≡× JÍDELNÍ LÍSTEK

• Interiér
• Okno
• Stěny
• Projekty
• Budovy

Řešení soustav rovnic sčítáním online. Lineární rovnice. Řešení soustav lineárních rovnic. Způsob sčítání

Metoda algebraické sčítání

Můžete řešit soustavu rovnic se dvěma neznámými různé způsoby- grafická metoda nebo metoda náhrady proměnných.

V této lekci se seznámíme s další metodou řešení soustav, která se vám pravděpodobně bude líbit – je to metoda algebraického sčítání.

Kde se vzal nápad dát něco do systémů? Při řešení soustav hlavní problém je přítomnost dvou proměnných, protože nevíme, jak řešit rovnice se dvěma proměnnými. To znamená, že jeden z nich musí být nějakým právním způsobem vyloučen. A takhle právní cestou jsou matematická pravidla a vlastnosti.

Jednou z těchto vlastností je: součet opačných čísel je nula. To znamená, že pokud má jedna z proměnných opačné koeficienty, pak se jejich součet bude rovnat nule a budeme moci tuto proměnnou z rovnice vyloučit. Je jasné, že nemáme právo přidávat pouze termíny s proměnnou, kterou potřebujeme. Musíte sečíst celé rovnice, tzn. samostatně složené podobné termíny na levé straně, pak na pravé. Výsledkem je nová rovnice obsahující pouze jednu proměnnou. Podívejme se na to, co bylo řečeno, na konkrétních příkladech.

Vidíme, že v první rovnici je proměnná y a ve druhé opačné číslo-y. To znamená, že tuto rovnici lze vyřešit sčítáním.

Jedna z rovnic je ponechána tak, jak je. Každý, koho máte nejraději.

Ale druhá rovnice bude získána sčítáním těchto dvou rovnic po členech. Tito. Přidáme 3x s 2x, přidáme y s -y, přidáme 8 se 7.

Získáme soustavu rovnic

Druhá rovnice tohoto systému je jednoduchá rovnice s jednou proměnnou. Z ní zjistíme x = 3. Dosazením nalezené hodnoty do první rovnice zjistíme y = -1.

Odpověď: (3; - 1).

Vzorový design:

Řešte soustavu rovnic metodou algebraického sčítání

V tomto systému nejsou žádné proměnné s opačnými koeficienty. Ale víme, že obě strany rovnice lze vynásobit stejným číslem. Vynásobme první rovnici soustavy 2.

Pak bude mít první rovnice tvar:

Nyní vidíme, že proměnná x má opačné koeficienty. To znamená, že uděláme totéž jako v prvním příkladu: jednu z rovnic ponecháme beze změny. Například 2y + 2x = 10. A druhou získáme sčítáním.

Nyní máme soustavu rovnic:

Z druhé rovnice snadno zjistíme y = 1 a poté z první rovnice x = 4.

Vzorový design:

Pojďme si to shrnout:

Naučili jsme se řešit systémy dvou lineární rovnice se dvěma neznámými pomocí metody algebraického sčítání. Nyní tedy známe tři hlavní metody řešení takových systémů: grafickou, metodu proměnných náhrad a metodu sčítání. Těmito metodami lze vyřešit téměř jakýkoli systém. Ve složitějších případech se používá kombinace těchto technik.

Seznam použité literatury:

1. Mordkovich A.G., Algebra 7. ročník ve 2 dílech, 1. díl, Učebnice pro všeobecně vzdělávací instituce / A.G. Mordkovič. – 10. vydání, revidováno – Moskva, „Mnemosyne“, 2007.
2. Mordkovich A.G., Algebra 7. ročník ve 2 dílech, 2. díl, Problémová kniha pro vzdělávací instituce / [A.G. Mordkovich a další]; upravil A.G. Mordkovich - 10. vydání, revidované - Moskva, "Mnemosyne", 2007.
3. JEJÍ. Tulchinskaya, Algebra 7. třída. Bleskový průzkum: příručka pro studenty všeobecně vzdělávacích institucí, 4. vydání, revidovaná a rozšířená, Moskva, Mnemosyne, 2008.
4. Alexandrova L.A., Algebra 7. třída. Tematický zkušební práce v nové podobě pro studenty všeobecně vzdělávacích institucí, zpracoval A.G. Mordkovich, Moskva, „Mnemosyne“, 2011.
5. Alexandrova L.A. Algebra 7. třída. Samostatná práce pro studenty všeobecně vzdělávacích institucí, upravil A.G. Mordkovich - 6. vydání, stereotypní, Moskva, „Mnemosyne“, 2010.

Soustava lineárních rovnic se dvěma neznámými jsou dvě nebo více lineárních rovnic, pro které je nutné najít všechny obecná řešení. Budeme uvažovat soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých. Obecná forma systém dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými je znázorněn na obrázku níže:

( a1*x + b1*y = c1,
(a2*x + b2*y = c2

Zde x a y jsou neznámé proměnné, a1, a2, b1, b2, c1, c2 jsou nějaká reálná čísla. Řešením soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých je dvojice čísel (x,y) taková, že pokud tato čísla dosadíme do rovnic soustavy, pak se každá z rovnic soustavy změní ve skutečnou rovnost. Existuje několik způsobů, jak vyřešit systém lineárních rovnic. Uvažujme jeden ze způsobů řešení soustavy lineárních rovnic, a to metodu sčítání.

Algoritmus řešení metodou sčítání

Algoritmus pro řešení soustavy lineárních rovnic o dvou neznámých metodou sčítání.

1. V případě potřeby do ekvivalentní transformace vyrovnat koeficienty jedné z neznámých proměnných v obou rovnicích.

2. Sečtením nebo odečtením výsledných rovnic získáte lineární rovnici s jednou neznámou

3. Vyřešte výslednou rovnici s jednou neznámou a najděte jednu z proměnných.

4. Dosaďte výsledný výraz do libovolné ze dvou rovnic soustavy a tuto rovnici vyřešte, čímž získáte druhou proměnnou.

5. Zkontrolujte řešení.

Příklad řešení pomocí adiční metody

Pro větší názornost vyřešme následující soustavu lineárních rovnic se dvěma neznámými pomocí sčítací metody:

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

Protože žádná z proměnných nemá shodné koeficienty, vyrovnáme koeficienty proměnné y. Chcete-li to provést, vynásobte první rovnici třemi a druhou rovnici dvěma.

(3*x+2*y=10 |*3
(5*x + 3*y = 12 |*2

Dostaneme následující soustava rovnic:

(9*x+6*y = 30;
(10*x+6*y=24;

Nyní odečteme první od druhé rovnice. Uvedeme podobné členy a vyřešíme výslednou lineární rovnici.

10*x+6*y - (9*x+6*y) = 24-30; x = -6;

Výslednou hodnotu dosadíme do první rovnice z naší původní systém a vyřešit výslednou rovnici.

(3*(-6) + 2*y = 10;
(2*y=28; y=14;

Výsledkem je dvojice čísel x=6 a y=14. Provádíme kontrolu. Udělejme náhradu.

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

{3*(-6) + 2*(14) = 10;
{5*(-6) + 3*(14) = 12;

{10 = 10;
{12=12;

Jak vidíte, dostali jsme dvě správné rovnosti, proto jsme našli správné řešení.

Používání rovnic je v našich životech velmi rozšířené. Používají se v mnoha výpočtech, stavbě konstrukcí a dokonce i ve sportu. Člověk používal rovnice ve starověku a od té doby se jejich používání jen zvyšuje. Pouze vlastním řešením soustav rovnic různé složitosti se naučíte rychle určovat metody řešení libovolné soustavy. Někdy může být docela obtížné systém vyřešit kvadratické rovnice. Nejčastěji používanou metodou řešení těchto rovnic je však metoda substituce/sčítání.

Předpokládejme, že máme následující soustavu rovnic:

\[\left\(\začátek(matice) x^2-xy = 3, \\ y^2-xy = -2 \end(matice)\vpravo.\]

Přidejme rovnice soustavy:

\[\left\(\začátek(matice) x^2 - xy = 3, \\ x^2 - 2xy + y = 1. \end(matice)\vpravo.\]

Pojďme vyřešit výsledný systém:

\[\left\(\začátek(matice) x(x -y) = 3, \\ (x - y)^2= 1; \end(matice)\vpravo.\]

\[(x - y) = -1 \] nebo \[(x - y) = 1\] - získáme ze 2 rovnic

Dosadíme 1 nebo -1 za 1:

\ nebo \

Protože nyní známe hodnotu jedné neznámé, můžeme najít druhou:

\[-3 - y= -1\] nebo \

\ nebo \

Odpověď: \[(-3; -2); (3; 4)\]

Pokud potřebujete vyřešit soustavu 2 stupňů a 1 lineární, pak můžete vyjádřit 1 z proměnných z lineární a tuto rovnici dosadit do kvadratické.

Kde mohu vyřešit systém kvadratických rovnic online pomocí kalkulačky?

Systém rovnic můžete řešit online na našem webu https://site. Bezplatný online řešitel vám umožní řešit online rovnice jakékoli složitosti během několika sekund. Vše, co musíte udělat, je jednoduše zadat svá data do řešitele. Na našem webu si také můžete prohlédnout video návod a naučit se rovnici řešit. A pokud máte další otázky, můžete je položit v naší skupině VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Přidejte se k naší skupině, vždy vám rádi pomůžeme.

Pomocí metody sčítání se rovnice systému sčítají po členech a jednu nebo obě (několik) rovnic lze násobit libovolným číslem. Výsledkem je ekvivalentní SLE, kde v jedné z rovnic je pouze jedna proměnná.

K vyřešení systému metoda sčítání (odčítání) po členu Následuj tyto kroky:

1. Vyberte proměnnou, pro kterou budou vytvořeny stejné koeficienty.

2. Nyní je potřeba rovnice sečíst nebo odečíst a získat rovnici s jednou proměnnou.

Systémové řešení- to jsou průsečíky grafů funkcí.

Podívejme se na příklady.

Příklad 1

Daný systém:

Po analýze tohoto systému si můžete všimnout, že koeficienty proměnné jsou stejné velikosti a různé ve znaménku (-1 a 1). V tomto případě lze rovnice snadno přidat po členech:

Provádíme činnosti zakroužkované v našich myslích červeně.

Výsledkem sčítání po členech bylo vymizení proměnné y. To je právě smysl metody – zbavit se jedné z proměnných.

-4 - y + 5 = 0 → y = 1,

V systémové podobě vypadá řešení asi takto:

Odpovědět: X = -4 , y = 1.

Příklad 2

Daný systém:

V tomto příkladu můžete použít „školní“ metodu, která má ale poměrně velkou nevýhodu – když vyjádříte libovolnou proměnnou z libovolné rovnice, dostanete řešení v obyčejných zlomcích. Řešení zlomků ale zabere hodně času a pravděpodobnost chyb se zvyšuje.

Proto je lepší používat po členech sčítání (odčítání) rovnic. Pojďme analyzovat koeficienty odpovídajících proměnných:

Musíte najít číslo, kterým lze dělit 3 a dál 4 , a je nutné, aby toto číslo bylo co nejmenší. Tento nejmenší společný násobek. Pokud je pro vás těžké najít vhodné číslo, můžete koeficienty vynásobit: .

Další krok:

První rovnici vynásobíme ,

Třetí rovnici vynásobíme ,

Pojďme analyzovat dva typy řešení soustav rovnic:

1. Řešení soustavy substituční metodou.
2. Řešení soustavy sčítáním (odečítáním) soustav soustavy po členech.

Abychom vyřešili soustavu rovnic substituční metodou musíte postupovat podle jednoduchého algoritmu:
1. Expresní. Z libovolné rovnice vyjádříme jednu proměnnou.
2. Náhradník. Výslednou hodnotu dosadíme do jiné rovnice místo vyjádřené proměnné.
3. Výslednou rovnici řešte s jednou proměnnou. Najdeme řešení systému.

Vyřešit soustava metodou sčítání (odčítání) člen po členu potřebovat:
1. Vyberte proměnnou, pro kterou uděláme shodné koeficienty.
2. Sečteme nebo odečteme rovnice, výsledkem je rovnice s jednou proměnnou.
3. Vyřešte výslednou lineární rovnici. Najdeme řešení systému.

Řešením systému jsou průsečíky grafů funkcí.

Podívejme se podrobně na řešení systémů pomocí příkladů.

Příklad č. 1:

Řešíme substituční metodou

Řešení soustavy rovnic substituční metodou

2x+5y=1 (1 rovnice)
x-10y=3 (2. rovnice)

1. Expresní
Je vidět, že ve druhé rovnici je proměnná x s koeficientem 1, což znamená, že je nejjednodušší vyjádřit proměnnou x z druhé rovnice.
x = 3 + 10 let

2.Poté, co jsme ji vyjádřili, dosadíme do první rovnice místo proměnné x 3+10y.
2(3+10y)+5y=1

3. Výslednou rovnici řešte s jednou proměnnou.
2(3+10y)+5y=1 (otevřete závorky)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Řešením soustavy rovnic jsou průsečíky grafů, proto potřebujeme najít x a y, protože průsečík se skládá z x a y, do prvního bodu, kde jsme to vyjádřili, dosadíme y.
x = 3 + 10 let
x=3+10*(-0,2)=1

Bývá zvykem psát body na prvním místě zapíšeme proměnnou x a na druhém místě proměnnou y.
Odpověď: (1; -0,2)

Příklad č. 2:

Řešíme metodou sčítání (odčítání) po členu.

Řešení soustavy rovnic metodou sčítání

3x-2y=1 (1 rovnice)
2x-3y=-10 (2. rovnice)

1. Vybereme proměnnou, řekněme, že zvolíme x. V první rovnici má proměnná x koeficient 3, ve druhé - 2. Potřebujeme, aby koeficienty byly stejné, k tomu máme právo rovnice násobit nebo dělit libovolným číslem. Vynásobíme první rovnici 2 a druhou 3 a dostaneme celkový koeficient 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Odečtěte druhou od první rovnice, abyste se zbavili proměnné x. Řešte lineární rovnici.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6,4

3. Najděte x. Nalezené y dosadíme do kterékoli z rovnic, řekněme do rovnice první.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x = 1 + 12,8
3x=13,8 |:3
x = 4,6

Průsečík bude x=4,6; y=6,4
Odpověď: (4.6; 6.4)

Chcete se připravit na zkoušky zdarma? Tutor online zdarma. Bez legrace.