बलों की एक स्थानिक प्रणाली के लिए संतुलन समीकरण। समतल और बलों की स्थानिक प्रणालियों के लिए संतुलन समीकरण। परीक्षण प्रश्न और असाइनमेंट
वह।, एक मनमाना के संतुलन के लिए स्थानिक प्रणालीमनमाने ढंग से चुने गए तीन समन्वय अक्षों में से प्रत्येक पर इन सभी बलों के प्रक्षेपण के बीजगणितीय योग के शून्य के बराबर होने के लिए बल आवश्यक और पर्याप्त हैं और इनमें से प्रत्येक अक्ष के सापेक्ष उनके क्षणों के बीजगणितीय योग भी शून्य होने के लिए।
स्थितियाँ (1.33) कहलाती हैं विश्लेषणात्मक रूप में बलों की एक मनमानी स्थानिक प्रणाली की संतुलन की स्थिति.
समानांतर बलों की एक स्थानिक प्रणाली के लिए संतुलन की स्थिति।यदि किसी दिए गए बलों की प्रणाली के सभी बलों की कार्य रेखाएं अलग-अलग विमानों में स्थित हैं और एक दूसरे के समानांतर हैं, तो बलों की ऐसी प्रणाली कहलाती है समानांतर बलों की स्थानिक प्रणाली.
बलों की एक मनमानी स्थानिक प्रणाली की संतुलन स्थितियों (1.33) का उपयोग करके, कोई समानांतर बलों की स्थानिक प्रणाली की संतुलन स्थितियों का पता लगा सकता है। (संतुलन की स्थितियाँ जो हमने पहले समतल और अभिसरण बलों की स्थानिक प्रणालियों के लिए प्राप्त की थीं, मनमाने ढंग से समतल प्रणालीबलों और समानांतर बलों की एक समतल प्रणाली भी बलों की एक मनमानी स्थानिक प्रणाली की संतुलन स्थितियों (1.33) का उपयोग करके प्राप्त की जा सकती है)।
मान लीजिए कि समानांतर बलों की एक स्थानिक प्रणाली एक ठोस पिंड पर कार्य करती है (चित्र 1.26)। चूँकि निर्देशांक अक्षों का चुनाव मनमाना है, इसलिए समन्वय अक्षों का चयन करना संभव है ताकि अक्ष जेडताकतों के समानांतर था. समन्वय अक्षों के इस विकल्प के साथ, अक्ष पर प्रत्येक बल का प्रक्षेपण एक्सऔर परऔर अक्ष के बारे में उनके क्षण जेडशून्य के बराबर होगा, और इसलिए, समानताएं, और चाहे जो भी हो, संतुष्ट हैं यह प्रणालीबल संतुलन में हैं या नहीं, और इसलिए संतुलन की स्थितियाँ समाप्त हो जाती हैं। इसलिए, सिस्टम (1.33) केवल तीन संतुलन स्थितियाँ देगा:
इस तरह, समानांतर बलों की एक स्थानिक प्रणाली के संतुलन के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि इन बलों के समानांतर अक्ष पर सभी बलों के प्रक्षेपण का बीजगणितीय योग शून्य के बराबर हो और दोनों समन्वय में से प्रत्येक के सापेक्ष उनके क्षणों का बीजगणितीय योग हो इन बलों के लंबवत अक्ष भी शून्य के बराबर है.
1. उस निकाय (या बिंदु) का चयन करें जिसके संतुलन पर इस समस्या में विचार किया जाना चाहिए।
2. चयनित शरीर को बंधनों से मुक्त करें और इस शरीर पर (और केवल इस शरीर पर) कार्य करने वाले सभी सक्रिय बलों और छोड़े गए बंधनों की प्रतिक्रिया बलों को चित्रित (व्यवस्थित) करें।. कनेक्शन से मुक्त एक शरीर, जिसके साथ सक्रिय और प्रतिक्रिया बलों की एक प्रणाली जुड़ी हुई है, को अलग से चित्रित किया जाना चाहिए।
3. संतुलन समीकरण लिखें. संतुलन समीकरण बनाने के लिए, आपको पहले निर्देशांक अक्षों का चयन करना होगा। यह विकल्प मनमाने ढंग से किया जा सकता है, लेकिन परिणामी संतुलन समीकरण अधिक आसानी से हल हो जाएंगे यदि अक्षों में से एक को कुछ अज्ञात प्रतिक्रिया बल की कार्रवाई की रेखा के लंबवत निर्देशित किया जाता है। परिणामी संतुलन समीकरणों का समाधान, एक नियम के रूप में, अंत तक किया जाना चाहिए सामान्य रूप से देखें(बीजगणितीय रूप से)। फिर, आवश्यक मात्राओं के लिए, सूत्र प्राप्त किए जाएंगे जो पाए गए परिणामों का विश्लेषण करने की अनुमति देंगे; पाई गई मात्राओं के संख्यात्मक मान केवल अंतिम सूत्रों में प्रतिस्थापित किए जाते हैं। संतुलन समीकरण संकलित किए गए हैं विश्लेषणात्मक विधिअभिसरण बलों की प्रणाली के संतुलन पर समस्याओं को हल करना। हालाँकि, यदि अभिसरण बलों की संख्या जिनका संतुलन माना जाता है तीन है, तो इन समस्याओं को हल करने के लिए ज्यामितीय विधि को लागू करना सुविधाजनक है। इस मामले में समाधान इस तथ्य पर आता है कि सभी अभिनय बलों (सक्रिय और प्रतिक्रिया बांड) के संतुलन समीकरणों के बजाय, एक बल त्रिकोण का निर्माण किया जाता है, जिसे संतुलन की ज्यामितीय स्थिति के आधार पर बंद किया जाना चाहिए (का निर्माण) यह त्रिभुज एक दिए गए बल से शुरू होना चाहिए)। बल त्रिभुज को हल करके हम आवश्यक मात्राएँ ज्ञात करते हैं।
गतिकी
गतिशीलता अनुभाग को समझने के लिए, आपको निम्नलिखित जानकारी जानना आवश्यक है। गणित से - दो सदिशों का अदिश गुणनफल, अवकल समीकरण। भौतिकी से - ऊर्जा और संवेग के संरक्षण के नियम। दोलन सिद्धांत. इन विषयों की समीक्षा करने की अनुशंसा की जाती है.
बलों की किसी भी प्रणाली के संतुलन के लिए आवश्यक और पर्याप्त स्थितियाँ समानता द्वारा व्यक्त की जाती हैं (§ 13 देखें)। लेकिन वैक्टर आर और केवल तभी समान होते हैं, जब सूत्र (49) और (50) के अनुसार अभिनय बल शर्तों को पूरा करते हैं:
इस प्रकार, बलों की एक मनमानी स्थानिक प्रणाली के संतुलन के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि तीन समन्वय अक्षों में से प्रत्येक पर सभी बलों के प्रक्षेपण का योग और इन अक्षों के सापेक्ष उनके क्षणों का योग शून्य के बराबर हो।
समानताएं (51) एक साथ बलों की किसी भी स्थानिक प्रणाली के प्रभाव में एक कठोर शरीर की संतुलन स्थितियों को व्यक्त करती हैं।
यदि, बलों के अलावा, एक जोड़ा भी शरीर पर कार्य कर रहा है, जो उसके क्षण द्वारा निर्दिष्ट है, तो पहले तीन स्थितियों (51) का रूप नहीं बदलेगा (जोड़े की ताकतों के अनुमानों का योग) किसी भी अक्ष पर शून्य के बराबर है), और अंतिम तीन स्थितियाँ इस प्रकार होंगी:
समानांतर बलों का मामला. ऐसे मामले में जब शरीर पर कार्य करने वाली सभी शक्तियां एक-दूसरे के समानांतर होती हैं, तो आप समन्वय अक्षों को चुन सकते हैं ताकि अक्ष बलों के समानांतर हो (चित्र 96)। तब अक्ष पर प्रत्येक बल का प्रक्षेपण और z अक्ष के सापेक्ष उनके क्षण शून्य के बराबर होंगे और सिस्टम (51) तीन संतुलन स्थितियां देगा:
शेष समानताएँ फिर रूप की पहचान में बदल जाएंगी
नतीजतन, समानांतर बलों की एक स्थानिक प्रणाली के संतुलन के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि बलों के समानांतर अक्ष पर सभी बलों के प्रक्षेपण का योग और अन्य दो समन्वय अक्षों के सापेक्ष उनके क्षणों का योग बराबर हो शून्य।
समस्या को सुलझाना। यहां समस्याओं को हल करने की प्रक्रिया वही रहती है जो किसी समतल प्रणाली के मामले में होती है। किस पिंड (वस्तु) पर विचार किया जा रहा है, इसका संतुलन स्थापित करने के बाद, उस पर कार्य करने वाली सभी बाहरी ताकतों (दिए गए और प्रतिक्रिया कनेक्शन दोनों) को चित्रित करना और इन ताकतों के संतुलन के लिए स्थितियां तैयार करना आवश्यक है। परिणामी समीकरणों से आवश्यक मात्राएँ निर्धारित की जाती हैं।
और अधिक पाने के लिए सरल प्रणालियाँसमीकरणों में, अक्षों को खींचने की अनुशंसा की जाती है ताकि वे अधिक अज्ञात बलों को प्रतिच्छेद करें या उनके लंबवत हों (जब तक कि यह अन्य बलों के अनुमानों और क्षणों की गणना को अनावश्यक रूप से जटिल न कर दे)।
समीकरण बनाने में एक नया तत्व समन्वय अक्षों के बारे में बलों के क्षणों की गणना है।
ऐसे मामलों में जहां से सामान्य ड्राइंगयह देखना मुश्किल है कि किसी अक्ष के सापेक्ष किसी दिए गए बल का क्षण क्या है; इस अक्ष के लंबवत विमान पर प्रश्न में शरीर के प्रक्षेपण (बल के साथ) को चित्रित करने की सिफारिश की जाती है।
ऐसे मामलों में, जहां क्षण की गणना करते समय, संबंधित विमान या इस प्रक्षेपण की भुजा पर बल के प्रक्षेपण को निर्धारित करने में कठिनाइयां उत्पन्न होती हैं, बल को दो परस्पर लंबवत घटकों में विघटित करने की सिफारिश की जाती है (जिनमें से एक किसी के समानांतर है) समन्वय अक्ष), और फिर वैरिग्नॉन के प्रमेय का उपयोग करें (समस्या 36 देखें)। इसके अलावा, आप सूत्रों (47) का उपयोग करके विश्लेषणात्मक रूप से क्षणों की गणना कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, समस्या 37 में।
समस्या 39. a और b भुजाओं वाली एक आयताकार प्लेट पर एक भार है। भार के साथ स्लैब के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र निर्देशांक के साथ बिंदु D पर स्थित है (चित्र 97)। श्रमिकों में से एक ने स्लैब को कोने ए पर पकड़ रखा है। बी और ई को किस बिंदु पर दो अन्य श्रमिकों को स्लैब का समर्थन करना चाहिए ताकि स्लैब को पकड़ने वालों में से प्रत्येक द्वारा लगाए गए बल बराबर हों।
समाधान। हम एक प्लेट के संतुलन पर विचार करते हैं, जो चार समानांतर बलों की कार्रवाई के तहत संतुलन में एक स्वतंत्र शरीर है जहां पी गुरुत्वाकर्षण बल है। हम इन बलों के लिए संतुलन की स्थिति (53) बनाते हैं, प्लेट को क्षैतिज मानते हुए और अक्षों को खींचते हैं जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। 97. हमें मिलता है:
समस्या की शर्तों के अनुसार, अंतिम समीकरण से P के इस मान को पहले दो समीकरणों में प्रतिस्थापित करना चाहिए, हम अंततः पाएंगे
समाधान तब संभव है जब और कब होगा जब बिंदु D प्लेट के केंद्र में होगा,
समस्या 40. बीयरिंग ए और बी (चित्र 98) में पड़े एक क्षैतिज शाफ्ट पर, सेमी त्रिज्या की एक चरखी और त्रिज्या का एक ड्रम शाफ्ट अक्ष के लंबवत लगाए जाते हैं। शाफ्ट को चरखी के चारों ओर लपेटे गए बेल्ट द्वारा घुमाया जाता है; उसी समय, रस्सी से बंधा हुआ भार, जो ड्रम पर लपेटा जाता है, समान रूप से उठाया जाता है। शाफ्ट, ड्रम और पुली के वजन की उपेक्षा करते हुए, बीयरिंग ए और बी की प्रतिक्रियाओं और बेल्ट की ड्राइविंग शाखा के तनाव को निर्धारित करें, यदि यह ज्ञात हो कि यह संचालित शाखा के तनाव से दोगुना है। दिया गया: सेमी, सेमी,
समाधान। विचाराधीन समस्या में, शाफ्ट के एकसमान घुमाव के साथ, उस पर कार्य करने वाले बल संतुलन की स्थिति (51) को संतुष्ट करते हैं (यह § 136 में सिद्ध होगा)। आइए समन्वय अक्ष बनाएं (चित्र 98) और शाफ्ट पर कार्य करने वाले बलों को चित्रित करें: रस्सी का तनाव एफ, पी के बराबर मॉड्यूलो, बेल्ट तनाव और असर प्रतिक्रियाओं के घटक।
संतुलन की स्थिति (51) को संकलित करने के लिए, हम पहले समन्वय अक्षों पर सभी बलों के प्रक्षेपण के मूल्यों और इन अक्षों के सापेक्ष उनके क्षणों की गणना करते हैं और तालिका में दर्ज करते हैं।
अब हम संतुलन की स्थितियाँ बनाते हैं (51); चूँकि हमें मिलता है:
समीकरण (III) और (IV) से हम इसे ध्यान में रखते हुए तुरंत पाते हैं
पाए गए मानों को शेष समीकरणों में प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं;
और अंत में
समस्या 41. भार के साथ एक आयताकार आवरण, ऊर्ध्वाधर के साथ एक कोण बनाते हुए, क्षैतिज अक्ष AB पर बिंदु B पर एक बेलनाकार बीयरिंग द्वारा और बिंदु A पर एक स्टॉप के साथ एक बीयरिंग द्वारा तय किया गया है (चित्र 99)। ढक्कन को रस्सी DE द्वारा संतुलन में रखा जाता है और अंत में एक वजन (AB के समानांतर रेखा KO) के साथ ब्लॉक O पर फेंकी गई रस्सी द्वारा वापस खींचा जाता है। दिया गया है: रस्सी DE का तनाव और बेयरिंग A और B की प्रतिक्रियाएँ निर्धारित करें।
समाधान। ढक्कन के संतुलन पर विचार करें. आइए बिंदु B से प्रारंभ करते हुए, निर्देशांक अक्ष बनाएं (इस मामले में, बल T अक्षों को प्रतिच्छेद करेगा, जो क्षण समीकरणों के रूप को सरल बना देगा)।
फिर हम कवर पर कार्य करने वाले सभी दिए गए बलों और प्रतिक्रिया प्रतिक्रियाओं को दर्शाते हैं: कवर के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र C पर लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल P, Q के परिमाण के बराबर बल Q, रस्सी की प्रतिक्रिया T और प्रतिक्रिया बीयरिंग ए और बी (चित्र 99; वेक्टर एम के को बिंदीदार रेखा में दिखाया गया है जो इस कार्य के लिए प्रासंगिक नहीं है)। संतुलन की स्थिति तैयार करने के लिए, हम एक कोण का परिचय देते हैं और कुछ बलों के क्षणों की गणना को दर्शाते हैं जो सहायक चित्र में बताया गया है। 100, ए, बी.
चित्र में. 100, और दृश्य को अक्ष के सकारात्मक छोर से विमान पर प्रक्षेपण में दिखाया गया है
यह चित्र अक्ष के सापेक्ष बलों पी और टी के क्षणों की गणना करने में मदद करता है। यह देखा जा सकता है कि विमान (विमान लंबवत) पर इन बलों के प्रक्षेपण स्वयं बलों के बराबर हैं, और बल पी की भुजा के सापेक्ष हैं। बिंदु बी बराबर है; इस बिंदु के सापेक्ष कंधे पर बल T के बराबर है
चित्र में. 100, बी, वाई-अक्ष के सकारात्मक छोर से एक विमान पर प्रक्षेपण में एक दृश्य दिखाता है।
यह चित्र (चित्र 100, ए के साथ) y-अक्ष के सापेक्ष P और बलों के क्षणों की गणना करने में मदद करता है। यह दर्शाता है कि समतल पर इन बलों का प्रक्षेपण स्वयं बलों के बराबर है, और बिंदु B के सापेक्ष बल P की भुजा, इस बिंदु के सापेक्ष बल Q की भुजा के बराबर है या, जैसा कि हो सकता है चित्र से देखा गया 100, ए.
दिए गए स्पष्टीकरणों को ध्यान में रखते हुए संतुलन स्थितियों (51) को संकलित करते हुए और एक ही समय में हमें यह मानते हुए प्राप्त होता है:
(मैं)
समीकरण (I), (IV), (V), (VI) से हम जो पाते हैं उस पर विचार करते हुए:
इन मानों को समीकरण (II) और (III) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
अंत में,
समस्या 42. उस स्थिति के लिए समस्या 41 को हल करें जब ढक्कन पर अतिरिक्त रूप से उसके तल में स्थित एक जोड़ी द्वारा विपरीत दिशा में जोड़ी के घूर्णन के क्षण के साथ कार्य किया जाता है (जब ऊपर से ढक्कन को देखते हैं)।
समाधान। ढक्कन पर कार्य करने वाली शक्तियों के अलावा (चित्र 99 देखें), हम जोड़ी के क्षण एम को ढक्कन के लंबवत वेक्टर के रूप में चित्रित करते हैं और किसी भी बिंदु पर लागू करते हैं, उदाहरण के लिए बिंदु ए पर। इसके प्रक्षेपण पर समायोजन ध्रुव: । फिर, संतुलन की स्थिति (52) की रचना करते हुए, हम पाते हैं कि समीकरण (I) - (IV) पिछली समस्या के समान ही रहेंगे, और अंतिम दो समीकरणों का रूप इस प्रकार है:
ध्यान दें कि समान परिणाम फॉर्म (52) में समीकरण बनाए बिना प्राप्त किया जा सकता है, लेकिन जोड़ी को निर्देशित दो बलों के रूप में चित्रित करके, उदाहरण के लिए, रेखाओं एबी और केओ के साथ (इस मामले में, बलों का मापांक होगा) बराबर), और फिर सामान्य संतुलन स्थितियों का उपयोग करना।
समीकरणों (I) - (IV), (V), (VI) को हल करने पर, हम समस्या 41 में प्राप्त परिणामों के समान पाएंगे, केवल अंतर के साथ कि सभी सूत्र शामिल होंगे। अंततः हमें मिलता है:
समस्या 43. क्षैतिज छड़ AB एक गोलाकार काज A द्वारा दीवार से जुड़ी हुई है और ब्रेसिज़ KE और CD द्वारा दीवार के लंबवत स्थिति में रखी गई है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। 101, ए. छड़ के सिरे B से एक भार सहित लटकाया गया है। यदि छड़ के वजन की उपेक्षा की जाती है तो काज ए की प्रतिक्रिया और पुरुष तारों के तनाव का निर्धारण करें।
समाधान। आइए छड़ के संतुलन पर विचार करें। इस पर बल P और प्रतिक्रियाएँ लागू होती हैं। आइए हम समन्वय अक्ष बनाएँ और संतुलन की स्थितियाँ बनाएँ (51)। प्रक्षेपणों और बल के क्षणों को खोजने के लिए, आइए इसे घटकों में विघटित करें। फिर, वेरिग्नन के प्रमेय द्वारा, तब से
अक्ष के सापेक्ष बलों के क्षणों की गणना को एक सहायक चित्र (चित्र 101, बी) द्वारा समझाया गया है, जो एक विमान पर प्रक्षेपण में एक दृश्य दिखाता है
20. बलों की स्थानिक प्रणाली के संतुलन के लिए शर्त:
21. 3 गैर-समानांतर बलों के बारे में प्रमेय:एक ही तल में स्थित तीन गैर-समानान्तर परस्पर संतुलनकारी बलों की कार्य रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।
22. स्थिर रूप से निश्चित समस्याएँ- ये ऐसी समस्याएं हैं जिन्हें कठोर बॉडी स्टैटिक्स विधियों का उपयोग करके हल किया जा सकता है, अर्थात। ऐसी समस्याएँ जिनमें अज्ञात की संख्या बल संतुलन समीकरणों की संख्या से अधिक नहीं होती है।
स्थैतिक रूप से अनिश्चित प्रणालियाँ वे प्रणालियाँ हैं जिनमें अज्ञात मात्राओं की संख्या किसी दिए गए बलों की प्रणाली के लिए स्वतंत्र संतुलन समीकरणों की संख्या से अधिक है
23. समांतर बलों की समतल प्रणाली के लिए संतुलन समीकरण:
AB, F i के समानांतर नहीं है
24. शंकु और घर्षण कोण:सक्रिय बलों की सीमित स्थिति जिसके प्रभाव में समानता हो सकती है, का वर्णन करता है घर्षण शंकुकोण (φ) के साथ।
यदि सक्रिय बल इस शंकु के बाहर से गुजरता है, तो संतुलन असंभव है।
कोण φ को घर्षण कोण कहा जाता है।
25. घर्षण गुणांक के आयाम को इंगित करें:स्थैतिक घर्षण और फिसलने वाले घर्षण के गुणांक आयामहीन मात्राएँ हैं, रोलिंग घर्षण और घूमने वाले घर्षण के गुणांक की लंबाई (मिमी, सेमी, मी) का आयाम है।
26. फ्लैट सांख्यिकीय रूप से निर्धारित ट्रस की गणना करते समय बनाई गई बुनियादी धारणाएँ:-ट्रस छड़ों को भारहीन माना जाता है; - हिंगेड ट्रस नोड्स में छड़ों का बन्धन; -बाहरी भारकेवल ट्रस नोड्स पर लागू किया गया; - रॉड कनेक्शन के अंतर्गत आती है।
27. स्थैतिक रूप से निर्धारित ट्रस की छड़ों और नोड्स के बीच क्या संबंध है?
S=2n-3 - सरल सांख्यिकीय रूप से परिभाषित ट्रस, S-छड़ की संख्या, n-नोड्स की संख्या,
यदि एस<2n-3 –не жесткая ферма, равновесие возможно, если внешние силы будут одинаково соотноситься
S>2n-3 - स्थिर रूप से अनिश्चित ट्रस, अतिरिक्त कनेक्शन है, + विरूपण की गणना
28. एक स्थिर रूप से निर्धारित ट्रस को इस शर्त को पूरा करना होगा: S=2n-3; S छड़ों की संख्या है, n नोड्स की संख्या है।
29. गाँठ काटने की विधि:इस विधि में ट्रस के नोड्स को मानसिक रूप से काटना, उन पर संबंधित बाहरी बलों और छड़ों की प्रतिक्रियाओं को लागू करना और प्रत्येक नोड पर लागू बलों के लिए संतुलन समीकरण बनाना शामिल है। परंपरागत रूप से यह माना जाता है कि सभी छड़ें फैली हुई हैं (छड़ की प्रतिक्रियाएं नोड्स से दूर निर्देशित होती हैं)।
30. रिटर विधि:हम एक सेकेंड प्लेन बनाते हैं जो ट्रस को 2 भागों में काटता है। अनुभाग को ट्रस के बाहर शुरू और समाप्त होना चाहिए। आप किसी भी भाग को संतुलन की वस्तु के रूप में चुन सकते हैं। अनुभाग छड़ों के साथ गुजरता है, नोड्स के माध्यम से नहीं। संतुलन की वस्तु पर लागू बल बलों की एक मनमानी प्रणाली बनाते हैं, जिसके लिए 3 संतुलन समीकरण तैयार किए जा सकते हैं। इसलिए, हम अनुभाग को पूरा करते हैं ताकि इसमें 3 से अधिक छड़ें शामिल न हों, जिनमें बल अज्ञात हैं।
रिटर विधि की एक विशेषता समीकरण के रूप का इस प्रकार चयन करना है कि प्रत्येक संतुलन समीकरण में एक अज्ञात मात्रा शामिल हो। ऐसा करने के लिए, हम दो अज्ञात बलों की कार्रवाई की रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के रूप में रिटर बिंदुओं की स्थिति निर्धारित करते हैं और क्षणों के समीकरण लिखते हैं। ये बिंदु.
यदि रिटर बिंदु अनंत पर स्थित है, तो एक संतुलन समीकरण के रूप में हम इन छड़ों के लंबवत अक्ष पर प्रक्षेपण के समीकरण बनाते हैं।
31. रिटर प्वाइंट-दो अज्ञात बलों की कार्य रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु। यदि रिटर बिंदु अनंत पर स्थित है, तो एक संतुलन समीकरण के रूप में हम इन छड़ों के लंबवत अक्ष पर प्रक्षेपण के समीकरण बनाते हैं।
32. गुरुत्वाकर्षण का केंद्र बड़ा आंकड़ा:
33. समतल आकृति का गुरुत्व केन्द्र:
34. छड़ संरचना का गुरुत्वाकर्षण केंद्र:
35. चाप का गुरुत्वाकर्षण केंद्र:
36. एक गोलाकार क्षेत्र का गुरुत्वाकर्षण केंद्र:
37. शंकु का गुरुत्व केन्द्र:
38. गोलार्ध का गुरुत्वाकर्षण केंद्र:
39. ऋणात्मक मानों की विधि:यदि किसी ठोस में गुहाएँ हैं, अर्थात्। जिन गुहाओं से उनका द्रव्यमान निकाल लिया गया है, तो हम मानसिक रूप से इन गुहाओं को एक ठोस पिंड में भर देते हैं, और गुहाओं के वजन, आयतन, क्षेत्रफल को "-" चिन्ह से लेकर आकृति के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र को निर्धारित करते हैं।
40. पहला अपरिवर्तनीय:बल प्रणाली के प्रथम अपरिवर्तनीय को बल प्रणाली का मुख्य वेक्टर कहा जाता है। बल प्रणाली का मुख्य वेक्टर कमी के केंद्र R=∑ F i पर निर्भर नहीं करता है
41. दूसरा अपरिवर्तनीय:द्वारा प्रमुख वेक्टर का डॉट उत्पाद मुख्य मुद्दाकिसी भी कमी केंद्र के लिए बलों की प्रणाली एक स्थिर मान है। 
42. किस मामले में बलों की एक प्रणाली को पावर स्क्रू से संचालित किया जाता है?इस घटना में कि बल प्रणाली का मुख्य वेक्टर और कमी के केंद्र के सापेक्ष इसका मुख्य क्षण शून्य के बराबर नहीं है और एक दूसरे के लंबवत नहीं हैं, दिया गया है। बलों की प्रणाली को शक्ति पेंच तक कम किया जा सकता है।
43. केंद्रीय पेचदार अक्ष का समीकरण:
44.
एम एक्स - वाईआर जेड + जेडआर वाई = पीआर एक्स,
एम वाई - जेडआर एक्स + एक्सआर जेड = पीआर वाई ,
एम जेड - एक्सआर वाई + वाईआर एक्स = पीआर जेड
45. सदिश के रूप में कुछ बलों का क्षण-यह वेक्टर युग्म की क्रिया के तल के लंबवत है और उस दिशा में निर्देशित है जहां से युग्म का घूर्णन वामावर्त दिखाई देता है। मापांक में, सदिश क्षण जोड़ी के किसी एक बल और जोड़ी के कंधे के उत्पाद के बराबर होता है। घटनाओं की एक जोड़ी का वेक्टर क्षण। एक मुक्त वेक्टर और इसे कठोर पिंड के किसी भी बिंदु पर लागू किया जा सकता है।
46. बंधनों से मुक्ति का सिद्धांत:यदि बांड को त्याग दिया जाता है, तो उन्हें बांड से प्रतिक्रिया बलों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए।
47. रस्सी बहुभुज-यह ग्राफोस्टैटिक्स का एक निर्माण है, जिसका उपयोग समर्थन की प्रतिक्रियाओं को खोजने के लिए बलों के परिणामी विमान प्रणाली की कार्रवाई की रेखा निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है।
48. रस्सी और शक्ति बहुभुज के बीच क्या संबंध है:बल बहुभुज में ग्राफिक रूप से अज्ञात बलों को खोजने के लिए हम एक अतिरिक्त बिंदु O (ध्रुव) का उपयोग करते हैं, रस्सी बहुभुज में हम परिणामी पाते हैं, जिसे बल बहुभुज में ले जाकर हम अज्ञात बल पाते हैं
49. बलों के जोड़े की प्रणालियों के संतुलन के लिए शर्त:किसी ठोस पिंड पर कार्य करने वाले बलों के युग्मों के संतुलन के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि बलों के तुल्य युग्मों का क्षण शून्य के बराबर हो। परिणाम: बलों की एक जोड़ी को संतुलित करने के लिए, एक संतुलन जोड़ी को लागू करना आवश्यक है, अर्थात। बलों की एक जोड़ी को समान मापांक और विपरीत दिशा वाले क्षणों के साथ बलों की एक और जोड़ी द्वारा संतुलित किया जा सकता है।
गतिकी
1. किसी बिंदु की गति निर्दिष्ट करने की सभी विधियाँ:
प्राकृतिक तरीका
कोआर्डिनेट
त्रिज्या सदिश.
2. किसी बिंदु की गति को निर्दिष्ट करने की समन्वय विधि का उपयोग करके उसकी गति के प्रक्षेप पथ का समीकरण कैसे ज्ञात करें?निर्दिष्ट करने की समन्वय विधि का उपयोग करके किसी भौतिक बिंदु की गति के लिए प्रक्षेपवक्र समीकरण प्राप्त करने के लिए, गति के नियमों से पैरामीटर टी को बाहर करना आवश्यक है।
3. निर्देशांक पर एक बिंदु का त्वरण। गति निर्दिष्ट करने की विधि:
X के ऊपर 2 बिंदु
y के ऊपर 2 बिंदु
4. गति निर्दिष्ट करने की वेक्टर विधि का उपयोग करके एक बिंदु का त्वरण:
5. पर एक बिंदु का त्वरण प्राकृतिक तरीकाआंदोलन कार्य:
=
=
*
+v*
; ए=
+
;
*
; वी*
.
6. सामान्य त्वरण किसके बराबर होता है और इसे कैसे निर्देशित किया जाता है?- केंद्र की ओर रेडियल रूप से निर्देशित,
बलों की एक मनमाना स्थानिक प्रणाली, जैसे कि एक सपाट प्रणाली, को किसी केंद्र में लाया जा सकता है के बारे मेंऔर एक परिणामी बल और एक जोड़े को एक क्षण के साथ बदलें। इस तरह से तर्क करना कि बलों की इस प्रणाली के संतुलन के लिए एक ही समय में यह आवश्यक और पर्याप्त है आर= 0 और एमओ = 0. लेकिन सदिश और तभी गायब हो सकते हैं जब निर्देशांक अक्षों पर उनके सभी प्रक्षेपण शून्य के बराबर हों, यानी जब आरएक्स = आरआप= आर z = 0 और एमएक्स = एमआप= एम z = 0 या, जब कार्यशील बल शर्तों को पूरा करते हैं
Σ एक्स मैं = 0; Σ एम एक्स(पी मैं) = 0;
Σ यी = 0; Σ मेरा(पी मैं) = 0;
Σ जेड मैं = 0; Σ एम ज़ेड(पी मैं) = 0.
इस प्रकार, बलों की एक स्थानिक प्रणाली के संतुलन के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि सिस्टम के सभी बलों के प्रत्येक समन्वय अक्ष पर प्रक्षेपण का योग, साथ ही सिस्टम के सभी बलों के क्षणों का योग इनमें से प्रत्येक अक्ष के सापेक्ष, शून्य के बराबर है।
अभिसरण या समानांतर बलों की प्रणाली के विशेष मामलों में, ये समीकरण रैखिक रूप से निर्भर होंगे, और छह समीकरणों में से केवल तीन रैखिक रूप से स्वतंत्र होंगे।
उदाहरण के लिए, अक्ष के समानांतर बलों की एक प्रणाली के लिए संतुलन समीकरण आउंस, फॉर्म है:
Σ जेड मैं = 0;
Σ एम एक्स(पी मैं) = 0;
Σ मेरा(पी मैं) = 0.
बलों की स्थानिक प्रणाली के प्रभाव में शरीर के संतुलन पर समस्याएँ।
इस खंड में समस्याओं को हल करने का सिद्धांत बलों की समतल प्रणाली के समान ही है। किस शरीर पर विचार किया जाएगा इसका संतुलन स्थापित करने के बाद, वे शरीर पर लगाए गए कनेक्शनों को अपनी प्रतिक्रियाओं से बदल देते हैं और इस शरीर को मुक्त मानते हुए उसके संतुलन के लिए शर्तें तैयार करते हैं। परिणामी समीकरणों से आवश्यक मात्राएँ निर्धारित की जाती हैं।
समीकरणों की सरल प्रणाली प्राप्त करने के लिए, अक्षों को खींचने की सिफारिश की जाती है ताकि वे अधिक अज्ञात बलों को प्रतिच्छेद करें या उनके लंबवत हों (जब तक कि यह अन्य बलों के अनुमानों और क्षणों की गणना को अनावश्यक रूप से जटिल न कर दे)।
समीकरण बनाने में एक नया तत्व समन्वय अक्षों के बारे में बलों के क्षणों की गणना है।
ऐसे मामलों में जहां सामान्य ड्राइंग से यह देखना मुश्किल है कि किसी अक्ष के सापेक्ष दिए गए बल का क्षण क्या है, एक विमान पर प्रश्न में शरीर के प्रक्षेपण (बल के साथ) को सहायक ड्राइंग में चित्रित करने की सिफारिश की जाती है। इस अक्ष के लंबवत.
ऐसे मामलों में, जहां क्षण की गणना करते समय, संबंधित विमान या इस प्रक्षेपण की भुजा पर बल के प्रक्षेपण को निर्धारित करने में कठिनाइयां उत्पन्न होती हैं, बल को दो परस्पर लंबवत घटकों में विघटित करने की सिफारिश की जाती है (जिनमें से एक कुछ समन्वय के समानांतर है) अक्ष), और फिर वेरिग्नॉन के प्रमेय का उपयोग करें।
उदाहरण 5.चौखटा अब(चित्र 45) को एक काज द्वारा संतुलन में रखा जाता है एऔर छड़ी सूरज. फ्रेम के किनारे पर एक भार तौला जा रहा है आर. आइए हम काज और छड़ में बल की प्रतिक्रियाओं का निर्धारण करें।
चित्र.45
हम भार के साथ-साथ फ्रेम के संतुलन पर भी विचार करते हैं।
हम एक गणना आरेख बनाते हैं, जिसमें फ्रेम को एक मुक्त शरीर के रूप में दर्शाया जाता है और उस पर कार्य करने वाली सभी ताकतों को दिखाया जाता है: कनेक्शन की प्रतिक्रिया और भार का भार आर. ये बल समतल पर मनमाने ढंग से स्थित बलों की एक प्रणाली बनाते हैं।
ऐसे समीकरण बनाने की सलाह दी जाती है कि प्रत्येक में एक अज्ञात बल हो।
हमारी समस्या में यही बात है ए, जहां अज्ञात और जुड़े हुए हैं; डॉट साथ, जहां अज्ञात ताकतों की कार्रवाई की रेखाएं और प्रतिच्छेद होती हैं; डॉट डी– बलों की कार्रवाई की रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु और। आइए अक्ष पर बलों के प्रक्षेपण के लिए एक समीकरण बनाएं पर(प्रति अक्ष एक्सइसे डिज़ाइन करना असंभव है, क्योंकि यह रेखा के लंबवत है एसी).
और, समीकरण बनाने से पहले, आइए एक और उपयोगी टिप्पणी करें। यदि डिज़ाइन आरेख में कोई बल इस तरह स्थित है कि उसकी भुजा का पता लगाना आसान नहीं है, तो क्षण का निर्धारण करते समय, पहले इस बल के वेक्टर को दो, अधिक सुविधाजनक रूप से निर्देशित वाले में विघटित करने की अनुशंसा की जाती है। इस समस्या में हम बल को दो भागों में विघटित करेंगे: और (चित्र 37) जैसे कि उनके मॉड्यूल
आइये समीकरण बनाते हैं:
दूसरे समीकरण से हम पाते हैं
तीसरे से
और पहले से
तो ये कैसे हुआ एस<0, то стержень सूरजसंपीड़ित किया जाएगा.
उदाहरण 6.आयताकार शेल्फ वजन आरदो छड़ों द्वारा क्षैतिज रूप से रखा गया सेऔर सीडी, एक बिंदु पर दीवार से जुड़ा हुआ इ. समान लंबाई की छड़ें, AB=2 ए,ईओ= ए. आइए हम छड़ों में लगने वाले बलों और लूपों की प्रतिक्रियाओं का निर्धारण करें एऔर में.
चित्र.46
प्लेट के संतुलन पर विचार करें. हम एक डिज़ाइन आरेख बनाते हैं (चित्र 46)। लूप प्रतिक्रियाएं आमतौर पर लूप अक्ष के लंबवत दो बलों द्वारा दिखाई जाती हैं:।
बल अंतरिक्ष में मनमाने ढंग से स्थित बलों की एक प्रणाली बनाते हैं। हम 6 समीकरण बना सकते हैं. छह अज्ञात लोग भी हैं.
आपको यह सोचने की ज़रूरत है कि कौन से समीकरण बनाने हैं। यह वांछनीय है कि वे सरल हों और उनमें कम अज्ञात हों।
आइए निम्नलिखित समीकरण बनाएं:
समीकरण (1) से हम पाते हैं: एस 1 =एस 2। फिर (4) से: .
(3) से: Y A =Y B और, (5) के अनुसार। इसका मतलब समीकरण (6) से है, क्योंकि S 1 =S 2, Z A =Z B का अनुसरण करता है। फिर (2) के अनुसार Z A =Z B =P/4.
त्रिभुज से जहाँ, यह अनुसरण करता है 
, 
इसीलिए 
वाई ए =वाई बी =0.25पी, जेड ए =जेड बी 0.25पी।
समाधान की जांच करने के लिए, आप एक और समीकरण बना सकते हैं और देख सकते हैं कि क्या यह पाए गए प्रतिक्रिया मूल्यों से संतुष्ट है:
समस्या का समाधान सही ढंग से किया गया.
स्व-परीक्षण प्रश्न
किस संरचना को ट्रस कहा जाता है?
फार्म के मुख्य घटकों के नाम बताइये।
किस ट्रस रॉड को शून्य कहा जाता है?
वे सूत्र बताएं जो ट्रस के शून्य बार का निर्धारण करते हैं।
गांठें काटने की विधि का सार क्या है?
किन विचारों के आधार पर, गणना के बिना, कोई स्थानिक ट्रस की छड़ें निर्धारित कर सकता है, जिसमें किसी दिए गए भार पर बल शून्य के बराबर होते हैं?
रिटर विधि का सार क्या है?
सामान्य सतह प्रतिक्रिया और सामान्य दबाव बल के बीच क्या संबंध है?
घर्षण बल क्या है?
अमोंटोन-कूलम्ब नियम लिखिए।
घर्षण का मूल नियम बनाइये। घर्षण का गुणांक, घर्षण का कोण क्या है और उनका मान किस पर निर्भर करता है?
बीम संतुलन में है, एक चिकनी ऊर्ध्वाधर दीवार और एक खुरदरे क्षैतिज फर्श पर टिकी हुई है; किरण का गुरुत्व केंद्र इसके मध्य में होता है। क्या समग्र सेक्स प्रतिक्रिया की दिशा निर्धारित करना संभव है?
स्लाइडिंग घर्षण गुणांक के आयाम का नाम बताइए।
अंतिम फिसलन घर्षण बल क्या है?
घर्षण शंकु की विशेषता क्या है?
रोलिंग घर्षण क्षण की उपस्थिति का कारण बताएं।
रोलिंग घर्षण गुणांक का आयाम क्या है?
ऐसे उपकरणों के उदाहरण दीजिए जिनमें घूमने वाला घर्षण होता है।
आसंजन बल और घर्षण बल में क्या अंतर है?
क्लच कोन को क्या कहते हैं?
किसी खुरदरी सतह की प्रतिक्रिया की संभावित दिशाएँ क्या हैं?
संतुलन क्षेत्र क्या है और दो खुरदरी सतहों पर टिके एक ब्लॉक पर लागू बलों के लिए संतुलन की स्थितियाँ क्या हैं?
किसी बिंदु के चारों ओर बल का क्षण क्या है? इस मात्रा का आयाम क्या है?
किसी बिंदु के सापेक्ष बल के क्षण के मापांक की गणना कैसे करें?
अभिसरण बलों की परिणामी प्रणाली के क्षण पर एक प्रमेय तैयार करें।
किसी अक्ष के चारों ओर बल का क्षण क्या है?
एक बिंदु के चारों ओर एक बल के क्षण को इस बिंदु से गुजरने वाली धुरी के चारों ओर उसी बल के क्षण के साथ जोड़ने वाला एक सूत्र लिखिए।
किसी अक्ष के परितः बल का आघूर्ण कैसे निर्धारित किया जाता है?
किसी अक्ष के चारों ओर बल के क्षण का निर्धारण करते समय, बल को अक्ष के लंबवत समतल पर प्रक्षेपित करना क्यों आवश्यक है?
अक्ष को किस प्रकार स्थित किया जाना चाहिए ताकि इस अक्ष के सापेक्ष दिए गए बल का क्षण शून्य के बराबर हो?
निर्देशांक अक्षों के परितः बल के आघूर्णों की गणना के लिए सूत्र दीजिए।
बिंदु के सापेक्ष बल आघूर्ण वेक्टर की दिशा क्या है?
किसी समतल पर किसी बिंदु के सापेक्ष बल का क्षण कैसे निर्धारित किया जाता है?
कौन सा क्षेत्र किसी दिए गए बिंदु के सापेक्ष बल के क्षण का संख्यात्मक मान निर्धारित कर सकता है?
क्या किसी बल को उसकी क्रिया की रेखा पर स्थानांतरित करने पर किसी दिए गए बिंदु के बारे में बल का क्षण बदल जाता है?
किस स्थिति में किसी दिए गए बिंदु के चारों ओर बल का क्षण शून्य के बराबर होता है?
अंतरिक्ष में उन बिंदुओं का ज्यामितीय स्थान निर्धारित करें जिनके सापेक्ष किसी दिए गए बल के क्षण हैं:
ए) ज्यामितीय रूप से बराबर;
बी) मापांक में बराबर।
अक्ष के सापेक्ष बल आघूर्ण का संख्यात्मक मान एवं चिन्ह कैसे निर्धारित किया जाता है?
किन परिस्थितियों में अक्ष के परितः बल का आघूर्ण शून्य के बराबर होता है?
किसी दिए गए बिंदु पर लगाए गए बल की किस दिशा में दिए गए अक्ष के सापेक्ष उसका आघूर्ण सबसे बड़ा होता है?
किसी बिंदु के चारों ओर एक बल के क्षण और इस बिंदु से गुजरने वाली धुरी के चारों ओर उसी बल के क्षण के बीच क्या संबंध है?
किन परिस्थितियों में एक बिंदु के सापेक्ष बल के क्षण का मापांक इस बिंदु से गुजरने वाली धुरी के सापेक्ष उसी बल के क्षण के बराबर होता है?
निर्देशांक अक्षों के बारे में बल के क्षणों के लिए विश्लेषणात्मक अभिव्यक्तियाँ क्या हैं?
किसी बिंदु के सापेक्ष और इस बिंदु से गुजरने वाली धुरी के सापेक्ष अंतरिक्ष में मनमाने ढंग से स्थित बलों की प्रणाली के मुख्य क्षण क्या हैं? उनके बीच क्या संबंध है?
इस तल में किसी बिंदु के सापेक्ष एक तल में स्थित बलों की प्रणाली का मुख्य क्षण क्या है?
अंतरिक्ष में किसी बिंदु के सापेक्ष युग्म बनाने वाली शक्तियों का मुख्य क्षण क्या है?
किसी दिए गए ध्रुव के सापेक्ष बलों की प्रणाली का मुख्य क्षण क्या है?
समानांतर बल स्थानांतरण पर लेम्मा कैसे तैयार किया जाता है?
मुख्य वेक्टर और मुख्य क्षण में बलों की एक मनमानी प्रणाली लाने के बारे में एक प्रमेय तैयार करें।
निर्देशांक अक्षों पर मुख्य क्षण के प्रक्षेपण की गणना के लिए सूत्र लिखें।
बलों की एक मनमानी प्रणाली के लिए संतुलन स्थितियों का एक वेक्टर प्रतिनिधित्व दें।
आयताकार समन्वय अक्षों पर प्रक्षेपणों में बलों की एक मनमानी प्रणाली के लिए संतुलन की स्थिति लिखें।
समानांतर बलों की एक स्थानिक प्रणाली के लिए कितने स्वतंत्र अदिश संतुलन समीकरण लिखे जा सकते हैं?
बलों की एक मनमानी समतल प्रणाली के लिए संतुलन समीकरण लिखिए।
एक कठोर पिंड पर लागू तीन गैर-समानांतर बल किस स्थिति में संतुलित होते हैं?
एक कठोर पिंड पर लागू तीन समानांतर बलों के लिए संतुलन की स्थिति क्या है?
अंतरिक्ष में मनमाने ढंग से स्थित और समानांतर बलों को लाने के संभावित मामले क्या हैं?
यदि यह ज्ञात हो कि अंतरिक्ष में विभिन्न बिंदुओं के सापेक्ष इन बलों का मुख्य क्षण क्या है, तो बलों की एक प्रणाली को किस सरलतम रूप में घटाया जा सकता है:
a) का मान समान है, शून्य के बराबर नहीं;
बी) शून्य के बराबर;
ग) अलग-अलग मान हैं और मुख्य वेक्टर के लंबवत हैं;
d) के अलग-अलग मान हैं और यह मुख्य वेक्टर के लंबवत नहीं है।
अभिसरण, समानांतर और मनमाने ढंग से स्थित बलों की एक स्थानिक प्रणाली के संतुलन की स्थितियां और समीकरण क्या हैं और वे एक विमान पर समान प्रकार के बलों के संतुलन की स्थितियों और समीकरणों से कैसे भिन्न हैं?
अभिसरण बलों की संतुलित स्थानिक प्रणाली के लिए कौन से समीकरण और उनमें से कितने बनाये जा सकते हैं?
बलों की एक स्थानिक प्रणाली के लिए संतुलन समीकरणों की प्रणाली लिखें?
बलों की एक स्थानिक प्रणाली को परिणामी तक कम करने के लिए ज्यामितीय और विश्लेषणात्मक स्थितियाँ क्या हैं?
एक बिंदु और एक अक्ष के सापेक्ष बलों की परिणामी स्थानिक प्रणाली के क्षण के बारे में एक प्रमेय तैयार करें।
परिणामी की क्रिया रेखा के लिए समीकरण लिखिए।
अंतरिक्ष में कौन सी सीधी रेखा को बलों की प्रणाली की केंद्रीय धुरी कहा जाता है?
बल प्रणाली के केंद्रीय अक्ष के लिए समीकरण व्युत्पन्न करें?
दिखाएँ कि दो क्रॉसिंग बलों को एक बल पेंच पर चलाया जा सकता है।
किसी दिए गए बलों की प्रणाली के सबसे छोटे प्रमुख क्षण की गणना करने के लिए किस सूत्र का उपयोग किया जाता है?
अभिसरण बलों की स्थानिक प्रणाली के मुख्य वेक्टर की गणना के लिए सूत्र लिखें?
मनमाने ढंग से स्थित बलों की स्थानिक प्रणाली के मुख्य वेक्टर की गणना के लिए सूत्र लिखें?
बलों की स्थानिक प्रणाली के मुख्य क्षण की गणना के लिए सूत्र लिखें?
अंतरिक्ष में बलों की एक प्रणाली के मुख्य क्षण की बलों की इस प्रणाली के केंद्रीय अक्ष से कमी के केंद्र की दूरी पर निर्भरता क्या है?
अंतरिक्ष में किन बिंदुओं के सापेक्ष किसी दिए गए बलों की प्रणाली के मुख्य क्षणों का परिमाण समान होता है और वे मुख्य वेक्टर के साथ समान कोण बनाते हैं?
अंतरिक्ष में किन बिंदुओं के सापेक्ष बलों की प्रणाली के मुख्य क्षण ज्यामितीय रूप से एक दूसरे के बराबर हैं?
बल प्रणाली के अपरिवर्तनीय तत्व क्या हैं?
एक या दो निश्चित बिंदुओं वाले एक कठोर पिंड पर लगाए गए निर्दिष्ट बलों द्वारा कौन सी स्थितियाँ संतुष्ट होती हैं जो आराम पर है?
क्या संतुलन में बलों की एक समतल प्रणाली होगी जिसके लिए एक ही सीधी रेखा पर स्थित तीन बिंदुओं के बारे में क्षणों का बीजगणितीय योग शून्य के बराबर है?
मान लीजिए कि बलों की एक समतल प्रणाली के लिए दो बिंदुओं के बारे में क्षणों का योग शून्य के बराबर है। किन अतिरिक्त परिस्थितियों में प्रणाली संतुलन में होगी?
समानांतर बलों की एक समतल प्रणाली के संतुलन के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तें तैयार करें।
क्षण बिंदु क्या है?
बलों की एक संतुलित मनमानी समतल प्रणाली के लिए कौन से समीकरण (और कितने) संकलित किए जा सकते हैं?
समानांतर बलों की संतुलित स्थानिक प्रणाली के लिए कौन से समीकरण और उनमें से कितने बनाये जा सकते हैं?
बलों की संतुलित मनमानी स्थानिक प्रणाली के लिए कौन से समीकरण और उनमें से कितने संकलित किए जा सकते हैं?
बलों के संतुलन पर स्थैतिक समस्याओं को हल करने की योजना कैसे तैयार की जाती है?
जैसा कि § 4.4 में स्पष्ट किया गया था, एक कठोर पिंड पर लागू बलों की एक स्थानिक प्रणाली के संतुलन के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तों को तीन प्रक्षेपण समीकरणों (4.16) और तीन क्षणों (4.17) के रूप में लिखा जा सकता है:
, 
, 
. (7.14)
यदि शरीर पूरी तरह से स्थिर है, तो उस पर कार्य करने वाली शक्तियां संतुलन में हैं और समीकरण (7.13) और (7.14) समर्थन प्रतिक्रियाओं को निर्धारित करने का काम करते हैं। बेशक, ऐसे मामले भी हो सकते हैं जहां ये समीकरण समर्थन प्रतिक्रियाओं को निर्धारित करने के लिए पर्याप्त नहीं हैं; हम ऐसी सांख्यिकीय रूप से अनिश्चित प्रणालियों पर विचार नहीं करेंगे।
समानांतर बलों की एक स्थानिक प्रणाली के लिए, संतुलन समीकरण (§ 4.4[‡]) का रूप लेते हैं:
, , . (7.15)
आइए अब उन मामलों पर विचार करें जब शरीर केवल आंशिक रूप से स्थिर होता है, यानी। शरीर पर लगाए गए कनेक्शन शरीर के संतुलन की गारंटी नहीं देते हैं। चार विशेष मामलों का संकेत दिया जा सकता है।
1. एक ठोस वस्तु का एक निश्चित बिंदु होता है। दूसरे शब्दों में, यह एक पूर्ण गोलाकार जोड़ का उपयोग करके एक निश्चित बिंदु से जुड़ा होता है।
आइए हम इस बिंदु पर निश्चित समन्वय प्रणाली की उत्पत्ति को रखें। एक बिंदु पर कनेक्शन की क्रिया एआइए इसे एक प्रतिक्रिया से बदलें; चूंकि यह परिमाण और दिशा में अज्ञात है, इसलिए हम इसे तीन अज्ञात घटकों के रूप में प्रस्तुत करेंगे, जो क्रमशः अक्षों के साथ निर्देशित होंगे।
इस मामले में संतुलन समीकरण (7.13) और (7.14) इस रूप में लिखे जाएंगे:
1) 
,
2) 
,
3) 
,
4) 
,
5) 
,
अंतिम तीन समीकरणों में प्रतिक्रिया घटक शामिल नहीं हैं, क्योंकि इस बल की क्रिया की रेखा बिंदु से होकर गुजरती है ए. नतीजतन, ये समीकरण शरीर के संतुलन के लिए आवश्यक सक्रिय बलों के बीच संबंध स्थापित करते हैं, और पहले तीन समीकरणों का उपयोग प्रतिक्रिया के घटकों को निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है।
इस प्रकार, एक स्थिर बिंदु वाले कठोर पिंड के संतुलन की स्थिति शरीर के एक निश्चित बिंदु पर प्रतिच्छेद करने वाली तीन अक्षों के सापेक्ष प्रणाली के सभी सक्रिय बलों के क्षणों के प्रत्येक बीजगणितीय योग के शून्य के बराबर है .
2. शरीर में दो निश्चित बिंदु होते हैं। उदाहरण के लिए, यह तब होगा जब इसे टिका का उपयोग करके दो निश्चित बिंदुओं से जोड़ा जाए।
आइए बिंदु पर निर्देशांक की उत्पत्ति चुनें एऔर अक्ष को बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा के अनुदिश निर्देशित करें एऔर में. आइए हम बंधों की क्रिया को प्रतिक्रियाओं से बदलें, प्रतिक्रिया के घटकों को समन्वय अक्षों के साथ निर्देशित करें। आइए हम बिंदुओं के बीच की दूरी को निरूपित करें एऔर मेंके माध्यम से ए; तो संतुलन समीकरण (7.13) और (7.14) निम्नलिखित रूप में लिखे जाएंगे:
1) 
,
2) 
,
3) 
,
4) 
,
5) 
,
अंतिम समीकरण में प्रतिक्रिया बल शामिल नहीं हैं और शरीर के संतुलन के लिए आवश्यक सक्रिय बलों के बीच संबंध स्थापित करता है। इस तरह, एक कठोर पिंड के संतुलन की स्थिति जिसमें दो निश्चित बिंदु हैं, निश्चित बिंदुओं से गुजरने वाली धुरी के सापेक्ष शरीर पर लागू सभी सक्रिय बलों के क्षणों के बीजगणितीय योग के शून्य के बराबर है . पहले पांच समीकरणों का उपयोग प्रतिक्रियाओं के अज्ञात घटकों को निर्धारित करने के लिए किया जाता है, , , , , , ।
ध्यान दें कि घटकों को अलग से निर्धारित नहीं किया जा सकता है। तीसरे समीकरण से, केवल योग + निर्धारित होता है और इसलिए, एक कठोर शरीर के लिए इनमें से प्रत्येक अज्ञात के संबंध में समस्या सांख्यिकीय रूप से अनिश्चित है। हालाँकि, यदि बिंदु पर मेंयदि कोई गोलाकार नहीं है, लेकिन एक बेलनाकार काज (यानी, एक असर) है, जो घूर्णन की धुरी के साथ शरीर के अनुदैर्ध्य फिसलने में हस्तक्षेप नहीं करता है, तो समस्या सांख्यिकीय रूप से निश्चित हो जाती है।
शरीर में घूर्णन की एक निश्चित धुरी होती है जिसके अनुदिश यह बिना घर्षण के सरक सकता है।इसका मतलब है कि बिंदुओं पर एऔर मेंबेलनाकार टिकाएं (बीयरिंग) हैं, और रोटेशन की धुरी के साथ उनकी प्रतिक्रियाओं के घटक शून्य के बराबर हैं। परिणामस्वरूप, संतुलन समीकरण इस प्रकार बनेंगे:
1) ,
2) ,
4) ,
5) ,
दो समीकरण (7.18), अर्थात् तीसरा और छठा, सक्रिय बलों की प्रणाली पर प्रतिबंध लगाते हैं, और शेष समीकरण प्रतिक्रियाओं को निर्धारित करने का काम करते हैं।
शरीर एक चिकनी सतह पर तीन बिंदुओं पर टिका हुआ है, और समर्थन बिंदु एक ही सीधी रेखा पर नहीं हैं। आइए हम इन बिंदुओं को निरूपित करें ए, मेंऔर साथऔर विमान के साथ संगत एबीसीविमान का समन्वय आहू. कनेक्शन की क्रिया को ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रियाओं के साथ प्रतिस्थापित करते हुए, हम संतुलन की स्थिति (7.14) को निम्नलिखित रूप में लिखते हैं:
3) 
,
4) 
,
5) 
,
तीसरा-पांचवां समीकरण अज्ञात प्रतिक्रियाओं को निर्धारित करने के लिए काम कर सकता है, और पहला, दूसरा और छठा समीकरण सक्रिय बलों को जोड़ने और शरीर के संतुलन के लिए आवश्यक स्थितियों का प्रतिनिधित्व करता है। बेशक, शरीर को संतुलित करने के लिए, निम्नलिखित शर्तों को पूरा करना होगा: , , 
चूँकि समर्थन बिंदुओं पर केवल ऊपर स्वीकृत दिशा की प्रतिक्रियाएँ ही हो सकती हैं।
यदि पिंड क्षैतिज तल पर तीन से अधिक बिंदुओं पर टिका है, तो समस्या सांख्यिकीय रूप से अनिश्चित हो जाती है, क्योंकि इस मामले में जितने बिंदु हैं उतनी प्रतिक्रियाएं होंगी, और प्रतिक्रियाओं को निर्धारित करने के लिए केवल तीन समीकरण बचे होंगे।
समस्या 7.3.चित्र में दिखाए गए बलों की प्रणाली का मुख्य वेक्टर और मुख्य क्षण ज्ञात कीजिए। बलों को घन के शीर्षों पर लगाया जाता है और उसके किनारों पर निर्देशित किया जाता है, और 
, . घन के किनारे की लंबाई है ए.
हम सूत्रों (4.4) का उपयोग करके मुख्य वेक्टर के प्रक्षेपण पाते हैं:
, 
, 
.
इसका मापांक है. दिशा सहज्या होगी
, ;
, ;
, 
.
मुख्य वेक्टर चित्र में दिखाया गया है।
,
और सूत्र के अनुसार मुख्य क्षण का मापांक (4.8)
अब हम मुख्य क्षण की दिशा कोसाइन निर्धारित करते हैं:
, 
;
, 
.
मुख्य बिंदु चित्र में दिखाया गया है। सदिशों के बीच के कोण की गणना सूत्र (4.11) और का उपयोग करके की जाती है
हम शर्तों से वांछित क्षेत्र की सीमाएँ ज्ञात करते हैं:
,
.
यहां से हम पाते हैं
,
.
चित्र में. पर निर्मित वांछित क्षेत्र को छायांकित किया गया है। प्लेट की पूरी सतह सुरक्षित रहेगी.
