Pokud je před závorkou znaménko plus. Úvodní závorky: pravidla a příklady (7. stupeň)
V této lekci se naučíte, jak převést výraz obsahující závorky na výraz bez závorek. Naučíte se otevírat závorky, před kterými je znaménko plus a mínus. Připomeneme si, jak otevřít závorky pomocí distributivního zákona násobení. Uvažované příklady vám umožní spojit nový a dříve studovaný materiál do jediného celku.
Téma: Řešení rovnic
Lekce: Rozšíření závorek
Jak rozšířit závorky před znaménkem „+“. Použití asociativního zákona sčítání.
Pokud potřebujete k číslu přidat součet dvou čísel, můžete k tomuto číslu nejprve přidat první výraz a poté druhý.
Vlevo od rovnítka je výraz se závorkami a vpravo výraz bez závorek. To znamená, že při pohybu z levé strany rovnosti na pravou došlo k otevření závorek.
Podívejme se na příklady.
Příklad 1 
Otevřením závorek jsme změnili pořadí akcí. Počítání se stalo pohodlnějším.
Příklad 2 
Příklad 3
Všimněte si, že ve všech třech příkladech jsme jednoduše odstranili závorky. Formulujme pravidlo:
Komentář.
Pokud je první výraz v závorce bez znaménka, musí být zapsán se znaménkem plus.
Můžete postupovat podle příkladu krok za krokem. Nejprve přidejte 445 k 889. Tuto akci lze provést mentálně, ale není to příliš snadné. Otevřeme závorky a uvidíme, že změněný postup výrazně zjednoduší výpočty.
Pokud dodržíte naznačený postup, musíte nejprve odečíst 345 od 512 a poté k výsledku přičíst 1345 Otevřením závorek změníme postup a výrazně zjednodušíme výpočty.
Ilustrující příklad a pravidlo.
Podívejme se na příklad: . Hodnotu výrazu zjistíte tak, že sečtete 2 a 5 a poté vezmete výsledné číslo s opačným znaménkem. Dostáváme -7.
Na druhou stranu stejného výsledku lze získat sečtením opačných čísel původních.
Formulujme pravidlo:
Příklad 1 
Příklad 2
Pravidlo se nemění, pokud v závorce nejsou dva, ale tři nebo více výrazů.
Příklad 3 
Komentář. Značky jsou obráceny pouze před termíny.
Abychom otevřeli závorky, musíme si v tomto případě zapamatovat distribuční vlastnost.
Nejprve vynásobte první závorku 2 a druhou 3.
Před první závorkou je znaménko „+“, což znamená, že znaménka musí zůstat nezměněna. Před druhým znaménkem je znaménko „-“, proto je třeba všechna znaménka změnit na opačnou
Bibliografie
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartburd S.I. Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematika 6. třída. - Gymnázium, 2006.
- Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Za stránkami učebnice matematiky. - Osvícení, 1989.
- Rurukin A.N., Čajkovskij I.V. Úkoly pro 5.-6. ročník kurzu matematiky - ZSh MEPhI, 2011.
- Rurukin A.N., Sochilov S.V., Čajkovskij K.G. Matematika 5-6. Manuál pro žáky 6. ročníku korespondenční školy MEPhI. - ZSh MEPhI, 2011.
- Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematika: Učebnice-rozhovor pro 5-6 ročníků střední školy. Knihovna učitele matematiky. - Osvícení, 1989.
- Online testy z matematiky ().
- Můžete si stáhnout ty uvedené v článku 1.2. knihy ().
Domácí práce
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartburd S.I. Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012. (odkaz viz 1.2)
- Domácí úkol: č. 1254, č. 1255, č. 1256 (b, d)
- Další úkoly: č. 1258(c), č. 1248
V tomto článku se podrobně podíváme na základní pravidla tak důležitého tématu v kurzu matematiky, jako je otevírání závorek. Pro správné řešení rovnic, ve kterých jsou použity, potřebujete znát pravidla pro otevírání závorek.
Jak správně otevřít závorky při přidávání
Rozbalte závorky před znaménkem „+“.
Toto je nejjednodušší případ, protože pokud je před závorkami znak přidání, znaky uvnitř se při otevření závorek nezmění. Příklad:
(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.
Jak rozšířit závorky před znaménkem "-".
V tomto případě je třeba přepsat všechny výrazy bez závorek, ale zároveň změnit všechna znaménka v nich na opačné. Značky se mění pouze u výrazů z těch závorek, kterým předcházel znak „-“. Příklad:
(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.
Jak otevřít závorky při násobení
Před závorkami je číslo násobitele
V tomto případě musíte vynásobit každý výraz koeficientem a otevřít závorky beze změny znamének. Pokud má násobitel znaménko „-“, pak se při násobení znaménka členů obrátí. Příklad:
3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.
Jak otevřít dvě závorky se znaménkem násobení mezi nimi
V tomto případě musíte vynásobit každý výraz z prvních závorek každým výrazem z druhých závorek a poté sečíst výsledky. Příklad:
(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.
Jak otevřít závorky ve čtverci
Pokud je součet nebo rozdíl dvou členů na druhou, závorky by měly být otevřeny podle následujícího vzorce:
(x + y)^2 = x^2 + 2 * x * y + y^2.
V případě mínusu uvnitř závorky se vzorec nemění. Příklad:
(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.
Jak rozšířit závorky o další stupeň
Pokud se součet nebo rozdíl členů zvýší například na 3. nebo 4. mocninu, pak stačí rozdělit mocninu závorky na „čtverce“. Mocniny identických činitelů se sčítají a při dělení se mocniny dělitele odečítají od mocniny děliče. Příklad:
(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.
Jak otevřít 3 závorky
Existují rovnice, ve kterých se násobí 3 závorky najednou. V tomto případě musíte nejprve vynásobit členy prvních dvou závorek dohromady a poté vynásobit součet tohoto násobení členy třetí závorky. Příklad:
(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.
Tato pravidla pro otevírání závorek platí stejně pro řešení lineárních i goniometrických rovnic.
Pokračuji v sérii metodických článků na téma učitelství. Je čas podívat se na funkce individuální práce učitel matematiky pro žáky 7. ročníku. S velkým potěšením se podělím o své myšlenky na formy prezentace jednoho z nich nejdůležitější témata kurz algebry v 7. třídě - „úvodní závorky“. Abychom se nepokoušeli uchopit tu nezměrnost, zastavme se u její počáteční fáze a analyzujme lektorovu metodu práce s násobením polynomu polynomem. Jak učitel matematiky působí v obtížné situace, Když slabý student nepřijímá klasickou formu vysvětlení? Jaké úkoly by si měl připravit silný žák sedmé třídy? Zvažme tyto a další otázky.
Zdálo by se, co je na tom tak složitého? „Závorky jsou stejně snadné jako loupání hrušek,“ řekne každý vynikající student. „Existuje distribuční zákon a vlastnosti mocnin pro práci s monočleny, obecný algoritmus pro libovolný počet termínů. Vynásobte každý každým a přiveďte podobné.“ Při práci s opozdilci však není vše tak jednoduché. Přes snahu učitele matematiky se studentům daří dělat chyby všech velikostí i v těch nejjednodušších transformacích. Povaha chyb je zarážející ve své rozmanitosti: od malých vynechání písmen a znaků až po vážné slepé chyby.
Co brání studentovi správně dokončit transformace? Proč je možné nedorozumění?
Existuje velké množství jednotlivých problémů a jednou z hlavních překážek asimilace a konsolidace materiálu je obtížnost včasného a rychlého přepínání pozornosti, obtížnost zpracování velkého množství informací. Někomu se může zdát divné, že mluvím o velkém objemu, ale slabý žák 7. třídy nemusí mít dostatek paměti a pozornosti ani na čtyři semestry. Koeficienty, proměnné, stupně (ukazatele) interferují. Žák si plete pořadí operací, zapomíná, které monomily již byly násobeny a které zůstaly nedotčeny, nemůže si vzpomenout, jak jsou násobeny atd.
Numerický přístup pro učitele matematiky
Samozřejmě musíte začít vysvětlením logiky konstrukce samotného algoritmu. Jak to udělat? Musíme nastolit problém: jak změnit pořadí akcí ve výrazu 
aby se výsledek nezměnil? Poměrně často uvádím příklady, které vysvětlují, jak určitá pravidla fungují pomocí konkrétních čísel. A teprve potom je nahrazuji písmeny. Technika použití numerického přístupu bude popsána níže.
Problémy s motivací.
Na začátku lekce je pro učitele matematiky obtížné shromáždit studenta, pokud nerozumí důležitosti toho, co se studuje. V rámci sylabu pro 6.–7. ročník je obtížné najít příklady použití pravidla pro násobení polynomů. Zdůraznil bych nutnost učit se změnit pořadí akcí ve výrazech Student by měl ze zkušenosti se sčítáním vědět, že to pomáhá řešit problémy. podobné termíny. Při řešení rovnic je musel sčítat. Například v 2x+5x+13=34 použije toto 2x+5x=7x. Učitel matematiky na to prostě musí zaměřit pozornost studenta.
Učitelé matematiky často označují techniku otevírání závorek jako pravidlo „fontána“..
Tento obrázek je dobře zapamatovatelný a měl by být rozhodně použit. Jak se ale toto pravidlo dokazuje? Připomeňme si klasickou formu, která využívá zjevné transformace identity:
(a+b)(c+d)=(a+b) c+(a+b) d=ac+bc+ad+bd
Pro učitele matematiky je těžké se zde k něčemu vyjadřovat. Písmena mluví sama za sebe. A silný žák 7. třídy nepotřebuje podrobné vysvětlení. Co však dělat se slabým, který v této „doslovné změti“ nevidí žádný obsah?
Hlavním problémem, který narušuje vnímání klasického matematického zdůvodnění „fontány“, je neobvyklá forma zápisu prvního faktoru. Ani v 5. třídě, ani v 6. třídě nemusel žák přetahovat první závorku do každého termínu druhého. Děti se zabývaly pouze čísly (koeficienty), nejčastěji umístěnými vlevo od závorek, například:
Na konci 6. ročníku si žák vytvořil vizuální představu předmětu - určitou kombinaci znaků (akcí) spojených se závorkami. A jakákoliv odchylka od obvyklého pohledu k něčemu novému může žáka sedmé třídy dezorientovat. Je to vizuální obrázek dvojice „číslo + závorka“, kterou učitel matematiky používá při vysvětlování.
Lze nabídnout následující vysvětlení. Tutor zdůvodňuje: „Kdyby před závorkou bylo nějaké číslo, například 5, tak bychom mohli změnit postup v tomto výrazu? Rozhodně. Tak pojďme na to 
. Zamyslete se, zda se jeho výsledek změní, když místo čísla 5 zadáme součet 2+3 v závorce? Každý student řekne lektorovi: "Jaký je rozdíl ve způsobu psaní: 5 nebo 2+3." Báječné. Získáte záznam. Učitel matematiky si udělá krátkou přestávku, aby si student vizuálně zapamatoval obrázek-obrázek předmětu. Poté ho upozorní na skutečnost, že závorka, stejně jako číslo, „rozdělila“ nebo „přeskočila“ ke každému termínu. Co to znamená? To znamená, že tuto operaci lze provést nejen s číslem, ale také se závorkou. Máme dva páry faktorů a . Většina studentů si s nimi snadno poradí sama a výsledek napíše lektorovi. Je důležité porovnat výsledné dvojice s obsahem závorek 2+3 a 6+4 a ukáže se, jak se otevírají.
V případě potřeby učitel matematiky po příkladu s čísly provede korekturu. Ukázalo se, že jde o procházku stejnými částmi předchozího algoritmu.
Formování dovednosti otevírání závorek
Jedním z nich je vytvoření dovednosti násobení závorek nejdůležitější etapy práce učitele matematiky s tématem. A ještě důležitější než fáze vysvětlování logiky pravidla „fontána“. Proč? Zdůvodnění změn bude hned druhý den zapomenuto, ale dovednost, pokud se vytvoří a upevní včas, zůstane. Studenti provádějí operaci mechanicky, jako by získávali z paměti násobilku. Toho je třeba dosáhnout. Proč? Pokud si žák pokaždé, když otevře závorku, vzpomene, proč je otevřena takto a ne jinak, zapomene na problém, který řeší. To je důvod, proč učitel matematiky věnuje zbývající čas hodiny transformaci porozumění do memorování. Tato strategie se často používá v jiných tématech.
Jak může lektor u studenta rozvíjet dovednost otevírání závorek? K tomu musí žák 7. třídy absolvovat řadu cvičení v dostatečném množství pro upevnění. To vyvolává další problém. Slabý sedmý ročník nezvládá zvýšený počet proměn. I ty malé. A chyby padají jedna za druhou. Co by měl učitel matematiky dělat? Nejprve se doporučuje nakreslit šipky od každého termínu ke každému. Pokud je žák velmi slabý a není schopen rychle přejít z jednoho typu práce na druhý, nebo ztrácí koncentraci při plnění jednoduchých příkazů od učitele, pak tyto šipky kreslí učitel matematiky sám. A ne všechny najednou. Učitel nejprve spojí první termín v levé závorce s každým termínem v pravé závorce a požádá je, aby provedli odpovídající násobení. Teprve poté jsou šipky směřovány z druhého členu do stejné pravé závorky. Jinými slovy, lektor rozdělí proces do dvou fází. Mezi první a druhou operací je lepší dodržet krátkou pauzu (5-7 sekund).
1) Jedna sada šipek by měla být nakreslena nad výrazy a druhá pod nimi.
2) Je důležité přeskakovat alespoň mezi řádky pár buněk. V opačném případě bude záznam velmi hustý a šipky nejen vylezou na předchozí řádek, ale také se promísí se šipkami z dalšího cvičení.
3) V případě násobení závorek ve formátu 3 2 se šipky kreslí od krátké závorky k dlouhé. Jinak nebudou tyto „fontány“ dvě, ale tři. Implementace třetího je znatelně složitější kvůli nedostatku volného místa pro šipky.
4) šipky směřují vždy ze stejného bodu. Jeden z mých studentů se je pokoušel postavit vedle sebe a přišel na toto:
Toto uspořádání neumožňuje vybrat a zaznamenat aktuální termín, se kterým student v jednotlivých fázích pracuje.
Práce učitele prstem
4) Učitel matematiky na ně položí dva prsty, aby udržel pozornost na samostatné dvojici násobených výrazů. To musí být provedeno tak, aby studentovi nebránilo ve výhledu. Pro nejvíce nepozorné studenty můžete použít metodu „pulsace“. Učitel matematiky přesune první prst na začátek šipky (na jeden z výrazů) a zafixuje ji a druhým „klepne“ na její konec (do druhého termínu). Ripple pomáhá zaměřit pozornost na termín, kterým student násobí. Po dokončení prvního násobení pravou závorkou učitel matematiky řekne: „Nyní pracujeme s druhým termínem.“ Lektor k němu posune „pevný prst“ a přejede „pulzujícím“ prstem po výrazech z druhé závorky. Pulsace funguje jako „směrovka“ v autě a umožňuje soustředit pozornost nepřítomného studenta na operaci, kterou provádí. Pokud dítě píše malé, pak se místo prstů použijí dvě tužky.
Optimalizace opakování
Stejně jako při studiu jakéhokoli jiného tématu v kurzu algebry mohou a měly by být násobící polynomy integrovány s dříve probraným materiálem. K tomu učitel matematiky používá speciální překlenovací úlohy, které vám umožní najít uplatnění toho, co studujete, v různých matematických objektech. Nejenže propojují témata do jediného celku, ale také velmi efektivně organizují opakování celého kurzu matematiky. A čím více mostů učitel postaví, tím lépe.
Tradičně je v učebnicích algebry pro 7. třídu úvodní závorka integrována s řešením lineární rovnice. Na konci seznamu čísel jsou vždy úkoly v tomto pořadí: řeš rovnici. Při otevírání závorek se čtverce zmenšují a rovnice se snadno řeší pomocí nástrojů 7. třídy. Na sestrojení grafu lineární funkce však autoři učebnic z nějakého důvodu pohodlně zapomínají. Abychom tento nedostatek napravili, doporučil bych učitelům matematiky zahrnout závorky například do analytických vyjádření lineárních funkcí. V takových cvičeních si student nejen trénuje dovednosti provádění identických transformací, ale také opakuje grafy. Můžete požádat o nalezení průsečíku dvou „příšer“, určit vzájemnou polohu čar, najít body jejich průsečíku s osami atd.
Kolpakov A.N. Učitel matematiky ve Stroginu. Moskva
Rozšíření závorek je typ transformace výrazu. V této části popíšeme pravidla pro otevírání závorek a také se podíváme na nejčastější příklady problémů.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Co je otevírací závorka?
Závorky se používají k označení pořadí, ve kterém se akce provádějí v číselných, doslovných a proměnných výrazech. Je vhodné přejít z výrazu se závorkami na shodně stejný výraz bez závorek. Například výraz 2 · (3 + 4) nahraďte výrazem ve tvaru 2 3 + 2 4 bez závorek. Tato technika se nazývá otevírací závorky.
Definice 1
Rozšíření závorek odkazuje na techniky, jak se zbavit závorek a je obvykle zvažováno ve vztahu k výrazům, které mohou obsahovat:
- znaménka „+“ nebo „-“ před závorkami obsahujícími součty nebo rozdíly;
- součin čísla, písmena nebo několika písmen a součtu nebo rozdílu, který je uveden v závorce.
Takto jsme zvyklí nahlížet na proces otevírání závorek ve školních osnovách. Nikdo nám však nebrání se na tuto akci podívat šířeji. Otvírání závorek můžeme nazvat přechodem z výrazu, který obsahuje záporná čísla v závorkách, k výrazu, který závorky nemá. Například můžeme přejít z 5 + (− 3) − (− 7) do 5 − 3 + 7. Ve skutečnosti je to také otevření závorky.
Stejným způsobem můžeme nahradit součin výrazů v závorkách tvaru (a + b) · (c + d) součtem a · c + a · d + b · c + b · d. Tato technika také není v rozporu s významem otevírání závorek.
Zde je další příklad. Můžeme předpokládat, že místo čísel a proměnných lze ve výrazech použít libovolné výrazy. Například výrazu x 2 · 1 a - x + sin (b) bude odpovídat výraz bez závorek ve tvaru x 2 · 1 a - x 2 · x + x 2 · sin (b).
Zvláštní pozornost si zaslouží ještě jeden bod, který se týká zvláštností rozhodování o nahrávání při otevírání závorek. Počáteční výraz se závorkami a výsledek získaný po otevření závorek můžeme zapsat jako rovnost. Například po rozšíření závorek místo výrazu 3 − (5 − 7) dostaneme výraz 3 − 5 + 7 . Oba tyto výrazy můžeme zapsat jako rovnost 3 − (5 − 7) = 3 − 5 + 7.
Provádění akcí s těžkopádnými výrazy může vyžadovat zaznamenání mezivýsledků. Pak bude mít řešení podobu řetězce rovnosti. Například, 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − (3 − 2 + 1) = 5 − 3 + 2 − 1 nebo 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − 3 + (2 − 1) = 5 − 3 + 2 − 1 .
Pravidla pro otevírání závorek, příklady
Začněme se dívat na pravidla pro otevírání závorek.
Pro jednotlivá čísla v závorkách
Ve výrazech se často vyskytují záporná čísla v závorkách. Například (− 4) a 3 + (− 4) . Své místo mají i kladná čísla v závorkách.
Zformulujme pravidlo pro otevírání závorek obsahujících jednotlivá kladná čísla. Předpokládejme, že a je libovolné kladné číslo. Pak můžeme nahradit (a) za a, + (a) za + a, - (a) za – a. Pokud místo a vezmeme konkrétní číslo, pak se podle pravidla: číslo (5) zapíše jako 5 , výraz 3 + (5) bez závorek bude mít tvar 3 + 5 , protože + (5) je nahrazeno + 5 a výraz 3 + (− 5) je ekvivalentní výrazu 3 − 5 , protože + (− 5) je nahrazeno − 5 .
Kladná čísla se obvykle zapisují bez použití závorek, protože závorky jsou v tomto případě zbytečné.
Nyní zvažte pravidlo pro otevírání závorek, které obsahují jediné záporné číslo. + (- a) nahrazujeme s − a, − (− a) se nahrazuje znakem + a. Pokud výraz začíná záporným číslem (− a), který se píše v závorkách, pak se závorky vynechávají a místo nich (− a) Zůstává − a.
Zde jsou nějaké příklady: (− 5) lze zapsat jako − 5, (− 3) + 0, 5 se stane − 3 + 0, 5, 4 + (− 3) se stane 4 − 3 , a − (− 4) − (− 3) po otevření závorek má tvar 4 + 3, protože − (− 4) a − (− 3) je nahrazeno + 4 a + 3 .
Je třeba si uvědomit, že výraz 3 · (− 5) nelze zapsat jako 3 · − 5. O tom promluvime si v následujících odstavcích.
Podívejme se, na čem jsou založena pravidla pro otevírání závorek.
Podle pravidla je rozdíl a − b roven a + (− b) . Na základě vlastností akcí s čísly můžeme vytvořit řetězec rovnosti (a + (− b)) + b = a + ((− b) + b) = a + 0 = a která bude spravedlivá. Tento řetězec rovnosti na základě významu odčítání dokazuje, že výraz a + (− b) je rozdíl a − b.
Na základě vlastností protilehlá čísla a pravidla odčítání záporná čísla můžeme říci, že − (− a) = a, a − (− b) = a + b.
Existují výrazy, které se skládají z čísla, znaménka mínus a několika párů závorek. Použití výše uvedených pravidel vám umožní postupně se zbavit závorek, přesunout se z vnitřních na vnější závorky nebo v opačném směru. Příkladem takového výrazu může být − (− ((− (5)))) . Otevřeme závorky a přesuneme se zevnitř ven: − (− ((− (5)))) = − (− ((− 5))) = − (− (− 5)) = − (5) = − 5 . Tento příklad lze analyzovat i v opačném směru: − (− ((− (5)))) = ((− (5))) = (− (5)) = − (5) = − 5 .
Pod A a b lze chápat nejen jako čísla, ale i jako libovolné číselné popř doslovné výrazy se znaménkem „+“ vpředu, což nejsou součty ani rozdíly. Ve všech těchto případech můžete použít pravidla stejným způsobem, jako jsme to udělali pro jednotlivá čísla v závorkách.
Například po otevření závorky výraz − (− 2 x) − (x 2) + (− 1 x) − (2 x y 2: z) bude mít tvar 2 · x − x 2 − 1 x − 2 · x · y 2: z . jak jsme to dokázali? Víme, že − (− 2 x) je + 2 x, a protože tento výraz je na prvním místě, pak + 2 x lze zapsat jako 2 x, − (x 2) = − x 2, + (− 1 x) = − 1 x a − (2 x y 2: z) = − 2 x y 2: z.
V součinech dvou čísel
Začněme pravidlem pro otevírání závorek v součinu dvou čísel.
Pojďme to předstírat A a b je dvě kladná čísla. V tomto případě součin dvou záporných čísel − a a − b tvaru (− a) · (− b) můžeme nahradit (a · b) a součin dvou čísel s opačnými znaménky tvaru (− a) · b a a · (− b) lze nahradit (− a b). Vynásobením mínus mínusem získáte plus a vynásobením mínus plusem, jako když vynásobíte plus mínusem, získáte mínus.
Správnost první části psaného pravidla potvrzuje pravidlo pro násobení záporných čísel. Pro potvrzení druhé části pravidla můžeme použít pravidla pro násobení čísel s různá znamení.
Podívejme se na pár příkladů.
Příklad 1
Uvažujme algoritmus pro otevírání závorek v součinu dvou záporných čísel - 4 3 5 a - 2 ve tvaru (- 2) · - 4 3 5. Chcete-li to provést, nahraďte původní výraz 2 · 4 3 5 . Otevřeme závorky a dostaneme 2 · 4 3 5 .
A pokud vezmeme podíl záporných čísel (− 4) : (− 2), pak záznam po otevření závorek bude vypadat jako 4: 2
Místo záporných čísel − a a − b mohou být jakékoli výrazy se znaménkem mínus na začátku, které nejsou součty nebo rozdíly. Mohou to být například součiny, podíly, zlomky, mocniny, odmocniny, logaritmy, goniometrické funkce atd.
Otevřeme závorky ve výrazu - 3 · x x 2 + 1 · x · (- ln 5) . Podle pravidla můžeme provést následující transformace: - 3 x x 2 + 1 x (- ln 5) = - 3 x x 2 + 1 x ln 5 = 3 x x 2 + 1 x ln 5.
Výraz (− 3) 2 lze převést na výraz (− 3 2) . Poté můžete rozbalit závorky: − 3 2.
2 3 · - 4 5 = - 2 3 · 4 5 = - 2 3 · 4 5
Dělení čísel s různými znaménky může také vyžadovat předběžné rozšíření závorek: (− 5) : 2 = (− 5: 2) = − 5: 2 a 2 3 4: (- 3, 5) = - 2 3 4 : 3, 5 = - 2 3 4 : 3, 5.
Pravidlo lze použít k provádění násobení a dělení výrazů s různými znaménky. Uveďme dva příklady.
1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3
sin (x) (- x 2) = (- sin (x) x 2) = - sin (x) x 2
V součinech tří a více čísel
Přejděme k produktům a podílům, které obsahují velké množstvíčísla. Pro otevření závorek zde platí následující pravidlo. Pokud existuje sudý počet záporných čísel, můžete vynechat závorky a nahradit čísla jejich opaky. Poté musíte výsledný výraz uzavřít do nových závorek. Pokud existuje lichý počet záporných čísel, vynechte závorky a nahraďte čísla jejich opaky. Poté je třeba výsledný výraz umístit do nových závorek a před něj umístit znaménko mínus.
Příklad 2
Vezměme například výraz 5 · (− 3) · (− 2) , který je součinem tří čísel. Existují dvě záporná čísla, proto můžeme výraz napsat jako (5 · 3 · 2) a poté konečně otevřete závorky, čímž získáte výraz 5 · 3 · 2.
V součinu (− 2, 5) · (− 3) : (− 2) · 4: (− 1, 25) : (− 1) je pět čísel záporných. tedy (− 2, 5) · (− 3): (− 2) · 4: (− 1, 25) : (− 1) = (− 2, 5 · 3: 2 · 4: 1, 25: 1) . Když jsme konečně otevřeli závorky, dostáváme se −2,5 3:2 4:1,25:1.
Výše uvedené pravidlo lze zdůvodnit následovně. Za prvé, můžeme takové výrazy přepsat na součin a nahradit dělení násobením převráceným číslem. Každé záporné číslo představujeme jako součin násobícího čísla a - 1 nebo - 1 je nahrazeno (− 1) a.
Pomocí komutativní vlastnosti násobení zaměníme faktory a přeneseme všechny faktory rovné − 1 , na začátek výrazu. Součin sudého čísla mínus jedna se rovná 1 a součin lichého čísla je roven − 1 , což nám umožňuje používat znaménko mínus.
Pokud bychom pravidlo nepoužili, pak by řetězec akcí k otevření závorek ve výrazu - 2 3: (- 2) · 4: - 6 7 vypadal takto:
2 3: (- 2) 4: - 6 7 = - 2 3 - 1 2 4 - 7 6 = = (- 1) 2 3 (- 1) 1 2 4 (- 1) · 7 6 = = (- 1 ) · (- 1) · (- 1) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = (- 1) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = = - 2 3 1 2 4 7 6
Výše uvedené pravidlo lze použít při otevírání závorek ve výrazech, které představují součiny a podíly se znaménkem mínus, které nejsou součty nebo rozdíly. Vezměme si například výraz
x 2 · (- x): (- 1 x) · x - 3: 2 .
Lze jej zredukovat na výraz bez závorek x 2 · x: 1 x · x - 3: 2.
Rozšiřující závorky, před kterými je znaménko +
Zvažte pravidlo, které lze použít pro rozšíření závorek, před kterými je znaménko plus, a „obsah“ těchto závorek není násoben ani dělen žádným číslem nebo výrazem.
Podle pravidla se závorky spolu se znakem před nimi vynechávají, přičemž jsou zachovány znaky všech pojmů v závorkách. Pokud před prvním termínem v závorce není žádné znaménko, musíte zadat znaménko plus.
Příklad 3
Například uvedeme výraz (12 − 3 , 5) − 7 . Vynecháním závorek ponecháme znaménka výrazů v závorce a před první výraz dáme znaménko plus. Záznam bude vypadat takto (12 − 3, 5) − 7 = + 12 − 3, 5 − 7. V uvedeném příkladu není nutné umístit znaménko před první člen, protože + 12 − 3, 5 − 7 = 12 − 3, 5 − 7.
Příklad 4
Podívejme se na další příklad. Vezměme výraz x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x a proveďte s ním akce x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x = = x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x
Zde je další příklad rozšiřujících závorek:
Příklad 5
2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 + (- 1 + x - x 2) = = 2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 - 1 + x + x 2
Jak se rozbalí závorky, kterým předchází znaménko mínus?
Uvažujme případy, kdy je před závorkou znaménko mínus a které nejsou násobeny (ani děleny) žádným číslem nebo výrazem. Podle pravidla pro otevírání závorek před znakem „-“ se závorky se znaménkem „-“ vynechávají a znaménka všech pojmů uvnitř závorek jsou obrácená.
Příklad 6
Např:
1 2 = 1 2 , - 1 x + 1 = - 1 x + 1 , - (- x 2) = x 2
Výrazy s proměnnými lze převést pomocí stejného pravidla:
X + x 3 - 3 - - 2 x 2 + 3 x 3 x + 1 x - 1 - x + 2,
dostaneme x - x 3 - 3 + 2 · x 2 - 3 · x 3 · x + 1 x - 1 - x + 2 .
Otevírací závorky při násobení čísla závorkou, výrazy závorkou
Zde se podíváme na případy, kdy potřebujete rozšířit závorky, které jsou násobeny nebo děleny nějakým číslem nebo výrazem. Vzorce ve tvaru (a 1 ± a 2 ± … ± a n) · b = (a 1 · b ± a 2 · b ± … ± a n · b) nebo b · (a 1 ± a 2 ± … ± a n) = (b · a 1 ± b · a 2 ± … ± b · a n), Kde a 1, a 2, …, a n a b jsou nějaká čísla nebo výrazy.
Příklad 7
Rozšiřme například závorky ve výrazu (3 − 7) 2. Podle pravidla můžeme provést následující transformace: (3 − 7) · 2 = (3 · 2 − 7 · 2) . Dostaneme 3 · 2 − 7 · 2 .
Otevřením závorek ve výrazu 3 x 2 1 - x + 1 x + 2 dostaneme 3 x 2 1 - 3 x 2 x + 3 x 2 1 x + 2.
Násobení závorky závorkou
Uvažujme součin dvou závorek tvaru (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) . To nám pomůže získat pravidlo pro otevírání závorek při provádění násobení závorkou po závorce.
Abychom daný příklad vyřešili, označíme výraz (b 1 + b 2) jako b. To nám umožní použít pravidlo pro násobení závorky výrazem. Dostaneme (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) = (a 1 + a 2) · b = (a 1 · b + a 2 · b) = a 1 · b + a 2 · b. Provedením zpětné výměny b o (b 1 + b 2), opět platí pravidlo násobení výrazu závorkou: a 1 b + a 2 b = = a 1 (b 1 + b 2) + a 2 (b 1 + b 2) = = (a 1 b 1 + a 1 b 2) + (a 2 b 1 + a 2 b 2) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + a 2 b 1 + a 2 b 2
Díky řadě jednoduchých technik můžeme dospět k součtu součinů každého z výrazů z první závorky a každého z výrazů z druhé závorky. Pravidlo lze rozšířit na libovolný počet výrazů v závorkách.
Zformulujme pravidla pro násobení závorek závorkami: pro násobení dvou součtů dohromady je třeba vynásobit každý člen prvního součtu každým členem druhého součtu a sečíst výsledky.
Vzorec bude vypadat takto:
(a 1 + a 2 + ... + a m) · (b 1 + b 2 + ... + b n) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + . . . + a 1 b n + + a 2 b 1 + a 2 b 2 +. . . + a 2 b n + + . . . + + a m b 1 + a m b 1 +. . . a m b n
Rozšiřme závorky ve výrazu (1 + x) · (x 2 + x + 6) Je součinem dvou součtů. Zapišme řešení: (1 + x) · (x 2 + x + 6) = = (1 · x 2 + 1 · x + 1 · 6 + x · x 2 + x · x + x · 6) = = 1 · x 2 + 1 x + 1 6 + x x 2 + x x + x 6
Samostatně stojí za zmínku případy, kdy je v závorce spolu se znaménkem plus znaménko mínus. Vezměme například výraz (1 − x) · (3 · x · y − 2 · x · y 3) .
Nejprve uveďme výrazy v závorkách jako součty: (1 + (− x)) · (3 · x · y + (− 2 · x · y 3)). Nyní můžeme použít pravidlo: (1 + (− x)) · (3 · x · y + (− 2 · x · y 3)) = = (1 · 3 · x · y + 1 · (− 2 · x · y 3) + (− x) · 3 · x · y + (− x) · (− 2 · x · y 3))
Otevřeme závorky: 1 · 3 · x · y − 1 · 2 · x · y 3 − x · 3 · x · y + x · 2 · x · y 3 .
Rozšíření závorek v součinu více závorek a výrazů
Pokud výraz obsahuje tři nebo více výrazů v závorkách, musí být závorky otevřeny postupně. Transformaci musíte zahájit uvedením prvních dvou faktorů do závorek. V těchto závorkách můžeme provádět transformace podle výše uvedených pravidel. Například závorky ve výrazu (2 + 4) · 3 · (5 + 7 · 8) .
Výraz obsahuje tři faktory najednou (2 + 4) , 3 a (5 + 78). Postupně otevřeme závorky. Uzavřeme první dva faktory do další závorky, kterou pro názornost označíme červenou: (2 + 4) 3 (5 + 7 8) = ((2 + 4) 3) (5 + 7 8).
V souladu s pravidlem pro násobení závorky číslem můžeme provést následující akce: ((2 + 4) · 3) · (5 + 7 · 8) = (2 · 3 + 4 · 3) · ( 5 + 7 · 8) .
Vynásobte závorku závorkou: (2 3 + 4 3) (5 + 7 8) = 2 3 5 + 2 3 7 8 + 4 3 5 + 4 3 7 8 .
Naturální držák
Stupně, jejichž základem jsou některé výrazy psané v závorkách, s přirozenými exponenty lze považovat za součin několika závorek. Navíc podle pravidel z předchozích dvou odstavců je lze psát bez těchto závorek.
Zvažte proces transformace výrazu (a + b + c) 2. Lze jej zapsat jako součin dvou závorek (a + b + c) · (a + b + c). Vynásobme závorku závorkou a dostaneme a · a + a · b + a · c + b · a + b · b + b · c + c · a + c · b + c · c.
Podívejme se na další příklad:
Příklad 8
1 x + 2 3 = 1 x + 2 1 x + 2 1 x + 2 = = 1 x 1 x + 1 x 2 + 2 1 x + 2 2 1 x + 2 = = 1 x · 1 x · 1 x + 1 x · 2 · 1 x + 2 · 1 x · 1 x + 2 · 2 · 1 x + 1 x · 1 x · 2 + + 1 x 2 · 2 + 2 · 1 x · 2 + 2 2 2
Dělení závorky číslem a závorky závorkou
Dělení závorky číslem vyžaduje, aby všechny výrazy uzavřené v závorkách byly vyděleny číslem. Například (x 2 - x) : 4 = x 2: 4 - x: 4 .
Dělení lze nejprve nahradit násobením, poté můžete použít příslušné pravidlo pro otevírání závorek v produktu. Stejné pravidlo platí při dělení závorky závorkou.
Například potřebujeme otevřít závorky ve výrazu (x + 2) : 2 3 . Chcete-li to provést, nejprve nahraďte dělení vynásobením převráceným číslem (x + 2): 2 3 = (x + 2) · 2 3. Vynásobte závorku číslem (x + 2) · 2 3 = x · 2 3 + 2 · 2 3 .
Zde je další příklad dělení pomocí závorek:
Příklad 9
1 x + x + 1: (x + 2) .
Dělení nahradíme násobením: 1 x + x + 1 · 1 x + 2.
Udělejme násobení: 1 x + x + 1 · 1 x + 2 = 1 x · 1 x + 2 + x · 1 x + 2 + 1 · 1 x + 2 .
Pořadí otevírání závorek
Nyní zvažte pořadí použití výše uvedených pravidel ve výrazech obecný pohled, tj. ve výrazech, které obsahují součty s rozdíly, součiny s podíly, závorky v přirozeném stupni.
Postup:
- prvním krokem je zvednout závorky na přirozenou sílu;
- ve druhé fázi se provádí otevření závorek v dílech a podílech;
- Posledním krokem je otevření závorek v součtech a rozdílech.
Uvažujme pořadí akcí na příkladu výrazu (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) . Transformujme z výrazů 3 · (− 2) : (− 4) a 6 · (− 7) , které by měly mít tvar (3 2:4) a (- 6 · 7). Při dosazení získaných výsledků do původního výrazu získáme: (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) = (− 5) + (3 · 2: 4) − (− 6 · 7) . Otevřete závorky: − 5 + 3 · 2: 4 + 6 · 7.
Při práci s výrazy, které obsahují závorky v závorkách, je vhodné provádět transformace zevnitř ven.
Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter
A+(b + c) lze psát bez závorek: a+(b + c)=a + b + c. Tato operace se nazývá otevírání závorek.
Příklad 1 Otevřeme závorky ve výrazu a + (- b + c).
Řešení. a + (-b+c) = a + ((-b) + c)=a + (-b) + c = a-b + c.
Pokud je před závorkami znaménko „+“, můžete závorky a toto znaménko „+“ vynechat, přičemž znaménka výrazů v závorkách zachováte. Pokud je první výraz v závorce napsán bez znaménka, musí být napsán se znaménkem „+“.
Příklad 2 Najdeme hodnotu výrazu -2,87+ (2,87-7,639).
Řešení. Otevřením závorek dostaneme - 2,87 + (2,87 - 7,639) = - - 2,87 + 2,87 - 7,639 = 0 - 7,639 = - 7,639.
Chcete-li zjistit hodnotu výrazu - (- 9 + 5), musíte přidat čísla-9 a 5 a najděte číslo opačné k výslednému součtu: -(- 9 + 5)= -(- 4) = 4.
Stejnou hodnotu lze získat jiným způsobem: nejprve zapište čísla protilehlá těmto členům (tj. změňte jejich znaménka) a poté přidejte: 9 + (- 5) = 4. Tedy -(- 9 + 5) = 9 -5 = 4.
Chcete-li napsat součet opačný k součtu několika členů, musíte změnit znaménka těchto členů.
To znamená - (a + b) = - a - b.
Příklad 3 Najdeme hodnotu výrazu 16 - (10 -18 + 12).
Řešení. 16-(10 -18 + 12) = 16 + (-(10 -18 + 12)) = = 16 + (-10 +18-12) = 16-10 +18-12 = 12.
Chcete-li otevřít závorky, před kterými je znaménko „-“, musíte toto znaménko nahradit „+“, změnit znaménka všech výrazů v závorkách na opak a poté závorky otevřít.
Příklad 4. Najdeme hodnotu výrazu 9,36-(9,36 - 5,48).
Řešení. 9,36 - (9,36 - 5,48) = 9,36 + (- 9,36 + 5,48) = = 9,36 - 9,36 + 5,48 = 0 - f 5,48 = 5,48.
Rozšíření závorek a použití komutativních a asociativních vlastností přidání vám umožní zjednodušit výpočty.
Příklad 5. Najdeme hodnotu výrazu (-4-20)+(6+13)-(7-8)-5.
Řešení. Nejprve otevřeme závorky a pak najdeme zvlášť součet všech kladných a zvlášť součet všech záporných čísel a nakonec sečteme výsledky:
(- 4 - 20)+(6+ 13)-(7 - 8) - 5 = -4-20 + 6 + 13-7 + 8-5 = = (6 + 13 + 8)+(- 4 - 20 - 7 - 5)= 27-36=-9.
Příklad 6. Pojďme najít hodnotu výrazu
Řešení. Nejprve si představme každý člen jako součet jejich celých a zlomkových částí, pak otevřeme závorky, sečteme celá čísla a odděleně zlomkové díly a nakonec sečtěte výsledky:
Jak otevřete závorky, před kterými je znaménko „+“? Jak můžete najít význam výrazu? opak součtu několik čísel? Jak rozšířit závorky před znaménkem „-“?
1218. Otevřete závorky:
a) 3,4+ (2,6+ 8,3); c) m+(n-k);
b) 4,57+ (2,6 - 4,57); d) c+(-a + b).
1219. Najděte význam výrazu:
1220. Otevřete závorky:
a) 85+ (7,8+ 98); d) - (80-16) + 84; g) a-(b-k-n);
b) (4,7-17) + 7,5; e) -a+ (m-2,6); h) -(a-b + c);
c) 64-(90 + 100); e) c+(-a-b); i) (m-n)-(p-k).
1221. Otevřete závorky a najděte význam výrazu:
1222. Zjednodušte výraz:
1223. Pište množství dva výrazy a zjednodušte to:
a) - 4 - ma m + 6,4; d) a+bap-b
b) 1,1+a a -26-a; e) - m + n a -k - n;
c) a + 13 a -13 + b; e) m - n a n - m.
1224. Napište rozdíl dvou výrazů a zjednodušte jej:
1226. K vyřešení úlohy použijte rovnici:
a) Na jedné polici je 42 knih a na druhé 34. Několik knih bylo odstraněno z druhé police a z první police bylo odebráno tolik knih, kolik zbylo na druhé. Poté zbylo na první polici 12 knih. Kolik knih bylo odstraněno z druhé police?
b) Na prvním stupni je 42 žáků, na druhém o 3 žáků méně než na třetím. Kolik studentů je ve třetí třídě, pokud je v těchto třech ročnících 125 studentů?
1227. Najděte význam výrazu:
1228. Vypočítej ústně:
1229. Najít nejvyšší hodnotu výrazy:
1230. Zadejte 4 po sobě jdoucí celá čísla, pokud:
a) menší z nich je -12; c) menší z nich je n;
b) největší z nich je -18; d) větší z nich se rovná k.
