Topologjia e trupit. "gjeometria e gomës" ose topologjia përmes syve të një studenti. Fjalët dhe teksti u zgjodhën në atë mënyrë që gjithçka të ishte "e qartë intuitive". Si pasojë - një mungesë e plotë e shkrim-leximit matematikor
Strukturat Matematike dhe Modelimi 2000, nr. 6, fq. 107-114
UDC 530.12:531.18
KOHA DHE TOPOLOGJIA E TRUPIT TË NJERIUT
Filozofi Kant deklaroi se koha na jepet a piori, d.m.th. është përcaktuar për personin që nga lindja. A ka lidhje me topologjinë dhe gjeometrinë e trupit të njeriut? Në hapësirë-kohën Minkowsky, topologjia katërdimensionale e trupit të njeriut është e parëndësishme dhe difeomorfike me R = x B, ku BcRl Një topologji e tillë lejon të perceptohen ndjesitë në mënyrë të njëpasnjëshme nga çdo pikë e trupit. Nëse trupi ka një topologji tjetër katër-dimensionale që nuk është difeomorfike me R, atëherë ekziston një kolaps i plotë i kujtesës në një përpjekje për të vëzhguar ndjesinë në mënyrë të njëpasnjëshme. Prandaj, topologjia tjetër e trupit nënkupton mungesën e kohës në atë formë me të cilën jemi mësuar.
Ky artikull u shkrua me qëllimin e një studimi gjithëpërfshirës të pasojave të teorisë së hapësirës-kohës absolute. Dihet se trupi material përshkruhet në teorinë e relativitetit nga një grup linjash botërore, por fizika nuk është e interesuar për trupin e njeriut. Sidoqoftë, le të përpiqemi të zbulojmë se si gjeometria pseudo-Euklidiane e hapësirë-kohës lidhet me topologjinë katër-dimensionale të një trupi që një organizëm i gjallë mund të ketë në botën absolute të ngjarjeve Minkowski.
1. Iluzioni i kohës
Jeta e njeriut ndodh në kohë. Ne organizojmë ngjarjet që na ndodhin duke u takuar me to. Ne e dimë plotësisht se e kaluara në jetën tonë është diçka që është zhdukur në mënyrë të pakthyeshme, dhe e ardhmja që na pret është e panjohur sepse ende nuk ka ardhur. Por ne e dimë se vdekja na pret përpara.
Në lindje një person merr një trup. Nga pikëpamja e matematikës, jeta është një rajon katërdimensional R, i cili ka një strukturë topologjike difeomorfike D1 xB, ku D1 është një disk njëdimensional, një periudhë kohore që një person është i destinuar të jetojë, dhe B është trupi i tij në hapësirën tredimensionale, topologjia e së cilës është thjeshtuar në figurën 1. Teoria moderne e hapësirës dhe kohës sugjeron se Bota e Ngjarjeve është e ashtuquajtura hapësirë pseudo-Euklidiane katërdimensionale V4, e quajtur hapësirë-kohë. Një ngjarje është një pikë në hapësirë-kohë V4. Rruga e jetës së një objekti elementar material është një kurbë, një vijë botërore, në Botën e Ngjarjeve V4. Prandaj, jeta e një personi si tërësia e të gjitha ngjarjeve që ndodhin në jetën e tij është një ngulitje e qetë h: D1 x B -> V4. Linja botërore
© 2000 A.K. Gurët
Email: [email i mbrojtur] Universiteti Shtetëror Omsk
HYRJENjë eksplorues i ardhshëm lind
jo në moshën 30 vjeç, duke studiuar në shkollë pasuniversitare,
dhe shumë më herët se koha kur
prindërit e tij do ta çojnë për herë të parë në kopsht.
Aleksandër Iliç Savenkov
Doktor i Shkencave Pedagogjike, Profesor i Universitetit Shtetëror Pedagogjik të Moskës
Me zhvillimin e teknologjive të reja, kërkesa për njerëz me mendim inovativ dhe aftësi për të paraqitur dhe zgjidhur probleme të reja është rritur ndjeshëm. Prandaj, përgatitja matematikore e nxënësve po bëhet më e rëndësishme se kurrë. Këtu është e përshtatshme të kujtojmë thënien e shkencëtarit të madh rus Mikhail Vasilyevich Lomonosov: "Matematika duhet të mësohet vetëm atëherë, sepse e vendos mendjen në rregull".
Çdo person ka një koncept vizual të hapësirës, trupave dhe formave gjeometrike. Në kursin e gjeometrisë shkollore do të studiojmë trupa të ndryshëm dhe vetitë e tyre.
Por kjo do të jetë në të ardhmen, por tani për tani më intereson pyetja: "Çfarë është një shirit Möbius?" Do të më pyesni pse jam i interesuar për këtë. Unë do të përgjigjem. Më pëlqen shumë të lexoj. Sidomos fantashkencë. Një nga shkrimtarët e mi të preferuar të trillimeve shkencore është Arthur C. Clarke.
Në tregimin e tij "Muri i errësirës", një nga personazhet udhëton nëpër një planet të pazakontë, të lakuar në formën e një shiriti Mobius. U interesova se çfarë lloj figure është kjo dhe cilat janë vetitë e saj.
Duke studiuar literaturën përkatëse dhe burimet e internetit, mësova se kjo çështje studiohet në një degë të veçantë të matematikës - topologji. Kjo është arsyeja pse puna ime i kushtohet zgjidhjes së problemit më të thjeshtë kërkimor në këtë fushë.
Qëllimi i punës mund të formulohet si të kuptuarit e një prej degëve më interesante dhe të pazakonta të matematikës, përkatësisht topologjisë dhe studimit të vetive topologjike të disa objekteve.
Për të arritur qëllimin, zgjidha detyrat e mëposhtme:
kuptojnë se çfarë studion kjo shkencë;
studioni historinë e origjinës së saj;
konsideroni vetitë topologjike të disa objekteve;
Mësoni për zbatimin praktik të topologjisë.
Rëndësia e temës së zgjedhur qëndron në faktin se kohët e fundit kjo shkencë ka depërtuar gjithnjë e më shumë në fusha të tilla themelore të njohurive njerëzore si fizika, kimia dhe biologjia. Prandaj, njohja e bazave të saj bëhet e rëndësishme për një person të arsimuar teknikisht që jeton në tëXXIshekulli.
PJESA KRYESORE
Topologjia si shkencë dhe parakushtet për shfaqjen e saj
Ndryshe nga degët e tjera të gjeometrisë, ku raporti i gjatësive, sipërfaqeve, këndeve dhe karakteristikave të tjera sasiore të objekteve janë të një rëndësie të madhe, topologjia nuk është e interesuar për të gjitha këto, pasi këtu studiohen pyetje të tjera, cilësore rreth strukturave gjeometrike.
Le të fillojmë të kuptojmë bazat e kësaj shkence magjepsëse. Nëse i drejtohemi burimeve letrare, mund të gjejmë përkufizimin e mëposhtëm të këtij koncepti.
Topologjia - një degë e matematikës që studion vetitë e figurave (ose hapësirave) që ruhen nën deformime të vazhdueshme, si shtrirje, ngjeshje ose përkulje.
Le të shpjegojmë konceptin e "deformimit të vazhdueshëm" që haset këtu. Deformimi i vazhdueshëm është një deformim i një figure në të cilën nuk ka thyerje (d.m.th., shkelje e integritetit të figurës) ose ngjitje (d.m.th., identifikimi i pikave të saj).
Çdo degë e matematikës ka një ide thelbësore. Topologjia nuk bën përjashtim. Ideja kryesore e topologjisë është ideja e vazhdimësisë, domethënë, topologjia studion ato veti të objekteve gjeometrike që ruhen nën transformime të vazhdueshme.
Transformimet e vazhdueshme karakterizohen nga fakti që pikat e vendosura "afër njëra me tjetrën" para transformimit mbeten të tilla pas përfundimit të transformimit. Gjatë transformimeve topologjike, objektet lejohen të shtrihen dhe përkulen, por nuk lejohen të grisen ose thyhen.
Për të vizualizuar përkufizimin e topologjisë, duhet thënë se nga pikëpamja e kësaj shkence, objekte të tilla si filxhani i çajit dhe një donut nuk dallohen nga njëra-tjetra. Kjo është arsyeja pse ekziston një frazë tërheqëse midis shkencëtarëve që thotë se një matematikan që studion topologji është një person që nuk mund të dallojë një bagel nga një filxhan çaji. Kjo deklaratë është e vërtetë sepse duke shtrydhur dhe shtrirë copën e gomës nga e cila janë bërë këto objekte, ju mund të lëvizni nga një trup në të dytin.
Vizatim 1Procesi i shndërrimit të një filxhani në një donut (torus)
Le të bëjmë një ekskursion historik dhe të kthehemi nëXVIIIshekulli kur u hodhën themelet e kësaj shkence.
Një nga shkencëtarët që qëndroi në origjinën e kësaj shkence është një matematikan dhe mekanik gjerman.XVIIIshekulli Leonhard Euler. Në 1752, ai vërtetoi formulën e Dekartit duke shprehur marrëdhënien midis numrit të kulmeve, skajeve dhe faqeve të shumëkëndëshave të thjeshta:
Ku,.
Kontributi tjetër i Euler-it në zhvillimin e topologjisë ishte zgjidhja e problemit të urës së famshme. Bëhej fjalë për një ishull në lumin Pregol në Königsberg (në vendin ku lumi ndahet në dy degë - Pregol i vjetër dhe i ri) dhe shtatë ura që lidhin ishullin me brigjet (Fig. 2).
Ishte e nevojshme të zbulohej nëse ishte e mundur të kalonim të shtatë urat përgjatë një rruge të vazhdueshme, duke vizituar secilën vetëm një herë dhe duke u kthyer në pikën e fillimit. Euler zëvendësoi masat tokësore me pika dhe urat me vija. Euler e quajti skemën që rezultonnumëroj (Fig. 3), pikat janë kulmet e tij dhe vijat janë skajet e tij.
Vizatim 2Problemi i urave të Koenigsberg
L - bregu i majtë , R - bregu i djathtë ,
Vizatim 3Grafiku
Shkencëtari i ndau kulmet në çift dhe tek, në varësi të numrit të skajeve që dalin nga kulmi. Euler vërtetoi se të gjitha skajet e një grafi mund të përshkohen saktësisht një herë përgjatë një rruge të vazhdueshme të mbyllur vetëm nëse grafiku përmban vetëm kulme çift.
Meqenëse grafiku në problemin e urave të Königsberg përmban vetëm kulme teke, rruga e kërkuar e ecjes nuk ekziston.
Ky problem ilustron zbatimin praktik të konceptit të "grafit unikursal", i cili u shfaq në fjalorin e topologjisë nëXXshekulli. Grafiku quhetunikursal , nëse mund të “vizatohet me një goditje”, d.m.th. kaloni nëpër të gjitha në një lëvizje të vazhdueshme, pa kaluar dy herë në të njëjtin skaj.
Kështu, grafiku i problemit të urave Königsberg nuk është unikursal dhe prandaj problemi nuk ka zgjidhje.
Termi "topologji" shfaqet fillimisht në një letër drejtuar mësuesit të tij të shkollës Muller, të cilën matematikani dhe fizikani gjerman, profesor në Universitetin e Göttingen Johann Listing e shkroi në 1836. Topologjia e përgjithshme, me origjinë nëXIXshekulli, më në fund u formua në një disiplinë të pavarur matematikore në gjysmën e dytëXXshekulli. Kjo u lehtësua kryesisht nga veprat e Akademik P.S. Aleksandrova.
Vetitë topologjike të objekteve
Topologjia në literaturën e shkencës popullore quhet shpesh gjeometria e gomës. Për ta kuptuar këtë, duhet të imagjinoni se një objekt gjeometrik është bërë prej gome dhe në të njëjtën kohë ka këto veti: mund të ngjeshet, shtrihet, përdredhet (d.m.th., i nënshtrohet të gjitha llojeve të deformimeve), por nuk mund të jetë të grisura dhe të ngjitura së bashku.
Për shembull, një top i vogël mund të fryhet në madhësinë e një të madhi, pastaj të kthehet në një elips, pastaj të deformohet në një trap.
Vizatim 4Procesi i deformimit të objekteve
Në mënyrë të ngjashme, ju mund ta ktheni sipërfaqen e një topi në sipërfaqen e një kubi, kon dhe figura të tjera. Ka veti në matematikë që nuk cenohen nën asnjë deformim të vazhdueshëm. Kjo është ajovetitë topologjike . Një nga degët e topologjisë, topologjia e përgjithshme, studion këto veti.
Vetitë që studiohen në gjeometrinë shkollore (Euklidiane) nuk janë topologjike. Për shembull, drejtësia nuk është një veti topologjike, pasi një vijë e drejtë mund të përkulet dhe të shtrembërohet. Trekëndëshi nuk është gjithashtu një veti topologjike, pasi një trekëndësh mund të deformohet vazhdimisht në një rreth.
Gjatësitë e segmenteve, madhësia e këndeve, zonave - të gjitha këto koncepte ndryshojnë me transformime të vazhdueshme. Një shembull i një vetie topologjike është prania e një "vrime" në një torus (donut). Për më tepër, është e rëndësishme që vrima të mos jetë pjesë e torusit. Pavarësisht se sa deformime të vazhdueshme pëson torusi, vrima do të mbetet.
Sipërfaqe të njëanshme
Secili prej nesh ka një ide se çfarë është "sipërfaqja". Ne jemi thjesht të rrethuar nga sipërfaqe të ndryshme: sipërfaqja e një fletë letre, sipërfaqja e një liqeni, sipërfaqja e globit...
Si rregull, ne imagjinojmë një sipërfaqe me dy anë: e jashtme dhe e brendshme, përpara dhe mbrapa, etj. A mund të ketë ndonjë gjë të papritur dhe madje misterioze në një koncept kaq të zakonshëm? Rezulton se mundet.
Në 1858, matematikani dhe astronomi gjerman August Ferdinand Möbius (1790-1868) zbuloi një sipërfaqe që më vonë u bë e njohur si "shiriti i Möbius". Sipas legjendës, Mobius u ndihmua për të zbuluar "gjethin" e tij nga një shërbëtore që qepi gabimisht skajet e një fjongo të zakonshme.
Një shirit Möbius është sipërfaqja më e thjeshtë e njëanshme me një skaj. Është e mundur të kalosh nga një pikë e një sipërfaqeje të tillë në tjetrën pa kaluar skajet.
Le ta përsërisim këtë zbulim. Le të krijojmë sipërfaqen në studim dhe të studiojmë vetitë e saj.
Për punë na duhet një fletë letre A4, një vizore, një laps, gërshërë dhe ngjitës.
Vizatim 5Mjetet e punës
Në një fletë letre, vizatoni dy shirita me gjerësi 4 cm dhe prisni ato. Këto do të jenë boshllëqet nga të cilat do të bëjmë shiritin (fletën) tonë.
Vizatim 6Krijimi i një bosh
Nga njëra shirit do të ngjisim një unazë të zakonshme, dhe nga tjetra - një shirit Möbius. Për ta bërë këtë, kthejeni shiritin e dytë gjysmë kthese dhe ngjitni skajet së bashku.
Vizatim 7Fazat e punës
Kjo është ajo që ne duhet të marrim.
Vizatim 8Rezultati i punës
Le të fillojmë të hulumtojmë vetitë e figurave që rezultojnë. Është e pamundur të dallosh anën e përparme nga ana e pasme e një shiriti Möbius. Ata vazhdimisht transformohen në njëri-tjetrin. Detyra e lyerjes së anëve të ndryshme të unazës me ngjyra të ndryshme nuk do të shkaktojë ndonjë vështirësi. Le ta shohim këtë me një shembull të thjeshtë. Merrni një stilolaps me majë, shënojeni me një pikë dhe filloni të lyeni vazhdimisht njërën anë. Do të shihni se vetëm sipërfaqja e saj e brendshme do të lyhet.
Vizatim 9Ngjyrosje unaze
Por a do të jetë e vërtetë kjo për objektin tonë të dytë letre? Le të përsërisim eksperimentin, duke zgjedhur si sipërfaqe eksperimentale jo një unazë, por një shirit Möbius.
Vizatim 10Ngjyrosja e shiritit Möbius
Ju shikoni që e gjithë fleta është ngjyrosur. Por ne ende e vizatuam stilolapsin vetëm në njërën anë. Nga kjo mund të konkludojmë sese shiriti nga i cili është bërë shiriti Möbius ka dy anë, dhe vetë shiriti ka një .
Nëse lëvizim përgjatë skajit të shiritit Möbius, atëherë pas një kthese të plotë do të gjejmë veten në skajin tjetër dhe do të vijmë nga ana e kundërt.
Le të vazhdojmë kërkimin tonë dhe të shqyrtojmë pyetjen se si do të sillen dy figurat tona (unaza dhe shiriti Möbius) kur të priten. Nëse e prisni unazën përgjatë vijës së mesit, do të merrni dy unaza më të ngushta
Vizatim 11Prerja e unazës
Vizatim 12Rezultati i prerjes së unazës
Nëse prisni një shirit Möbius përgjatë vijës së mesme, ai nuk do të ndahet në dy unaza, siç ishte rasti në eksperimentin e unazës. Do të marrim një unazë, por dy herë më të gjatë (unaza që rezulton do të ketë një sipërfaqe të dyanshme).
Vizatim 13Prerja e një shiriti Möbius përgjatë vijës së mesit
Çfarë ndodh nëse prisni një shirit Möbius përgjatë një linje që shtrihet afër buzës? Për të arritur në fillim të prerjes, do të duhet të kalojmë dy herë më shumë se prerja e kësaj fletë përgjatë vijës së mesit. Do të merrni dy unaza të ndërlidhura, njëra e madhe dhe e ngushtë, dhe tjetra e vogël dhe e gjerë. Fakti më interesant është se unaza e madhe do të ketë një sipërfaqe të njëanshme, dhe ajo e vogla do të ketë një sipërfaqe të dyanshme.
Nëse bëni një shirit Möbius që është i përdredhur me 3 gjysmë rrotullime (540 gradë), dhe më pas e prisni në gjysmë, do të merrni një shirit Möbius të përdredhur në një nyjë.
Mund të merrni gjëra interesante nëse e palosni letrën si një fizarmonikë, më pas bëni një shirit Möbius prej saj dhe e prisni në gjysmë ose një të tretën. Tre unaza të ndërlidhura do të shfaqen para nesh.
Si studiues të vetive të kësaj figure, na interesonte pyetja: a është gjithmonë e mundur të krijohet një shirit Möbius? Doli që nëse marrim një fletë letre katrore dhe presim një rrip prej saj, nuk do të arrijmë të marrim figurën që na intereson.
Atëherë lind një pyetje e re: cili duhet të jetë raporti i gjatësisë dhe gjerësisë së shiritit në mënyrë që të mund të përdoret gjithmonë për të marrë një shirit Möbius? Matematikisht është vërtetuar se nëse gjerësinë e shiritit e marrim 1, atëherë gjatësia duhet të jetë 1,73.
Zbatimi praktik i topologjisë
Kur flasin për topologjinë, shiriti Möbius është gjëja e parë që vjen në mendje për një person të njohur me këtë çështje. Prandaj, në fushën e zbatimit praktik të kësaj shkence në degë të ndryshme të veprimtarisë njerëzore, më së shpeshti haset përdorimi i kësaj figure të veçantë.
Vetitë e mahnitshme të shiritit Möbius shërbejnë si burim frymëzimi për shkrimtarët dhe poetët. Si shembull, do të doja të jap një fragment të shkurtër nga një poezi e Natalia Ivanova:
Rripi Moebius është një simbol i matematikës,
Ajo që shërben si kurora e urtësisë më të lartë...
Është plot me romancë të pavetëdijshme:
Në të, pafundësia është mbështjellë në një unazë.
Ka thjeshtësi në të, dhe bashkë me të edhe kompleksitet,
e cila është e paarritshme edhe për të mençurit:
Këtu avioni është transformuar para syve tanë
Në një sipërfaqe pa fillim apo fund.
Flatland nga Edwin Abbott dhe vazhdimi i tij Spherland, shkruar nga David Burger në 1976, konsiderohen me të drejtë libri klasik për jetën në hapësirën dydimensionale.
Flatlander jeton në një planet të formuar si një sipërfaqe dy-dimensionale. Nëse universi i tij është një aeroplan i pafund, atëherë ai mund të udhëtojë çdo distancë në çdo drejtim. Por nëse sipërfaqja në të cilën ai jeton është e mbyllur si një sferë, atëherë ajo është e pakufizuar dhe e fundme.
Pavarësisht se në cilin drejtim shkon Flatlander, duke lëvizur drejt dhe duke mos u kthyer askund, ai me siguri do të kthehet atje ku e filloi udhëtimin e tij. Kur një Flatlander udhëton nëpër botë në një sferë, është sikur ai po lëviz përgjatë një shiriti të ngjitur në një unazë.
Por nëse një banor i këtij planeti udhëton përgjatë rripit të Mobius, atëherë pasi të kthehet në pikën e fillimit, ai do ta gjejë zemrën e tij jo në të majtë, por në të djathtë! Një situatë e ngjashme përshkruhet në tregimin fantastik nga H.G. Wells, "The Plattner Story". Një person, duke qenë në dimensionin e katërt, u kthye në Tokë si pasqyra e tij e dyfishtë - me një zemër të vendosur në të djathtë.
Në prodhim, një rrip transportieri është bërë në formën e një shiriti Möbius. Kjo veçori e dizajnit ju lejon të rrisni jetëgjatësinë e shërbimit të rripit, pasi sipërfaqja e tij konsumohet në mënyrë të barabartë.
Vizatim 14Rrip transportues
Relativisht kohët e fundit, pajisja kryesore për nxjerrjen e informacionit nga një kompjuter në printim ishte një printer matricë me pika. Në kokën e tij të printimit, shiriti i bojës ishte rregulluar gjithashtu në formën e një shiriti Möbius.
Vizatim 15Printer matricë me pika
Meqenëse po flasim për kompjuterë, një rrjet kompjuterik përdoret për të lidhur disa makina në një tërësi të vetme. Një nga termat bazë të teknologjisë së rrjetit është koncepti i topologjisë së rrjetit.Topologjia – një diagram i përgjithshëm i një rrjeti kompjuterik, që tregon vendndodhjen fizike të kompjuterëve dhe lidhjet ndërmjet tyre.
Vizatim 16Shembuj të topologjisë së rrjeteve kompjuterike
Forma e shiritit Möbius përdoret me mjaft sukses në arkitekturë. Le të japim disa shembuj të ngjashëm.
Vizatim 18Logot e bazuara në shiritin Mobius
Ekziston një hipotezë se vetë spiralen e ADN-së është një fragment i një rripi Mobius dhe kjo është arsyeja pse kodi gjenetik është kaq i vështirë për t'u deshifruar dhe perceptuar. Për më tepër, një strukturë e tillë shpjegon në mënyrë mjaft logjike arsyen e fillimit të vdekjes biologjike - spiralja mbyllet në vetvete dhe ndodh vetë-shkatërrimi.
Vizatim 19spirale e ADN-së
Artistët dhe grafistët gjithashtu nuk e kanë anashkaluar temën që na intereson. Indikative në këtë drejtim është puna e grafistes holandezeXXshekulli nga Maurice Escher. Ai është i njohur për litografitë e tij, në të cilat ai eksploroi me mjeshtëri aspektet plastike të pafundësisë dhe simetrisë.
Ai tha për punën e tij: "Edhe pse jam absolutisht injorant i shkencave ekzakte, ndonjëherë më duket se jam më afër matematikanëve sesa kolegëve të mi artistë".
Vizatim 20Litografi nga Maurice Escher
PËRFUNDIM
Topologjia është më e reja dhe më e reja
degë e fuqishme e gjeometrisë, qartë
demonstron ndikim të frytshëm
kontradikta midis intuitës dhe logjikës.
Richard Courant
Matematikan amerikan
Një fjalë e urtë popullore ruse thotë: "Fundi është kurora e çështjes". Kështu që udhëtimi im i vogël në botën magjepsëse dhe të pazakontë të topologjisë ka marrë fund. Është koha për të bërë një bilanc.
Gjatë punës sime, u njoha me një fushë të re të matematikës për mua - topologjinë. Shikova disa nga konceptet më të thjeshta të përdorura nga kjo shkencë dhe të arritshme për t'u kuptuar pa trajnime serioze matematikore.
Në praktikë, ai rikrijoi sipërfaqen topologjike më të famshme - shiritin Möbius dhe studioi vetitë e tij të përgjithshme. Gjithashtu u njoha me aplikimin praktik të sipërfaqeve topologjike në sfera të ndryshme të veprimtarisë njerëzore.
Kështu, të gjitha detyrat që vendosa në fillim të kësaj pune u zgjidhën me sukses. Shpresoj që njohja ime me këtë fushë të matematikës në të ardhmen të mos jetë aq sipërfaqësore, gjë që ofron bazën për të vazhduar punën në temën e zgjedhur ndërsa grumbullohen njohuritë e mia matematikore.
LISTA E REFERENCAVE TË PËRDORUR
Fjalor enciklopedik matematikor / Yu.V. Prokhorov [dhe të tjerët]. – M.: Shtëpia botuese “Enciklopedia Sovjetike”, 1988. – 340 f.
Boltyansky, V.G. Topologjia vizuale / V.G. Boltyansky, V.A. Efremovich – M.: Nauka, 1975. – 160 f.
Starova, O.A. Topologji / O.A. Starova // Matematikë. Gjithçka për mësuesin. – 2013. – Nr.9. – f.28-34.
Stewart, J. Topologji / J. Stewart // Kuantike. – 1992. – Nr.7. – f. 28-30.
Projekti për fëmijët e talentuar: Scarlet Sails [Burimi elektronik] – Mënyra e hyrjes:http:// nportali. ru/ ap/ blog/ shkencërisht- teknike- tvorchestvo/ listë- myobiusa– data e hyrjes: 18.01.2017
Prasolov, V.V. Topologjia vizuale / V.V. Prasolov. – M.: MTsNMO, 1995. – 110 f.
Abbott, E. Flatland / E. Abbott. – M.: Mir, 1976. – 130 f.
Topologjia- një fjalë mjaft e bukur, tingëlluese, shumë e njohur në disa qarqe jo matematikore, më interesoi që në klasën e 9-të. Sigurisht, nuk kisha një ide të saktë, megjithatë, dyshova se gjithçka ishte e lidhur me gjeometrinë.
Fjalët dhe teksti u zgjodhën në atë mënyrë që gjithçka të ishte "e qartë intuitive". Rezultati është një mungesë e plotë e shkrim-leximit matematikor.
Çfarë është topologjia ? Unë do të them menjëherë se ekzistojnë të paktën dy terma "Topologji" - njëra prej tyre thjesht tregon një strukturë të caktuar matematikore, e dyta mbart me vete një shkencë të tërë. Kjo shkencë konsiston në studimin e vetive të një objekti që nuk do të ndryshojë kur ai deformohet.
Shembull ilustrues 1. Kupa e Bagel.
Shohim që turi, përmes deformimeve të vazhdueshme, kthehet në një donut (në gjuhën e zakonshme, një "torus dydimensional"). U vu re se topologjia studion atë që mbetet e pandryshuar nën deformime të tilla. Në këtë rast, numri i "vrimave" në objekt mbetet i pandryshuar - ka vetëm një. Le ta lëmë ashtu siç është tani për tani, do ta kuptojmë pak më vonë)
Shembull ilustrues 2. Njeriu topologjik.
Me deformime të vazhdueshme, një person (shiko foton) mund të zbulojë gishtat e tij - një fakt. Nuk është menjëherë e dukshme, por mund ta merrni me mend. Por nëse njeriu ynë topologjik do të kishte largpamësinë për të vendosur një orë në njërën anë, atëherë detyra jonë do të bëhet e pamundur.
Le të jemi të qartë
Pra, shpresoj që disa shembuj të sjellin njëfarë qartësie për atë që po ndodh.Le të përpiqemi t'i zyrtarizojmë të gjitha këto në një mënyrë fëminore.
Ne do të supozojmë se po punojmë me figura plastelinë, dhe plastelina mund shtrirja, kompresimi, ndërsa ngjitja e pikave të ndryshme dhe grisja janë të ndaluara. Homeomorfe janë figurat që shndërrohen në njëra-tjetrën nga deformimet e vazhdueshme të përshkruara pak më parë.
Një rast shumë i dobishëm është një sferë me doreza. Një sferë mund të ketë 0 doreza - atëherë është vetëm një sferë, ndoshta një - atëherë është një donut (në gjuhën e zakonshme, një "torus dydimensional"), etj.
Pra, pse një sferë me doreza dallohet midis figurave të tjera? Gjithçka është shumë e thjeshtë - çdo figurë është homeomorfike ndaj një sfere me një numër të caktuar dorezash. Kjo është, në thelb, nuk kemi asgjë tjetër O_o Çdo objekt tredimensional është i strukturuar si një sferë me një numër të caktuar dorezash. Qoftë filxhan, lugë, pirun (lugë=pirun!), mi kompjuteri, person.
Kjo është një teoremë mjaft domethënëse që është vërtetuar. Jo nga ne dhe jo tani. Më saktë, është vërtetuar për një situatë shumë më të përgjithshme. Më lejoni të shpjegoj: ne u kufizuam në marrjen në konsideratë të figurave të derdhura nga plastelina dhe pa zgavra. Kjo sjell problemet e mëposhtme:
1) nuk mund të marrim një sipërfaqe jo të orientueshme (shishe Klein, shirit Möbius, plan projektues),
2) kufizohemi në sipërfaqe dy-dimensionale (n/a: sferë - sipërfaqe dydimensionale),
3) ne nuk mund të marrim sipërfaqe, shifra që shtrihen deri në pafundësi (natyrisht, mund ta imagjinojmë këtë, por asnjë sasi e plastelinës nuk do të jetë e mjaftueshme).
Rrip Möbius
Shishe Klein
Ky tutorial është një fillim i mirë për këdo që dëshiron të mësojë se si të modelojë personazhe të nivelit të lartë. I famshëm në rrethin e tij, Jahirul Amin do të flasë për rëndësinë e topologjisë së saktë, rrjetës uniforme, rëndësinë e shumëkëndëshave katërkëndësh dhe shumë më tepër.
Përpara se të zhyteni në vorbullën 3D, unë sugjeroj të keni një program të shkurtër arsimor dhe të spërkatni në ujë të cekët. Më poshtë do të prekim bazat e modelimit poligonal, pa njohuri për të cilat nuk ka kuptim të ecim përpara.
Hyrje
Kur gjeometria bëhet ndihma e një modeluesi ose animatori, paraqitja ideale e rrjetës vjen e para. Pas kësaj, një topologji e mirë duhet të hyjë në lojë, duke zvogëluar numrin e defekteve në animacionin e personazheve. Me fjalë të tjera, një poligon i krijuar saktë (dhe në kohë) do të kursejë jo vetëm orë, por edhe ditë të jetës suaj.
3-gon vs 4-gon kundrejt N-gon
Pra, cili është ndryshimi midis poligoneve 3-, 4- dhe N-këndësh? Përgjigja është e qartë: e para ka 3 anë, e dyta ka 4, e treta ka ndonjë numër prej tyre, më shumë se 4. Nëse jeni duke modeluar një personazh për animacion të mëtejshëm, ju rekomandojmë përdorni vetëm katërkëndësha. Procesi i deformimit dhe ndarjes së shumëkëndëshave katërkëndësh është shumë më i lehtë dhe do të hasni më pak shtrembërim të teksturës.
Rekomandohet të fshehni trekëndëshat nga sytë tuaj dhe të njerëzve të tjerë. Për shembull, në sqetull ose në zonën e ijeve të personazhit. Nga ana tjetër, një ndalim i pashprehur vendoset për poligonet - ato nuk duhet të ekzistojnë. Ato shkaktojnë shtrembërim dhe janë mjaft telash kur bëhet fjalë për manipulimin dhe modifikimin e grupeve të kulmeve (aka "pikturë me peshë").
Së fundi, një model që përbëhet kryesisht nga shumëkëndësha katërkëndëshe do të jetë më i lehtë për t'u eksportuar në programe të tjera modelimi si Mudbox.
Gëzimet e poligoneve katër dhe tre këndësh dhe tmerri i N-gonit
Konturet e fytyrës, të cilat sipas përkufizimit ngjajnë me një N-gon, duhet të afrohen sa më afër një formati katërkëndor. Jo vetëm kaq - vendndodhja e shumëkëndëshave në parim duhet të jetë sa më uniforme. Kjo është ajo që kërkon gjeometria me të njëjtin emër. Zbatimi i këtyre rregullave do ta bëjë më të lehtë kalimin në fazën e manipulimit dhe do të ndihmojë në deformimin e personazhit gjatë procesit të animimit. Për më tepër, shkalla e shtrembërimit që lidhet me përdorimin e teksturave do të reduktohet, megjithëse këtu nuk duhet të harrojmë rëndësinë e vetë skanimit UV.
Për të kryer detyrën e përshkruar, Maya ofron mjetin Sculpt Geometry.
Mjeti Sculpt Geometry në Maya do t'ju ndihmojë të "zbutni" rrjetën e modelit tuaj
Përgjegjës për kalimin e qetë të çdo skaji individual (aka Edge Flow). Mund të tingëllojë e thjeshtë, por në praktikë është një gjë shumë tinëzare.
Nëse keni vendosur të krijoni një karakter realist, rekomandohet të studioni bazat e anatomisë përpara se të filloni punën. Duke ndjekur strukturën e trupit të njeriut dhe lëvizjen natyrale të muskujve, animatori në fund merr një kopje që është afër origjinalit. Kjo vërehet veçanërisht qartë gjatë procesit të deformimit. Ne rekomandojmë fillimin me procesin e formimit të rrudhave dhe shtrirjes së lëkurës.
Për personazhet e stilizuar dhe të filmave vizatimorë, Edge Flow është shumë më pak i rëndësishëm. Por prapëseprapë, unë rekomandoj shumë të merrni të paktën një kuptim bazë të anatomisë njerëzore.
Për ta bërë formën realiste, krijoni një topologji të mirë dhe sigurohuni që të merrni parasysh drejtimin e qetë të rrjetës (skajet, poligonet).
Është gjithashtu jo i shumëfishtë. Do të thotë që një objekt tredimensional nuk mund të pritet dhe të bëhet i sheshtë.
Shembull: Krijoni një kub, zgjidhni çdo skaj (buzë) dhe nxirreni atë Edit Mesh > Extrude. Para jush është një objekt disi i formësuar. (Shembulli më poshtë në të majtë) Nëse kubi do të ishte prej letre, atëherë kur të shpalosej do të merrnit një figurë në formë kryqi me përmasa të thyera. Përdorimi i një objekti të tillë në operacionet Boolean është pothuajse i pamundur.
Për të rregulluar situatën, përdorni mjetin Cleanup.
Shkelja e topologjisë së gjeometrisë mund të krijojë dhjetëra probleme. Jini vigjilentë dhe inspektoni periodikisht figurën nga këndvështrime të ndryshme.
Çdo lak (buzë) duhet të ketë një objektiv
Si rregull, modelimi fillon me një figurë primitive (për shembull, një kub), struktura e së cilës ndërlikohet më pas duke shtuar sythe buzë.
Është e rëndësishme që çdo element i ri të krijohet me një qëllim të caktuar. Ka situata në të cilat "më pak" është e barabartë me "më mirë". Kuptimi i parimeve të optimizimit të modelit vjen vetëm me përvojë, prandaj mos u dekurajoni dhe vazhdoni të punoni.
Mos e ndërlikoni jetën tuaj: detajet duhet të jenë të përshtatshme
Gjithçka që po përpiqemi të bëjmë në ekran është një pasqyrim i botës përreth nesh në format dhe manifestimet e saj të ndryshme. Kjo është arsyeja pse është kaq e rëndësishme të ngriheni herë pas here nga tavolina. E rëndësishme jo vetëm për zhvilluesit, por edhe për animatorët, drejtuesit, drejtorët e ndriçimit, etj.
Shikoni më nga afër sipërfaqen, strukturën dhe hijen e saj. Si e reflekton dritën? Si ndodh procesi i deformimit? Përgjigja e këtyre dhe pyetjeve të tjera do t'ju ndihmojë të merrni vendimin e duhur kur modeloni ndonjë objekt.
