних формул: розкладання в ряди,…
Запит "sin" перенаправляється сюди; див. також інші значення. Запит "sec" перенаправляється сюди; див. також інші значення. Запит «Сінус» перенаправляється сюди; див. також інші значення … Вікіпедія
Мал. 1 Графіки тригонометричних функцій: синуса, косинуса, тангенсу, секансу, косекансу, котангенсу Тригонометричні функції вид елементарних функцій. Зазвичай до них відносять синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x), …
- (Від грец. τρίγονο (трикутник) і грец. μετρειν (вимірювати), тобто вимір трикутників) розділ математики, в якому вивчаються тригонометричні функції та їх застосування до геометрії. Даний термін вперше з'явився у 1595 р. як… … Вікіпедія
Геодезичні виміри (XVII століття) … Вікіпедія
Книги
- Набір таблиць. Алгебра та початку аналізу. 10 клас. 17 таблиць + методика, . Таблиці надруковані на щільному поліграфічному картоні розміром 680 х 980 мм.
- У комплект входить брошура з методичними порадами для вчителя.
