अमानवीय ऊष्मा समीकरण और सजातीय सीमा स्थितियाँ। ऊष्मा समीकरण के लिए फूरियर विधि। तात्कालिक बिंदु स्रोत
नीचे हम अपेक्षाकृत सरल ज्यामितीय और भौतिक स्थितियों के लिए तापमान क्षेत्र निर्धारित करने के लिए कई समस्याओं पर विचार करेंगे जो विश्लेषणात्मक समाधान की अनुमति देते हैं जो रूप में सरल होते हैं और साथ ही ठोस में गर्मी हस्तांतरण से जुड़ी विशिष्ट भौतिक प्रक्रियाओं का एक उपयोगी चित्रण प्रदान करते हैं।
आइए थर्मल इंसुलेटेड साइड सतह वाली एक रॉड पर विचार करें (चित्र 38)। इस मामले में, रॉड के साथ गर्मी हस्तांतरण हो सकता है। यदि छड़ को कार्टेशियन समन्वय प्रणाली की धुरी के साथ संरेखित किया जाता है, तो स्थिर ताप समीकरण का रूप होगावॉल्यूमेट्रिक ताप रिलीज पावर के तापीय चालकता गुणांक के निरंतर मूल्यों पर, अंतिम समीकरण को दो बार एकीकृत किया जा सकता है
(75)
एकीकरण स्थिरांक सीमा स्थितियों से पाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि रॉड के सिरों पर तापमान सेट किया गया है। फिर (75) से हमारे पास है
यहां से हम एकीकरण के स्थिरांक पाते हैं और। निर्दिष्ट सीमा शर्तों के तहत समाधान का रूप ले लिया जाएगा
अंतिम सूत्र से यह स्पष्ट है कि ऊष्मा स्रोतों के अभाव में। छड़ में तापमान एक सीमा मान से दूसरे सीमा मान तक रैखिक रूप से भिन्न होता है
आइए अब सीमा स्थितियों के एक और संयोजन पर विचार करें। चलो छड़ी के बाएँ छोर पर वाह्य स्रोतगर्मी का प्रवाह बनाता है. छड़ के दाहिने सिरे पर हम पिछली स्थिति को बरकरार रखते हैं, इस प्रकार हमारे पास है
सामान्य अभिन्न (75) का उपयोग करके इन स्थितियों को व्यक्त करते हुए, हम एकीकरण स्थिरांक के संबंध में एक प्रणाली प्राप्त करते हैं
परिणामी प्रणाली से अज्ञात स्थिरांक ज्ञात करने के बाद, हमें फॉर्म में एक समाधान प्राप्त होता है
पिछले उदाहरण की तरह, आंतरिक ताप स्रोतों की अनुपस्थिति में, रॉड के साथ तापमान वितरण रैखिक होगा
इस मामले में, रॉड के बाएं छोर पर तापमान, जहां बाहरी ताप स्रोत स्थित है, के बराबर होगा।
अगले उदाहरण के रूप में, आइए हम एक ठोस लंबे गोलाकार सिलेंडर में त्रिज्या के साथ एक स्थिर तापमान वितरण खोजें (चित्र 39)। इस मामले में, एक बेलनाकार समन्वय प्रणाली का उपयोग कार्य को काफी सरल बना देगा। बड़े लंबाई और त्रिज्या अनुपात और स्थिर वितरण वाले सिलेंडर के मामले में
खाओ आंतरिक स्रोतगर्मी रिलीज, सिलेंडर के सिरों से दूर तापमान को बेलनाकार प्रणाली के अक्षीय समन्वय से स्वतंत्र माना जा सकता है। तब स्थिर ऊष्मा समीकरण (71) का रूप लेगा
अंतिम समीकरण को दो बार (स्थिरांक पर) एकीकृत करने से प्राप्त होता है
सिलेंडर अक्ष () पर तापमान वितरण के लिए समरूपता की स्थिति देता है
हम इसे कहां से प्राप्त करते हैं?
अंतिम शर्त तब पूरी होगी जब. सिलेंडर की सतह पर तापमान () निर्दिष्ट करें। तब हम समीकरण से एकीकरण का दूसरा स्थिरांक ज्ञात कर सकते हैं
यहां से हम समाधान को उसके अंतिम रूप में ढूंढते और लिखते हैं
प्राप्त परिणाम के अनुप्रयोग के एक संख्यात्मक उदाहरण के रूप में, आइए हम मिमी की त्रिज्या के साथ एक बेलनाकार चाप निर्वहन के प्लाज्मा में तापमान वितरण पर विचार करें। डिस्चार्ज चैनल सीमा एक ऐसे क्षेत्र के रूप में बनती है जहां आयनीकरण प्रक्रियाएं रुक जाती हैं। हमने ऊपर देखा कि हीटिंग के दौरान गैस का ध्यान देने योग्य आयनीकरण K पर रुक जाता है। इसलिए, दिए गए मान को सीमा K के रूप में लिया जा सकता है। हम जूल-लेन्ज़ कानून से डिस्चार्ज प्लाज्मा में गर्मी रिलीज की वॉल्यूमेट्रिक पावर घनत्व पाते हैं, जहां σ
- प्लाज्मा विद्युत चालकता, इ- तनाव विद्युत क्षेत्रडिस्चार्ज चैनल में. आर्क डिस्चार्ज के लिए विशिष्ट मान 1/ओम मी, वी/एम हैं। 10,000 K के क्रम के तापमान पर आर्क प्लाज्मा की तापीय चालकता एक तटस्थ गैस की तुलना में अधिक होती है, इसका मान बराबर लिया जा सकता है। तो पैरामीटर 
. त्रिज्या के साथ तापमान वितरण चित्र में दिखाया गया है। 39. इस स्थिति में, डिस्चार्ज अक्ष () पर तापमान 8000 K होगा।
अगले उदाहरण में हम देखेंगे तापीय क्षेत्र, जिसमें गोलाकार समरूपता है। ऐसी स्थितियाँ उत्पन्न होती हैं, विशेष रूप से, यदि एक छोटा ताप स्रोत एक बड़े सरणी में स्थित होता है, उदाहरण के लिए, एक बड़ी विद्युत मशीन की वाइंडिंग में इंटरटर्न आर्क दोष। इस मामले में, गोलाकार समन्वय प्रणाली के केंद्र को ऊष्मा स्रोत के साथ जोड़कर, हम स्थिर ऊष्मा समीकरण (64) को इस रूप में ला सकते हैं:
इस समीकरण को दो बार एकीकृत करने पर, हम पाते हैं
अपने उदाहरण पर लौटते हुए, मान लीजिए कि चाप दोष त्रिज्या की एक गोलाकार गुहा के अंदर होता है (चित्र 40)। आइए आर्क डिस्चार्ज का प्रतिरोध ओम, डिस्चार्ज करंट ए लें। फिर गुहा में जारी शक्ति होगी। आइए ऊष्मा स्रोत के कार्य क्षेत्र के बाहर एक समाधान पर विचार करें।तब ऊष्मा समीकरण का समाकलन सरल हो जाएगा
एकीकरण स्थिरांक की गणना करने के लिए, हम पहले डिस्चार्ज साइट से असीम रूप से दूर के बिंदुओं पर स्थिति का उपयोग करते हैं, जहां C परिवेश का तापमान है। अंतिम अभिव्यक्ति से हम पाते हैं। स्थिरांक निर्धारित करने के लिए, हम मानते हैं कि जो डिस्चार्ज में छोड़ा गया है थर्मल ऊर्जात्रिज्या की एक गोलाकार गुहा की सतह पर समान रूप से वितरित। इसलिए, गुहा सीमा पर ऊष्मा का प्रवाह होगा
चूँकि, पिछले दो समीकरणों से हमारे पास है
और अंतिम निर्णय
इस मामले में, गुहा सीमा (मिमी) पर तापमान W/mK होगा 
के (चित्र 40)।
इस समूह के पहले उदाहरण के रूप में, एक तार के क्रॉस सेक्शन में थर्मल क्षेत्र पर विचार करें गोल खंड, एक शीतलन चैनल वाला (चित्र 41, ए). कूलिंग चैनल वाले तारों का उपयोग शक्तिशाली वाइंडिंग में किया जाता है विद्युत मशीनेंऔर मजबूत चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करने के लिए कुंडलियाँ। इन उपकरणों को सैकड़ों और यहां तक कि हजारों एम्पीयर के आयाम के साथ धाराओं के दीर्घकालिक प्रवाह की विशेषता है। उदाहरण के लिए, एक तरल, जैसे पानी, या गैस (हाइड्रोजन, वायु) को पंप किया जाता है, जो तापीय ऊर्जा की निकासी सुनिश्चित करता है भीतरी सतहसमग्र रूप से तार का चैनल और ठंडा होना। इस मामले में, हम चैनल की सतह के मजबूर संवहनी शीतलन से निपट रहे हैं, जिसके लिए हम ऊपर उचित तीसरी प्रकार की सीमा स्थिति (67) का उपयोग कर सकते हैं। यदि बेलनाकार समन्वय प्रणाली की धुरी तार की धुरी के साथ संरेखित है, तो तापमान केवल रेडियल समन्वय पर निर्भर करेगा। हमने पहले इस मामले के लिए स्थिर ताप समीकरण का सामान्य अभिन्न अंग प्राप्त किया था
ऊष्मा विमोचन का आयतनात्मक शक्ति घनत्व जूल-लेन्ज़ नियम से पाया जाता है: , जे- वर्तमान घनत्व, σ - इलेक्ट्रिकल कंडक्टीविटी,
कहाँ आर- तार अनुभाग की त्रिज्या, ए- शीतलन चैनल की त्रिज्या। तार बाहर से इन्सुलेशन की परतों से घिरा होता है, जिसमें कंडक्टर की तुलना में अपेक्षाकृत कम तापीय चालकता होती है। इसलिए, पहले सन्निकटन के रूप में, हम मानते हैं कि तार की बाहरी सतह थर्मल रूप से इंसुलेटेड है, यानी, उस पर गर्मी का प्रवाह होता है
शीतलन चैनल की सतह पर, गर्मी का प्रवाह तीसरे प्रकार की स्थिति से निर्धारित होता है
गर्मी हस्तांतरण गुणांक कहां है, शीतलन प्रवाह का तापमान है। दाईं ओर ऋण चिह्न इस तथ्य के कारण लिया गया है कि चैनल की आंतरिक सतह का अभिलंब अक्ष के विपरीत दिशा में निर्देशित होता है।
लिखित सीमा शर्तों में से पहली में तापमान (76) के लिए अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं
कहाँ । दूसरी सीमा शर्त देती है
हम इसे कहां से पाते हैं?
उसी समय, (76) से
अंतिम दो अभिव्यक्तियों की तुलना करने पर, हम पाते हैं
पाए गए स्थिरांकों को इसमें प्रतिस्थापित करने के बाद सामान्य निर्णय(76) और हमें परिवर्तन मिलते हैं
परिणामी समाधान से तार क्रॉस-सेक्शन की सीमाओं पर तापमान की गणना सूत्रों का उपयोग करके की जाएगी
मापदंडों के साथ शीतलन चैनल वाले तार के लिए क्रॉस-सेक्शन त्रिज्या के साथ तापमान वितरण: ए, डब्ल्यू/एमके, 
1/ओम मी, ओ सी, मिमी, सेमी चित्र में दिखाया गया है। 41, बी.
चित्र से. 41, बीइससे यह निष्कर्ष निकलता है कि तार के क्रॉस-सेक्शन के भीतर तापमान परिवर्तन उसके औसत मूल्य की तुलना में अपेक्षाकृत कम होता है, जिसे उच्च तापीय चालकता द्वारा समझाया गया है λ और अपेक्षाकृत छोटे तार पार-अनुभागीय आयाम।
एक दूसरे के संपर्क में अलग-अलग खंडों वाले तार के साथ तापमान वितरण में एक अलग स्थिति उत्पन्न होती है। जुड़े कंडक्टरों के बीच संपर्कों की गुणवत्ता में गिरावट से तार की तुलना में दो तारों के जंक्शन पर गर्मी उत्पादन में वृद्धि होती है। थर्मल इमेजर्स या पाइरोमीटर का उपयोग करके तार के तापमान का दूरस्थ माप आपको संपर्क कनेक्शन की गुणवत्ता का निदान करने की अनुमति देता है।आइए दोषपूर्ण संपर्क की उपस्थिति में तार के साथ तापमान वितरण की गणना करें। पिछले उदाहरण से पता चला है कि सबसे गंभीर परिस्थितियों में भी, तार के क्रॉस-सेक्शन के भीतर तापमान परिवर्तन बहुत छोटा होता है। इसलिए, हमारी गणना के लिए, हम, पहले अनुमान के रूप में, मान सकते हैं कि तार क्रॉस-सेक्शन के भीतर तापमान वितरण एक समान है। तार के साथ ऊष्मा उत्पादन का वितरण वितरण पर निर्भर करता है विद्युतीय प्रतिरोधतार के साथ, जो संपर्क से दूर एकसमान है और जैसे-जैसे आप इसके पास पहुंचते हैं, बढ़ता जाता है। आइए हम कार्टेशियन समन्वय प्रणाली की धुरी को तार की धुरी के साथ संरेखित करें, और निर्देशांक की उत्पत्ति को संपर्क क्षेत्र के केंद्र के साथ संरेखित करें (चित्र 42)। तार के साथ प्रतिरोध के वितरण के लिए एक मॉडल के रूप में, हम रैखिक प्रतिरोध के निम्नलिखित वितरण को लेते हैं
जहां, संपर्क क्षेत्र के रैखिक आकार को दर्शाने वाला एक पैरामीटर है। तार की प्रति इकाई लंबाई में ऊष्मा उत्पन्न करने की शक्ति होती है 
. प्रति इकाई आयतन की गणना, ऊष्मा विमोचन शक्ति के बराबर है
कहाँ एस- तार क्रॉस-सेक्शन। तार को उसकी सतह से प्राकृतिक संवहन द्वारा ठंडा किया जाता है। तार की प्रति इकाई लंबाई में संवहन ताप प्रवाह होता है
कहाँ α - गर्मी हस्तांतरण गुणांक, - परिवेश का तापमान, पी- तार क्रॉस-सेक्शन की परिधि। में ऊष्मा स्थानांतरण पर्यावरणकंडक्टर के प्रति इकाई आयतन की गणना की जाएगी
तार के साथ स्थिर तापमान वितरण तापीय चालकता समीकरण का पालन करेगा
परिणामी समीकरण के आगे के परिवर्तनों के लिए, हम तार के साथ तापीय चालकता गुणांक स्थिरांक लेते हैं, ऊपर प्राप्त अभिव्यक्तियों को और के स्थान पर प्रतिस्थापित करते हैं, और इसके बजाय वांछित फ़ंक्शन के रूप में भी टीचलो ले लो:
हम एक रैखिक अमानवीय अवकल समीकरण पर पहुंचते हैं
हम परिणामी समीकरण के समाधान को सजातीय समीकरण के सामान्य समाधान के योग के रूप में देखेंगे
और दाहिनी ओर के रूप में एक विशेष समाधान
.
न्यूटन की विधि का उपयोग करके बीजगणितीय समीकरणों को हल करना
समीकरणों को हल करने की एक काफी लोकप्रिय विधि है स्पर्शरेखा विधि, या न्यूटन की विधि. इस मामले में, प्रपत्र का एक समीकरण एफ(एक्स) = 0 को इस प्रकार हल किया गया है। सबसे पहले, शून्य सन्निकटन (बिंदु) एक्स 0). इस बिंदु पर ग्राफ़ की एक स्पर्श रेखा बनाई जाती है य = एफ(एक्स). x-अक्ष के साथ इस स्पर्शरेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु मूल (बिंदु) के लिए अगला सन्निकटन है एक्स 1). इस बिंदु पर फिर से एक स्पर्शरेखा का निर्माण किया जाता है, आदि। अंकों का क्रम एक्स 0 , एक्स 1 , एक्स 2 ... को मूल के वास्तविक मान तक ले जाना चाहिए। अभिसरण की शर्त है.
चूँकि एक बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण है एक्स 0 , एफ(एक्स 0) (और यह स्पर्शरेखा है), रूप में लिखा गया है
और अगले सन्निकटन के रूप में एक्स 1 मूल समीकरण की जड़ के लिए, भुज अक्ष के साथ इस रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु लिया जाता है, तो हमें इस बिंदु पर रखना चाहिए य = 0:
जिससे पिछले सन्निकटन के माध्यम से अगला सन्निकटन ज्ञात करने के लिए समीकरण तुरंत अनुसरण करता है:
चित्र में. चित्र 3 एक्सेल का उपयोग करके न्यूटन की विधि के कार्यान्वयन को दर्शाता है। प्रारंभिक सन्निकटन ( एक्स 0 = -3), और फिर गणना तक सभी मध्यवर्ती मानों की गणना कॉलम की शेष कोशिकाओं में की जाती है एक्स 1 . दूसरा चरण करने के लिए, सेल B10 से मान सेल C3 में दर्ज किया जाता है और गणना प्रक्रिया कॉलम C में दोहराई जाती है। फिर, सेल C2:C10 चयनित होने पर, आप विस्तार करने के लिए चयन के निचले दाएं कोने में हैंडल को खींच सकते हैं यह कॉलम D:F पर है। परिणामस्वरूप, सेल F6 में मान 0 प्राप्त होता है, अर्थात। सेल F3 में मान समीकरण का मूल है।
चक्रीय गणनाओं का उपयोग करके समान परिणाम प्राप्त किया जा सकता है। फिर पहला कॉलम भरने और पहला मान प्राप्त करने के बाद एक्स 1, सेल H3 में सूत्र =H10 दर्ज करें। इस मामले में, कम्प्यूटेशनल प्रक्रिया को लूप किया जाएगा और इसे निष्पादित करने के लिए, मेनू में सेवा | विकल्पटैब पर संगणनाचेकबॉक्स को चेक करना होगा पुनरावृत्तियोंऔर पुनरावृत्त प्रक्रिया के चरणों की सीमित संख्या और सापेक्ष त्रुटि (कई मामलों में 0.001 की डिफ़ॉल्ट संख्या स्पष्ट रूप से अपर्याप्त है) को इंगित करें, जिस पर पहुंचने पर कम्प्यूटेशनल प्रक्रिया बंद हो जाएगी।
जैसा कि ज्ञात है, प्रसार के दौरान ऊष्मा स्थानांतरण और द्रव्यमान स्थानांतरण जैसी भौतिक प्रक्रियाएं फ़िक के नियम का पालन करती हैं
कहाँ एल- तापीय चालकता (प्रसार) का गुणांक, और टी- तापमान (एकाग्रता), और - संबंधित मूल्य का प्रवाह। गणित से ज्ञात होता है कि प्रवाह का विचलन स्रोत के आयतन घनत्व के बराबर है क्यूयह मान, अर्थात्
या, द्वि-आयामी मामले के लिए, जब एक विमान में तापमान वितरण का अध्ययन किया जाता है, तो इस समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
इस समीकरण को विश्लेषणात्मक रूप से हल करना केवल सरल आकार के क्षेत्रों के लिए संभव है: आयत, वृत्त, वलय। अन्य स्थितियों में, इस समीकरण का सटीक समाधान असंभव है, अर्थात। जटिल मामलों में तापमान का वितरण (या किसी पदार्थ की सांद्रता) निर्धारित करना भी असंभव है। फिर आपको ऐसे समीकरणों को हल करने के लिए अनुमानित तरीकों का उपयोग करना होगा।
क्षेत्र में समीकरण (4) का अनुमानित समाधान जटिल आकारइसमें कई चरण शामिल हैं: 1) ग्रिड निर्माण; 2) एक अंतर योजना का निर्माण; 3) बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना। आइए प्रत्येक चरण पर क्रमिक रूप से विचार करें और एक्सेल पैकेज का उपयोग करके उनके कार्यान्वयन पर विचार करें।
ग्रिड निर्माण.माना कि क्षेत्रफल का आकार चित्र में दिखाया गया है। 4. इस फॉर्म के साथ, समीकरण (4) का सटीक विश्लेषणात्मक समाधान, उदाहरण के लिए, चर को अलग करने की विधि द्वारा, असंभव है। इसलिए, हम अलग-अलग बिंदुओं पर इस समीकरण का अनुमानित समाधान तलाशेंगे। आइए क्षेत्र में एक समान ग्रिड लागू करें, जिसमें भुजाओं वाले वर्ग हों एच. अब, क्षेत्र के प्रत्येक बिंदु पर परिभाषित समीकरण (4) के निरंतर समाधान की तलाश करने के बजाय, हम एक अनुमानित समाधान की तलाश करेंगे, जो केवल क्षेत्र पर लागू ग्रिड के नोडल बिंदुओं पर परिभाषित हो, यानी। चौकों के कोनों में.
अंतर योजना का निर्माण.एक अंतर योजना बनाने के लिए, एक मनमाना आंतरिक ग्रिड नोड सी (केंद्रीय) पर विचार करें (चित्र 5)। चार नोड इसके समीप हैं: बी (ऊपरी), एन (निचला), एल (बाएं) और पी (दाएं)। याद रखें कि ग्रिड में नोड्स के बीच की दूरी है एच. फिर, समीकरण (4) में दूसरे अवकलज को लगभग लिखने के लिए अभिव्यक्ति (2) का उपयोग करके, हम लगभग लिख सकते हैं:
जिससे केंद्रीय बिंदु पर तापमान मान और पड़ोसी बिंदुओं पर तापमान मान से संबंधित अभिव्यक्ति प्राप्त करना आसान है:
अभिव्यक्ति (5) हमें, पड़ोसी बिंदुओं पर तापमान मूल्यों को जानकर, केंद्रीय बिंदु पर इसके मूल्य की गणना करने की अनुमति देती है। ऐसी योजना, जिसमें व्युत्पन्नों को परिमित अंतरों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, और ग्रिड बिंदु पर मूल्यों की खोज के लिए, केवल निकटतम पड़ोसी बिंदुओं पर मूल्यों का उपयोग किया जाता है, केंद्रीय-अंतर योजना कहलाती है, और इस विधि को ही परिमित-अंतर विधि कहा जाता है।
यह समझना आवश्यक है कि हम प्रत्येक ग्रिड बिंदु के लिए (5) के समान एक समीकरण प्राप्त करते हैं, जो इस प्रकार एक दूसरे से जुड़े होते हैं। अर्थात्, हमारे पास बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली है जिसमें समीकरणों की संख्या ग्रिड नोड्स की संख्या के बराबर है। समीकरणों की ऐसी प्रणाली को विभिन्न तरीकों का उपयोग करके हल किया जा सकता है।
बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना। पुनरावृत्ति विधि.मान लीजिए कि सीमा नोड्स पर तापमान 20 के बराबर है, और ताप स्रोत की शक्ति 100 के बराबर है। हमारे क्षेत्र के आयाम सेट हैं और लंबवत रूप से 6 और क्षैतिज रूप से 8 के बराबर हैं, इसलिए ग्रिड का किनारा वर्ग ( कदम) एच= 1. फिर आंतरिक बिंदुओं पर तापमान की गणना के लिए अभिव्यक्ति (5) का रूप लेती है
आइए प्रत्येक NODE को एक्सेल शीट पर एक सेल निर्दिष्ट करें। सीमा बिंदुओं के अनुरूप कोशिकाओं में, हम संख्या 20 दर्ज करते हैं (उन्हें चित्र 6 में हाइलाइट किया गया है स्लेटी). शेष कक्षों में हम सूत्र (6) लिखते हैं। उदाहरण के लिए, सेल F2 में यह इस तरह दिखेगा: =(F1 + F3 + E2 + G2)/4 + 100*(1^2)/4. इस सूत्र को सेल F2 में लिखने के बाद, आप इसे कॉपी कर सकते हैं और आंतरिक नोड्स के अनुरूप क्षेत्र की शेष कोशिकाओं में पेस्ट कर सकते हैं। इस मामले में, एक्सेल परिणामों की लूपिंग के कारण गणना करने की असंभवता की रिपोर्ट करेगा:
"रद्द करें" पर क्लिक करें और विंडो पर जाएं उपकरण|विकल्प|गणना, जहां "पुनरावृत्तियां" अनुभाग में बॉक्स को चेक करें, सापेक्ष त्रुटि के रूप में 0.00001 और पुनरावृत्तियों की अधिकतम संख्या के रूप में 10000 निर्दिष्ट करें:
ऐसे मान हमें एक छोटी गणनीय त्रुटि प्रदान करेंगे और गारंटी देंगे कि पुनरावृत्ति प्रक्रिया निर्दिष्ट त्रुटि तक पहुंच जाएगी।
हालाँकि, ये मान स्वयं विधि की एक छोटी सी त्रुटि सुनिश्चित नहीं करते हैं, क्योंकि उत्तरार्द्ध दूसरे डेरिवेटिव को परिमित अंतर के साथ प्रतिस्थापित करते समय त्रुटि पर निर्भर करता है। जाहिर है, यह त्रुटि छोटी है, ग्रिड चरण जितना छोटा है, यानी। वर्ग का आकार जिस पर हमारी अंतर योजना आधारित है। इसका मतलब यह है कि ग्रिड नोड्स पर सटीक गणना तापमान मान, चित्र में प्रस्तुत किया गया है। 6, वास्तव में, पूरी तरह से असत्य साबित हो सकता है। पाए गए समाधान की जांच करने का केवल एक ही तरीका है: इसे एक बेहतर ग्रिड पर ढूंढें और पिछले वाले से तुलना करें। यदि ये समाधान थोड़ा भिन्न हैं, तो हम मान सकते हैं कि पाया गया तापमान वितरण वास्तविकता से मेल खाता है।
आइए कदम को आधा कर दें। यह 1 की जगह ½ के बराबर हो जाएगा. हमारे नोड्स की संख्या तदनुसार बदल जाएगी। ऊर्ध्वाधर रूप से, 7 गांठों के बजाय (6 चरण थे, यानी 7 गांठें) 13 (12 वर्ग, यानी 13 गांठें) होंगी, और क्षैतिज रूप से 9 के बजाय 17 होंगी। यह नहीं भूलना चाहिए कि चरण का आकार रहा है आधा कर दिया और अब सूत्र (6) में 1 2 के स्थान पर दाहिनी ओर (1/2) 2 रखना होगा। एक नियंत्रण बिंदु के रूप में जिस पर हम पाए गए समाधानों की तुलना करेंगे, हम चित्र में चिह्नित अधिकतम तापमान वाला बिंदु लेंगे। 6 पीला. गणना का परिणाम चित्र में दिखाया गया है। 9:
यह देखा जा सकता है कि कदम कम करने से नियंत्रण बिंदु पर तापमान मान में महत्वपूर्ण परिवर्तन हुआ: 4% तक। पाए गए समाधान की सटीकता बढ़ाने के लिए ग्रिड चरण को और कम किया जाना चाहिए। के लिए एच= ¼ हमें नियंत्रण बिंदु पर 199.9 मिलता है, और h = 1/8 के लिए संबंधित मान 200.6 है। आप चरण आकार पर पाए गए मान की निर्भरता को प्लॉट कर सकते हैं:
चित्र से हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि चरण को और कम करने से नियंत्रण बिंदु पर तापमान में महत्वपूर्ण परिवर्तन नहीं होगा और पाए गए समाधान की सटीकता को संतोषजनक माना जा सकता है।
एक्सेल पैकेज की क्षमताओं का उपयोग करके, आप एक तापमान सतह का निर्माण कर सकते हैं जो अध्ययन क्षेत्र में इसके वितरण का दृश्य प्रतिनिधित्व करता है।
प्रारंभिक शर्तों के साथ
और सीमा शर्तें
हम इस समस्या का समाधान ईजेनफंक्शन प्रणाली (94) का उपयोग करके फूरियर श्रृंखला के रूप में तलाशेंगे।
वे। विघटन के रूप में
एक ही समय में विचार कर रहे हैं टीपैरामीटर.
कार्य करने दें एफ(एक्स, टी) निरंतर है और इसके संबंध में प्रथम क्रम का एक टुकड़ा-वार निरंतर व्युत्पन्न है एक्सऔर सबके सामने टी>0 शर्तें पूरी होती हैं
आइए अब मान लें कि कार्य एफ(एक्स,
टी)
और 
साइन के संदर्भ में फूरियर श्रृंखला में विस्तारित किया जा सकता है
, (117)
(118)
, (119)
. (120)
आइए हम (116) को समीकरण (113) में प्रतिस्थापित करें और (117) को ध्यान में रखते हुए, हमें प्राप्त होता है
.
यह समानता तब संतुष्ट होती है जब
, (121)
या अगर 
, तो इस समीकरण (121) को इस रूप में लिखा जा सकता है
. (122)
प्रारंभिक स्थिति (114) का उपयोग करते हुए (116), (117) और (119) को ध्यान में रखते हुए हम पाते हैं कि
. (123)
इस प्रकार, आवश्यक फ़ंक्शन खोजने के लिए 
हम एक सामान्य प्रथम-क्रम अमानवीय अंतर समीकरण के लिए कॉची समस्या (122), (123) पर पहुंचते हैं। यूलर के सूत्र का उपयोग करके, हम समीकरण (122) का सामान्य समाधान लिख सकते हैं
,
और (123) को ध्यान में रखते हुए, कॉची समस्या का समाधान
.
इसलिए, जब हम इस फ़ंक्शन के मान को अभिव्यक्ति (116) में प्रतिस्थापित करते हैं, तो हम अंततः मूल समस्या का समाधान प्राप्त करेंगे
(124)
कार्य कहां हैं एफ(एक्स,
टी)
और 
सूत्र (118) और (120) द्वारा परिभाषित हैं।
उदाहरण 14. परवलयिक प्रकार के एक अमानवीय समीकरण का हल खोजें
प्रारंभिक स्थिति में
(14.2)
और सीमा शर्तें
. (14.3)
आइए सबसे पहले निम्नलिखित फ़ंक्शन का चयन करें , ताकि यह सीमा शर्तों (14.3) को पूरा करे। उदाहरण के लिए, चलो = xt 2. तब
इसलिए, फ़ंक्शन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है
समीकरण को संतुष्ट करता है
(14.5)
सजातीय सीमा स्थितियाँ
और शून्य प्रारंभिक शर्तें
. (14.7)
सजातीय समीकरण को हल करने के लिए फूरियर विधि का उपयोग करना
शर्तों (14.6), (14.7) के तहत, हम सेट करते हैं
.
हम निम्नलिखित स्टर्म-लिउविले समस्या पर पहुँचते हैं:
,
.
इस समस्या को हल करते हुए, हम eigenvalues खोजते हैं
और उनके संगत eigenfunctions
. (14.8)
हम समस्या (14.5)-(14.7) का समाधान एक श्रृंखला के रूप में ढूंढते हैं
, (14.9)
(14.10)
स्थानापन्न 
(14.9) से (14.5) तक हम प्राप्त करते हैं
. (14.11)
कोई फ़ंक्शन ढूंढने के लिए टी एन (टी) आइए फ़ंक्शन का विस्तार करें (1- एक्स) अंतराल (0,1) पर कार्यों की प्रणाली (14.8) का उपयोग करके फूरियर श्रृंखला में:
. (14.12)
,
और (14.11) और (14.12) से हमें समीकरण प्राप्त होता है
, (14.13)
जो प्रथम कोटि का एक साधारण अमानवीय रैखिक अवकल समीकरण है। हम यूलर के सूत्र का उपयोग करके इसका सामान्य समाधान पाते हैं
और स्थिति (14.10) को ध्यान में रखते हुए, हम कॉची समस्या का समाधान ढूंढते हैं
. (14.14)
(14.4), (14.9) और (14.14) से हम मूल समस्या का समाधान पाते हैं (14.1)-(14.3)
स्वतंत्र कार्य के लिए कार्य
प्रारंभिक सीमा मान समस्याओं का समाधान करें
3.4. ऊष्मा समीकरण के लिए कॉची समस्या
सबसे पहले, आइए देखें कॉची समस्या के लिए सजातीय ताप समीकरण.
संतुष्टि देने वाला
आइए वेरिएबल्स को प्रतिस्थापित करके प्रारंभ करें एक्स
और टीपर 
और फ़ंक्शन पर विचार करें 
. फिर कार्य 
समीकरणों को संतुष्ट करेगा
कहाँ 
- ग्रीन का कार्य, सूत्र द्वारा परिभाषित
, (127)
और गुण रखते हैं
; (130)
. (131)
पहले समीकरण को इससे गुणा करना जी* , और दूसरा चालू औरऔर फिर प्राप्त परिणामों को जोड़कर, हम समानता प्राप्त करते हैं
. (132)
समानता के भागों द्वारा एकीकृत करने के बाद (132) द्वारा 
-∞ से +∞ तक और के अनुसार 
0 से लेकर टी, हम पाते हैं
यदि हम मान लें कि फ़ंक्शन 
और इसका व्युत्पन्न 
सीमित जब 
, तो, गुणों (131) के कारण, (133) के दाईं ओर का अभिन्न अंग शून्य के बराबर है। इसलिए, हम लिख सकते हैं
इस समानता को इसके साथ प्रतिस्थापित करना 
, ए 
पर 
, हमें रिश्ता मिलता है
.
यहां से, सूत्र (127) का उपयोग करके, हम अंततः प्राप्त करते हैं
. (135)
सूत्र (135) कहा जाता है पॉइसन का सूत्र और एक अमानवीय प्रारंभिक स्थिति के साथ एक सजातीय ताप समीकरण के लिए कॉची समस्या (125), (126) का समाधान निर्धारित करता है।
समाधान अमानवीय ऊष्मा समीकरण के लिए कॉची समस्या
संतुष्टि देने वाला अमानवीय प्रारंभिक स्थिति
समाधानों के योग का प्रतिनिधित्व करता है:
सजातीय ताप समीकरण के लिए कॉची समस्या का समाधान कहां है . , अमानवीय प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करने वाला, सजातीय प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करने वाला एक समाधान है। इस प्रकार, कॉची समस्या (136), (137) का समाधान सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है
उदाहरण 15. समीकरण का हल खोजें
(15.1)
निम्नलिखित रॉड तापमान वितरण के लिए:
▲ छड़ अनंत है, इसलिए समाधान सूत्र (135) का उपयोग करके लिखा जा सकता है
.
क्योंकि 
अंतराल में 
स्थिर तापमान के बराबर 
, और इस अंतराल के बाहर तापमान शून्य है, तो समाधान एक रूप ले लेता है
. (15.3)
(15.3) में मानते हुए 
, हम पाते हैं
.
क्योंकि
संभावनाओं का एक अभिन्न अंग है, तो मूल समस्या (13.1), (13.2) का अंतिम समाधान सूत्र द्वारा व्यक्त किया जा सकता है
.▲
अस्थिर मामले के लिए ऊष्मा समीकरण
गैर स्थिर, यदि शरीर का तापमान बिंदु की स्थिति और समय दोनों पर निर्भर करता है।
आइए हम इसे निरूपित करें और = और(एम, टी) एक बिंदु पर तापमान एमएक सतह से घिरा सजातीय शरीर एस, समय के क्षण में टी. इससे ज्ञात होता है कि ऊष्मा की मात्रा कितनी है डीक्यू, समय के साथ अवशोषित डीटी, समानता द्वारा व्यक्त किया जाता है
कहाँ डी एस− सतह तत्व, क− आंतरिक तापीय चालकता का गुणांक, − फ़ंक्शन का व्युत्पन्न औरसतह के बाहरी अभिलम्ब की दिशा में एस. चूँकि यह तापमान घटने की दिशा में फैलता है डीक्यू> 0 यदि > 0, और डीक्यू < 0, если < 0.
समानता (1) से यह अनुसरण करता है
अब आइए खोजें क्यूएक और तरीका। तत्व का चयन करें डीवीआयतन वी, सतह द्वारा सीमित एस. ऊष्मा की मात्रा डीक्यू, तत्व द्वारा प्राप्त किया गया डीवीदौरान डीटी, इस तत्व में तापमान में वृद्धि और तत्व के द्रव्यमान के समानुपाती होता है, अर्थात।
पदार्थ का घनत्व कहां है, आनुपातिकता गुणांक जिसे पदार्थ की ताप क्षमता कहा जाता है।
समानता (2) से यह अनुसरण करता है
इस प्रकार,
कहाँ । उस पर विचार करते हुए = , , हम पाते हैं
ओस्ट्रोग्रैडस्की-ग्रीन फॉर्मूला का उपयोग करके समानता के दाहिने हाथ को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं
किसी भी वॉल्यूम के लिए वी. यहाँ से हमें अवकल समीकरण प्राप्त होता है
जिसे कहा जाता है अस्थिर मामले के लिए ताप समीकरण.
यदि शरीर अक्ष के अनुदिश निर्देशित एक छड़ है ओह, तो ऊष्मा समीकरण का रूप होता है
निम्नलिखित मामलों के लिए कॉची समस्या पर विचार करें।
1. एक अनबाउंड रॉड का मामला.समीकरण (3) का हल खोजें ( टी> 0, ), प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करना। फूरियर विधि का उपयोग करके, हम फॉर्म में एक समाधान प्राप्त करते हैं
− पॉइसन इंटीग्रल.
2. रॉड केस, एक तरफ सीमित.प्रारंभिक स्थिति और सीमा स्थिति को संतुष्ट करने वाले समीकरण (3) का समाधान सूत्र द्वारा व्यक्त किया गया है
3. रॉड केस, दोनों तरफ सीमित.कॉची समस्या यह है कि कब एक्स= 0 और एक्स = एलसमीकरण (3) का एक समाधान ढूंढें जो प्रारंभिक स्थिति और दो सीमा शर्तों को संतुष्ट करता है, उदाहरण के लिए, या।
इस मामले में, एक श्रृंखला के रूप में एक विशेष समाधान खोजा जाता है
सीमा शर्तों के लिए,
और एक श्रृंखला के रूप में
सीमा शर्तों के लिए.
उदाहरण।समीकरण का हल खोजें
प्रारंभिक शर्तों को पूरा करना
और सीमा शर्तें.
□ हम फॉर्म में कॉची समस्या का समाधान ढूंढेंगे
इस प्रकार,
स्थिर मामले के लिए ऊष्मा समीकरण
शरीर में ऊष्मा का वितरण कहलाता है अचल, यदि शरीर का तापमान औरबिंदु की स्थिति पर निर्भर करता है एम(एक्स, पर, जेड), लेकिन समय पर निर्भर नहीं है टी, अर्थात।
और = और(एम) = और(एक्स, पर, जेड).
इस स्थिति में, 0 और स्थिर मामले के लिए ऊष्मा चालन समीकरण बन जाता है लाप्लास का समीकरण
जिसे अक्सर इस प्रकार लिखा जाता है।
तापमान के लिए औरशरीर में इस समीकरण से विशिष्ट रूप से निर्धारित किया गया था, आपको सतह पर तापमान जानने की जरूरत है एसशव. इस प्रकार, समीकरण (1) के लिए सीमा मूल्य समस्या निम्नानुसार तैयार की गई है।
फ़ंक्शन ढूंढें और, आयतन के अंदर समीकरण (1) को संतुष्ट करना वीऔर प्रत्येक बिंदु पर प्राप्त करना एमसतह एसमान निर्धारित करें
इस कार्य को कहा जाता है डिरिचलेट समस्याया पहली सीमा मान समस्यासमीकरण (1) के लिए.
यदि शरीर की सतह पर तापमान अज्ञात है, और सतह पर प्रत्येक बिंदु पर ताप प्रवाह ज्ञात है, जो आनुपातिक है, तो सतह पर एससीमा शर्त (2) के बजाय हमारे पास शर्त होगी
समीकरण (1) का समाधान खोजने की समस्या जो सीमा शर्त (3) को संतुष्ट करती है, कहलाती है न्यूमैन समस्याया दूसरी सीमा मान समस्या.
समतल आकृतियों के लिए, लाप्लास का समीकरण इस प्रकार लिखा जाता है
लाप्लास समीकरण का स्थान के लिए समान रूप है यदि औरसमन्वय पर निर्भर नहीं है जेड, अर्थात। और(एम) बिंदु के हिलने पर एक स्थिर मान बनाए रखता है एमअक्ष के समानान्तर एक सीधी रेखा में आउंस.
प्रतिस्थापित करके, समीकरण (4) को ध्रुवीय निर्देशांक में परिवर्तित किया जा सकता है
एक हार्मोनिक फ़ंक्शन की अवधारणा लाप्लास के समीकरण से जुड़ी है। फ़ंक्शन को कॉल किया जाता है लयबद्धक्षेत्र में डी, यदि इस क्षेत्र में यह अपने व्युत्पन्नों के साथ दूसरे क्रम तक निरंतर है और लाप्लास समीकरण को संतुष्ट करता है।
उदाहरण।थर्मल इंसुलेटेड साइड सतह वाली एक पतली छड़ में स्थिर तापमान वितरण का पता लगाएं, यदि छड़ के सिरों पर,।
□ हमारे पास एक-आयामी मामला है। एक फ़ंक्शन ढूंढने की आवश्यकता है और, समीकरण और सीमा शर्तों को संतुष्ट करना , . सामान्य समीकरणसंकेतित समीकरण का रूप है। सीमा शर्तों को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं
इस प्रकार, थर्मल इंसुलेटेड साइड सतह वाली पतली छड़ में तापमान वितरण रैखिक होता है। ■
एक वृत्त के लिए डिरिचलेट समस्या
मान लीजिए त्रिज्या का एक वृत्त दिया गया है आरध्रुव पर केन्द्रित के बारे मेंध्रुवीय समन्वय प्रणाली. एक ऐसे फ़ंक्शन को ढूंढना आवश्यक है जो एक सर्कल में हार्मोनिक है और उसके सर्कल पर स्थिति को संतुष्ट करता है, जहां एक दिया गया फ़ंक्शन है जो सर्कल पर निरंतर है। आवश्यक फ़ंक्शन को वृत्त में लाप्लास समीकरण को संतुष्ट करना होगा
फूरियर विधि का उपयोग करके, कोई भी प्राप्त कर सकता है
− पॉइसन इंटीग्रल.
उदाहरण।त्रिज्या की एक समान पतली गोलाकार प्लेट पर स्थिर तापमान वितरण ज्ञात कीजिए आर, ऊपरी आधे हिस्से को तापमान पर और निचले आधे हिस्से को तापमान पर बनाए रखा जाता है।
□ यदि, तब, और यदि, तब। तापमान वितरण अभिन्न द्वारा व्यक्त किया जाता है
मान लीजिए कि बिंदु ऊपरी अर्धवृत्त में स्थित है, अर्थात। ; से भिन्न होता है, और इस लंबाई अंतराल में बिंदु नहीं होते हैं। इसलिए, हम प्रतिस्थापन का परिचय देते हैं, जहां से,। फिर हमें मिलता है
तो फिर दाहिना पक्ष नकारात्मक है औरअसमानताओं को संतुष्ट करता है। इस मामले के लिए हमें समाधान मिलता है
यदि बिंदु निचले अर्धवृत्त में स्थित है, अर्थात। , तब परिवर्तन के अंतराल में बिंदु होता है, लेकिन 0 नहीं होता है, और हम प्रतिस्थापन कर सकते हैं, जिससे, फिर इन मूल्यों के लिए हमारे पास है
इसी तरह के परिवर्तन करते हुए, हम पाते हैं
चूँकि दाहिना भाग अब सकारात्मक है। ■
ऊष्मा समीकरण को हल करने के लिए परिमित अंतर विधि
मान लीजिए हमें समीकरण का हल ढूंढना है
संतुष्टि देने वाला:
आरंभिक दशा
और सीमा शर्तें
इसलिए, समीकरण (1) का एक समाधान ढूंढना आवश्यक है जो शर्तों (2), (3), (4) को संतुष्ट करता है, यानी। यदि आवश्यक फ़ंक्शन के मान इसके तीन पक्षों पर दिए गए हैं, तो रेखाओं से घिरे एक आयत में एक समाधान ढूंढना आवश्यक है।
आइए सीधी रेखाओं द्वारा निर्मित एक आयताकार ग्रिड बनाएं
- अक्ष के अनुदिश कदम रखें ओह;
- अक्ष के अनुदिश कदम रखें से.
आइए निम्नलिखित संकेतन का परिचय दें:
परिमित भिन्नता की अवधारणा से हम लिख सकते हैं
इसी तरह
सूत्र (6), (7) और प्रस्तुत अंकन को ध्यान में रखते हुए, हम समीकरण (1) को फॉर्म में लिखते हैं
यहां से हमें गणना सूत्र प्राप्त होता है
(8) से यह निष्कर्ष निकलता है कि यदि k के तीन मान हैं कग्रिड की परत: , , , तो आप ( में मान निर्धारित कर सकते हैं क+ 1)वीं परत।
प्रारंभिक शर्त (2) आपको लाइन पर सभी मान खोजने की अनुमति देती है; सीमा स्थितियाँ (3), (4) हमें रेखाओं पर मान खोजने की अनुमति देती हैं। सूत्र (8) का उपयोग करके, हम अगली परत के सभी आंतरिक बिंदुओं पर मान पाते हैं, अर्थात। के लिए क= 1. चरम बिंदुओं पर वांछित फ़ंक्शन का मान सीमा शर्तों (3), (4) से जाना जाता है। एक ग्रिड परत से दूसरे में जाते हुए, हम सभी ग्रिड नोड्स पर वांछित समाधान के मान निर्धारित करते हैं। ;
आइए ऊष्मा समीकरण के लिए पहली मिश्रित समस्या को हल करें: समीकरण का एक समाधान u(x, t) ढूंढें जो प्रारंभिक स्थिति और सीमा शर्तों को संतुष्ट करता है। आइए शुरुआत करें सबसे सरल कार्य: एक सजातीय समीकरण का एक समाधान ढूंढें जो प्रारंभिक स्थिति और शून्य (सजातीय) सीमा शर्तों को संतुष्ट करता है गर्मी समीकरण के लिए फूरियर विधि हम समीकरण (4) के गैर-तुच्छ समाधान की तलाश करेंगे जो सीमा शर्तों (6) को संतुष्ट करते हैं ), फॉर्म Psdstaapya में फॉर्म (7) में समीकरण (4), हम प्राप्त करते हैं या जहां से हमारे पास फॉर्म (7) के गैर-तुच्छ समाधान यू (एक्स, *) प्राप्त करने के लिए है जो सीमा को संतुष्ट करते हैं स्थितियाँ (6), समीकरण (10) के गैर-तुच्छ समाधान ढूंढना आवश्यक है जो सीमा शर्तों को पूरा करते हैं, इस प्रकार, फ़ंक्शन एक्स (एक्स) को निर्धारित करने के लिए, हम आइगेनवेल्यू समस्या पर आते हैं: पैरामीटर ए के उन मानों को ढूंढें। जिसके लिए समस्या के गैर-तुच्छ समाधान मौजूद हैं। इस समस्या पर पिछले अध्याय में विचार किया गया था। वहां यह दिखाया गया कि केवल गैर-तुच्छ समाधान होते हैं जब ए = ए„, समीकरण (9) के सामान्य समाधान का रूप समीकरण (4) और सीमा शर्तों (6) को संतुष्ट करता है। आइए हम एक औपचारिक श्रृंखला बनाएं जिसके लिए आवश्यक है कि सूत्र (12) द्वारा परिभाषित फ़ंक्शन यू (एक्स) टी), प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करे, हमें श्रृंखला (13) एक विस्तार मिलती है दिया गया कार्य अंतराल (O, I) में ज्याओं की फूरियर श्रृंखला में। विस्तार के गुणांक a„ ज्ञात सूत्रों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं। ताप समीकरण के लिए फूरियर विधि। आइए मान लें कि सूत्र (14) द्वारा निर्धारित गुणांक के साथ श्रृंखला (13) पूर्ण रूप से और समान रूप से कार्य में परिवर्तित हो जाएगी। तब से श्रृंखला भी पूर्णतया और समान रूप से अभिसरित होती है। इसलिए, फलन u(x, t) - श्रृंखला का योग (12) - क्षेत्र में निरंतर है और प्रारंभिक और सीमा शर्तों को पूरा करता है। यह दिखाना बाकी है कि फ़ंक्शन u(x, t) क्षेत्र 0 में समीकरण (4) को संतुष्ट करता है। ऐसा करने के लिए, यह दिखाना पर्याप्त है कि (12) से प्राप्त श्रृंखला पद-दर-अवधि विभेदन के संबंध में है t एक बार और x के संबंध में पद-दर-पद विभेदन से दो बार भी पूर्ण रूप से और समान रूप से अभिसरण होते हैं। लेकिन यह इस तथ्य से निकलता है कि किसी भी t > 0 के लिए यदि n पर्याप्त बड़ा है। समस्या (4)-(6) के समाधान की विशिष्टता और प्रारंभिक कार्य पर समाधान की निरंतर निर्भरता पहले ही स्थापित की जा चुकी है। इस प्रकार, t > 0 के लिए, समस्या (4)-(6) सही ढंग से तैयार की गई है; इसके विपरीत, नकारात्मक टी के लिए यह समस्या गलत है। टिप्पणी। घर के समीकरण के विपरीत, समीकरण समय t के बारे में गैर-सममितीय है: यदि हम t को -t से प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें एक अलग प्रकार का समीकरण मिलता है जो अपरिवर्तनीय प्रक्रियाओं का वर्णन करता है: हम भविष्यवाणी कर सकते हैं कि एक अवधि के बाद दिया गया क्या होगा समय t दिया गया है, लेकिन हम निश्चित रूप से यह नहीं कह सकते कि विचाराधीन क्षण से पहले समय t पर यह कैसे घटित हुआ। भविष्यवाणी और इतिहास के बीच यह संबंध एक परवलयिक समीकरण के लिए विशिष्ट है और उदाहरण के लिए, एक तरंग समीकरण के लिए ऐसा नहीं होता है; उत्तरार्द्ध के मामले में, अतीत में देखना उतना ही आसान है जितना कि भविष्य में। उदाहरण। लंबाई x की एक सजातीय छड़ में तापमान वितरण ज्ञात करें यदि छड़ का प्रारंभिक तापमान और छड़ के सिरों पर शून्य तापमान बनाए रखा जाता है। 4 समस्या को प्रारंभिक स्थिति और सीमा शर्तों के साथ समीकरण को हल करने के लिए कम कर दिया गया है। फूरियर विधि का उपयोग करके, हम समीकरण (15) के लिए गैर-तुच्छ समाधान ढूंढते हैं जो यू (एक्स) को प्रतिस्थापित करते हुए सीमा शर्तों (17) को संतुष्ट करते हैं। टी) फॉर्म (18) में समीकरण (15) में और चर को अलग करने पर, हमें समस्या के आइगेनवैल्यू मिलते हैं। eigenfunctions Xn(x) = mp nx। जब A = A„, तो समीकरण (19) के सामान्य समाधान का रूप Tn(t) = ane a n\ होता है, इसलिए हम समस्या (15)-(17) के समाधान को एक श्रृंखला के रूप में खोजते हैं प्रारंभिक स्थिति (16) की, हम इससे प्राप्त करते हैं। इसलिए, मूल समस्या का समाधान फ़ंक्शन 2 होगा। आइए अब निम्नलिखित समस्या पर विचार करें: प्रारंभिक स्थिति और सजातीय सीमा शर्तों को संतुष्ट करने वाले अमानवीय समीकरण का एक समाधान rx(x, t) ढूंढें। मान लें कि फ़ंक्शन / है सतत, एक सतत व्युत्पन्न है, और सभी के लिए t > 0 शर्त पूरी होती है। हम समस्या (1)-(3) के समाधान को उस रूप में खोजेंगे जहां हम इसे समस्या के समाधान के रूप में परिभाषित करते हैं और फ़ंक्शन - समस्या के समाधान के रूप में समस्या (8)-(10) को पैराग्राफ में माना जाता है 1. हम समस्या (5)-(7) के समाधान v(x, t) को समीकरण (5) के रूप में eigenfunctions (सीमा मान समस्या के। Subgaaaya t) में एक श्रृंखला के रूप में खोजेंगे। हम साइन में फ़ंक्शन /ओएम को फूरियर श्रृंखला में विस्तारित करते हैं, जहां फूरियर श्रृंखला में दो विस्तार (12) और (13) फ़ंक्शन /(x, t) की तुलना करने पर, हमें मिलता है! v(x, t) के लिए प्रारंभिक स्थिति, ऊष्मा समीकरण के लिए फूरियर विधि का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं कि प्रारंभिक स्थितियों (16) के तहत समीकरणों (15) के समाधान का रूप इस प्रकार है: Tn(t) के लिए पाए गए भावों को श्रृंखला में प्रतिस्थापित करना (11), हम समाधान प्राप्त करते हैं फ़ंक्शन मूल समस्या का समाधान होगा (1)-(3)। 3. समस्या पर विचार करें: प्रारंभिक स्थिति और अमानवीय सीमा स्थितियों के तहत डोमेन में समीकरण का समाधान ढूंढें। स्थितियों की विषमता (20) के कारण फूरियर विधि सीधे लागू नहीं होती है। आइए हम एक नया अज्ञात फ़ंक्शन v(x, t) प्रस्तुत करें, जिसे सेट करते हुए समस्या (18)-(20) का समाधान पैराग्राफ 2 में मानी गई समस्या (1)-(3) के समाधान में घटा दिया जाएगा। फ़ंक्शन v(x, J). अभ्यास 1. एक अनंत सजातीय छड़ दी गई है। दिखाएँ कि यदि प्रारंभिक तापमान है तो तुरंत छड़ का तापमान 2. लंबाई w की छड़ के सिरों को शून्य के बराबर तापमान पर बनाए रखा जाता है। प्रारंभिक तापमान किसी भी समय t > 0 के लिए छड़ का तापमान निर्धारित करें सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है। 3. लंबाई I की छड़ के सिरों को शून्य के बराबर तापमान पर बनाए रखा जाता है। छड़ का प्रारंभिक तापमान किसी भी समय t > 0 के लिए छड़ का तापमान निर्धारित करें सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है। 4. लंबाई I की छड़ के सिरों को शून्य के बराबर तापमान पर बनाए रखा जाता है। प्रारंभिक तापमान वितरण किसी भी समय t > 0 के लिए रॉड का तापमान निर्धारित करें। उत्तर
