বাড়ি > মই > বাস্তব সংখ্যার স্বতঃসিদ্ধ। একটি তত্ত্ব নির্মাণের স্বতঃসিদ্ধ পদ্ধতিতে। একটি প্রাকৃতিক সংখ্যার সংজ্ঞা পূর্ণসংখ্যার একটি সিস্টেমের Axiomatic সংজ্ঞা

বাস্তব সংখ্যার স্বতঃসিদ্ধ। একটি তত্ত্ব নির্মাণের স্বতঃসিদ্ধ পদ্ধতিতে। একটি প্রাকৃতিক সংখ্যার সংজ্ঞা পূর্ণসংখ্যার একটি সিস্টেমের Axiomatic সংজ্ঞা

প্রকৃত সংখ্যা, (তথাকথিত R কাটা) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, যোগ করার ক্রিয়াকলাপ (“+”) চালু করা হয়, অর্থাৎ, প্রতিটি জোড়া উপাদান ( এক্স,y) বাস্তব সংখ্যার সেট থেকে, উপাদান এক্স + yএকই সেট থেকে, যাকে যোগফল বলা হয় এক্সএবং y .

গুণের স্বতঃসিদ্ধ

গুণের ক্রিয়াকলাপ ("·") চালু করা হয়েছে, অর্থাৎ, প্রতিটি জোড়া উপাদান ( এক্স,y) বাস্তব সংখ্যার সেট থেকে, একটি উপাদান বরাদ্দ করা হয় (বা, সংক্ষেপে, এক্সy) একই সেট থেকে, পণ্য বলা হয় এক্সএবং y .

যোগ এবং গুণের মধ্যে সম্পর্ক

আদেশের স্বতঃসিদ্ধ

অর্ডার রিলেশন "" (এর চেয়ে কম বা সমান) দেওয়া আছে, অর্থাৎ যে কোনো জোড়ার জন্য x, yঅন্তত একটি শর্ত বা .

আদেশ এবং সংযোজনের মধ্যে সম্পর্ক

ক্রম এবং গুণের মধ্যে সম্পর্ক

ধারাবাহিকতার স্বতঃসিদ্ধ

একটি মন্তব্য

এই স্বতঃসিদ্ধ মানে যদি এক্সএবং Y- বাস্তব সংখ্যার দুটি অ-খালি সেট যেমন যে কোনো উপাদান থেকে এক্সথেকে কোন উপাদান অতিক্রম করে না Y, তারপর এই সেটগুলির মধ্যে একটি বাস্তব সংখ্যা সন্নিবেশ করা যেতে পারে। মূলদ সংখ্যার জন্য, এই স্বতঃসিদ্ধ হয় না; ক্লাসিক উদাহরণ: ধনাত্মক মূলদ সংখ্যা বিবেচনা করুন এবং সেটে তাদের বরাদ্দ করুন এক্সযে সংখ্যার বর্গ 2 এর কম, এবং বাকি - থেকে Y. তারপর মাঝখানে এক্সএবং Yআপনি একটি মূলদ সংখ্যা সন্নিবেশ করতে পারবেন না (মূলদ সংখ্যা নয়)।

এই মূল স্বতঃসিদ্ধ ঘনত্ব প্রদান করে এবং এইভাবে ক্যালকুলাস নির্মাণ সম্ভব করে তোলে। এর গুরুত্ব বোঝানোর জন্য আমরা এর দুটি মৌলিক পরিণতি তুলে ধরছি।

স্বতঃসিদ্ধের পরিণতি

বাস্তব সংখ্যার কিছু গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য সরাসরি স্বতঃসিদ্ধ থেকে অনুসরণ করে, উদাহরণস্বরূপ,

শূন্যের স্বতন্ত্রতা,
বিপরীত এবং বিপরীত উপাদানের স্বতন্ত্রতা।

সাহিত্য

জোরিখ ভি.এ.গাণিতিক বিশ্লেষণ। ভলিউম I. এম.: ফাজিস, 1997, অধ্যায় 2।

আরো দেখুন

লিঙ্ক

উইকিমিডিয়া ফাউন্ডেশন। 2010

অন্যান্য অভিধানে "বাস্তব সংখ্যার Axiomatics" কী তা দেখুন:

একটি বাস্তব বা বাস্তব সংখ্যা হল একটি গাণিতিক বিমূর্ততা যা আমাদের চারপাশের বিশ্বের জ্যামিতিক এবং ভৌত পরিমাণ পরিমাপের প্রয়োজন থেকে উদ্ভূত হয়, সেইসাথে একটি রুট নেওয়া, লগারিদম গণনা করা, সমাধান করা ... ... উইকিপিডিয়া

বাস্তব বা বাস্তব সংখ্যা হল একটি গাণিতিক বিমূর্ততা যা পরিবেশন করে, বিশেষ করে, ভৌত পরিমাণের মানগুলিকে উপস্থাপন এবং তুলনা করতে। সরলরেখায় একটি বিন্দুর অবস্থান বর্ণনা করার জন্য এই ধরনের সংখ্যাকে স্বজ্ঞাতভাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে। ... ... উইকিপিডিয়া

উইকিনারীতে "স্বতঃসিদ্ধ" Axiom (ড. গ্রীক... উইকিপিডিয়া) বিষয়ে একটি নিবন্ধ রয়েছে

একটি স্বতঃসিদ্ধ যা বিভিন্ন স্বতঃসিদ্ধ সিস্টেমে ঘটে। বাস্তব সংখ্যার অ্যাক্সিম্যাটিক্স হিলবার্টের ইউক্লিডীয় জ্যামিতির স্বতঃসিদ্ধ

পূর্ণসংখ্যা সিস্টেম

প্রত্যাহার করুন যে প্রাকৃতিক সিরিজ বস্তুর গণনা করতে উপস্থিত হয়েছিল। কিন্তু যদি আমরা বস্তুর সাথে কিছু ক্রিয়া সম্পাদন করতে চাই, তাহলে আমাদের সংখ্যার উপর গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ দরকার। অর্থাৎ, যদি আমরা আপেল স্তুপ করতে বা একটি কেক ভাগ করতে চাই, তাহলে আমাদের এই ক্রিয়াগুলিকে সংখ্যার ভাষায় অনুবাদ করতে হবে।

উল্লেখ্য যে প্রাকৃতিক সংখ্যার ভাষায় ক্রিয়াকলাপগুলি + এবং * প্রবর্তন করতে, এই ক্রিয়াকলাপের বৈশিষ্ট্যগুলিকে সংজ্ঞায়িত করে এমন স্বতঃসিদ্ধ যোগ করা প্রয়োজন। কিন্তু তারপর প্রাকৃতিক সংখ্যার সেট নিজেই হয় প্রসারিত হয়.

আসুন দেখি কিভাবে প্রাকৃতিক সংখ্যার সেট প্রসারিত হয়। সবচেয়ে সহজ অপারেশন, যা প্রথমগুলির মধ্যে একটির প্রয়োজন ছিল, তা হল সংযোজন। আমরা যদি যোগের ক্রিয়াকে সংজ্ঞায়িত করতে চাই তবে আমাদের অবশ্যই এর বিপরীত, বিয়োগ সংজ্ঞায়িত করতে হবে। প্রকৃতপক্ষে, যদি আমরা জানি যে যোগের ফলে কী ঘটবে, উদাহরণস্বরূপ, 5 এবং 2, তাহলে আমরা অবশ্যই সমস্যাগুলি সমাধান করতে সক্ষম হব যেমন: 11 পেতে 4 এর সাথে কী যোগ করা উচিত। অর্থাৎ, যোগ সম্পর্কিত সমস্যাগুলি অবশ্যই হবে উত্পাদন এবং বিপরীত কর্ম ক্ষমতা প্রয়োজন - বিয়োগ. কিন্তু স্বাভাবিক সংখ্যার যোগ যদি আবার একটি স্বাভাবিক সংখ্যা দেয়, তাহলে প্রাকৃতিক সংখ্যার বিয়োগ করলে এমন একটি ফলাফল পাওয়া যায় যা N-এর সাথে খাপ খায় না। আরও কিছু সংখ্যা প্রয়োজন ছিল। একটি বৃহত্তর সংখ্যা থেকে বোধগম্য বিয়োগের সাথে সাদৃশ্য দ্বারা, একটি ছোট বড় সংখ্যা থেকে বিয়োগ করার জন্য একটি ছোট নিয়ম চালু করা হয়েছিল - এভাবেই ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা সংখ্যাগুলি উপস্থিত হয়েছিল।

ক্রিয়াকলাপ + এবং - সহ প্রাকৃতিক সিরিজের পরিপূরক, আমরা পূর্ণসংখ্যার একটি সেটে পৌঁছাই।

Z=N+অপারেশন(+-)

পাটিগণিতের ভাষা হিসাবে মূলদ সংখ্যার সিস্টেম

এখন পরবর্তী সবচেয়ে জটিল অপারেশন বিবেচনা করুন - গুণ। আসলে, এটি একটি একাধিক সংযোজন। এবং পূর্ণসংখ্যার গুণফল এখনও একটি পূর্ণসংখ্যা।

কিন্তু গুণের বিপরীত অপারেশন হল ভাগ। এবং এটি সর্বদা পুরো ফলাফল দেয় না। এবং আবার, আমরা একটি দ্বিধা-দ্বন্দের সম্মুখীন হচ্ছি - হয় এটিকে মঞ্জুর করে নিন যে বিভাজনের ফলাফল "অস্তিত্বশীল না" হতে পারে, বা কিছু নতুন ধরণের সংখ্যা নিয়ে আসতে পারে। এইভাবে মূলদ সংখ্যা হাজির।

আসুন পূর্ণসংখ্যার একটি সিস্টেম গ্রহণ করি এবং এটিকে স্বতঃসিদ্ধ সহ সম্পূরক করি যা গুণ এবং ভাগের ক্রিয়াকলাপকে সংজ্ঞায়িত করে। আমরা মূলদ সংখ্যার একটি সিস্টেম পাই।

Q=Z+অপারেশন(*/)

সুতরাং, মূলদ সংখ্যার ভাষা আমাদের উত্পাদন করতে দেয় সমস্ত গাণিতিক ক্রিয়াকলাপসংখ্যার উপর প্রাকৃতিক সংখ্যার ভাষা এর জন্য যথেষ্ট ছিল না।

মূলদ সংখ্যার সিস্টেমের একটি স্বতঃসিদ্ধ সংজ্ঞা দেওয়া যাক।

সংজ্ঞা। Q সেটটিকে মূলদ সংখ্যার সেট বলা হয় এবং এর উপাদানগুলিকে মূলদ সংখ্যা বলা হয়, যদি নিম্নলিখিত শর্তগুলির সেট, যাকে মূলদ সংখ্যার স্বতঃসিদ্ধ বলা হয়, সন্তুষ্ট হয়:

সংযোজন অপারেশনের স্বতঃসিদ্ধ। যেকোনো অর্ডার করা জুটির জন্য x,yথেকে উপাদান প্রকিছু উপাদান সংজ্ঞায়িত x+yнQ, যোগফল বলা হয় এক্সএবং এ. এই ক্ষেত্রে, নিম্নলিখিত শর্ত পূরণ করা হয়:

1. (শূন্যের অস্তিত্ব) একটি উপাদান আছে 0 (শূন্য) যেমন যে কোনোটির জন্য এক্সওকিউ

এক্স+0=0+এক্স=এক্স.

2. যেকোনো উপাদানের জন্য এক্সপ্রশ্ন একটি উপাদান আছে - এক্সн Q (বিপরীত এক্স) যেমন যে

এক্স+ (-এক্স) = (-এক্স) + এক্স = 0.

3. (commutativity) যে কোন জন্য x,yও প্র

4. (অ্যাসোসিয়েটিভিটি) যেকোনো x, y, zО Q-এর জন্য

x + (y + z) = (x + y) + z

গুণের ক্রিয়াকলাপের স্বতঃসিদ্ধ।

যেকোনো অর্ডার করা জুটির জন্য x, y Q থেকে উপাদান কিছু উপাদান সংজ্ঞায়িত করা হয় huн Q, পণ্যটিকে বলা হয় এক্সএবং yএই ক্ষেত্রে, নিম্নলিখিত শর্ত পূরণ করা হয়:

5. (একটি পরিচয় উপাদানের অস্তিত্ব) একটি উপাদান রয়েছে 1 О Q যেমন যে কোনোটির জন্য এক্সও প্র

এক্স . 1 = 1. x = x

6. কোনো উপাদান জন্য এক্সও প্রশ্ন , ( এক্স≠ 0) একটি বিপরীত উপাদান আছে এক্স-1 ≠0 যেমন

এক্স. x -1 = x -1. x = 1

7. (সহযোগিতা) যে কোনো জন্য x, y, zও প্র

এক্স . (এ . z) = (x . y) . z

8. (commutativity) যে কোন জন্য x, yও প্র

যোগ এবং গুণের মধ্যে সংযোগের স্বতঃসিদ্ধ।

9. (বন্টন) যে কোন জন্য x, y, zও প্র

(x+y) . z=x . z+y . z

আদেশের স্বতঃসিদ্ধ।

যেকোনো দুটি উপাদান x, y,н Q একটি তুলনা সম্পর্কে প্রবেশ করুন ≤। এই ক্ষেত্রে, নিম্নলিখিত শর্ত পূরণ করা হয়:

10. (এক্স≤এ)এল ( এ≤এক্স) ó x=y

11. (এক্স≤y)এল ( y≤ z) => এক্স≤z

12. যেকোনো জন্য x, yн Q বা x< у, либо у < x .

মনোভাব< называется строгим неравенством,

সম্পর্ক = Q থেকে উপাদানের সমতা বলা হয়।

যোগ এবং আদেশের মধ্যে সংযোগের স্বতঃসিদ্ধ।

13. যেকোনো x, y, z ОQ, (x £y) Þ x+z £y+z এর জন্য

গুণ এবং ক্রম মধ্যে সংযোগের স্বতঃসিদ্ধ.

14. (0 £ x)Ç(0 £ y) z (0 £ x´y)

আর্কিমিডিসের ধারাবাহিকতার স্বতঃসিদ্ধ।

15. যেকোনো a > b > 0 এর জন্য, m н N এবং n н Q যেমন m ³ 1, n আছে< b и a= mb+n.

*****************************************

সুতরাং, মূলদ সংখ্যার সিস্টেম হল পাটিগণিতের ভাষা।

যাইহোক, এই ভাষা ব্যবহারিক গণনাগত সমস্যা সমাধানের জন্য যথেষ্ট নয়।

স্কুলের গণিত কোর্সে, পরিমাপ করার প্রয়োজনীয়তার ভিত্তিতে বাস্তব সংখ্যাগুলি গঠনমূলক উপায়ে নির্ধারণ করা হয়েছিল। এই ধরনের একটি সংজ্ঞা কঠোর ছিল না এবং প্রায়শই গবেষকদের একটি মৃত প্রান্তে নিয়ে যায়। উদাহরণস্বরূপ, বাস্তব সংখ্যার ধারাবাহিকতার প্রশ্ন, অর্থাৎ এই সেটে শূন্যতা আছে কিনা। অতএব, গাণিতিক গবেষণা পরিচালনা করার সময়, অধ্যয়নের অধীনে ধারণাগুলির একটি কঠোর সংজ্ঞা থাকা প্রয়োজন, অন্তত কিছু স্বজ্ঞাত অনুমানের কাঠামোর মধ্যে যা অনুশীলনের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ।

সংজ্ঞা। উপাদানের সেট x, y, z, …, একাধিক উপাদান নিয়ে গঠিত,একটি সেট বলা হয় আরবাস্তব সংখ্যা, যদি এই বস্তুর জন্য নিম্নলিখিত ক্রিয়াকলাপ এবং সম্পর্ক স্থাপন করা হয়:

আমি স্বতঃসিদ্ধ গ্রুপসংযোজন অপারেশনের স্বতঃসিদ্ধ।

ভিড়ে আরসংযোজন ক্রিয়াকলাপটি চালু করা হয়েছে, যে কোনও জোড়া উপাদানের জন্য কএবং খ যোগফলএবং নির্দেশিত ক + খ
আমি 1. ক+খ=খ+ক, ক, খ আর .

আমি 2. ক+(b+c)=(a+b)+গ,ক, খ, গ আর .

I 3. এমন একটি উপাদান আছে যাকে বলা হয় শূন্যএবং 0 দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, যেটি যে কোনোটির জন্য ক আর অবস্থা ক+0=ক.

আমি 4. কোন উপাদান জন্য ক আর তাকে বলা একটি উপাদান আছে বিপরীতএবং নির্দেশিত - ক, কিসের জন্য ক+(-ক)=0। উপাদান ক+(-খ), ক, খ আর , বলা হয় পার্থক্যউপাদান কএবং খএবং নির্দেশিত ক - খ.

II – স্বতঃসিদ্ধ গ্রুপ - গুণের ক্রিয়াকলাপের স্বতঃসিদ্ধ. ভিড়ে আরঅপারেশন প্রবেশ গুণ, অর্থাৎ, উপাদানগুলির যেকোনো জোড়ার জন্য কএবং খএকটি একক উপাদান সংজ্ঞায়িত করা হয়, তাদের বলা হয় কাজএবং নির্দেশিত একটি খ, যাতে নিম্নলিখিত শর্তগুলি সন্তুষ্ট হয়:
II 1। ab=ba, a, খ আর .

II 2 ক(bc)=(ab)গ, ক, খ, গ আর .

II 3। নামক একটি উপাদান আছে ইউনিটএবং 1 দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, যেটির জন্য ক আর অবস্থা ক 1=ক.

II 4। যে কেউ জন্য ক 0 তাকে বলা হয় একটি উপাদান আছে বিপরীতএবং বা 1/ দ্বারা চিহ্নিত ক, কিসের জন্য ক=1। উপাদান ক , খ 0, বলা হয় ব্যক্তিগতবিভাগ থেকে কচালু খএবং নির্দেশিত ক:খবা বা ক/খ.

II 5। যোগ এবং গুণের ক্রিয়াকলাপের মধ্যে সম্পর্ক: যে কোনও জন্য ক, খ, গ আর শর্ত পূরণ হয় ( ac+b)c=ac+bc.

বস্তুর একটি সেট যা গ্রুপ I এবং II এর স্বতঃসিদ্ধকে সন্তুষ্ট করে তাকে একটি সংখ্যাসূচক ক্ষেত্র বা কেবল একটি ক্ষেত্র বলা হয়। এবং সংশ্লিষ্ট স্বতঃসিদ্ধগুলোকে ক্ষেত্র স্বতঃসিদ্ধ বলা হয়।

III - স্বতঃসিদ্ধ তৃতীয় গ্রুপ - আদেশের স্বতঃসিদ্ধ।উপাদান জন্য আরআদেশ সম্পর্ক সংজ্ঞায়িত করা হয়. এটি নিম্নলিখিতগুলি নিয়ে গঠিত। যেকোনো দুটি ভিন্ন উপাদানের জন্য কএবং খদুটি সম্পর্কের একটি থাকে: হয় ক খ(পড়ুন" ককম বা সমান খ"), বা ক খ(পড়ুন" কবেশি বা সমান খ") এটি অনুমান করে যে নিম্নলিখিত শর্তগুলি পূরণ করা হয়েছে:

III 1. ক কপ্রতিটির জন্য কথেকে ক খ, খউচিত a=b.

III 2। ট্রানজিটিভিটি। যদি ক খএবং খ গ, যে কগ.

III 3। যদি ক খ, তারপর কোনো উপাদান জন্য গঘটে ক+গ খ+গ.

III 4। যদি ক 0, খ 0, যে ab 0 .

স্বতঃসিদ্ধ IV গ্রুপ একটি স্বতঃসিদ্ধ নিয়ে গঠিত - ধারাবাহিকতার স্বতঃসিদ্ধ।কোনো অ-খালি সেট জন্য এক্সএবং Yথেকে আরযেমন উপাদান প্রতিটি জোড়া জন্য এক্স এক্সএবং y Yঅসমতা এক্স < y, একটি উপাদান আছে ক আর, শর্ত সন্তুষ্ট

ভাত। 2

এক্স < ক < y, এক্স এক্স, y Y(চিত্র 2)। গণনাকৃত বৈশিষ্ট্যগুলি প্রকৃত সংখ্যার সেটকে সম্পূর্ণরূপে সংজ্ঞায়িত করে যে অর্থে এর অন্যান্য বৈশিষ্ট্যগুলি এই বৈশিষ্ট্যগুলি থেকে অনুসরণ করে। এই সংজ্ঞাটি অনন্যভাবে বাস্তব সংখ্যার সেটকে এর উপাদানগুলির নির্দিষ্ট প্রকৃতি পর্যন্ত সংজ্ঞায়িত করে। একটি সেটে একাধিক উপাদান রয়েছে এই সতর্কতাটি প্রয়োজনীয় কারণ একটি সেট শুধুমাত্র একটি শূন্য নিয়ে গঠিত একটি সুস্পষ্ট উপায়ে সমস্ত স্বতঃসিদ্ধকে সন্তুষ্ট করে। নিম্নলিখিতটিতে, R সেটের উপাদানগুলিকে সংখ্যা বলা হবে।

আসুন এখন প্রাকৃতিক, মূলদ এবং অমূলদ সংখ্যার পরিচিত ধারণাগুলি সংজ্ঞায়িত করি। সংখ্যা 1, 2 1+1, 3 2+1, ... বলা হয় প্রাকৃতিক সংখ্যা, এবং তাদের সেট চিহ্নিত করা হয় এন . প্রাকৃতিক সংখ্যার সেটের সংজ্ঞা থেকে এটি অনুসরণ করে যে এটির নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যযুক্ত বৈশিষ্ট্য রয়েছে: যদি

1) ক এন ,

3) প্রতিটি উপাদানের জন্য x একটি অন্তর্ভুক্তি x+ 1 ক, তখন একটা=এন .

প্রকৃতপক্ষে, শর্ত 2 অনুযায়ী) আমাদের আছে 1 ক, অতএব, সম্পত্তি দ্বারা 3) এবং 2 ক, এবং তারপর, একই সম্পত্তি অনুসারে, আমরা 3 পাই ক. যেহেতু যেকোনো প্রাকৃতিক সংখ্যা nপরপর একই 1 যোগ করে 1 থেকে প্রাপ্ত হয়, তারপর n ক, অর্থাৎ এন ক, এবং যেহেতু শর্ত 1 অন্তর্ভুক্তিকে সন্তুষ্ট করে ক এন , যে ক=এন .

প্রমাণ নীতিটি প্রাকৃতিক সংখ্যার এই বৈশিষ্ট্যের উপর ভিত্তি করে। গাণিতিক আবেশন দ্বারা. যদি অনেকগুলি বিবৃতি থাকে, যার প্রত্যেকটিকে একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা (এর সংখ্যা) বরাদ্দ করা হয় n=1, 2, ..., এবং যদি এটি প্রমাণিত হয় যে:

1) নম্বর 1 সহ বিবৃতিটি সত্য;

2) যেকোনো সংখ্যা সহ বিবৃতির বৈধতা থেকে n এন সংখ্যার সাথে বিবৃতিটির বৈধতা অনুসরণ করে n+1;

তারপর সমস্ত বিবৃতির বৈধতা প্রমাণিত হয়, অর্থাৎ, একটি নির্বিচারে সংখ্যা সহ যেকোনো বিবৃতি n এন .

সংখ্যা 0, + 1, + 2, ... বলা হয় পুরো সংখা, তাদের সেট চিহ্নিত করা হয় জেড .

নম্বর টাইপ করুন m/n, কোথায় মিএবং nসমগ্র, এবং n 0 বলা হয় মূলদ সংখ্যা. সমস্ত মূলদ সংখ্যার সেটকে নির্দেশ করা হয় প্র .

যে বাস্তব সংখ্যাগুলো মূলদ নয় তাকে বলা হয় অযৌক্তিক, তাদের সেট চিহ্নিত করা হয় আমি .

প্রশ্ন জাগে যে সম্ভবত মূলদ সংখ্যা সেটের সমস্ত উপাদানকে নিঃশেষ করে দেয় আর?এই প্রশ্নের উত্তর দেওয়া হয়েছে ধারাবাহিকতার স্বতঃসিদ্ধ। প্রকৃতপক্ষে, এই স্বতঃসিদ্ধটি মূলদ সংখ্যার জন্য ধারণ করে না। উদাহরণস্বরূপ, দুটি সেট বিবেচনা করুন:

এটি দেখতে সহজ যে কোন উপাদানের জন্য এবং অসমতা পূরণ হয়। যাহোক যুক্তিসঙ্গতএই দুটি সেট আলাদা করার কোন সংখ্যা নেই। প্রকৃতপক্ষে, এই সংখ্যা শুধুমাত্র হতে পারে, কিন্তু এটি যুক্তিসঙ্গত নয়। এই তথ্যটি নির্দেশ করে যে সেটটিতে অমূলদ সংখ্যা রয়েছে আর.

সংখ্যার চারটি গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ ছাড়াও, আপনি সূচক এবং মূল নিষ্কাশন করতে পারেন। যেকোনো সংখ্যার জন্য ক আর এবং প্রাকৃতিক nডিগ্রী একটিএকটি পণ্য হিসাবে সংজ্ঞায়িত nকারণের সমান ক:

এ-প্রিয়রি ক 0 1, ক>0, ক-n 1/ ক n ক 0, n- প্রাকৃতিক সংখ্যা।

উদাহরণ।বার্নউলির অসমতা: ( 1+x)n> 1+nxআবেশ দ্বারা প্রমাণ করুন।

দিন ক>0, n- প্রাকৃতিক সংখ্যা। সংখ্যা খডাকা মূল nমধ্য থেকে তম ডিগ্রী ক, যদি b n =a. এই ক্ষেত্রে, এটি লেখা হয় যে কোন মাত্রার একটি ইতিবাচক মূলের অস্তিত্ব এবং স্বতন্ত্রতা nযে কোনো ধনাত্মক সংখ্যা থেকে নিচে প্রমাণিত হবে § 7.3.
এমনকি মূল, ক 0 এর দুটি অর্থ আছে: যদি খ = , k এন , তারপর এবং -খ= প্রকৃতপক্ষে, থেকে b 2k = কযে অনুসরণ করে

(-খ)2k = ((-খ) 2 )k = (খ 2)k = b 2k

একটি অ ঋণাত্মক মান বলা হয় তার গাণিতিক মান.
যদি r = p/q, কোথায় পিএবং qপুরো, q 0, অর্থাৎ rতাহলে একটি মূলদ সংখ্যা ক > 0

(2.1)

তাই ডিগ্রি একটি আরযেকোনো মূলদ সংখ্যার জন্য সংজ্ঞায়িত r. এটা তার সংজ্ঞা থেকে অনুসরণ করে যে কোন যুক্তিবাদী জন্য rএকটি সমতা আছে

a -r = 1/একটি আর.

ডিগ্রী একটি x(সংখ্যা এক্সডাকা সূচক) যেকোনো বাস্তব সংখ্যার জন্য এক্সএকটি যৌক্তিক সূচকের সাথে ক্রমাগত ডিগ্রী প্রসারিত করে প্রাপ্ত করা হয় (এ বিষয়ে আরও জানতে বিভাগ 8.2 দেখুন)। যেকোনো সংখ্যার জন্য ক আর অ নেতিবাচক সংখ্যা

তাকে ডেকেছিলাম পরম মানবা মডিউল. সংখ্যার পরম মানের জন্য, অসমতা

|ক + খ| < |ক| + |খ|,
||ক - খ|| < |ক - খ|, ক, খ আর

বাস্তব সংখ্যার I-IV বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে এগুলি প্রমাণিত হয়।

গাণিতিক বিশ্লেষণ নির্মাণে ধারাবাহিকতার স্বতঃসিদ্ধের ভূমিকা

ধারাবাহিকতার স্বতঃসিদ্ধের তাৎপর্য এমন যে এটি ছাড়া গাণিতিক বিশ্লেষণের কঠোর নির্মাণ অসম্ভব। [ উৎস অনির্দিষ্ট 1351 দিন] ব্যাখ্যা করার জন্য, আমরা বিশ্লেষণের কয়েকটি মৌলিক বিবৃতি উপস্থাপন করি, যার প্রমাণ বাস্তব সংখ্যার ধারাবাহিকতার উপর ভিত্তি করে:

· (ওয়েয়ারস্ট্রাস উপপাদ্য)।প্রতিটি আবদ্ধ একঘেয়ে ক্রমবর্ধমান ক্রম একত্রিত হয়

· (বোলজানো-কচি উপপাদ্য)।একটি অংশে একটি ক্রমাগত ফাংশন যা তার প্রান্তে বিভিন্ন চিহ্নের মান নেয় সেগমেন্টের কিছু অভ্যন্তরীণ বিন্দুতে অদৃশ্য হয়ে যায়

· (সংজ্ঞার সম্পূর্ণ "প্রাকৃতিক" ডোমেনে শক্তি, সূচকীয়, লগারিদমিক এবং সমস্ত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের অস্তিত্ব)।উদাহরণস্বরূপ, এটি প্রমাণিত যে প্রতিটি পূর্ণসংখ্যার জন্য বিদ্যমান, অর্থাৎ, সমীকরণের একটি সমাধান। এটি আপনাকে সমস্ত যুক্তিবাদীর জন্য অভিব্যক্তির মান নির্ধারণ করতে দেয়:

অবশেষে, আবার, সংখ্যা রেখার ধারাবাহিকতার কারণে, একটি নির্বিচারের জন্য ইতিমধ্যেই অভিব্যক্তির মান নির্ধারণ করা সম্ভব। একইভাবে, ধারাবাহিকতা বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে, আমরা যেকোনো একটি সংখ্যার অস্তিত্ব প্রমাণ করি।

দীর্ঘ ঐতিহাসিক সময়ের জন্য, গণিতবিদরা জ্যামিতিক ন্যায্যতা উল্লেখ করে "পাতলা জায়গায়" বিশ্লেষণ থেকে উপপাদ্য প্রমাণ করেছেন এবং প্রায়শই সেগুলিকে সম্পূর্ণভাবে এড়িয়ে গেছেন কারণ এটি স্পষ্ট ছিল। ধারাবাহিকতার অপরিহার্য ধারণা কোন স্পষ্ট সংজ্ঞা ছাড়াই ব্যবহার করা হয়েছিল। শুধুমাত্র 19 শতকের শেষ তৃতীয়াংশে জার্মান গণিতবিদ কার্ল উইয়েরস্ট্রাস বিশ্লেষণের পাটিগণিতকরণ তৈরি করেছিলেন, বাস্তব সংখ্যার প্রথম কঠোর তত্ত্বটিকে অসীম দশমিক ভগ্নাংশ হিসাবে তৈরি করেছিলেন। তিনি ভাষায় সীমার শাস্ত্রীয় সংজ্ঞা প্রস্তাব করেছিলেন, তার আগে "স্পষ্ট" বলে বিবেচিত বেশ কয়েকটি বিবৃতি প্রমাণ করেছিলেন এবং এইভাবে গাণিতিক বিশ্লেষণের ভিত্তিটি সম্পূর্ণ করেছিলেন।

পরবর্তীতে, একটি বাস্তব সংখ্যার সংজ্ঞার জন্য অন্যান্য পদ্ধতির প্রস্তাব করা হয়েছিল। স্বতঃসিদ্ধ পদ্ধতিতে, বাস্তব সংখ্যার ধারাবাহিকতা স্পষ্টভাবে একটি পৃথক স্বতঃসিদ্ধ হিসাবে চিহ্নিত করা হয়। একটি বাস্তব সংখ্যার তত্ত্বের গঠনমূলক পদ্ধতিতে, উদাহরণস্বরূপ, ডেডিকাইন্ড বিভাগগুলি ব্যবহার করে বাস্তব সংখ্যাগুলি তৈরি করার সময়, ধারাবাহিকতা বৈশিষ্ট্য (একটি সূত্রে বা অন্য একটি সূত্রে) একটি উপপাদ্য হিসাবে প্রমাণিত হয়।

ধারাবাহিকতা সম্পত্তি এবং সমতুল্য বাক্যগুলির অন্যান্য ফর্মুলেশন[সম্পাদনা | উইকি টেক্সট সম্পাদনা করুন]

বাস্তব সংখ্যার ধারাবাহিকতা বৈশিষ্ট্য প্রকাশ করে বিভিন্ন বিবৃতি আছে। এই নীতিগুলির প্রতিটিকে ধারাবাহিকতার স্বতঃসিদ্ধ হিসাবে বাস্তব সংখ্যার তত্ত্ব নির্মাণের ভিত্তি হিসাবে নেওয়া যেতে পারে এবং অন্য সবগুলি এটি থেকে উদ্ভূত হতে পারে। এই সমস্যাটি পরবর্তী বিভাগে আরও বিশদে আলোচনা করা হয়েছে।

Dedekind অনুযায়ী ধারাবাহিকতা[সম্পাদনা | উইকি টেক্সট সম্পাদনা করুন]

মূল নিবন্ধ:মূলদ সংখ্যার অঞ্চলে বিভাগ তত্ত্ব

বাস্তব সংখ্যার ধারাবাহিকতার প্রশ্নটিকে Dedekind তার রচনা ধারাবাহিকতা এবং অমূলদ সংখ্যায় বিবেচনা করেছেন। এটিতে, তিনি একটি সরল রেখার বিন্দুর সাথে মূলদ সংখ্যার তুলনা করেন। আপনি যেমন জানেন, একটি সরলরেখার মূলদ সংখ্যা এবং বিন্দুর মধ্যে, আপনি যখন প্রারম্ভিক বিন্দু এবং সরলরেখার অংশগুলির পরিমাপের একক নির্বাচন করেন তখন আপনি একটি চিঠিপত্র স্থাপন করতে পারেন। পরেরটির সাহায্যে, প্রতিটি মূলদ সংখ্যার জন্য সংশ্লিষ্ট সেগমেন্ট তৈরি করা সম্ভব, এবং একটি ধনাত্মক বা ঋণাত্মক সংখ্যা আছে কিনা তার উপর নির্ভর করে এটিকে ডানে বা বামে একপাশে রেখে সংখ্যাটির সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ একটি বিন্দু পেতে পারেন। . এইভাবে, প্রতিটি মূলদ সংখ্যা লাইনের এক এবং শুধুমাত্র একটি বিন্দুর সাথে মিলে যায়।

দেখা যাচ্ছে যে লাইনে অসীমভাবে অনেকগুলি বিন্দু রয়েছে যা কোনও মূলদ সংখ্যার সাথে মিল রাখে না। উদাহরণস্বরূপ, একটি একক অংশে নির্মিত একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য প্লট করে প্রাপ্ত একটি বিন্দু। সুতরাং, মূলদ সংখ্যার রাজ্যে তা নেই সম্পূর্ণতা, বা ধারাবাহিকতা, যা একটি সরল রেখায় অন্তর্নিহিত।

এই ধারাবাহিকতা কি নিয়ে গঠিত তা জানতে, Dedekind নিম্নলিখিত মন্তব্য করে। যদি লাইনের একটি নির্দিষ্ট বিন্দু থাকে, তবে লাইনের সমস্ত বিন্দু দুটি শ্রেণিতে পড়ে: বাম দিকে অবস্থিত বিন্দু এবং ডানদিকে অবস্থিত পয়েন্টগুলি। বিন্দু নিজেই নির্বিচারে নিম্ন বা উচ্চ শ্রেণীর জন্য বরাদ্দ করা যেতে পারে। ডেডেকাইন্ড বিপরীত নীতিতে ধারাবাহিকতার সারাংশ দেখেন:

জ্যামিতিকভাবে, এই নীতিটি সুস্পষ্ট বলে মনে হয়, কিন্তু আমরা এটি প্রমাণ করার অবস্থানে নেই। ডেডেকাইন্ড জোর দিয়ে বলেন যে, সারমর্মে, এই নীতিটি হল একটি পোস্টুলেট, যা প্রত্যক্ষ রেখায় দায়ী সেই সম্পত্তির সারমর্ম প্রকাশ করে, যাকে আমরা বলি ধারাবাহিকতা।

ডেডেকাইন্ড অর্থে সংখ্যা রেখার ধারাবাহিকতার সারমর্মটি আরও ভালভাবে বোঝার জন্য, বাস্তব সংখ্যার সেটের একটি নির্বিচারে বিভাগ বিবেচনা করুন, অর্থাৎ, সমস্ত বাস্তব সংখ্যাকে দুটি অ-শূন্য শ্রেণিতে বিভক্ত করা, যাতে সমস্ত সংখ্যা একটি শ্রেণী দ্বিতীয়টির সমস্ত সংখ্যার বাম দিকে সংখ্যারেখায় অবস্থিত। এই শ্রেণীর নাম যথাক্রমে নিম্নএবং উপরের শ্রেণীরবিভাগ তাত্ত্বিকভাবে, 4টি সম্ভাবনা রয়েছে:

1. নিম্ন শ্রেণীর একটি সর্বাধিক উপাদান আছে, উচ্চ শ্রেণীর একটি সর্বনিম্ন নেই

2. নিম্ন শ্রেণীতে কোন সর্বোচ্চ উপাদান নেই, যেখানে উচ্চ শ্রেণীতে একটি সর্বনিম্ন উপাদান রয়েছে

3. নীচের শ্রেণীতে সর্বাধিক এবং শীর্ষ শ্রেণীর সর্বনিম্ন উপাদান রয়েছে

4. নিম্ন শ্রেণীতে কোন সর্বোচ্চ উপাদান নেই, এবং উচ্চ শ্রেণীতে কোন সর্বনিম্ন উপাদান নেই

প্রথম এবং দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, নীচের সর্বাধিক উপাদান বা উপরের সর্বনিম্ন উপাদান, যথাক্রমে, এই বিভাগ তৈরি করে। তৃতীয় ক্ষেত্রে আমাদের আছে লাফ, এবং চতুর্থ স্থান. সুতরাং, সংখ্যা রেখার ধারাবাহিকতার অর্থ হল বাস্তব সংখ্যার সেটে কোনও লাফ বা ফাঁক নেই, অর্থাৎ রূপকভাবে বলতে গেলে, কোনও শূন্যতা নেই।

যদি আমরা বাস্তব সংখ্যার সেটের একটি অংশের ধারণাটি প্রবর্তন করি, তাহলে Dedekind ধারাবাহিকতা নীতিটি নিম্নরূপ প্রণয়ন করা যেতে পারে।

Dedekind এর ধারাবাহিকতা নীতি (সম্পূর্ণতা)। বাস্তব সংখ্যার সেটের প্রতিটি বিভাগের জন্য, একটি সংখ্যা রয়েছে যা এই বিভাগটি তৈরি করে।

মন্তব্য করুন। দুটি সেটকে আলাদা করে একটি বিন্দুর অস্তিত্ব সম্পর্কে ধারাবাহিকতার স্বতঃসিদ্ধ গঠনটি ডেডেকাইন্ডের ধারাবাহিকতার নীতির গঠনের খুব স্মরণ করিয়ে দেয়। প্রকৃতপক্ষে, এই বিবৃতিগুলি সমতুল্য, এবং, সারমর্মে, একই জিনিসের বিভিন্ন সূত্র। অতএব, এই উভয় বিবৃতি বলা হয় Dedekind অনুযায়ী বাস্তব সংখ্যার ধারাবাহিকতার নীতি.

নেস্টেড সেগমেন্টে লেমা (কচি-ক্যান্টর নীতি)[সম্পাদনা | উইকি টেক্সট সম্পাদনা করুন]

মূল নিবন্ধ:নেস্টেড অংশে লেমা

নেস্টেড অংশে লেমা (কচি - কান্তর)। নেস্টেড সেগমেন্টের যেকোনো সিস্টেম

একটি অ-খালি ছেদ আছে, অর্থাৎ, প্রদত্ত সিস্টেমের সমস্ত বিভাগের অন্তর্গত অন্তত একটি সংখ্যা আছে।

যদি, উপরন্তু, প্রদত্ত সিস্টেমের অংশগুলির দৈর্ঘ্য শূন্যের দিকে থাকে, অর্থাৎ,

তারপর এই সিস্টেমের অংশগুলির ছেদ এক বিন্দু নিয়ে গঠিত।

এই সম্পত্তি বলা হয় ক্যান্টর অর্থে বাস্তব সংখ্যার সেটের ধারাবাহিকতা. এটি নীচে দেখানো হবে যে আর্কিমিডিয়ান আদেশকৃত ক্ষেত্রের জন্য, ক্যান্টর ধারাবাহিকতা ডেডেকাইন্ড ধারাবাহিকতার সমতুল্য।

সর্বোচ্চ নীতি[সম্পাদনা | উইকি টেক্সট সম্পাদনা করুন]

আধিপত্যের নীতি। উপরে আবদ্ধ বাস্তব সংখ্যার প্রতিটি অ-খালি সেট একটি সর্বোচ্চ আছে।

ক্যালকুলাস কোর্সে, এই প্রস্তাবটি সাধারণত একটি উপপাদ্য, এবং এর প্রমাণ বাস্তব সংখ্যার সেটের ধারাবাহিকতাকে এক বা অন্য আকারে ব্যবহার করে। একই সময়ে, বিপরীতে, উপরে থেকে আবদ্ধ যেকোন অ-খালি সেটের জন্য একটি সুপ্রিমামের অস্তিত্ব অনুমান করা সম্ভব, এবং এটির উপর নির্ভর করে প্রমাণ করা যায়, উদাহরণস্বরূপ, ডেডেকাইন্ড ধারাবাহিকতা নীতি। সুতরাং, সর্বোচ্চ উপপাদ্যটি বাস্তব সংখ্যার ধারাবাহিকতা সম্পত্তির সমতুল্য সূত্রগুলির মধ্যে একটি।

মন্তব্য করুন। সুপ্রিমামের পরিবর্তে, কেউ ইনফিমামের দ্বৈত ধারণা ব্যবহার করতে পারে।

ইনফিমেম নীতি। নীচে আবদ্ধ বাস্তব সংখ্যার প্রতিটি অ-খালি সেটের একটি ইনফিমাম আছে।

এই প্রস্তাবটিও Dedekind এর ধারাবাহিকতা নীতির সমতুল্য। অধিকন্তু, এটি দেখানো যেতে পারে যে ইনফিমাম উপপাদ্যের বিবৃতিটি সরাসরি সর্বোচ্চ উপপাদ্যের দাবি থেকে অনুসরণ করে এবং এর বিপরীতে (নীচে দেখুন)।

সীমিত কভার লেমা (হেইন-বোরেল নীতি)[সম্পাদনা | উইকি টেক্সট সম্পাদনা করুন]

মূল নিবন্ধ:হেইন-বোরেল লেমা

সসীম কভার লেমা (হেইন - বোরেল)। একটি সেগমেন্টকে কভার করার যেকোন ব্যবধানের সিস্টেমে, এই সেগমেন্টকে কভার করে একটি সীমিত সাবসিস্টেম আছে।

লিমিট পয়েন্ট লেমা (বোলজানো-ওয়েয়ারস্ট্রাস নীতি)[সম্পাদনা | উইকি টেক্সট সম্পাদনা করুন]

মূল নিবন্ধ:বলজানো-ওয়েইয়েরস্ট্রাস উপপাদ্য

লিমিট পয়েন্ট লেমা (Bolzano - Weierstrass)। প্রতিটি অসীম আবদ্ধ সংখ্যা সেটে কমপক্ষে একটি সীমা বিন্দু থাকে।

বাস্তব সংখ্যার সেটের ধারাবাহিকতা প্রকাশ করে বাক্যের সমতা[সম্পাদনা | উইকি টেক্সট সম্পাদনা করুন]

এর কিছু প্রাথমিক মন্তব্য করা যাক. একটি বাস্তব সংখ্যার স্বতঃসিদ্ধ সংজ্ঞা অনুসারে, বাস্তব সংখ্যার সেটটি স্বতঃসিদ্ধ তিনটি গ্রুপকে সন্তুষ্ট করে। প্রথম গ্রুপ হল ক্ষেত্র স্বতঃসিদ্ধ। দ্বিতীয় দলটি এই সত্যটি প্রকাশ করে যে বাস্তব সংখ্যার সংগ্রহ একটি রৈখিকভাবে সাজানো সেট, এবং ক্রম সম্পর্কটি ক্ষেত্রের মৌলিক ক্রিয়াকলাপের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। এইভাবে, স্বতঃসিদ্ধ প্রথম এবং দ্বিতীয় গ্রুপের অর্থ হল বাস্তব সংখ্যার সেট একটি ক্রমকৃত ক্ষেত্র। স্বতঃসিদ্ধ তৃতীয় গ্রুপ একটি স্বতঃসিদ্ধ নিয়ে গঠিত - ধারাবাহিকতার স্বতঃসিদ্ধ (বা সম্পূর্ণতা)।

বাস্তব সংখ্যার ধারাবাহিকতার বিভিন্ন সূত্রের সমতা দেখানোর জন্য, এটি অবশ্যই প্রমাণ করতে হবে যে এই প্রস্তাবগুলির মধ্যে একটি যদি একটি ক্রমযুক্ত ক্ষেত্রের জন্য ধারণ করে, তবে বাকিগুলি সত্য।

উপপাদ্য। একটি নির্বিচারে রৈখিকভাবে আদেশ সেট করা যাক. নিম্নলিখিত বিবৃতি সমতুল্য:

1. অ-খালি সেট যাই হোক না কেন এবং যে কোনও দুটি উপাদানের জন্য এবং এমন একটি উপাদান বিদ্যমান যা সকলের জন্য এবং , সম্পর্ক ধারণ করে

2. যেকোন বিভাগের জন্য একটি উপাদান বিদ্যমান যা এই বিভাগটি তৈরি করে

3. উপরে আবদ্ধ প্রতিটি অ-খালি সেটের একটি সুপ্রিমম আছে

4. নীচে আবদ্ধ প্রতিটি অ-খালি সেটের একটি ইনফিমাম রয়েছে

এই উপপাদ্য থেকে দেখা যায়, এই চারটি প্রস্তাবনা শুধুমাত্র রৈখিক ক্রম সম্পর্ক যা প্রবর্তন করেছে তা ব্যবহার করে এবং ক্ষেত্রের কাঠামো ব্যবহার করে না। সুতরাং, তাদের প্রত্যেকে একটি রৈখিকভাবে আদেশকৃত সেট হিসাবে একটি সম্পত্তি প্রকাশ করে। এই বৈশিষ্ট্য (একটি নির্বিচারে রৈখিকভাবে আদেশ করা সেটের, অগত্যা বাস্তব সংখ্যার সেট) বলা হয় ধারাবাহিকতা, বা সম্পূর্ণতা, Dedekind অনুযায়ী.

অন্যান্য বাক্যের সমতা প্রমাণ করার জন্য ইতিমধ্যেই একটি ক্ষেত্র কাঠামো প্রয়োজন।

উপপাদ্য। একটি নির্বিচারে আদেশ ক্ষেত্র হতে দিন. নিম্নলিখিত বাক্যগুলি সমতুল্য:

1. (একটি রৈখিকভাবে আদেশ করা সেট হিসাবে) Dedekind সম্পূর্ণ

2. আর্কিমিডিসের নীতি পূরণ করতেএবং নেস্টেড সেগমেন্টের নীতি

3. Heine-Borel নীতির জন্য পূর্ণ হয়

4. Bolzano-Weierstrass নীতির জন্য পূর্ণ হয়

মন্তব্য করুন। উপপাদ্য থেকে দেখা যায়, নিজের মধ্যে নেস্টেড সেগমেন্টের নীতি সমতুল্য নয় Dedekind এর ধারাবাহিকতা নীতি. নেস্টেড সেগমেন্টের নীতিটি Dedekind ধারাবাহিকতা নীতি থেকে অনুসরণ করে, কিন্তু কথোপকথনের জন্য এটি অতিরিক্ত প্রয়োজন যে আদেশকৃত ক্ষেত্রটি আর্কিমিডিস স্বতঃসিদ্ধকে সন্তুষ্ট করে।

উপরোক্ত উপপাদ্যগুলোর প্রমাণ নিচের গ্রন্থপঞ্জি থেকে পাওয়া যাবে।

· কুদ্রিয়াভতসেভ, এল. ডি।গাণিতিক বিশ্লেষণের কোর্স। - 5ম সংস্করণ। - এম।: "ড্রোফা", 2003। - টি। 1। - 704 পি। - আইএসবিএন 5-7107-4119-1।

· ফিকটেনগোল্টস, জি এম।গাণিতিক বিশ্লেষণের মৌলিক বিষয়। - 7ম সংস্করণ। - এম।: "ফিজমাটলিট", 2002। - টি। 1। - 416 পি। - আইএসবিএন 5-9221-0196-X।

· ডেডিকাইন্ড, আর.ধারাবাহিকতা এবং অমূলদ সংখ্যা = Stetigkeit und irrationale Zahlen. - ৪র্থ সংশোধিত সংস্করণ। - ওডেসা: ম্যাথেসিস, 1923। - 44 পি।

· জোরিখ, ভি. এ.গাণিতিক বিশ্লেষণ। পার্ট I. - এড. 4র্থ, সংশোধন করা হয়েছে .. - এম .: "MTsNMO", 2002। - 657 পি। - আইএসবিএন 5-94057-056-9।

· ফাংশন এবং সংখ্যাসূচক ডোমেনের ধারাবাহিকতা: বি. বোলজানো, এল.ও. কাউচি, আর. ডেডেকিন্ড, জি. ক্যান্টর। - 3য় সংস্করণ। - নোভোসিবিরস্ক: এএনটি, 2005। - 64 পি।

4.5। ধারাবাহিকতার স্বতঃসিদ্ধ

বাস্তব সংখ্যা A এবং এর দুটি অ-খালি সেট যাই হোক না কেন

B , যার জন্য, কোনো উপাদানের জন্য a ∈ A এবং b ∈ B, অসমতা

a ≤ b , একটি সংখ্যা বিদ্যমান λ যেমন সকলের জন্য a ∈ A, b ∈ B

সমতা a ≤ λ ≤ b।

বাস্তব সংখ্যার ধারাবাহিকতা সম্পত্তি মানে বাস্তবের উপর

শিরা লাইনে কোন "শূন্যতা" নেই, অর্থাৎ, সংখ্যাগুলি পূরণ করে এমন বিন্দুগুলি

সম্পূর্ণ বাস্তব অক্ষ.

ধারাবাহিকতার স্বতঃসিদ্ধের আরেকটি সূত্র দেওয়া যাক। এ জন্য আমরা পরিচয় করিয়ে দিই

সংজ্ঞা 1.4.5। দুটি সেট A এবং B কে একটি বিভাগ বলা হবে

বাস্তব সংখ্যার সেট, যদি

1) সেট A এবং B খালি নয়;

2) A এবং B সেটের মিলন সমস্ত বাস্তবের সেট গঠন করে

সংখ্যা;

3) সেট A এর প্রতিটি সংখ্যা সেট B এর সংখ্যা থেকে কম।

অর্থাৎ, একটি বিভাগ গঠনকারী প্রতিটি সেটে কমপক্ষে একটি থাকে

উপাদান, এই সেটগুলিতে সাধারণ উপাদান থাকে না এবং যদি a ∈ A এবং b ∈ B , তাহলে

সেট A কে বলা হবে নিম্ন শ্রেণী, এবং সেট B কে বলা হবে উচ্চ শ্রেণী।

বিভাগ ক্লাস। আমরা বিভাগটিকে A B হিসাবে মনোনীত করব।

বিভাগগুলির সবচেয়ে সহজ উদাহরণ হল নিম্নরূপ প্রাপ্ত বিভাগগুলি।

ফুঁ পথ কিছু সংখ্যা α নিন এবং সেট করুন

A = ( x x< α } , B = { x x ≥ α } . Легко видеть, что эти множества не пусты, не пере-

ছেদ করে এবং যদি a ∈ A এবং b ∈ B , তাহলে a< b , поэтому множества A и B образуют

অধ্যায়. একইভাবে, কেউ সেট দ্বারা একটি বিভাগ গঠন করতে পারে

A =(x x ≤ α), B =(x x > α)।

এই ধরনের বিভাগগুলিকে α বা সংখ্যা দ্বারা উত্পন্ন বিভাগ বলা হবে

আমরা বলব যে α সংখ্যাটি এই বিভাগটি তৈরি করে। এই হিসাবে লেখা যেতে পারে

যে কোন সংখ্যা দ্বারা উত্পন্ন বিভাগ দুটি আকর্ষণীয় আছে

বৈশিষ্ট্য:

সম্পত্তি 1. হয় উচ্চ শ্রেণীতে ক্ষুদ্রতম সংখ্যা থাকে এবং নিম্নে

ক্লাসের সবচেয়ে বড় সংখ্যা নেই, বা নিম্ন শ্রেণীর সবচেয়ে বড় সংখ্যা রয়েছে

lo, এবং শীর্ষ শ্রেণী ক্ষুদ্রতম নয়।

প্রপার্টি 2. প্রদত্ত বিভাগটি তৈরি করা নম্বরটি অনন্য।

দেখা যাচ্ছে যে উপরে প্রণয়নকৃত ধারাবাহিকতা স্বতঃসিদ্ধ এর সমতুল্য

Dedekind এর নীতি বলে বিবৃতির সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ:

Dedekind নীতি। প্রতিটি বিভাগের জন্য, একটি সংখ্যা উৎপন্ন হয়

এটি একটি বিভাগ।

আসুন এই বিবৃতিগুলির সমতা প্রমাণ করি।

ধারাবাহিকতার স্বতঃসিদ্ধ বৈধ হোক, এবং কিছু সে-

মান A B তারপর, যেহেতু A এবং B শ্রেণীগুলি শর্ত পূরণ করে, সূত্রগুলি

স্বতঃসিদ্ধ, এখানে একটি সংখ্যা বিদ্যমান λ যেমন কোনো সংখ্যার জন্য একটি ≤ λ ≤ b

a ∈ A এবং b ∈ B। কিন্তু λ সংখ্যাটি অবশ্যই একটি এবং শুধুমাত্র একটির অন্তর্গত

শ্রেণী A বা B , তাই অসমতার একটি a ≤ λ< b или

ক< λ ≤ b . Таким образом, число λ либо является наибольшим в нижнем классе,

বা উচ্চ শ্রেণীর মধ্যে সবচেয়ে ছোট এবং প্রদত্ত বিভাগ তৈরি করে।

বিপরীতভাবে, Dedekind নীতি সন্তুষ্ট এবং দুটি অ খালি করা যাক

A এবং B সেট করে যাতে সকল a ∈ A এবং b ∈ B অসমতা

a ≤ খ. B দ্বারা চিহ্নিত করুন b সংখ্যার সেট যেমন যে কোনোটির জন্য a ≤ b

b ∈ B এবং সমস্ত a ∈ A। তারপর B ⊂ B। A সেটের জন্য আমরা সমস্ত সংখ্যার সেট নিই

গ্রাম B এর অন্তর্ভুক্ত নয়।

আসুন প্রমাণ করি যে A এবং B সেটগুলি একটি বিভাগ গঠন করে।

প্রকৃতপক্ষে, এটা স্পষ্ট যে B সেটটি খালি নয়, যেহেতু এতে রয়েছে

অ-খালি সেট B. A সেটটিও খালি নয়, কারণ যদি একটি সংখ্যা a ∈ A ,

তারপর সংখ্যাটি a − 1∉ B, যেহেতু B এর অন্তর্ভুক্ত যেকোনো সংখ্যা অবশ্যই কমপক্ষে হতে হবে

সংখ্যা a, তাই a − 1∈ A।

সমস্ত বাস্তব সংখ্যার সেট, সেটের পছন্দের ভিত্তিতে।

এবং অবশেষে, যদি a ∈ A এবং b ∈ B হয়, তাহলে a ≤ b। প্রকৃতপক্ষে, যদি থাকে

সংখ্যা c অসমতাকে সন্তুষ্ট করে c > b, যেখানে b ∈ B, তারপর মিথ্যা

সমতা c > a (a হল A সেটের একটি নির্বিচারে উপাদান) এবং c ∈ B।

সুতরাং, A এবং B একটি বিভাগ গঠন করে, এবং Dedekind নীতির ভিত্তিতে, একটি সংখ্যা আছে

lo λ , এই বিভাগটি তৈরি করছে, যেটি হয় ক্লাসের মধ্যে সবচেয়ে বড়

আসুন প্রমাণ করি যে এই সংখ্যাটি A শ্রেণীর অন্তর্গত নয়। বৈধ-

কিন্তু যদি λ ∈ A হয়, তাহলে একটি সংখ্যা আছে a* ∈ A যেমন λ< a* . Тогда существует

সংখ্যাটি a′ সংখ্যাটি λ এবং a* এর মধ্যে রয়েছে। অসমতা থেকে< a* следует, что

a′ ∈ A, তারপর অসমতা থেকে λ< a′ следует, что λ не является наибольшим в

ক্লাস A , যা ডেডেকাইন্ড নীতির বিরোধিতা করে। অতএব, সংখ্যা λ হবে

B শ্রেণীতে সবচেয়ে ছোট এবং সকল a ∈ A এবং অসমতার জন্য

a ≤ λ ≤ b, প্রয়োজন অনুযায়ী।◄

এইভাবে, স্বতঃসিদ্ধ এবং সম্পত্তিতে প্রণীত সম্পত্তি,

Dedekind নীতিতে প্রণীত সমতুল্য। ভবিষ্যতে, এই

বাস্তব সংখ্যার সেটের বৈশিষ্ট্যকে আমরা ধারাবাহিকতা বলব

Dedekind অনুযায়ী.

Dedekind অনুযায়ী বাস্তব সংখ্যার সেটের ধারাবাহিকতা বোঝায়

দুটি গুরুত্বপূর্ণ উপপাদ্য।

উপপাদ্য 1.4.3। (আর্কিমিডিস নীতি) বাস্তব সংখ্যা যাই হোক না কেন

a, একটি স্বাভাবিক সংখ্যা n যেমন a< n .

আসুন আমরা ধরে নিই যে উপপাদ্যটির বক্তব্যটি মিথ্যা, অর্থাৎ এমনটি বিদ্যমান

কিছু সংখ্যা b0 যেমন অসমতা n ≤ b0 সমস্ত প্রাকৃতিক সংখ্যার জন্য ধারণ করে

n বাস্তব সংখ্যার সেটটিকে দুটি শ্রেণীতে ভাগ করা যাক: B শ্রেণীতে আমরা বরাদ্দ করি

সমস্ত সংখ্যা b যা অসমতা পূরণ করে n ≤ b যেকোনো প্রাকৃতিক n এর জন্য।

এই শ্রেণীটি খালি নয়, যেহেতু সংখ্যাটি b0 এর অন্তর্গত। আমরা ক্লাস এ সব কিছু বরাদ্দ করি

অবশিষ্ট সংখ্যা। এই শ্রেণীটিও খালি নয়, যেহেতু কোনো স্বাভাবিক সংখ্যা

A এর অন্তর্ভুক্ত। A এবং B শ্রেণী ছেদ করে না এবং তাদের মিলন হয়

সমস্ত বাস্তব সংখ্যার সেট।

যদি আমরা নির্বিচারে সংখ্যা গ্রহণ করি a ∈ A এবং b ∈ B, তাহলে একটি স্বাভাবিক আছে

সংখ্যা n0 যেমন a< n0 ≤ b , откуда следует, что a < b . Следовательно, классы

A এবং B Dedekind নীতিকে সন্তুষ্ট করে এবং একটি সংখ্যা α আছে

একটি বিভাগ A B তৈরি করে, অর্থাৎ, α হয় A শ্রেণীর মধ্যে সবচেয়ে বড়, বা

ব শ্রেণীতে সবচেয়ে ছোট। যদি আমরা ধরে নিই যে αটি A শ্রেণীর অন্তর্গত, তাহলে

কেউ একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা n1 খুঁজে পেতে পারে যার জন্য অসমতা α< n1 .

যেহেতু n1ও A এর অন্তর্ভুক্ত, α সংখ্যাটি এই শ্রেণিতে সবচেয়ে বড় হবে না,

অতএব, আমাদের অনুমান ভুল এবং α হল সবচেয়ে ছোট

শ্রেণী বি

অন্যদিকে, একটি সংখ্যা নিন α − 1 যেটি A শ্রেণীর অন্তর্গত। অনুসরণ করুন-

অতএব, একটি স্বাভাবিক সংখ্যা n2 যেমন α − 1< n2 , откуда получим

α < n2 + 1 . Так как n2 + 1 - натуральное число, то из последнего неравенства

এটি অনুসরণ করে যে α ∈ A। ফলস্বরূপ দ্বন্দ্ব উপপাদ্য প্রমাণ করে।◄

পরিণতি। a এবং b সংখ্যা যাই হোক না কেন এমন যে 0< a < b , существует

একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা n যার জন্য অসমতা na > b ধারণ করে।

এটি প্রমাণ করার জন্য, সংখ্যাটিতে আর্কিমিডিসের নীতি প্রয়োগ করাই যথেষ্ট

এবং অসমতার সম্পত্তি ব্যবহার করুন।◄

ফলাফলের একটি সরল জ্যামিতিক অর্থ আছে: যা-ই হোক না কেন

সেগমেন্ট, যদি তাদের মধ্যে বড় হয়, তার একটি প্রান্ত থেকে ক্রমাগত

একটি ছোট রাখুন, তারপর সীমিত সংখ্যক ধাপে এটি অতিক্রম করা সম্ভব

বড় কাটা।

উদাহরণ 1. প্রমাণ করুন যে প্রতিটি অ-ঋণাত্মক সংখ্যার জন্য একটি বিদ্যমান

একমাত্র অ-ঋণাত্মক বাস্তব সংখ্যা টি যেমন

t n = a, n ∈, n ≥ 2।

nth ডিগ্রির একটি গাণিতিক মূলের অস্তিত্বের উপর এই উপপাদ্য

বীজগণিতের স্কুল কোর্সে একটি নন-নেগেটিভ নম্বর থেকে প্রমাণ ছাড়াই গৃহীত হয়

অঙ্গীকার

☺যদি a = 0 , তাহলে x = 0 , তাহলে পাটিগণিতের অস্তিত্বের প্রমাণ

a এর মূল শুধুমাত্র a > 0 এর জন্য প্রয়োজন।

অনুমান করুন যে a > 0 এবং সমস্ত বাস্তব সংখ্যার সেটকে বিভাজন করুন

দুই শ্রেণীর জন্য। আমরা B শ্রেণীতে সমস্ত ধনাত্মক সংখ্যা x বরাদ্দ করি যা পূরণ করে

অসমতা তৈরি করুন x n > a , A শ্রেণীতে, বাকি সব।

আর্কিমিডিসের স্বতঃসিদ্ধ অনুসারে, k এবং m এরকম প্রাকৃতিক সংখ্যা রয়েছে

< a < k . Тогда k 2 ≥ k >a এবং 2 ≤< a , т.е. оба класса непусты, причем класс

A-তে ধনাত্মক সংখ্যা রয়েছে।

স্পষ্টতই, A ∪ B = এবং যদি x1 ∈ A এবং x2 ∈ B, তাহলে x1< x2 .

এভাবে A এবং B শ্রেণী একটি বিভাগ গঠন করে। সংখ্যা যে এটি তোলে

বিভাগ, টি দ্বারা চিহ্নিত। তারপর t হল ক্লাসের সবচেয়ে বড় সংখ্যা

সব A , বা B শ্রেণীতে সবচেয়ে ছোট।

অনুমান করুন যে t ∈ A এবং t n< a . Возьмем число h , удовлетворяющее нера-

0< h < 1 . Тогда

(t + h)n = t n + Cnt n−1h + Cn t n−2h2 + ... + Cnn hn< t n + Cnt n−1h + Cn t n−2h + ... + Cn h =

T n + h (Cnt n−1 + Cn t n−2 + ... + Cn + Cn t n) − hCn t n = t n + h (t + 1) − ht n =

T n + h (t + 1) − t n

তারপর আমরা পাই (t + h)< a . Это означает,

অত:পর, যদি আমরা h নিতে<

যে t + h ∈ A , যা এই সত্যের বিরোধিতা করে যে t হল A শ্রেণীর বৃহত্তম উপাদান।

একইভাবে, যদি আমরা ধরে নিই যে t হল B শ্রেণীর ক্ষুদ্রতম উপাদান,

তারপর, একটি সংখ্যা h গ্রহণ করে যা অসমতা 0কে সন্তুষ্ট করে< h < 1 и h < ,

আমরা পাই (t − h) = t n − Cnt n−1h + Cn t n−2 h 2 − ... + (−1) Cn h n >

> t n − Cnt n−1h + Cn t n−2h + ... + Cn h = t n − h (t + 1) − t n > a ।

এর মানে হল t−h ∈ B এবং t ক্ষুদ্রতম উপাদান হতে পারে না

শ্রেণী বি অতএব, t n = a।

স্বতন্ত্রতা এই সত্য থেকে অনুসরণ করে যে যদি t1< t2 , то t1n < t2 .☻ n

উদাহরণ 2. প্রমাণ করুন যে যদি ক< b , то всегда найдется рациональное число r

যেমন a< r < b .

☺যদি a এবং b সংখ্যাগুলো মূলদ হয়, তাহলে সংখ্যাটি মূলদ এবং

প্রয়োজনীয় শর্ত পূরণ করে। ধরুন যে সংখ্যার অন্তত একটি a বা b

অযৌক্তিক, উদাহরণস্বরূপ, ধরা যাক যে সংখ্যাটি অমূলদ। অনুমান

এছাড়াও আমরা a ≥ 0 টিপুন, তারপর b > 0 টিপুন। আমরা আকারে a এবং b সংখ্যার উপস্থাপনা লিখি

দশমিক ভগ্নাংশ: a = α 0 ,α1α 2α 3.... এবং b = β 0 , β1β 2 β3... , যেখানে দ্বিতীয় ভগ্নাংশটি অসীম

সীমিত এবং অ-পর্যায়ক্রমিক। a সংখ্যার প্রতিনিধিত্বের জন্য, তাহলে আমরা গণনা করব

যদি a সংখ্যাটি মূলদ হয়, তবে এর স্বরলিপি হয় সসীম বা এটি

rhyonic ভগ্নাংশ যার সময়কাল 9 এর সমান নয়।

যেহেতু b > a, তারপর β 0 ≥ α 0; যদি β 0 = α 0 হয়, তাহলে β1 ≥ α1 ; যদি β1 = α1 হয়, তাহলে β 2 ≥ α 2

ইত্যাদি, এবং এমন একটি মান আছে i , যেখানে এটি প্রথমবারের মতো হবে

কঠোর অসমতা সন্তুষ্ট করুন βi > α i। তাহলে সংখ্যাটি β 0 , β1β 2 ...βi হবে মূলদ

বাস্তব এবং a এবং b সংখ্যার মধ্যে থাকবে।

যদি একটি< 0 , то приведенное рассуждение надо применить к числам a + n и

b + n, যেখানে n একটি স্বাভাবিক সংখ্যা যেমন n ≥ a। এমন সংখ্যার অস্তিত্ব

আর্কিমিডিসের স্বতঃসিদ্ধ থেকে অনুসরণ করে। ☻

সংজ্ঞা 1.4.6। বাস্তব অক্ষের অংশগুলির একটি ক্রম দেওয়া যাক

([একটি; বিএন]), একটি< bn . Эту последовательность будем называть системой вло-

ব্যবধান যদি কোনো n অসমতার জন্য একটি ≤ an+1 ধরে থাকে এবং

যেমন একটি সিস্টেমের জন্য, inclusions

[a1; b1 ] ⊃ [ a2 ; b2 ] ⊃ [ a3 ; b3] ⊃ ... ⊃ [ একটি ; bn] ⊃ ... ,

অর্থাৎ, প্রতিটি পরবর্তী সেগমেন্ট আগের একটিতে রয়েছে।

উপপাদ্য 1.4.4। নেস্টেড সেগমেন্টের যে কোনো সিস্টেমের জন্য, সেখানে বিদ্যমান

অন্তত একটি পয়েন্ট যা এই প্রতিটি সেগমেন্টে অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে।

A = (an ) এবং B = (bn ) দুটি সেট নেওয়া যাক। তারা খালি এবং কোন জন্য নয়

n এবং m, অসমতা একটি< bm . Докажем это.

যদি n ≥ m হয়, তাহলে an< bn ≤ bm . Если n < m , то an ≤ am < bm .

এইভাবে A এবং B শ্রেণীগুলি ধারাবাহিকতার স্বতঃসিদ্ধ এবং,

অতএব, একটি সংখ্যা বিদ্যমান λ যেমন যে কোনো n-এর জন্য একটি ≤ λ ≤ bn, অর্থাৎ এই

সংখ্যাটি যেকোনো বিভাগের অন্তর্গত [ একটি ; bn] .◄

যা অনুসরণ করে (উপাদ্য 2.1.8), আমরা এই উপপাদ্যটিকে পরিমার্জন করি।

উপপাদ্য 1.4.4 এ প্রণীত বিবৃতিটিকে নীতি বলা হয়

Cantor, এবং সেট যে এই শর্ত সন্তুষ্ট বলা হবে

ক্যান্টর অনুসারে অবিচ্ছিন্ন।

আমরা প্রমাণ করেছি যে যদি একটি আদেশকৃত সেট Dede-নিরবিচ্ছিন্ন হয়

kindu, তাহলে আর্কিমিডিসের নীতি এতে পূর্ণ হয় এবং এটি ক্যান্টর অনুসারে অবিচ্ছিন্ন।

এটা প্রমাণ করা যেতে পারে যে একটি আদেশ সেট যা নীতিমালা

আর্কিমিডিস এবং ক্যান্টরের নীতিগুলি ডেডেকাইন্ড অনুসারে অবিচ্ছিন্ন থাকবে। প্রমাণ

এই সত্যটি রয়েছে, উদাহরণস্বরূপ, এর মধ্যে।

আর্কিমিডিসের নীতি একটি সরল রেখার প্রতিটি অংশকে তুলনা করার অনুমতি দেয়

যেটি একমাত্র ইতিবাচক সংখ্যা যা শর্ত পূরণ করে:

1. সমান অংশগুলি সমান সংখ্যার সাথে মিলে যায়;

2. যদি AC রেখাংশের বিন্দু এবং AB এবং BC রেখাংশগুলি a এবং সংখ্যাগুলির সাথে মিলে যায়

b, তাহলে AC অংশটি a + b সংখ্যার সাথে মিলে যায়;

3. একটি নির্দিষ্ট অংশ সংখ্যা 1 এর সাথে মিলে যায়।

প্রতিটি বিভাগের সাথে সঙ্গতিপূর্ণ এবং শর্ত পূরণকারী সংখ্যা 1-3 অন-

এই অংশের দৈর্ঘ্য বলা হয়।

Cantor এর নীতি আমাদের প্রতিটি ইতিবাচক জন্য প্রমাণ করতে অনুমতি দেয়

সংখ্যা, আপনি একটি সেগমেন্ট খুঁজে পেতে পারেন যার দৈর্ঘ্য এই সংখ্যার সমান। এইভাবে,

ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার সেট এবং সেগমেন্টের সেটের মধ্যে

kov, যা একটি প্রদত্ত পাশে সরলরেখার কিছু বিন্দু থেকে বিছানো হয়

এই বিন্দু থেকে, একটি এক থেকে এক চিঠিপত্র স্থাপন করা যেতে পারে.

এটি আমাদের সংখ্যাসূচক অক্ষকে সংজ্ঞায়িত করতে এবং এর মধ্যে একটি চিঠিপত্র প্রবর্তন করতে দেয়

লাইনে প্রকৃত সংখ্যা এবং পয়েন্টের জন্য অপেক্ষা করছি। এটি করার জন্য, এর কিছু গ্রহণ করা যাক

আমি একটি রেখা আঁকি এবং এটিতে একটি বিন্দু O বেছে নিই, যা এই রেখাটিকে দুটি ভাগে ভাগ করে

মরীচি এই রশ্মির একটিকে আমরা বলি ধনাত্মক, আর দ্বিতীয়টিকে ঋণাত্মক।

nym তাহলে আমরা বলব যে আমরা এই সরল রেখার দিকটি বেছে নিয়েছি।

সংজ্ঞা 1.4.7। আসল অক্ষ হল সরলরেখা যার উপর

ক) বিন্দু O, যাকে বলা হয় উৎপত্তি বা উৎপত্তি;

খ) দিকনির্দেশ;

গ) একক দৈর্ঘ্যের একটি অংশ।

এখন, প্রতিটি বাস্তব সংখ্যা a এর সাথে, আমরা সংখ্যাটির উপর একটি বিন্দু M যুক্ত করি

সোজা তাই চিৎকার করুন

ক) সংখ্যা 0 মূলের সাথে মিলিত;

b) OM = a - উৎপত্তি থেকে M বিন্দু পর্যন্ত অংশটির দৈর্ঘ্য সমান ছিল

মডিউল সংখ্যা;

গ) a যদি ধনাত্মক হয়, তাহলে বিন্দুটি ধনাত্মক রশ্মির উপর নেওয়া হয় এবং, es-

যদি এটি নেতিবাচক হয়, তবে এটি নেতিবাচক।

এই নিয়মের মধ্যে এক থেকে এক চিঠিপত্র প্রতিষ্ঠিত হয়

বাস্তব সংখ্যার সেট এবং লাইনের বিন্দুর সেট।

সংখ্যারেখা (অক্ষ)টিকে বাস্তব রেখাও বলা হবে

এটি একটি বাস্তব সংখ্যার মডুলাসের জ্যামিতিক অর্থও বোঝায়।

la: সংখ্যাটির মডুলাস উৎপত্তি থেকে বিন্দু পর্যন্ত দূরত্বের সমান

নম্বর লাইনে এই নম্বরটি প্লট করা।

আমরা এখন 6 এবং 7 বৈশিষ্ট্যগুলির একটি জ্যামিতিক ব্যাখ্যা দিতে পারি

একটি বাস্তব সংখ্যার মডুলাস। x সংখ্যার একটি ধনাত্মক C সহ, সন্তুষ্ট-

বৈশিষ্ট্য 6 ব্যবধান পূরণ করে (−C , C), এবং সংখ্যাগুলি x সন্তোষজনক

বৈশিষ্ট্য 7 রশ্মির উপর অবস্থিত (−∞,C) বা (C , +∞)।

আমরা আসল মডিউলের আরও একটি অসাধারণ জ্যামিতিক সম্পত্তি নোট করি।

সত্য নম্বর.

দুটি সংখ্যার পার্থক্যের মডুলাস যথাক্রমে বিন্দুগুলির মধ্যে দূরত্বের সমান

বাস্তব অক্ষের এই সংখ্যার সাথে সঙ্গতিপূর্ণ।

ry স্ট্যান্ডার্ড সংখ্যাসূচক সেট।

প্রাকৃতিক সংখ্যার সেট;

পূর্ণসংখ্যার সেট;

মূলদ সংখ্যার সেট;

বাস্তব সংখ্যার সেট;

সেট, যথাক্রমে, পূর্ণসংখ্যা, মূলদ এবং বাস্তব

বাস্তব অ নেতিবাচক সংখ্যা;

জটিল সংখ্যার সেট।

উপরন্তু, বাস্তব সংখ্যার সেটকে (−∞, +∞) হিসাবে চিহ্নিত করা হয়।

এই সেটের উপসেট:

(a, b) = ( x | x ∈ R, a< x < b} - интервал;

[ a, b] = ( x | x ∈ R, a ≤ x ≤ b) - সেগমেন্ট;

(a, b] = ( x | x ∈ R, a< x ≤ b} или [ a, b) = { x | x ∈ R, a ≤ x < b} - полуинтерва-

ly বা অর্ধ-বিভাগ;

(a, +∞) = ( x | x ∈ R, a< x} или (−∞, b) = { x | x ∈ R, x < b} - открытые лучи;

[ a, +∞) = ( x | x ∈ R, a ≤ x) বা (−∞, b] = ( x | x ∈ R, x ≤ b) বদ্ধ রশ্মি।

অবশেষে, কখনও কখনও আমাদের এমন ফাঁকের প্রয়োজন হবে যেগুলিতে আমরা যত্ন নেব না

এর শেষ এই ব্যবধানের অন্তর্গত কিনা। এমন ফাঁক হবে

a, b বোঝান।

§ 5 সংখ্যাসূচক সেটের সীমাবদ্ধতা

সংজ্ঞা 1.5.1। X সংখ্যা সেটটিকে আবদ্ধ বলা হয়

উপরে থেকে যদি একটি সংখ্যা M থাকে যেমন x ≤ M যে কোনো উপাদানের জন্য x থেকে

X সেট করে।

সংজ্ঞা 1.5.2। X সংখ্যা সেটটিকে আবদ্ধ বলা হয়

নীচের থেকে যদি m এমন একটি সংখ্যা থাকে যে x ≥ m যে কোনো উপাদানের জন্য x থেকে

X সেট করে।

সংজ্ঞা 1.5.3। সংখ্যা সেট X কে বাউন্ডেড বলা হয়,

যদি এটি উপরে এবং নীচে থেকে আবদ্ধ হয়।

প্রতীকী স্বরলিপিতে, এই সংজ্ঞাগুলি দেখতে এইরকম হবে:

একটি সেট X উপরে থেকে আবদ্ধ হয় যদি ∃M ∀x ∈ X: x ≤ M ,

নীচে থেকে আবদ্ধ যদি ∃m ∀x ∈ X: x ≥ m এবং

∃m, M ∀x ∈ X: m ≤ x ≤ M হলে সীমাবদ্ধ।

উপপাদ্য 1.5.1। একটি সংখ্যা সেট X যদি এবং শুধুমাত্র যদি আবদ্ধ হয়

যখন এই সেট থেকে সমস্ত উপাদান x এর জন্য একটি সংখ্যা C থাকে

, অসমতা x ≤ C সন্তুষ্ট।

সেট X আবদ্ধ করা যাক. আমরা C \u003d সর্বোচ্চ (m, M) রাখি - সবচেয়ে বেশি

m এবং M সংখ্যার মধ্যে বড়। তারপর, বাস্তবের মডুলাসের বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করে

সংখ্যা, আমরা অসমতা পাই x ≤ M ≤ M ≤ C এবং x ≥ m ≥ − m ≥ −C, যেখান থেকে

না যে x ≤ C।

বিপরীতভাবে, যদি x ≤ C হয়, তাহলে −C ≤ x ≤ C। এই ট্রে-

দেওয়া হয় যদি আমরা M = C এবং m = −C .◄ সেট করি

যে সংখ্যাটি উপর থেকে X সেটটিকে আবদ্ধ করে তাকে উপরের বলে

সীমানা নির্ধারণ করুন। যদি M একটি সেট X এর উপরের সীমা হয়, তাহলে যে কোনো

সংখ্যা M ′, যা M এর চেয়ে বড়, এই সেটের উপরের সীমানাও হবে।

সুতরাং, আমরা সেটের উপরের সীমানার সেট সম্পর্কে কথা বলতে পারি

এক্স. M দ্বারা উপরের সীমার সেটটি নির্দেশ করুন। তারপর, ∀x ∈ X এবং ∀M ∈ M

অসমতা x ≤ M সন্তুষ্ট হবে, তাই, স্বতঃসিদ্ধ অনুসারে, ক্রমাগত

একটি সংখ্যা M 0 আছে যেমন x ≤ M 0 ≤ M। এই সংখ্যা বলা হয়

সংখ্যা সেটের উপরের সীমা X বা এর উপরের সীমা

সেট বা সেট X এর সর্বোচ্চ এবং M 0 = sup X দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।

এইভাবে, আমরা প্রমাণ করেছি যে প্রতিটি অ-খালি সংখ্যাসূচক সেট,

উপরে আবদ্ধ সবসময় একটি সঠিক উপরের সীমা আছে.

স্পষ্টতই, সমতা M 0 = sup X দুটি শর্তের সমতুল্য:

1) ∀x ∈ X, x ≤ M 0, অর্থাৎ, M 0 - সেটের উপরের সীমা

2) ∀ε > 0 ∃xε ∈ X যাতে xε > M 0 − ε, অর্থাৎ, এই গ্রা-

nitsa উন্নত করা যাবে না (কমানো)।

উদাহরণ 1. X = ⎨1 − ⎬ সেটটি বিবেচনা করুন। আসুন প্রমাণ করি যে sup X = 1।

☺আসলে, প্রথমত, অসমতা 1 −< 1 выполняется для любого

n ∈; দ্বিতীয়ত, যদি আমরা একটি নির্বিচারে ধনাত্মক সংখ্যা ε নিই, তাহলে দ্বারা

আর্কিমিডিসের নীতি অনুসারে, কেউ একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা nε যেমন nε > খুঁজে পেতে পারে। যে-

যখন অসমতা 1 − > 1 − ε সন্তুষ্ট হয়, অর্থাৎ, এর একটি উপাদান xnε পাওয়া গেছে

1 − ε এর চেয়ে বড় X এর, যার মানে হল 1 হল সর্বনিম্ন উপরের সীমা

একইভাবে, কেউ প্রমাণ করতে পারে যে যদি একটি সেট নীচে আবদ্ধ হয়, তাহলে

এটির একটি তীক্ষ্ণ নিম্ন সীমা রয়েছে, যাকে নিম্ন সীমানাও বলা হয়।

X সেটের নতুন বা infimum এবং inf X দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।

সমতা m0 = inf X শর্তগুলির সমতুল্য:

1) ∀x ∈ X অসমতা x ≥ m0 ধরে;

2) ∀ε > 0 ∃xε ∈ X যাতে অসমতা xε< m0 + ε .

যদি X সেটে সবচেয়ে বড় উপাদান x0 থাকে, তাহলে আমরা এটিকে কল করব

X সেটের সর্বাধিক উপাদান এবং x0 = max X নির্দেশ করুন। তারপর

sup X = x0। একইভাবে, যদি একটি সেটের মধ্যে একটি ক্ষুদ্রতম উপাদান থাকে, তাহলে

আমরা এটিকে ন্যূনতম বলব, min X নির্দেশ করব এবং এটি হবে-

সেট এক্স এর phimum.

উদাহরণস্বরূপ, প্রাকৃতিক সংখ্যার সেটে ক্ষুদ্রতম উপাদান রয়েছে -

ইউনিট, যা সেটের ইনফিমামও। সুপার-

মায়ের কাছে এই সেটটি নেই, যেহেতু এটি উপরে থেকে আবদ্ধ নয়।

সুনির্দিষ্ট ঊর্ধ্ব এবং নিম্ন সীমার সংজ্ঞা প্রসারিত করা যেতে পারে

উপরে বা নীচে থেকে সীমাহীন সেট করে, sup X = +∞ বা যথাক্রমে,

অনুরূপভাবে, inf X = −∞।

উপসংহারে, আমরা উপরের এবং নিম্ন সীমার বেশ কয়েকটি বৈশিষ্ট্য তৈরি করি।

বৈশিষ্ট্য 1. X কে কিছু সংখ্যাসূচক সেট করা যাক। দ্বারা চিহ্নিত করুন

− X সেট (− x | x ∈ X )। তারপর sup (− X) = − inf X এবং inf (− X) = − sup X।

বৈশিষ্ট্য 2. X কে কিছু সংখ্যাসূচক সেট λ - বাস্তব হতে দিন

সংখ্যা সেটটি λ X দ্বারা চিহ্নিত করুন (λ x | x ∈ X )। তারপর যদি λ ≥ 0 হয়, তাহলে

sup (λ X) = λ sup X , inf (λ X) = λ inf X এবং, যদি λ< 0, то

sup (λ X) = λ inf X , inf (λ X) = λ sup X।

বৈশিষ্ট্য 3. X1 এবং X 2 সংখ্যাসূচক সেট করা যাক। দ্বারা নির্দেশ করুন

X1 + X 2 সেট ( x1 + x2 | x1 ∈ X 1, x2 ∈ X 2 ) এবং X1 − X 2 এর মাধ্যমে সেট

( x1 − x2 | x1 ∈ X1, x2 ∈ X 2)। তারপর sup (X 1 + X 2) = sup X 1 + sup X 2 ,

inf (X1 + X 2) = inf X1 + inf X 2 , sup (X 1 − X 2) = sup X 1 − inf X 2 এবং

inf (X1 − X 2) = inf X1 − sup X 2।

প্রপার্টি 4. X1 এবং X 2 কে সংখ্যাসূচক সেট করা যাক, যার সমস্ত উপাদান

ryh অ নেতিবাচক হয়. তারপর

sup (X1 X 2) = sup X1 ⋅ sup X 2 , inf (X1 X 2) = inf X 1 ⋅ inf X 2 ।

আসুন, উদাহরণস্বরূপ, সম্পত্তি 3-এ প্রথম সমতা প্রমাণ করি।

ধরুন x1 ∈ X1, x2 ∈ X 2 এবং x = x1 + x2। তারপর x1 ≤ sup X1, x2 ≤ sup X 2 এবং

x ≤ sup X1 + sup X 2 , যেখান থেকে sup (X1 + X 2) ≤ sup X1 + sup X 2।

বিপরীত অসমতা প্রমাণ করতে, সংখ্যা নিন

y< sup X 1 + sup X 2 . Тогда можно найти элементы x1 ∈ X1 и x2 ∈ X 2 такие,

কি x1< sup X1 и x2 < sup X 2 , и выполняется неравенство

y< x1 + x2 < sup X1 + sup X 2 . Это означает, что существует элемент

x = +x1 x2 ∈ X1+ X2 যা y থেকে বড় এবং

sup X1 + sup X 2 = sup (X1 + X 2) .◄

অবশিষ্ট বৈশিষ্ট্যের প্রমাণগুলি একইভাবে বাহিত হয় এবং

পাঠকের কাছে মিথ্যা বলুন।

§ 6 গণনাযোগ্য এবং অগণিত সেট

সংজ্ঞা 1.6.1। প্রথম n প্রাকৃতিক সংখ্যার সেট বিবেচনা করুন

n = (1,2,..., n) এবং কিছু সেট A। যদি পারস্পরিকভাবে প্রতিষ্ঠা করা সম্ভব হয়

A এবং n এর মধ্যে এক থেকে এক চিঠিপত্র, তারপর সেট A বলা হবে

চূড়ান্ত

সংজ্ঞা 1.6.2। কিছু সেট A দেওয়া হোক। আমি যদি পারে

সেট A এবং এর মধ্যে এক থেকে এক চিঠিপত্র স্থাপন করুন

স্বাভাবিক সংখ্যার সেট, তারপর সেট A কে গণনা বলা হবে

সংজ্ঞা 1.6.3। A সেট যদি সসীম বা গণনাযোগ্য হয়, তাহলে আমরা করব

বলুন যে এটি গণনাযোগ্য ছাড়া আর কিছুই নয়।

সুতরাং, একটি সেট গণনাযোগ্য হবে যদি এর উপাদানগুলি গণনা করা যায়।

ক্রমানুসারে করা

উদাহরণ 1. জোড় সংখ্যার সেট গণনাযোগ্য, যেহেতু ম্যাপিং n ↔ 2n

প্রাকৃতিক সেটের মধ্যে এক থেকে এক চিঠিপত্র

সংখ্যা এবং জোড় সংখ্যার একটি সেট।

স্পষ্টতই, এই ধরনের চিঠিপত্র একমাত্র উপায়ে প্রতিষ্ঠিত হতে পারে না

জোম উদাহরণস্বরূপ, আপনি একটি সেট এবং একটি সেটের মধ্যে একটি চিঠিপত্র স্থাপন করতে পারেন

(পূর্ণসংখ্যা সংখ্যা), এইভাবে একটি চিঠিপত্র প্রতিষ্ঠা করা

ওমস্ক স্টেট পেডাগজিকাল ইউনিভার্সিটি
TARE-এ OMSPU এর শাখা
বিবিকে সম্পাদকীয় ও প্রকাশনার সিদ্ধান্তে প্রকাশিত
তারার ওমএসপিইউ শাখার 22তম 73তম সেক্টর
Ch67

সুপারিশগুলি শিক্ষাগত বিশ্ববিদ্যালয়ের ছাত্রদের উদ্দেশ্যে করা হয়েছে যারা "বীজগণিত এবং সংখ্যা তত্ত্ব" বিষয়ে অধ্যয়নরত। এই শৃঙ্খলার কাঠামোর মধ্যে, রাষ্ট্রীয় মান অনুসারে, "সংখ্যার সিস্টেম" বিভাগটি 6 তম সেমিস্টারে অধ্যয়ন করা হয়। এই সুপারিশগুলি প্রাকৃতিক সংখ্যার সিস্টেমের স্বতঃসিদ্ধ নির্মাণ (পিয়ানোর স্বতঃসিদ্ধ সিস্টেম), পূর্ণসংখ্যার সিস্টেম এবং মূলদ সংখ্যার উপর উপাদান উপস্থাপন করে। এই অ্যাক্সিওম্যাটিক্স আপনাকে একটি সংখ্যা কী তা আরও ভালভাবে বুঝতে দেয়, যা একটি স্কুল গণিত কোর্সের মৌলিক ধারণাগুলির মধ্যে একটি। উপাদানের আরও ভাল আত্তীকরণের জন্য, প্রাসঙ্গিক বিষয়গুলির উপর কাজ দেওয়া হয়। সুপারিশের শেষে উত্তর, নির্দেশাবলী, সমস্যার সমাধান রয়েছে।

পর্যালোচক: পিএইচডি, অধ্যাপক। ডালিঙ্গার ভি.এ.

(গ) মোজান এন.এন.

প্রকাশনার জন্য স্বাক্ষরিত - 22.10.98

নিউজপ্রিন্ট
সার্কুলেশন 100 কপি।
অপারেশনাল প্রিন্টিং পদ্ধতি
OmGPU, 644099, Omsk, nab. তুখাচেভস্কি, ১৪
শাখা, 644500, তারা, সেন্ট. স্কুল, 69

1. প্রাকৃতিক সংখ্যা।

প্রাকৃতিক সংখ্যার একটি সিস্টেমের স্বতঃসিদ্ধ নির্মাণে, আমরা ধরে নেব যে একটি সেটের ধারণা, সম্পর্ক, ফাংশন এবং অন্যান্য সেট-তাত্ত্বিক ধারণাগুলি পরিচিত।

1.1 পিয়ানোর স্বতঃসিদ্ধ সিস্টেম এবং সহজতম কোরোলারী।

পিয়ানোর স্বতঃসিদ্ধ তত্ত্বের প্রাথমিক ধারণাগুলি হল সেট N (যাকে আমরা প্রাকৃতিক সংখ্যার সেট বলব), এটি থেকে বিশেষ সংখ্যা শূন্য (0) এবং N-এর উপর বাইনারি সম্পর্ক "অনুসরণ করে", S(a) দ্বারা চিহ্নিত ( বা a()।
স্বতঃসিদ্ধ:
1. ((a(N)a"(0) (একটি স্বাভাবিক সংখ্যা 0 আছে যা কোন সংখ্যাকে অনুসরণ করে না।)
2. a=b (a"=b" (প্রতিটি প্রাকৃতিক সংখ্যা a এর জন্য, একটি নিম্নলিখিত প্রাকৃতিক সংখ্যা a" এবং শুধুমাত্র একটি।)
3. a"=b" (a=b (প্রতিটি প্রাকৃতিক সংখ্যা সর্বাধিক একটি সংখ্যা অনুসরণ করে।)
4. (আবেশের স্বতঃসিদ্ধ) যদি সেট M(N এবং M দুটি শর্ত পূরণ করে:
ক) 0(M;
B) ((a(N)a(M ® a"(M, তারপর M=N)
কার্যকরী পরিভাষায়, এর মানে হল ম্যাপিং S:N®N হল ইনজেক্টিভ। Axiom 1 ইঙ্গিত করে যে মানচিত্র S:N®N আনুমানিক নয়। Axiom 4 হল "গাণিতিক আনয়নের পদ্ধতি" দ্বারা বিবৃতি প্রমাণ করার ভিত্তি।
আমরা প্রাকৃতিক সংখ্যার কিছু বৈশিষ্ট্য নোট করি যেগুলি সরাসরি স্বতঃসিদ্ধ থেকে অনুসরণ করে।
সম্পত্তি 1. প্রতিটি প্রাকৃতিক সংখ্যা a(0 একটি এবং শুধুমাত্র একটি সংখ্যা অনুসরণ করে।
প্রমাণ। শূন্য সম্বলিত প্রাকৃতিক সংখ্যার সেট এবং সেই সমস্ত প্রাকৃতিক সংখ্যাগুলিকে M দ্বারা চিহ্নিত করুন, যার প্রত্যেকটি কিছু সংখ্যা অনুসরণ করে। এটি দেখানোর জন্য যথেষ্ট যে M=N, স্বতন্ত্রতা স্বতঃসিদ্ধ 3 থেকে অনুসরণ করে। আসুন আবেশ 4-এর স্বতঃসিদ্ধ প্রয়োগ করি:
ক) 0(M - সেট M নির্মাণ করে;
খ) যদি a(M, তাহলে a"(M, কারণ a" a অনুসরণ করে।
তাই, স্বতঃসিদ্ধ 4, M=N.
সম্পত্তি 2. যদি a(b, তাহলে a"(b")।
স্বতঃসিদ্ধ 3 ব্যবহার করে সম্পত্তিটি "দ্বন্দ্ব দ্বারা" পদ্ধতি দ্বারা প্রমাণিত হয়। স্বতঃসিদ্ধ 2 ব্যবহার করে নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্য 3 একইভাবে প্রমাণিত হয়।
সম্পত্তি 3. যদি a"(b", তাহলে a(b.
সম্পত্তি 4. ((a(N)a(a)।" (কোন প্রাকৃতিক সংখ্যা নিজেকে অনুসরণ করে না।)
প্রমাণ। ধরুন M=(x (x(N, x(x")। এটি দেখানোর জন্য যথেষ্ট যে M=N। যেহেতু স্বতঃসিদ্ধ 1 দ্বারা ((x(N)x"(0), বিশেষ করে, 0"(0, এবং এইভাবে স্বতঃসিদ্ধ 4 0(M) এর শর্ত A) সন্তুষ্ট। যদি x(M, অর্থাৎ x(x", তাহলে 2 x"((x")" সম্পত্তি দ্বারা, যার মানে সেই শর্ত B) x( M ® x "(M. কিন্তু তারপর, Axiom 4 অনুযায়ী, M=N.
ধরুন ( প্রাকৃতিক সংখ্যার কিছু বৈশিষ্ট্য। একটি সংখ্যার বৈশিষ্ট্যটি (, আমরা লিখব ((a))।
টাস্ক 1.1.1। প্রমাণ করুন যে প্রাকৃতিক সংখ্যার সেটের সংজ্ঞা থেকে স্বতঃসিদ্ধ 4 নিম্নলিখিত বিবৃতির সমতুল্য: যেকোনো সম্পত্তির জন্য (, যদি ((0) এবং তারপরে।
টাস্ক 1.1.2। তিন-উপাদান সেট A=(a,b,c), ইউনারী অপারেশন (: a(=c, b(=c, c(=a) নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। পিয়ানো স্বতঃসিদ্ধগুলির মধ্যে কোনটি সত্য অপারেশন সহ A সেট করুন (?
টাস্ক 1.1.3। ধরা যাক A=(a) একটি এক-উপাদানের সেট, a(=a। অপারেশন (?) সহ সেট A-তে পিয়ানো স্বতঃসিদ্ধ কোনটি সত্য?
টাস্ক 1.1.4. সেট N-এ আমরা যে কোনোটির জন্য সেট করে একটি unary অপারেশন সংজ্ঞায়িত করি। একটি অপারেশনের পরিপ্রেক্ষিতে পিয়ানোর স্বতঃসিদ্ধ দাবিগুলি N-এ সত্য কিনা তা খুঁজে বের করুন।
টাস্ক 1.1.5। হতে দিন. প্রমাণ করুন যে A অপারেশনের অধীনে বন্ধ রয়েছে (। অপারেশন সহ A সেটে পিয়ানো স্বতঃসিদ্ধের সত্যতা পরীক্ষা করুন (।
টাস্ক 1.1.6। হতে দিন, . আমরা সেট করে A-তে একটি unary অপারেশন সংজ্ঞায়িত করি। একটি অপারেশন সহ সেট A-তে Peano-এর কোনটি স্বতঃসিদ্ধ?

1.2। পিয়ানোর স্বতঃসিদ্ধ সিস্টেমের ধারাবাহিকতা এবং শ্রেণীবিভাগ।

স্বতঃসিদ্ধ একটি সিস্টেমকে সামঞ্জস্যপূর্ণ বলা হয় যদি উপপাদ্য T এবং এর স্বতঃসিদ্ধ থেকে তার অস্বীকার প্রমাণ করা অসম্ভব হয় (টি। এটা স্পষ্ট যে অসংগতিপূর্ণ সিস্টেমের স্বতঃসিদ্ধ সিস্টেমের গণিতে কোন অর্থ নেই, কারণ এই ধরনের তত্ত্বে যে কোনও কিছু প্রমাণ করা যেতে পারে এবং যেমন তত্ত্ব বাস্তব জগতের আইন প্রতিফলিত করে না তাই, স্বতঃসিদ্ধ সিস্টেমের সামঞ্জস্য একটি একেবারে প্রয়োজনীয় প্রয়োজন।
যদি একটি স্বতঃসিদ্ধ তত্ত্বে কোন উপপাদ্য না থাকে এবং এর অস্বীকৃতি (T), তাহলে এর অর্থ এই নয় যে স্বতঃসিদ্ধ সিস্টেমটি সামঞ্জস্যপূর্ণ; ভবিষ্যতে এই ধরনের তত্ত্বগুলি ঘটতে পারে। অতএব, স্বতঃসিদ্ধ সিস্টেমের সামঞ্জস্যতা প্রমাণ করতে হবে . সামঞ্জস্য প্রমাণ করার সবচেয়ে সাধারণ উপায় হল ব্যাখ্যার পদ্ধতি এই সত্যের উপর ভিত্তি করে যে যদি একটি পরিচিত সামঞ্জস্যপূর্ণ তত্ত্ব S-এ স্বতঃসিদ্ধ সিস্টেমের একটি ব্যাখ্যা থাকে, তাহলে স্বতঃসিদ্ধ সিস্টেম নিজেই সামঞ্জস্যপূর্ণ। প্রকৃতপক্ষে, যদি সিস্টেম স্বতঃসিদ্ধের মধ্যে অসামঞ্জস্যপূর্ণ ছিল, তাহলে উপপাদ্য T এবং (T) এতে প্রমাণযোগ্য হবে, কিন্তু তারপরে এই উপপাদ্যগুলি বৈধ হবে এবং এর ব্যাখ্যায়, এবং এটি S তত্ত্বের সামঞ্জস্যের সাথে বিরোধিতা করে। ব্যাখ্যার পদ্ধতিটি একজনকে শুধুমাত্র প্রমাণ করতে দেয় তত্ত্বের আপেক্ষিক সামঞ্জস্য।
পিয়ানো এর স্বতঃসিদ্ধ সিস্টেমের জন্য অনেকগুলি ভিন্ন ব্যাখ্যা তৈরি করা যেতে পারে। সেট তত্ত্ব বিশেষভাবে ব্যাখ্যায় সমৃদ্ধ। আসুন এই ব্যাখ্যাগুলির একটি নির্দেশ করি। স্বাভাবিক সংখ্যা হিসাবে আমরা সেটগুলি বিবেচনা করব (, ((), ((()), (((())),..., একটি বিশেষ সংখ্যা হিসাবে আমরা বিবেচনা করব শূন্য (। সম্পর্ক "অনুসরণ করে" ব্যাখ্যা করা হবে নিম্নরূপ: সেট M একটি সেট (M) দ্বারা অনুসরণ করা হয় যার একমাত্র উপাদান M নিজেই। সুতরাং, ("=((), (()"=((()) ইত্যাদি। স্বতঃসিদ্ধ 1-4 এর বৈধতা হতে পারে কোনো অসুবিধা ছাড়াই পরীক্ষা করা যায়। তবে, এই ধরনের ব্যাখ্যার কার্যকারিতা ছোট: এটি দেখায় যে পিয়ানো-এর স্বতঃসিদ্ধ সিস্টেমটি সামঞ্জস্যপূর্ণ যদি সেটের তত্ত্বটি সামঞ্জস্যপূর্ণ হয়। কিন্তু সেট তত্ত্বের স্বতঃসিদ্ধ সিস্টেমের সামঞ্জস্যতা প্রমাণ করা আরও বেশি। কঠিন কাজ। পিয়ানোর স্বতঃসিদ্ধ পদ্ধতির সবচেয়ে বিশ্বাসযোগ্য ব্যাখ্যা হল স্বজ্ঞাত গাণিতিক, যার ধারাবাহিকতা তার বিকাশের বহু শতাব্দীর অভিজ্ঞতা দ্বারা নিশ্চিত করা হয়।
স্বতঃসিদ্ধ একটি সামঞ্জস্যপূর্ণ সিস্টেমকে স্বাধীন বলা হয় যদি এই সিস্টেমের প্রতিটি স্বতঃসিদ্ধ অন্যান্য স্বতঃসিদ্ধের ভিত্তিতে একটি উপপাদ্য হিসাবে প্রমাণ করা না যায়। প্রমাণ করার জন্য যে স্বতঃসিদ্ধ (সিস্টেমের অন্যান্য স্বতঃসিদ্ধের উপর নির্ভর করে না
(1, (2, ..., (n, (1))
এটি প্রমাণ করার জন্য যথেষ্ট যে স্বতঃসিদ্ধ সিস্টেমটি সামঞ্জস্যপূর্ণ
(1, (2, ..., (n, ((2))
প্রকৃতপক্ষে, যদি (সিস্টেম (1) এর অবশিষ্ট স্বতঃসিদ্ধের ভিত্তিতে প্রমাণিত হয়, তাহলে সিস্টেম (2) অসামঞ্জস্যপূর্ণ হবে, যেহেতু উপপাদ্য (এবং স্বতঃসিদ্ধ)।
সুতরাং, স্বতঃসিদ্ধের স্বতন্ত্রতা প্রমাণ করার জন্য (ব্যবস্থার বাকি স্বতঃসিদ্ধ (1) থেকে), এটি স্বতঃসিদ্ধ সিস্টেমের (2) ব্যাখ্যা তৈরি করাই যথেষ্ট।
স্বতঃসিদ্ধ সিস্টেমের স্বাধীনতা একটি ঐচ্ছিক প্রয়োজন। কখনও কখনও, "কঠিন" উপপাদ্য প্রমাণ করা এড়াতে, ইচ্ছাকৃতভাবে অপ্রয়োজনীয় (নির্ভরশীল) স্বতঃসিদ্ধ সিস্টেম তৈরি করা হয়। যাইহোক, "অতিরিক্ত" স্বতঃসিদ্ধ একটি তত্ত্বে স্বতঃসিদ্ধের ভূমিকা, সেইসাথে তত্ত্বের বিভিন্ন বিভাগের মধ্যে অভ্যন্তরীণ যৌক্তিক সংযোগগুলি অধ্যয়ন করা কঠিন করে তোলে। উপরন্তু, স্বতঃসিদ্ধ নির্ভরশীল সিস্টেমগুলির জন্য ব্যাখ্যা নির্মাণ স্বাধীনগুলির তুলনায় অনেক বেশি কঠিন; সর্বোপরি, একজনকে "অতিরিক্ত" স্বতঃসিদ্ধের বৈধতা পরীক্ষা করতে হবে। এই কারণে, স্বতঃসিদ্ধগুলির মধ্যে নির্ভরতার প্রশ্নটিকে অনেক আগে থেকেই সর্বোচ্চ গুরুত্ব দেওয়া হয়েছে। এক সময়ে, প্রমাণ করার চেষ্টা করা হয় যে ইউক্লিডের অ্যাক্সিওম্যাটিক্সের 5ম পোস্টুলেট "সরলরেখার সমান্তরাল বিন্দুর মধ্য দিয়ে সর্বাধিক একটি সরল রেখা রয়েছে" একটি উপপাদ্য (অর্থাৎ এটি অবশিষ্ট স্বতঃসিদ্ধের উপর নির্ভর করে) লোবাচেভস্কির জ্যামিতি আবিষ্কার।
একটি সামঞ্জস্যপূর্ণ সিস্টেমকে ডিডাক্টিভলি কমপ্লিট বলা হয় যদি প্রদত্ত তত্ত্বের যেকোন বাক্য A কে প্রমাণিত বা খন্ডন করা যায়, অর্থাৎ A বা ডিডাক্টিভলি অসম্পূর্ণ। ডিডাক্টিভ সম্পূর্ণতাও বাধ্যতামূলক প্রয়োজন নয়। উদাহরণস্বরূপ, গ্রুপ তত্ত্বের স্বতঃসিদ্ধ সিস্টেম , রিং তত্ত্ব, ক্ষেত্র তত্ত্ব অসম্পূর্ণ; যেহেতু সসীম এবং অসীম উভয় গোষ্ঠী, রিং, ক্ষেত্র রয়েছে, তাই এই তত্ত্বগুলিতে প্রস্তাবটিকে প্রমাণ করা বা অস্বীকার করা অসম্ভব: "একটি গোষ্ঠী (রিং, ক্ষেত্র) একটি সসীম সংখ্যা ধারণ করে উপাদান।"
এটি লক্ষ করা উচিত যে অনেকগুলি স্বতঃসিদ্ধ তত্ত্বগুলিতে (যেমন, অ-আনুষ্ঠানিক তত্ত্বগুলিতে), প্রস্তাবগুলির সেটকে সুনির্দিষ্টভাবে সংজ্ঞায়িত করা যায় না এবং তাই এই জাতীয় তত্ত্বের স্বতঃসিদ্ধ সিস্টেমের ডিডাক্টিভ সম্পূর্ণতা প্রমাণ করা অসম্ভব। সম্পূর্ণতার আরেকটি অনুভূতিকে বলা হয় শ্রেণীবদ্ধ। স্বতঃসিদ্ধ একটি সিস্টেমকে শ্রেণীবদ্ধ বলা হয় যদি এর যেকোন দুটি ব্যাখ্যা সমরূপ হয়, অর্থাৎ, একটি এবং অন্য ব্যাখ্যার প্রাথমিক বস্তুর সেটের মধ্যে এমন এক-টু-ওয়ান চিঠিপত্র থাকে, যা সমস্ত প্রাথমিক সম্পর্কের জন্য সংরক্ষিত থাকে। শ্রেণীবদ্ধতাও একটি ঐচ্ছিক শর্ত। উদাহরণস্বরূপ, গ্রুপ তত্ত্বের স্বতঃসিদ্ধ সিস্টেমটি শ্রেণীবদ্ধ নয়। এটি এই সত্য থেকে অনুসরণ করে যে একটি সীমিত গোষ্ঠী একটি অসীম গোষ্ঠীর সাথে আইসোমরফিক হতে পারে না। যাইহোক, কিছু সংখ্যা পদ্ধতির তত্ত্বকে স্বতঃসিদ্ধ করার সময়, শ্রেণীবদ্ধতা বাধ্যতামূলক; উদাহরণ স্বরূপ, স্বতঃসিদ্ধ সিস্টেমের স্বতঃসিদ্ধ প্রকৃতির স্বাভাবিক সংখ্যা সংজ্ঞায়িত করার অর্থ হল, সমরূপতা পর্যন্ত, শুধুমাত্র একটি প্রাকৃতিক সিরিজ আছে।
পিয়ানোর স্বতঃসিদ্ধ সিস্টেমের শ্রেণীবিভাগ প্রমাণ করা যাক। ধরুন (N1, s1, 01) এবং (N2, s2, 02) পিয়ানো-এর স্বতঃসিদ্ধ সিস্টেমের যেকোনো দুটি ব্যাখ্যা। এই ধরনের একটি দ্বিমুখী (এক থেকে এক) ম্যাপিং f:N1®N2 নির্দেশ করতে হবে যার জন্য নিম্নলিখিত শর্তগুলি সন্তুষ্ট:
ক) N1 থেকে যেকোনো x এর জন্য f(s1(x)=s2(f(x));
খ) f(01)=02
যদি ইউনারী অপারেশন s1 এবং s2 একই প্রাইম দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, তবে শর্ত a) পুনরায় লেখা হয়
ক) f(x()=f(x)(।
আসুন নিম্নলিখিত শর্তগুলির দ্বারা N1(N2) সেটে একটি বাইনারি সম্পর্ক f সংজ্ঞায়িত করি:
1) 01f02;
2) যদি xfy, তাহলে x(fy(.
আসুন নিশ্চিত করি যে এই সম্পর্কটি N1 থেকে N2 এর ম্যাপিং, অর্থাৎ, N1 থেকে প্রতিটি x এর জন্য
(((y(N2)xfy(1))
M1 দ্বারা N1 থেকে সমস্ত উপাদান x এর সেটটি নির্দেশ করুন যার জন্য শর্ত (1) সন্তুষ্ট। তারপর
ক) 01 (1 এর কারণে M1);
খ) x(M1 ® x((M1 এর কারণে 2) এবং বৈশিষ্ট্য 1 আইটেম 1।
তাই, Axiom 4 অনুসারে, আমরা এই উপসংহারে পৌঁছেছি যে M1=N1, যার মানে হল সম্পর্ক f হল N1 থেকে N2-এর ম্যাপিং। তাছাড়া, 1) থেকে এটি অনুসরণ করে যে f(01)=02। শর্ত 2) নিম্নরূপ লেখা হয়: যদি f(x)=y, তাহলে f(x()=y(. এটি অনুসরণ করে f(x()=f(x)(. এইভাবে, শর্ত a-এর f ম্যাপিংয়ের জন্য) এবং খ) সন্তুষ্ট। এটা প্রমাণ করা বাকি আছে যে মানচিত্র f দ্বিমুখী।
M2 দ্বারা চিহ্নিত করুন N2 থেকে সেই উপাদানগুলির সেট, যার প্রত্যেকটি ম্যাপিং f এর অধীনে N1 থেকে একটি এবং শুধুমাত্র একটি উপাদানের চিত্র।
যেহেতু f(01)=02, তাহলে 02 হল একটি চিত্র। অধিকন্তু, যদি x(N2 এবং x(01), তাহলে, পয়েন্ট 1 এর বৈশিষ্ট্য 1 দ্বারা, x N1 থেকে কিছু উপাদান c অনুসরণ করে এবং তারপর f(x)=f(c()=f(c)((02)। তাই, 02 হল একমাত্র উপাদান 01 এর চিত্র, অর্থাৎ 02(M2.
আরও y(M2 এবং y=f(x), যেখানে x হল y উপাদানের একমাত্র প্রিমেজ। তারপর শর্ত অনুসারে a) y(=f(x)(=f(x()), অর্থাৎ, y (এটি হল x (এলিমেন্ট) এর ইমেজ Axiom 3 এর গুণে, y=f(d)। কিন্তু যেহেতু y(M2, তারপর d=x, যেখান থেকে c=d(=x(। আমরা প্রমাণ করেছি যে y যদি একটি অনন্য উপাদানের চিত্র হয়, তাহলে y( এটি একটি অনন্য উপাদানের চিত্র, অর্থাৎ, y(M2 ® y((M2। Axiom 4-এর উভয় শর্তই সন্তুষ্ট এবং তাই, M2=N2, যা শ্রেণীবদ্ধতার প্রমাণ সম্পূর্ণ করে।
সমস্ত প্রাক-গ্রীক গণিতই ছিল অভিজ্ঞতামূলক প্রকৃতির। তত্ত্বের পৃথক উপাদানগুলি ব্যবহারিক সমস্যা সমাধানের জন্য পরীক্ষামূলক পদ্ধতির ভরে নিমজ্জিত হয়েছিল। গ্রীকরা এই অভিজ্ঞতামূলক উপাদানটিকে যৌক্তিক প্রক্রিয়াকরণের অধীন করেছিল, বিভিন্ন অভিজ্ঞতামূলক তথ্যের মধ্যে সংযোগ খুঁজে বের করার চেষ্টা করেছিল। এই অর্থে, জ্যামিতিতে পিথাগোরাস এবং তার স্কুল (খ্রিস্টপূর্ব ৫ম শতাব্দী) গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করেছিল। অ্যারিস্টটলের (খ্রিস্টপূর্ব চতুর্থ শতাব্দী) লেখায় স্বতঃসিদ্ধ পদ্ধতির ধারণাগুলি স্পষ্টভাবে উচ্চারিত হয়েছিল। যাইহোক, এই ধারণাগুলির বাস্তব রূপায়ণ ইউক্লিড তার "শুরুতে" (খ্রিস্টপূর্ব তৃতীয় শতাব্দীতে) করেছিলেন।
বর্তমানে, স্বতঃসিদ্ধ তত্ত্বের তিনটি রূপকে আলাদা করা যায়।
1)। অর্থপূর্ণ অ্যাক্সিওম্যাটিক্স, যা গত শতাব্দীর মাঝামাঝি পর্যন্ত একমাত্র ছিল।
2)। একটি আধা-আনুষ্ঠানিক স্বতঃসিদ্ধ যা গত শতাব্দীর শেষ ত্রৈমাসিকে উদ্ভূত হয়েছিল।
3)। আনুষ্ঠানিক (বা আনুষ্ঠানিক) অ্যাক্সিওম্যাটিক্স, যার জন্ম তারিখ বিবেচনা করা যেতে পারে 1904, যখন ডি. হিলবার্ট আনুষ্ঠানিক গণিতের মৌলিক নীতিগুলির উপর তার বিখ্যাত প্রোগ্রাম প্রকাশ করেছিলেন।
প্রতিটি নতুন ফর্ম আগেরটিকে অস্বীকার করে না, তবে এটির বিকাশ এবং পরিমার্জন, যাতে প্রতিটি নতুন ফর্মের তীব্রতার মাত্রা আগেরটির চেয়ে বেশি হয়।
অর্থপূর্ণ অ্যাক্সিওম্যাটিক্স এই সত্য দ্বারা চিহ্নিত করা হয় যে প্রাথমিক ধারণাগুলির একটি স্বজ্ঞাতভাবে স্পষ্ট অর্থ রয়েছে এমনকি স্বতঃসিদ্ধ গঠনের আগেও। সুতরাং, ইউক্লিডের এলিমেন্টস-এ, এই ধারণার অধীনে আমরা স্বজ্ঞাতভাবে যা কল্পনা করি ঠিক তেমনই একটি বিন্দু বোঝা যায়। এই ক্ষেত্রে, সাধারণ ভাষা এবং সাধারণ স্বজ্ঞাত যুক্তি, যা অ্যারিস্টটলের সময়কার, ব্যবহার করা হয়।
আধা-আনুষ্ঠানিক স্বতঃসিদ্ধ তত্ত্বগুলিও সাধারণ ভাষা এবং স্বজ্ঞাত যুক্তি ব্যবহার করে। যাইহোক, অর্থপূর্ণ অ্যাক্সিওম্যাটিক্সের বিপরীতে, মূল ধারণাগুলিকে কোনও স্বজ্ঞাত অর্থ দেওয়া হয় না, সেগুলি শুধুমাত্র স্বতঃসিদ্ধ দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। এটি কঠোরতা বাড়ায়, যেহেতু অন্তর্দৃষ্টি কিছু পরিমাণে কঠোরতার সাথে হস্তক্ষেপ করে। উপরন্তু, সাধারণতা অর্জিত হয়, কারণ এই ধরনের তত্ত্বে প্রমাণিত প্রতিটি উপপাদ্যই এর যেকোনো ব্যাখ্যায় বৈধ হবে। আধা-আনুষ্ঠানিক স্বতঃসিদ্ধ তত্ত্বের একটি উদাহরণ হল হিলবার্টের তত্ত্বটি তার বই "Fundamentals of Geometry" (1899) এ উপস্থাপিত। আধা-আনুষ্ঠানিক তত্ত্বের উদাহরণ হল রিং তত্ত্ব এবং বীজগণিতের কোর্সে উপস্থাপিত অন্যান্য তত্ত্ব।
একটি আনুষ্ঠানিক তত্ত্বের একটি উদাহরণ হল প্রস্তাবনামূলক ক্যালকুলাস, যা গাণিতিক যুক্তিবিদ্যার একটি কোর্সে অধ্যয়ন করা হয়। বস্তুগত এবং আধা-আনুষ্ঠানিক স্বতঃসিদ্ধবিদ্যার বিপরীতে, আনুষ্ঠানিক তত্ত্ব একটি বিশেষ প্রতীকী ভাষা ব্যবহার করে। যথা, তত্ত্বের বর্ণমালা দেওয়া হয়েছে, অর্থাৎ, প্রতীকগুলির একটি নির্দিষ্ট সেট যা সাধারণ ভাষায় অক্ষরের মতো একই ভূমিকা পালন করে। অক্ষরের যেকোন সসীম ক্রমকে অভিব্যক্তি বা শব্দ বলে। অভিব্যক্তিগুলির মধ্যে, সূত্রগুলির একটি শ্রেণিকে আলাদা করা হয়, এবং একটি সঠিক মানদণ্ড নির্দেশ করা হয় যা প্রতিটি অভিব্যক্তিকে এটি একটি সূত্র কিনা তা খুঁজে বের করার অনুমতি দেয়। সূত্রগুলি সাধারণ ভাষায় বাক্য হিসাবে একই ভূমিকা পালন করে। কিছু সূত্র স্বতঃসিদ্ধ ঘোষণা করা হয়। উপরন্তু, যৌক্তিক অনুমান নিয়ম সেট করা হয়; এই ধরনের প্রতিটি নিয়ম মানে হল একটি সু-সংজ্ঞায়িত সূত্র অবিলম্বে সূত্রের একটি নির্দিষ্ট সেট থেকে অনুসরণ করে। একটি উপপাদ্যের প্রমাণ নিজেই সূত্রের একটি সসীম শৃঙ্খল, যার মধ্যে শেষ সূত্রটি নিজেই উপপাদ্য, এবং প্রতিটি সূত্র হয় একটি স্বতঃসিদ্ধ, বা পূর্বে প্রমাণিত একটি উপপাদ্য, অথবা একটি অনুসারে শৃঙ্খলের পূর্ববর্তী সূত্রগুলি থেকে সরাসরি অনুসরণ করে। ডেরিভেশন নিয়ম সুতরাং, প্রমাণের তীব্রতার প্রশ্নটি সম্পূর্ণভাবে প্রশ্নের বাইরে: হয় এই চেইনটি প্রমাণ, বা এটি নয়, কোন সন্দেহজনক প্রমাণ নেই। এই বিষয়ে, গাণিতিক তত্ত্বগুলিকে প্রমাণ করার বিশেষত সূক্ষ্ম প্রশ্নগুলিতে আনুষ্ঠানিক স্বতঃসিদ্ধবিদ্যা ব্যবহার করা হয়, যখন সাধারণ স্বজ্ঞাত যুক্তি ভ্রান্ত সিদ্ধান্তের দিকে নিয়ে যেতে পারে, যা প্রধানত আমাদের সাধারণ ভাষায় ভুলতা এবং অস্পষ্টতার কারণে ঘটে।
যেহেতু একটি আনুষ্ঠানিক তত্ত্বে প্রত্যেকটি অভিব্যক্তি সম্পর্কে বলা যেতে পারে - এটি একটি সূত্রই হোক না কেন, তবে একটি আনুষ্ঠানিক তত্ত্বের বাক্যগুলির সেটকে নির্দিষ্ট বলে বিবেচনা করা যেতে পারে। এই বিষয়ে, কেউ নীতিগতভাবে ব্যাখ্যার অবলম্বন না করেই ডিডাক্টিভ পূর্ণতা প্রমাণ করার পাশাপাশি ধারাবাহিকতা প্রমাণের প্রশ্ন তুলতে পারে। বেশ কয়েকটি সাধারণ ক্ষেত্রে, এটি করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, প্রস্তাবিত ক্যালকুলাসের সামঞ্জস্য ব্যাখ্যা ছাড়াই প্রমাণিত হয়।
অ-আনুষ্ঠানিক তত্ত্বগুলিতে, বাক্যগুলির সেটটি স্পষ্টভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় না, তাই ব্যাখ্যার আশ্রয় না নিয়ে ধারাবাহিকতা প্রমাণের প্রশ্ন উত্থাপন করা অর্থহীন। ডিডাক্টিভ পূর্ণতা প্রমাণের প্রশ্নেও একই কথা প্রযোজ্য। যাইহোক, যদি একটি অনানুষ্ঠানিক তত্ত্বের এমন একটি প্রস্তাব থাকে যা প্রমাণিত বা অপ্রমাণিত হতে পারে না, তাহলে তত্ত্বটি স্পষ্টতই অসম্পূর্ণ।
স্বতঃসিদ্ধ পদ্ধতি দীর্ঘকাল ধরে কেবল গণিতেই নয়, পদার্থবিদ্যাতেও ব্যবহৃত হয়ে আসছে। এই দিকের প্রথম প্রচেষ্টা অ্যারিস্টটল দ্বারা করা হয়েছিল, কিন্তু স্বতঃসিদ্ধ পদ্ধতিটি পদার্থবিদ্যায় তার বাস্তব প্রয়োগ পেয়েছিল শুধুমাত্র মেকানিক্সের উপর নিউটনের কাজগুলিতে।
বিজ্ঞানের গাণিতিকীকরণের অশান্ত প্রক্রিয়ার সাথে, স্বতঃসিদ্ধকরণের প্রক্রিয়াও চলছে। বর্তমানে, এমনকি জীববিজ্ঞানের কিছু শাখায় স্বতঃসিদ্ধ পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়, উদাহরণস্বরূপ, জেনেটিক্সে।
এবং তবুও, স্বতঃসিদ্ধ পদ্ধতির সম্ভাবনা সীমাহীন নয়।
প্রথমত, আমরা লক্ষ্য করি যে এমনকি আনুষ্ঠানিক তত্ত্বগুলিতেও সম্পূর্ণরূপে অন্তর্দৃষ্টি এড়ানো সম্ভব নয়। ব্যাখ্যা ছাড়াই আনুষ্ঠানিক তত্ত্বের কোনো অর্থ নেই। অতএব, একটি আনুষ্ঠানিক তত্ত্ব এবং এর ব্যাখ্যার মধ্যে সম্পর্ক সম্পর্কে বেশ কয়েকটি প্রশ্ন উত্থাপিত হয়। উপরন্তু, আনুষ্ঠানিক তত্ত্বের মতো, স্বতঃসিদ্ধ সিস্টেমের সামঞ্জস্য, স্বাধীনতা এবং সম্পূর্ণতা সম্পর্কে প্রশ্ন উত্থাপিত হয়। এই ধরনের সমস্ত প্রশ্নের সামগ্রিকতা অন্য একটি তত্ত্বের বিষয়বস্তু গঠন করে, যাকে একটি আনুষ্ঠানিক তত্ত্বের মেটাথিওরি বলা হয়। একটি আনুষ্ঠানিক তত্ত্বের বিপরীতে, রূপতত্ত্বের ভাষা একটি সাধারণ দৈনন্দিন ভাষা, এবং যৌক্তিক যুক্তি সাধারণ স্বজ্ঞাত যুক্তিবিদ্যার নিয়ম দ্বারা পরিচালিত হয়। এইভাবে, অন্তর্জ্ঞান, আনুষ্ঠানিক তত্ত্ব থেকে সম্পূর্ণরূপে বহিষ্কৃত, তার রূপতত্ত্বে পুনরায় আবির্ভূত হয়।
কিন্তু স্বতঃসিদ্ধ পদ্ধতির প্রধান দুর্বলতা এতে নেই। আমরা ইতিমধ্যে ডি. হিলবার্টের প্রোগ্রামের কথা উল্লেখ করেছি, যা আনুষ্ঠানিক স্বতঃসিদ্ধ পদ্ধতির ভিত্তি স্থাপন করেছিল। হিলবার্টের মূল ধারণাটি ছিল শাস্ত্রীয় গণিতকে একটি আনুষ্ঠানিক স্বতঃসিদ্ধ তত্ত্ব হিসাবে প্রকাশ করা এবং তারপরে এর ধারাবাহিকতা প্রমাণ করা। যাইহোক, এই প্রোগ্রামটি এর মূল পয়েন্টগুলিতে ইউটোপিয়ান হয়ে উঠেছে। 1931 সালে, অস্ট্রিয়ান গণিতবিদ কে. গোডেল তার বিখ্যাত উপপাদ্য প্রমাণ করেছিলেন, যেখান থেকে হিলবার্ট দ্বারা নির্ধারিত দুটি প্রধান কাজই অসম্ভব ছিল। তিনি তার কোডিং পদ্ধতি ব্যবহার করে আনুষ্ঠানিক পাটিগণিতের সূত্র ব্যবহার করে মেটাথিওরি থেকে কিছু সত্যিকারের অনুমান প্রকাশ করতে এবং প্রমাণ করতে সফল হন যে এই সূত্রগুলি আনুষ্ঠানিক গাণিতিক থেকে আহরণযোগ্য নয়। এইভাবে, আনুষ্ঠানিক পাটিগণিত বিয়োগমূলকভাবে অসম্পূর্ণ হতে দেখা গেছে। এটি Gödel এর ফলাফল থেকে অনুসরণ করে যে যদি এই অপ্রমাণযোগ্য সূত্রটি স্বতঃসিদ্ধের মধ্যে অন্তর্ভুক্ত করা হয়, তাহলে কিছু সত্য প্রস্তাব প্রকাশ করে আরেকটি অপ্রমাণযোগ্য সূত্র থাকবে। এই সমস্ত কিছুর মানে হল যে শুধুমাত্র সমস্ত গণিতই নয়, এমনকি পাটিগণিতও, এর সহজতম অংশ, সম্পূর্ণরূপে আনুষ্ঠানিক করা যায়নি। বিশেষ করে, গোডেল "আনুষ্ঠানিক গাণিতিক সামঞ্জস্যপূর্ণ" প্রস্তাবের সাথে সঙ্গতিপূর্ণ একটি সূত্র তৈরি করেছিলেন এবং দেখিয়েছিলেন যে এই সূত্রটিও আহরণযোগ্য নয়। এই সত্যের অর্থ হল আনুষ্ঠানিক গাণিতিকের সামঞ্জস্যতা পাটিগণিতের মধ্যেই প্রমাণ করা যায় না। অবশ্যই, একটি শক্তিশালী আনুষ্ঠানিক তত্ত্ব তৈরি করা এবং এর মাধ্যমে আনুষ্ঠানিক গাণিতিকের সামঞ্জস্যতা প্রমাণ করা সম্ভব, কিন্তু তারপরে এই নতুন তত্ত্বের সামঞ্জস্য নিয়ে আরও কঠিন প্রশ্ন দেখা দেয়।
Gödel এর ফলাফল স্বতঃসিদ্ধ পদ্ধতির সীমাবদ্ধতা নির্দেশ করে। এবং তবুও, জ্ঞানের তত্ত্বে হতাশাবাদী সিদ্ধান্তের জন্য একেবারে কোন ভিত্তি নেই যে অজানা সত্য রয়েছে। এমন গাণিতিক সত্য রয়েছে যা আনুষ্ঠানিকভাবে প্রমাণ করা যায় না এর অর্থ এই নয় যে অজানা সত্য রয়েছে, বা এর অর্থ এই নয় যে মানুষের চিন্তাভাবনা সীমাবদ্ধ। এর অর্থ কেবলমাত্র আমাদের চিন্তাভাবনার সম্ভাবনাগুলি সম্পূর্ণরূপে আনুষ্ঠানিক পদ্ধতিতে সীমাবদ্ধ নয় এবং মানবতা এখনও প্রমাণের নতুন নীতিগুলি আবিষ্কার এবং উদ্ভাবন করতে পারেনি।

1.3. প্রাকৃতিক সংখ্যার সংযোজন

প্রাকৃতিক সংখ্যার যোগ এবং গুণনের ক্রিয়াকলাপগুলি পিয়ানো স্বতঃসিদ্ধ দ্বারা অনুমান করা হয় না, আমরা এই ক্রিয়াকলাপগুলিকে সংজ্ঞায়িত করব।
সংজ্ঞা। প্রাকৃতিক সংখ্যার সংযোজন হল একটি বাইনারি বীজগণিতীয় ক্রিয়াকলাপ + N সেটে, যার নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্য রয়েছে:
1 সে. ((a(N)a+0=a;
2 গ. ((a,b(N) a+b(=(a+b)(।
প্রশ্ন উঠছে - এই ধরনের একটি অপারেশন আছে, এবং যদি তাই হয়, এটি অনন্য?
উপপাদ্য। প্রাকৃতিক সংখ্যার একটি মাত্র যোগ আছে।
প্রমাণ। N সেটে একটি বাইনারি বীজগণিত অপারেশন হল ম্যাপিং (:N(N®N। এটি প্রমাণ করতে হবে যে একটি অনন্য ম্যাপিং আছে (:N(N®N বৈশিষ্ট্য সহ: 1) ((x(N)) x,0)=x ; 2) ((x,y(N) ((x,y()=((x,y)(. যদি প্রতিটি প্রাকৃতিক সংখ্যা x এর জন্য আমরা একটি ম্যাপিং fx এর অস্তিত্ব প্রমাণ করি: বৈশিষ্ট্য সহ N®N 1() fx(0 )=x; 2() fx(y()=fx(y)(, তারপর ফাংশন ((x,y) সমতা দ্বারা সংজ্ঞায়িত ((x,y) ( fx(y), এবং শর্ত পূরণ করবে 1) এবং 2)।
N সেটে, আমরা শর্তগুলির দ্বারা বাইনারি সম্পর্ক fx সংজ্ঞায়িত করি:
ক) 0fxx;
b) যদি yfxz হয়, তাহলে y(fxz(.
আসুন নিশ্চিত করি যে এই সম্পর্কটি N থেকে N এর একটি ম্যাপিং, অর্থাৎ, N থেকে প্রতিটি y-এর জন্য
(((z(N) yfxz (1))
M দ্বারা চিহ্নিত করুন প্রাকৃতিক সংখ্যা y এর যে শর্ত (1) সন্তুষ্ট। তারপর শর্ত a থেকে) এটি অনুসরণ করে যে 0(M, এবং শর্ত b থেকে) এবং আইটেম 1 এর সম্পত্তি 1 এটি অনুসরণ করে যে যদি y(M, তাহলে y(M. তাই, Axiom 4 এর উপর ভিত্তি করে, আমরা উপসংহারে পৌঁছেছি যে M) =N, যার অর্থ হল সম্পর্ক fx হল N থেকে N-এর একটি ম্যাপিং। এই ম্যাপিং নিম্নলিখিত শর্তগুলিকে সন্তুষ্ট করে:
1() fx(0) = x - কারণে a);
2() fx((y)=fx(y() - কারণে b)।
সুতরাং, যোগের অস্তিত্ব প্রমাণিত হয়।
আসুন স্বতন্ত্রতা প্রমাণ করি। ধরুন + এবং ( 1c এবং 2c বৈশিষ্ট্য সহ N সেটের যেকোনো দুটি বাইনারি বীজগণিতীয় ক্রিয়াকলাপ। এটি প্রমাণ করতে হবে
((x,y(N)x+y=x(y
আমরা একটি নির্বিচারে সংখ্যা x ঠিক করি এবং S দ্বারা চিহ্নিত করি সেইসব প্রাকৃতিক সংখ্যা y এর সেট যার জন্য সমতা
x+y=x(y (2)
সঞ্চালিত যেহেতু 1c x+0=x এবং x(0=x অনুযায়ী, তারপর
ক) ০(এস
এখন y(S, অর্থাৎ, সমতা (2) ধরে রাখি। যেহেতু x+y(=(x+y)(, x(y(=(x(y)(এবং x+y=x(y)), তারপর স্বতঃসিদ্ধ 2 x+y(=x(y(, অর্থাৎ শর্ত
গ) y(S ® y((S.
তাই, স্বতঃসিদ্ধ 4 দ্বারা, S=N, যা উপপাদ্যটির প্রমাণ সম্পূর্ণ করে।
আসুন সংযোজনের কিছু বৈশিষ্ট্য প্রমাণ করি।
1. সংখ্যা 0 যোগের একটি নিরপেক্ষ উপাদান, অর্থাৎ, প্রতিটি প্রাকৃতিক সংখ্যা a এর জন্য a+0=0+a=a।
প্রমাণ। সমতা a+0=a শর্ত 1c থেকে অনুসরণ করে। আসুন সমতা 0+a=a প্রমাণ করি।
M দ্বারা নির্দেশ করুন যে সমস্ত সংখ্যার জন্য এটি ধারণ করে। স্পষ্টতই, 0+0=0 এবং তাই 0(M. Let a(M, অর্থাৎ 0+a=a। তারপর 0+a(=(0+a)(=a) এবং তাই a((M. অতএব, M =N, যা প্রমাণ করা প্রয়োজন ছিল।
পরবর্তী, আমরা একটি লেমা প্রয়োজন.
লেমা। a(+b=(a+b)(।
প্রমাণ। M হল সমস্ত প্রাকৃতিক সংখ্যা b এর সেট যার সমতা a(+b=(a+b)(a এর যেকোনো মানের জন্য সত্য। তারপর:
ক) 0(M, যেহেতু a(+0=(a+0)(;
C) b(M ® b((M.) প্রকৃতপক্ষে, b(M এবং 2c, আমাদের কাছে আছে)
a(+b(=(a(+b)(=((a+b)()(=(a+b()(,
অর্থাৎ, b((M. অতএব, M=N, যা প্রমাণিত হবে।
2. প্রাকৃতিক সংখ্যার যোগ পরিবর্তনশীল।
প্রমাণ। যাক M=(a(a(N(((b(N)a+b=b+a)) এটা প্রমাণ করার জন্য যথেষ্ট যে M=N। আমাদের আছে:
ক) 0 (M - সম্পত্তি 1 এর কারণে।
গ) a(M ® a((M. প্রকৃতপক্ষে, লেমা প্রয়োগ করে এবং যে a(M), আমরা পাই:
a(+b=(a+b)(=(b+a)(=b+a(।
তাই a((M, এবং Axiom 4 M=N দ্বারা।
3. সংযোজন সহযোগী।
প্রমাণ। দিন
M=(c(c(N(((a,b(N)(a+b)+c=a+(b+c)))
এটা প্রমাণ করতে হবে যে M=N. যেহেতু (a+b)+0=a+b এবং a+(b+0)=a+b, তারপর 0(M. চলুন c(M, অর্থাৎ (a+b)+c=a+(b+c)। তারপর
(a+b)+c(=[(a+b)+c](=a+(b+c)(=a+(b+c()।
তাই, c((M এবং Axiom 4 M=N দ্বারা।
4. a+1=a(, যেখানে 1=0(.
প্রমাণ। a+1=a+0(=(a+0)(=a(।
5. যদি b(0, তাহলে ((a(N)a+b(a.
প্রমাণ। ধরুন M=(a(a(N(a+b(a)) যেহেতু 0+b=b(0, তারপর 0(M. আরও, যদি a(M, অর্থাৎ a+b(a), তাহলে দ্বারা বৈশিষ্ট্য 2 আইটেম 1 (a+b)((a(বা a(+b(a(. তাই a((M এবং M=N)
6. যদি b(0, তাহলে ((a(N)a+b(0.
প্রমাণ। যদি a=0, তাহলে 0+b=b(0, কিন্তু যদি a(0 এবং a=c(, তাহলে a+b=c(+b=(c+b)((0. সুতরাং, যে কোনো ক্ষেত্রে, a +b(0.
7. (সংযোজনের ট্রাইকোটমির আইন)। যেকোনো প্রাকৃতিক সংখ্যার জন্য a এবং b, তিনটি সম্পর্কের মধ্যে একটি এবং শুধুমাত্র একটি সত্য:
1) a=b;
2) b=a+u, যেখানে u(0;
3) a=b+v, যেখানে v(0.
প্রমাণ। আমরা একটি নির্বিচারে সংখ্যা a ঠিক করি এবং M দ্বারা সমস্ত প্রাকৃতিক সংখ্যা b এর সেট বোঝাই যার জন্য কমপক্ষে একটি সম্পর্ক 1), 2), 3) ধারণ করে। এটা প্রমাণ করতে হবে যে M=N. ধরা যাক b=0। তারপর যদি a=0, তাহলে সম্পর্ক 1) সন্তুষ্ট হয়, এবং যদি a(0, তাহলে সম্পর্ক 3) সত্য হয়, যেহেতু a=0+a। তাই 0(M.
আসুন এখন ধরে নিই যে b(M, অর্থাৎ নির্বাচিত a এর জন্য, সম্পর্কের মধ্যে 1), 2), 3) সন্তুষ্ট। যদি a=b, তাহলে b(=a(=a+1), অর্থাৎ b(সম্পর্ক 2 ধরে)। যদি b=a+u, তাহলে b(=a+u(, অর্থাৎ b(সম্পর্কের জন্য) 2) যদি a=b+v, তাহলে দুটি ক্ষেত্রে সম্ভব: v=1 এবং v(1. যদি v=1, তাহলে a=b+v=b", অর্থাৎ b" এর জন্য সম্পর্ক 1 সন্তুষ্ট)। v(1, তারপর v=c", যেখানে c(0 এবং তারপর a=b+v=b+c"=(b+c)"=b"+c, যেখানে c(0, যেমন b" সম্পর্কের জন্য 3 এইভাবে, আমরা প্রমাণ করেছি যে b(M®b"(M, এবং, তাই, M=N, অর্থাৎ, যে কোন a এবং b-এর জন্য, কমপক্ষে একটি সম্পর্কের 1), 2), 3 সন্তুষ্ট ) যে তাদের মধ্যে দুটি একই সাথে ধরে রাখতে পারে না। প্রকৃতপক্ষে, যদি সম্পর্ক 1) এবং 2) সন্তুষ্ট হয়, তাহলে আমাদের b=b+u থাকবে, যেখানে u(0, এবং এটি সম্পত্তি 5 বিরোধী। সন্তুষ্টির অসম্ভবতা 1) এবং 3) অবশেষে, যদি সম্পর্ক 2) এবং 3) সন্তুষ্ট হয়, তাহলে আমাদের কাছে a=(a+u)+v = a+ +(u+v), যা 5 এবং 6 বৈশিষ্ট্যের কারণে অসম্ভব। সম্পত্তি 7 হল সম্পূর্ণরূপে প্রমাণিত।
টাস্ক 1.3.1। ধরা যাক 1(=2, 2(=3, 3(=4, 4(=5, 5(=6, 6(=7, 7(=8, 8(=9))। প্রমাণ করুন যে 3+5=8, 2+4=6।

1.4। প্রাকৃতিক সংখ্যার গুণন।

সংজ্ঞা 1. প্রাকৃতিক সংখ্যার গুণন একটি বাইনারি অপারেশন (N সেটে, যার জন্য নিম্নলিখিত শর্তগুলি সন্তুষ্ট:
1u. ((x(N) x(0=0;
2y. ((x,y(N)x(y"=x(y+x)
আবার প্রশ্ন ওঠে - এই ধরনের একটি অপারেশন বিদ্যমান, এবং যদি তাই, এটি অনন্য?
উপপাদ্য। প্রাকৃতিক সংখ্যা গুণ করার জন্য শুধুমাত্র একটি অপারেশন আছে।
প্রমাণ প্রায় সংযোজন হিসাবে একই. শর্ত পূরণ করে এমন একটি ম্যাপিং (:N(N®N) খুঁজে বের করতে হবে
1) ((x(N)"(x,0)=0;
2) ((x,y(N) ((x,y")= ((x,y)+x।
একটি নির্বিচারে সংখ্যা x ঠিক করুন। যদি আমরা প্রতিটি x(N একটি ম্যাপিং fx এর অস্তিত্ব প্রমাণ করি: N®N বৈশিষ্ট্য সহ
1") fx(0)=0;
2") ((y(N) fx(y")=fx(y)+x,
তারপর (x,y) সমতা দ্বারা সংজ্ঞায়িত ফাংশন ((x,y)=fx(y) শর্ত 1) এবং 2 পূরণ করবে)।
এইভাবে, উপপাদ্যের প্রমাণ 1") এবং 2") বৈশিষ্ট্য সহ fx(y) ফাংশনের প্রতিটি x-এর অস্তিত্ব এবং স্বতন্ত্রতা প্রমাণ করতে হ্রাস পায়। আসুন নিম্নলিখিত নিয়ম অনুসারে সেট N-এ একটি চিঠিপত্র স্থাপন করি:
ক) শূন্য সংখ্যাটি 0 সংখ্যার সাথে তুলনীয়,
b) যদি y সংখ্যাটি c সংখ্যার সাথে যুক্ত হয়, তাহলে y সংখ্যার সাথে (আমরা c+x সংখ্যাটিকে যুক্ত করি।
আসুন আমরা নিশ্চিত করি যে এইরকম একটি তুলনাতে প্রতিটি সংখ্যা y এর একটি অনন্য চিত্র রয়েছে: এর অর্থ হবে যে চিঠিপত্রটি N এর মধ্যে একটি ম্যাপিং। একটি অনন্য চিত্র সহ সমস্ত প্রাকৃতিক সংখ্যা y এর সেট M দ্বারা নির্দেশ করুন। এটি শর্ত a) এবং Axiom 1 থেকে অনুসরণ করে যে 0(M. Let y (M. তারপর এটি শর্ত b থেকে অনুসরণ করে) এবং Axiom 2 যে y((M. অতএব, M=N, অর্থাৎ আমাদের চিঠিপত্র হল N এর একটি ম্যাপিং N , এটিকে fx দ্বারা নির্দেশ করুন তারপর শর্ত a) দ্বারা fx(0)=0 এবং শর্ত b দ্বারা fx(y()=fx(y)+x।
সুতরাং, গুণন অপারেশনের অস্তিত্ব প্রমাণিত হয়। এখন যাক (এবং (1y এবং 2y বৈশিষ্ট্য সহ N সেটে যেকোন দুটি বাইনারি ক্রিয়াকলাপ হতে দিন। এটি প্রমাণ করা বাকি আছে যে ((x,y(N) x(y=x(y। একটি নির্বিচারে সংখ্যা x ঠিক করুন এবং দিন)
S=(y?y(N(x(y=x(y))
যেহেতু, 1y এর গুণে, x(0=0 এবং x(0=0), তারপর 0(S. y(S, অর্থাৎ x(y=x(y. তারপর)
x(y(=x(y+x=x(y+x=x(y(
এবং, ফলস্বরূপ, y((S. তাই, S=N, যা উপপাদ্যটির প্রমাণ সম্পূর্ণ করে।
আমরা গুণের কিছু বৈশিষ্ট্য নোট করি।
1. গুণের ক্ষেত্রে নিরপেক্ষ উপাদান হল সংখ্যা 1=0(, অর্থাৎ ((a(N)a(1=1(a=a))।
প্রমাণ। এ ?a(N(1(a=a)) থেকে 1(0=0, তারপর 0(M. ধরুন a(M, অর্থাৎ 1(a=a। তারপর 1(a(=1(a+1=) a+1= a(, এবং, ফলস্বরূপ, a((M. অতএব, Axiom 4, M=N দ্বারা, যা প্রমাণিত হবে।
2. গুণের জন্য, সঠিক বন্টন আইন বৈধ, অর্থাৎ,
((a,b,c(N) (a+b)c=ac+bc.
প্রমাণ। ধরুন M=(c(c(N) (((a,b(N) (a+b)c=ac+bc)) যেহেতু (a+b)0=0 এবং a(0+b(0=0 , তারপর 0(M. যদি c(M, অর্থাৎ (a+b)c=ac+bc, তাহলে (a + b)(c(= (a + b)c +(a + b) = ac + bc +a +b=(ac+a)+(bc+b)=ac(+bc(. সুতরাং c((M এবং M=N)
3. প্রাকৃতিক সংখ্যার গুণন কম্যুটেটিভ, অর্থাৎ ((a,b(N) ab=ba।
প্রমাণ। আসুন প্রথমে যেকোন b(N সমতা 0(b=b(0=0) এর জন্য প্রমাণ করি। সমতা b(0=0 শর্ত 1у থেকে অনুসরণ করে। চলুন M=(b(b(N (0(b=0)) যেহেতু 0( 0=0, তারপর 0(M. যদি b(M, অর্থাৎ, 0(b=0, তারপর 0(b(=0(b+0=0 এবং, তাই, b((M. তাই , M=N, অর্থাৎ, সমতা 0(b=b(0) সকল b(N) এর জন্য প্রমাণিত হয়েছে। আরও, আসুন S=(a(a(N (ab=ba)) থেকে 0(b=b( 0), তারপর 0(S. ধরুন a(S, অর্থাৎ ab=ba। তারপর a(b=(a+1)b=ab+b=ba+b=ba(, অর্থাৎ, a((S) তাই S=N, যা প্রমাণ করতে হবে।
4. যোগ সাপেক্ষে গুণ বণ্টনমূলক। এই সম্পত্তি বৈশিষ্ট্য 3 এবং 4 থেকে অনুসরণ করে.
5. গুণন হল সহযোগী, যেমন ((a,b,c(N) (ab)c=a(bc))।
প্রমাণ সঞ্চালিত হয়, যোগ করার জন্য, c উপর আনয়ন দ্বারা.
6. যদি a(b=0, তাহলে a=0 বা b=0, অর্থাৎ N-এ কোন শূন্য ভাজক নেই।
প্রমাণ। ধরুন b(0 এবং b=c(. যদি ab=0, তাহলে ac(=ac+a=0, যেখান থেকে এটি অনুসরণ করে, বৈশিষ্ট্য 6 দ্বারা, আইটেম 3, যে a=0)।
টাস্ক 1.4.1। ধরা যাক 1(=2, 2(=3, 3(=4, 4(=5, 5(=6, 6(=7, 7(=8, 8(=9))। প্রমাণ করুন যে 2(4=8, ৩(৩=৯।
ধরুন n, a1, a2,..., একটি স্বাভাবিক সংখ্যা। সংখ্যার যোগফল a1, a2,...,an হল শর্ত দ্বারা চিহ্নিত এবং নির্ধারিত সংখ্যা; যেকোনো প্রাকৃতিক সংখ্যার জন্য k
সংখ্যার গুণফল a1, a2,...,an হল একটি স্বাভাবিক সংখ্যা, যা শর্ত দ্বারা চিহ্নিত এবং সংজ্ঞায়িত করা হয়: ; যেকোনো প্রাকৃতিক সংখ্যার জন্য k
যদি, তাহলে সংখ্যাটি একটি দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।
টাস্ক 1.4.2। প্রমাণ কর যে
ক) ;
খ) ;
ভি);
ছ);
e) ;
e) ;
এবং) ;
জ) ;
এবং) .

1.5। প্রাকৃতিক সংখ্যার সিস্টেমের ক্রম।

সম্পর্ক "অনুসরণ করে" অ্যান্টিরিফ্লেক্সিভ এবং অ্যান্টিসিমেট্রিক, কিন্তু ট্রানজিটিভ নয় এবং তাই অর্ডার রিলেশন নয়। আমরা স্বাভাবিক সংখ্যার যোগের উপর ভিত্তি করে ক্রম সম্পর্ক সংজ্ঞায়িত করব।
সংজ্ঞা 1. ক
সংজ্ঞা 2. a(b) (((x(N) b=a+x.
আসুন নিশ্চিত করি যে সম্পর্কটি সমতা এবং অসমতার সম্পর্কের সাথে যুক্ত প্রাকৃতিক সংখ্যার কিছু বৈশিষ্ট্য লক্ষ্য করা যাক।
1.
1.1 a=b (a+c=b+c.
1.2 a=b (ac=bc.
1.3a
1.4ক
1.5 a+c=b+c (a=b.
1.6 ac=bc (c(0 (a=b.
1.7a+c
1.8ac
1.9a
1.10a
প্রমাণ. বৈশিষ্ট্য 1.1 এবং 1.2 যোগ এবং গুণের অপারেশনগুলির স্বতন্ত্রতা থেকে অনুসরণ করে। যদি একটি
2. ((a(N) a
প্রমাণ। যেহেতু a(=a+1, তারপর a
3. N-এর ক্ষুদ্রতম উপাদান হল 0, এবং N\(0)-এর ক্ষুদ্রতম উপাদান হল সংখ্যা 1৷
প্রমাণ। যেহেতু ((a(N) a=0+a, তারপর 0(a, এবং তাই 0) হল N-এর ক্ষুদ্রতম উপাদান। আরও, যদি x(N\(0), তাহলে x=y(, y(N , বা x = y + 1। এর অর্থ হল ((x(N \ (0)) 1 (x, অর্থাৎ, 1 হল N \ (0) এর সবচেয়ে ছোট উপাদান।
4. সম্পর্ক ((a,b(N)((n(N)b(0 (nb > a.
প্রমাণ। স্পষ্টতই, যে কোনও প্রাকৃতিক a-এর জন্য একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা n থাকে
একটি যেমন একটি সংখ্যা, উদাহরণস্বরূপ, n=a(। আরও, যদি b(N\(0), তাহলে 3 সম্পত্তি দ্বারা
1(b(2)
1.10 এবং 1.4 বৈশিষ্ট্যের ভিত্তিতে (1) এবং (2) থেকে আমরা aa পাই।

1.6। প্রাকৃতিক সংখ্যার সিস্টেমের সম্পূর্ণ ক্রম।

সংজ্ঞা 1. যদি একটি অর্ডার করা সেটের প্রতিটি অ-খালি উপসেট (M; আসুন যাচাই করি যে মোট ক্রম রৈখিক। a এবং b একটি সুশৃঙ্খল সেট থেকে যেকোন দুটি উপাদান হতে দিন (M; Lemma) . 1) ক
প্রমাণ.
1) a((b(b=a(+k, k(N (b=a+k(, k((N\(0))
2) a(b(b=a+k, k(N(b(=a+k(, k((N\(0))
উপপাদ্য 1. প্রাকৃতিক সংখ্যার সেটের স্বাভাবিক ক্রম হল সম্পূর্ণ ক্রম।
প্রমাণ। M কে স্বাভাবিক সংখ্যার যেকোন অ-খালি সেট হতে দিন, এবং S হল N এর নিম্ন সীমার সেট, অর্থাৎ S=(x(x(N) (((m(M) x(m))। সম্পত্তি 3 আইটেম 5 থেকে এটি অনুসরণ করে যে 0(S. যদি Axiom 4 n(S(n(S) এর দ্বিতীয় শর্ত থাকে, তাহলে আমাদের হবে S=N। আসলে, S(N; যথা, যদি a(M), তাহলে a(() স)
উপপাদ্য 2. উপরে আবদ্ধ প্রাকৃতিক সংখ্যার যে কোনো অ-খালি সেটের একটি সর্বাধিক উপাদান রয়েছে।
প্রমাণ। M কে উপরে আবদ্ধ প্রাকৃতিক সংখ্যার যেকোন অ-খালি সেট হোক এবং S হল এর উপরের সীমার সেট, অর্থাৎ S=(x(x(N) (((m(M) m(x))। x0 দ্বারা বোঝান। S-তে সর্বনিম্ন উপাদান। তারপর অসমতা m(x0 ধরে M থেকে m থেকে সমস্ত সংখ্যার জন্য, এবং কঠোর অসমতা m
সমস্যা 1.6.1. প্রমাণ কর যে
ক) ;
খ) ;
ভি)।
সমস্যা 1.6.2। যাক ( প্রাকৃতিক সংখ্যার কিছু বৈশিষ্ট্য এবং k একটি নির্বিচারে স্বাভাবিক সংখ্যা। প্রমাণ কর
ক) যেকোনো প্রাকৃতিক সংখ্যার সম্পত্তি থাকে (, যত তাড়াতাড়ি প্রতি n (0) এর জন্য 0 এই বৈশিষ্ট্যটি থাকে
b) k-এর থেকে বড় বা সমান যেকোন স্বাভাবিক সংখ্যার সম্পত্তি আছে (, k-এর এই সম্পত্তি থাকলেই এবং যে কোনো n (k(n) এর জন্য n-এর সম্পত্তি আছে এমন ধারণা থেকে (, এটি অনুসরণ করে যে সংখ্যাটি n + 1) এছাড়াও এই সম্পত্তি আছে;
c) k-এর থেকে বড় বা সমান যে কোনো প্রাকৃতিক সংখ্যার সম্পত্তি থাকে ( k-এর এই সম্পত্তি থাকলেই এবং যে কোনো n (n>k) জন্য এই ধারণা থেকে যে সমস্ত সংখ্যা t কে k(t) দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে

1.7। আনয়ন নীতি.

প্রাকৃতিক সংখ্যার সিস্টেমের সম্পূর্ণ ক্রম ব্যবহার করে, আমরা নিম্নলিখিত উপপাদ্যটি প্রমাণ করতে পারি, যার উপর ভিত্তি করে প্রমাণের একটি পদ্ধতি, যাকে গাণিতিক আবেশের পদ্ধতি বলা হয়।
উপপাদ্য (আবেশের নীতি)। অনুক্রম A1, A2, ..., An, ... থেকে সমস্ত বিবৃতি সত্য হয় যদি নিম্নলিখিত শর্তগুলি পূরণ করা হয়:
1) বিবৃতি A1 সত্য;
2) k-এর জন্য Ak বিবৃতি সত্য হলে
প্রমাণ। বিপরীত অনুমান করুন: শর্ত 1) এবং 2) সন্তুষ্ট, কিন্তু উপপাদ্যটি সত্য নয়, অর্থাৎ, সেট M=(m(m(N\(0), Am মিথ্যা) খালি নয়। উপপাদ্য 1 অনুসারে , আইটেম 6, M এর ক্ষুদ্রতম উপাদান রয়েছে, যাকে আমরা n দ্বারা বোঝাই। যেহেতু শর্ত 1 অনুযায়ী) A1 সত্য এবং An মিথ্যা, তারপর 1(n, এবং তাই 1)
আনয়ন দ্বারা প্রমাণ করার সময়, দুটি স্তর আলাদা করা যেতে পারে। প্রথম পর্যায়ে, যাকে আবেশন ভিত্তি বলা হয়, শর্ত 1) এর সন্তুষ্টি পরীক্ষা করা হয়। দ্বিতীয় পর্যায়ে, যাকে আবেশ ধাপ বলা হয়, শর্ত 2) প্রমাণিত হয়। এই ক্ষেত্রে, প্রায়শই এমন ঘটনা ঘটে যখন, An প্রস্তাবের সত্যতা প্রমাণ করার জন্য, k-এর জন্য প্রস্তাবের সত্য ব্যবহার করার প্রয়োজন নেই।
উদাহরণ। অসমতা প্রমাণ কর Let =Sk. বিবৃতিগুলির সত্যতা প্রমাণ করার জন্য এটি প্রয়োজন Ak=(Sk উপপাদ্য 1 এ উল্লিখিত বিবৃতির ক্রমটি N সেটে বা এর উপসেট Nk=(x (x(N, x(k), যেখানে k - যেকোনো নির্দিষ্ট প্রাকৃতিক সংখ্যা।
বিশেষ করে, যদি k=1, তাহলে N1=N\(0), এবং সমতা A1=A(1), A2=A(2), ..., An=A ব্যবহার করে বিবৃতির সংখ্যাকরণ করা যেতে পারে। (n), ... যদি k(1, তাহলে সমতা A1=A(k), A2=A(k+1), ..., An=A(k+n) ব্যবহার করে বিবৃতির ক্রম পাওয়া যেতে পারে -1), .. এই ধরনের স্বরলিপি অনুসারে, উপপাদ্য 1 অন্য আকারে প্রণয়ন করা যেতে পারে।
উপপাদ্য 2. নিম্নলিখিত শর্তগুলি সন্তুষ্ট হলে পূর্বাভাস A(m) সেট Nk-এ অভিন্নভাবে সত্য:
1) বিবৃতি A(k) সত্য;
2) যদি বিবৃতি A(m) m এর জন্য সত্য হয়
সমস্যা 1.7.1. প্রমাণ করুন যে নিম্নলিখিত সমীকরণের প্রাকৃতিক সংখ্যার ক্ষেত্রে কোনো সমাধান নেই:
ক) x+y=1;
খ) 3x=2;
গ) x2=2;
ঘ) 3x+2=4;
ঙ) x2+y2=6;
চ) 2x+1=2y।
সমস্যা 1.7.2। গাণিতিক আবেশ নীতি ব্যবহার করে প্রমাণ করুন:
ক) (n3+(n+1)3+(n+2)3)(9;
খ) ;
ভি);
ছ);
e) ;
e)।

1.8। প্রাকৃতিক সংখ্যার বিয়োগ এবং বিভাজন।

সংজ্ঞা 1. প্রাকৃতিক সংখ্যা a এবং b এর পার্থক্য হল একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা x যেমন b+x=a। প্রাকৃতিক সংখ্যা a এবং b এর মধ্যে পার্থক্য a-b দ্বারা চিহ্নিত করা হয় এবং পার্থক্য খুঁজে বের করার অপারেশনকে বিয়োগ বলা হয়। বিয়োগ একটি বীজগণিত অপারেশন নয়। এটি নিম্নলিখিত উপপাদ্য থেকে অনুসরণ করে।
উপপাদ্য 1. পার্থক্য a-b বিদ্যমান যদি এবং শুধুমাত্র যদি b (a. শুধুমাত্র একটি পার্থক্য থাকে।
প্রমাণ। যদি b(a, তাহলে সম্পর্কের সংজ্ঞা অনুসারে (এখানে একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা x আছে যেমন b+x=a। কিন্তু এর মানে এটাও যে x=a-b। বিপরীতভাবে, যদি a-b পার্থক্য থাকে, তাহলে সংজ্ঞা 1 দ্বারা আছে) যেমন একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা x, যে b+x=a, কিন্তু এর মানে হল b(a.
আসুন a-b পার্থক্যের স্বতন্ত্রতা প্রমাণ করি। ধরুন a-b=x এবং a-b=y। তারপর সংজ্ঞা অনুযায়ী 1 b+x=a, b+y=a। তাই b+x=b+y এবং তাই x=y।
সংজ্ঞা 2. দুটি প্রাকৃতিক সংখ্যা a এবং b(0) এর একটি ভাগফল একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা c যেমন a=bc। ভাগফল বের করার ক্রিয়াকলাপকে ভাগ বলা হয়। ভাগফলের অস্তিত্বের প্রশ্নটির তত্ত্বে সমাধান করা হয় বিভাজ্যতা
উপপাদ্য 2. যদি একটি ভাগফল বিদ্যমান থাকে তবে শুধুমাত্র একটি।
প্রমাণ। ধরুন =x এবং =y। তারপর সংজ্ঞা অনুযায়ী 2 a=bx এবং a=by। তাই bx=by এবং তাই x=y.
মনে রাখবেন যে বিয়োগ এবং ভাগের ক্রিয়াকলাপগুলি স্কুলের পাঠ্যপুস্তকের মতো একইভাবে প্রায়শব্দে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। এর অর্থ হল 1-7 অনুচ্ছেদে, পিয়ানোর স্বতঃসিদ্ধের ভিত্তিতে, প্রাকৃতিক সংখ্যার পাটিগণিতের জন্য একটি দৃঢ় তাত্ত্বিক ভিত্তি স্থাপন করা হয়েছে এবং এর আরও উপস্থাপনা ধারাবাহিকভাবে গণিতের স্কুল কোর্সে এবং বিশ্ববিদ্যালয় কোর্সে "বীজগণিত এবং সংখ্যা তত্ত্ব"।
সমস্যা 1.8.1. নিম্নলিখিত বিবৃতিগুলির বৈধতা প্রমাণ করুন, অনুমান করুন যে তাদের ফর্মুলেশনগুলিতে ঘটে যাওয়া সমস্ত পার্থক্য বিদ্যমান:
ক) (a-b)+c=(a+c)-b;
b) (a-b)(c=a(c-b(c;
গ) (a+b)-(c+b)=a-c;
ঘ) a-(b+c)=(a-b)-c;
e) (a-b)+(c-d)=(a+c)-(b+d);
e) (a-b)-(c-d)=a-c;
g) (a+b)-(b-c)=a+c;
h) (a-b)-(c-d)=(a+d)-(b+c);
i) a-(b-c)=(a+c)-b;
j) (a-b)-(c+d)=(a-c)-(b+d);
k) (a-b)(c+d)=(ac+ad)-(bc+bd);
l) (a-b)(c-d)=(ac+bd)-(ad+bc);
m) (a-b)2=(a2+b2)-2ab;
o) a2-b2=(a-b)(a+b)।
সমস্যা 1.8.2। নিম্নলিখিত বিবৃতিগুলির বৈধতা প্রমাণ করুন, ধরে নিন যে তাদের সূত্রগুলিতে উপস্থিত সমস্ত ভাগফল বিদ্যমান।
ক) ; খ) ; ভি); ছ); e) ; e) ; এবং) ; জ) ; এবং) ; প্রতি) ; l); মি); মি); ও); পি); আর)।
সমস্যা 1.8.3. প্রমাণ করুন যে নিম্নলিখিত সমীকরণের দুটি ভিন্ন প্রাকৃতিক সমাধান থাকতে পারে না: a) ax2+bx=c (a,b,c(N); b) x2=ax+b (a,b(N); c) 2x=ax2 + b (a, b(N)।
সমস্যা 1.8.4. প্রাকৃতিক সংখ্যায় সমীকরণগুলি সমাধান করুন:
ক) x2+(x+1)2=(x+2)2; খ) x+y=x(y; c); ঘ) x2+2y2=12; ঙ) x2-y2=3; f) x+y+z=x(y(z.
সমস্যা 1.8.5। প্রমাণ করুন যে নিম্নলিখিত সমীকরণের প্রাকৃতিক সংখ্যার ক্ষেত্রে কোনো সমাধান নেই: ক) x2-y2=14; খ) x-y=xy; ভি); ছ); ঙ) x2=2x+1; চ) x2=2y2।
সমস্যা 1.8.6. প্রাকৃতিক সংখ্যায় অসমতা সমাধান করুন: ক) ; খ) ; ভি); d) x+y2 সমস্যা 1.8.7। প্রমাণ করুন যে নিম্নলিখিত সম্পর্কগুলি প্রাকৃতিক সংখ্যার ক্ষেত্রে ধারণ করে: a) 2ab(a2+b2; b) ab+bc+ac(a2+b2+c2; c) c2=a2+b2 (a2+b2+c2 1.9। পরিমাণগত ইন্দ্রিয় প্রাকৃতিক সংখ্যা.
অনুশীলনে, প্রাকৃতিক সংখ্যাগুলি প্রধানত উপাদান গণনার জন্য ব্যবহৃত হয় এবং এর জন্য পিয়ানোর তত্ত্বে প্রাকৃতিক সংখ্যার পরিমাণগত অর্থ স্থাপন করা প্রয়োজন।
সংজ্ঞা 1. সেট (x (x(N, 1(x(n))) কে প্রাকৃতিক সিরিজের একটি অংশ বলা হয় এবং এটিকে (1;n( দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।
সংজ্ঞা 2. একটি সসীম সেট হল এমন যেকোন সেট যা প্রাকৃতিক সিরিজের কিছু অংশের শক্তির সমান, সেইসাথে একটি খালি সেট। যে সেটটি সসীম নয় তাকে অসীম বলে।
উপপাদ্য 1. একটি সসীম সেট A এর নিজস্ব উপসেটের (অর্থাৎ A ছাড়া অন্য কোনো উপসেট) সমতুল্য নয়।
প্রমাণ। যদি A=(, তাহলে উপপাদ্যটি সত্য, যেহেতু খালি সেটের কোনো সঠিক উপসেট নেই। A((এবং Aকে (1,n((A((1,n()) এর সমতুল্য করা যাক। আমরা উপপাদ্যটি প্রমাণ করব n-এ আবেশ সত্য। ধরুন যে উপপাদ্যটি n=m-এর জন্য সত্য, এটি সমস্ত সসীম সেট সেগমেন্টের সমতুল্য (1,m( এর সমতুল্য সঠিক উপসেট নেই। A কে সেগমেন্টের (1,m+1) সমতুল্য যেকোনো সেট হতে দিন। (এবং (:(1,m+1(®A)) হল সেগমেন্টের কিছু দ্বিমুখী মানচিত্র (1,m+1(A-তে। যদি ((k) কে ak, k=1,2,... দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। ,m+1, তারপর A সেটটি A=(a1, a2, ... , am, am+1) হিসাবে লেখা যেতে পারে। আমাদের কাজ হল প্রমাণ করা যে A-এর উপযুক্ত উপসেট নেই। বিপরীতে অনুমান করুন: আসুন B(A, B(A, B(A এবং f: A®B) একটি দ্বিমুখী ম্যাপিং। (এবং f যেমন am+1(B এবং f(am+1)=am+1।
A1=A\(am+1) এবং B1=B\(am+1) সেটগুলি বিবেচনা করুন। যেহেতু f(am+1)=am+1, ফাংশন f সেট A1-এর একটি বিজেক্টিভ ম্যাপিং সেট B1-এ করবে। সুতরাং, সেট A1 তার নিজস্ব উপসেট B1 এর সমতুল্য হবে। কিন্তু যেহেতু A1((1,m(, এটি ইন্ডাকশন হাইপোথিসিসকে বিরোধী করে)
ফলাফল 1. প্রাকৃতিক সংখ্যার সেট অসীম।
প্রমাণ। এটি পিয়ানো স্বতঃসিদ্ধ থেকে অনুসরণ করে যে ম্যাপিং S:N®N\(0), S(x)=x(দ্বিখণ্ডিত। তাই, N তার সঠিক উপসেট N\(0) এর সমতুল্য এবং উপপাদ্য 1 এর গুণে , সসীম নয়।
ফলাফল 2. যে কোনো অ-খালি সসীম সেট A প্রাকৃতিক সিরিজের এক এবং শুধুমাত্র একটি অংশের সমান।
প্রমাণ। চলুন A((1,m(এবং A((1,n(. তারপর (1,m(((1,n(, যেখান থেকে, থিওরেম 1 এর গুণে, এটি সেই m=n) অনুসরণ করে। প্রকৃতপক্ষে, যদি আমরা ধরে নিই)) যে মি
ফলাফল 2 আমাদের একটি সংজ্ঞা চালু করতে দেয়।
সংজ্ঞা 3. যদি A((1,n(, তাহলে স্বাভাবিক সংখ্যা n কে A সেটের উপাদানের সংখ্যা বলা হয়, এবং A এবং (1,n)) সেটের মধ্যে এক-থেকে-ওয়ান চিঠিপত্র স্থাপনের প্রক্রিয়া। A সেটের উপাদানের গণনা বলা হয়। খালি সেট সংখ্যা শূন্যের উপাদানের সংখ্যা বিবেচনা করা স্বাভাবিক।
ব্যবহারিক জীবনে গণনার বিশাল তাৎপর্য সম্পর্কে কথা বলা অপ্রয়োজনীয়।
উল্লেখ্য যে, একটি প্রাকৃতিক সংখ্যার পরিমাণগত অর্থ জেনে, যোগের মাধ্যমে গুণের ক্রিয়াকে সংজ্ঞায়িত করা সম্ভব হবে, যথা:
.
আমরা ইচ্ছাকৃতভাবে এই পথটি অনুসরণ করিনি তা দেখানোর জন্য যে পাটিগণিতের নিজেই একটি পরিমাণগত অর্থের প্রয়োজন নেই: একটি প্রাকৃতিক সংখ্যার পরিমাণগত অর্থ শুধুমাত্র পাটিগণিতের প্রয়োগে প্রয়োজন।

1.10। সম্পূর্ণরূপে ক্রমানুসারে বিচ্ছিন্নভাবে প্রাকৃতিক সংখ্যার সিস্টেম।

আমরা দেখিয়েছি যে প্রাকৃতিক ক্রম সাপেক্ষে প্রাকৃতিক সংখ্যার সেটটি ভালভাবে সাজানো হয়েছে। এই ক্ষেত্রে, ((a(N) a
1. যেকোন সংখ্যার জন্য a(N সম্পর্কে 2 এর অনুসরণে একটি প্রতিবেশী সংখ্যা বিদ্যমান। যেকোন সংখ্যার জন্য a(N\(0) এর পূর্বে একটি প্রতিবেশী সংখ্যা বিদ্যমান রয়েছে একটি সুশৃঙ্খল সেট (A;() বৈশিষ্ট্য সহ 1 এবং 2 কে বিযুক্ত কূপ বলা হবে এটা দেখা যাচ্ছে যে 1 এবং 2 বৈশিষ্ট্যগুলির সাথে সম্পূর্ণ ক্রম প্রাকৃতিক সংখ্যার একটি সিস্টেমের একটি বৈশিষ্ট্যগত বৈশিষ্ট্য। নিম্নরূপ: a(=b যদি b একটি সম্বন্ধীয় উপাদান (. এটি) অনুসরণ করে। স্পষ্ট যে A সেটের ক্ষুদ্রতম উপাদানটি কোনো উপাদান অনুসরণ করে না এবং তাই, পিয়ানোর স্বতঃসিদ্ধ 1 সন্তুষ্ট।
যেহেতু সম্পর্ক (একটি রৈখিক ক্রম, তাহলে যেকোন উপাদান a এর জন্য এটি অনুসরণ করে একটি একক উপাদান এবং সর্বাধিক একটি পূর্ববর্তী প্রতিবেশী উপাদান রয়েছে। এটি স্বতঃসিদ্ধ 2 এবং 3-এর বৈধতা বোঝায়। এখন M এর জন্য A সেটের যেকোনো উপসেট হতে দিন যা নিম্নলিখিত শর্তগুলি সন্তুষ্ট:
1) a0(M, যেখানে a0 হল A এর ক্ষুদ্রতম উপাদান;
2) a(M(a((M.
আসুন প্রমাণ করি যে M=N। বিপরীতটি ধরে নিন, অর্থাৎ, A\M((। A\M-এর ক্ষুদ্রতম উপাদান b দ্বারা চিহ্নিত করুন। যেহেতু a0(M, তারপর b(a0) এবং তাই, একটি উপাদান c আছে যেমন c(=b. যেহেতু গ
সুতরাং, আমরা প্রাকৃতিক সংখ্যার সিস্টেমের আরেকটি সংজ্ঞার সম্ভাবনা প্রমাণ করেছি।
সংজ্ঞা। প্রাকৃতিক সংখ্যার একটি সিস্টেম হল যেকোন সুশৃঙ্খল সেট যার উপর নিম্নলিখিত শর্তগুলি সন্তুষ্ট হয়:
1. কোনো উপাদানের জন্য একটি প্রতিবেশী উপাদান এটি অনুসরণ করে;
2. ক্ষুদ্রতম ছাড়া অন্য কোনো উপাদানের জন্য, এটির আগে একটি প্রতিবেশী উপাদান রয়েছে।
প্রাকৃতিক সংখ্যার সিস্টেম নির্ধারণের জন্য অন্যান্য পন্থা রয়েছে, যা আমরা এখানে রাখি না।

2. সম্পূর্ণ এবং যুক্তিসঙ্গত সংখ্যা।

2.1। পূর্ণসংখ্যার সিস্টেমের সংজ্ঞা এবং বৈশিষ্ট্য।
এটা জানা যায় যে তাদের স্বজ্ঞাত বোঝার মধ্যে পূর্ণসংখ্যার সেটটি যোগ এবং গুণনের ক্ষেত্রে একটি রিং এবং এই রিংটিতে সমস্ত প্রাকৃতিক সংখ্যা রয়েছে। এটাও স্পষ্ট যে পূর্ণসংখ্যার বলয়ে এমন কোন সঠিক সাবিং নেই যেখানে সমস্ত প্রাকৃতিক সংখ্যা থাকবে। এই বৈশিষ্ট্যগুলি, দেখা যাচ্ছে, পূর্ণসংখ্যার সিস্টেমের কঠোর সংজ্ঞার ভিত্তি হিসাবে ব্যবহার করা যেতে পারে। ধারা 2.2 এবং 2.3 এ, এই ধরনের সংজ্ঞার সঠিকতা প্রমাণিত হবে।
সংজ্ঞা 1. পূর্ণসংখ্যার একটি সিস্টেম হল একটি বীজগণিত ব্যবস্থা যার জন্য নিম্নলিখিত শর্তগুলি সন্তুষ্ট হয়:
1. একটি বীজগণিত পদ্ধতি একটি বলয়;
2. প্রাকৃতিক সংখ্যার সেটটি এতে রয়েছে এবং উপসেটের রিংয়ে যোগ এবং গুণ প্রাকৃতিক সংখ্যার যোগ এবং গুণের সাথে মিলে যায়, অর্থাৎ
3. (ন্যূনতম শর্ত)। Z হল 1 এবং 2 বৈশিষ্ট্য সহ একটি অন্তর্ভুক্তি-সংক্ষিপ্ত সেট। অন্য কথায়, যদি বলয়ের একটি সাবিং-এ সমস্ত প্রাকৃতিক সংখ্যা থাকে, তাহলে Z0=Z।
সংজ্ঞা 1 একটি বিশদ স্বতঃসিদ্ধ অক্ষর দেওয়া যেতে পারে। এই স্বতঃসিদ্ধ তত্ত্বের প্রাথমিক ধারণাগুলি হবে:
1) সেট Z, যার উপাদানগুলিকে পূর্ণসংখ্যা বলা হয়।
2) শূন্য নামে একটি বিশেষ পূর্ণসংখ্যা এবং 0 দ্বারা চিহ্নিত।
3) তৃতীয় সম্পর্ক + এবং (।
যথারীতি, N যোগ (এবং গুণন) সহ প্রাকৃতিক সংখ্যার সেটকে বোঝায় (। সংজ্ঞা 1 অনুসারে, পূর্ণসংখ্যার একটি সিস্টেম হল একটি বীজগণিত ব্যবস্থা (Z; +, (, N)) যার জন্য নিম্নলিখিত স্বতঃসিদ্ধগুলি ধারণ করে:
1. (রিং স্বতঃসিদ্ধ)
1.1.
এই স্বতঃসিদ্ধ মানে হল + হল Z সেটে একটি বাইনারি বীজগণিতীয় ক্রিয়াকলাপ।
1.2। ((a,b,c(Z) (a+b)+c=a+(b+c))।
1.3। ((a,b(Z)a+b=b+a.
1.4। ((a(Z) a+0=a, অর্থাৎ 0 সংখ্যাটি যোগের ক্ষেত্রে একটি নিরপেক্ষ উপাদান।
1.5। ((a(Z)((a((Z)) a+a(=0), অর্থাৎ প্রতিটি পূর্ণসংখ্যার জন্য একটি বিপরীত সংখ্যা আছে a(।
1.6। ((a,b(Z)((! d(Z) a(b=d))
এই স্বতঃসিদ্ধের অর্থ হল গুণন হল Z সেটে একটি বাইনারি বীজগণিতীয় ক্রিয়াকলাপ।
1.7। ((a,b,c(Z) (a(b)(c=a((b(c))))
1.8। ((a,b,c(Z) (a+b)(c=a(c+b(c, c((a+b)=c(a+c(b)
2. (প্রাকৃতিক সংখ্যার সিস্টেমের সাথে রিং Z-এর সংযোগের স্বতঃসিদ্ধ।)
2.1। N(Z.
2.2। ((a,b(N)a+b=a(b.
2.3। ((a,b(N)a(b=a(b))
3. (ন্যূনতমতার স্বতঃসিদ্ধ)
যদি Z0 রিং Z এবং N(Z0) এর একটি সাবিং হয়, তাহলে Z0=Z।
আমরা পূর্ণসংখ্যার সিস্টেমের কিছু বৈশিষ্ট্য নোট করি।
1. প্রতিটি পূর্ণসংখ্যা দুটি প্রাকৃতিক সংখ্যার পার্থক্য হিসাবে উপস্থাপনযোগ্য। এই উপস্থাপনাটি অস্পষ্ট, z=a-b এবং z=c-d সহ, যেখানে a,b,c,d(N, যদি এবং শুধুমাত্র যদি a+d=b+c হয়।
প্রমাণ। Z0 দ্বারা সমস্ত পূর্ণসংখ্যার সেট নির্দেশ করুন, যার প্রতিটি দুটি প্রাকৃতিক সংখ্যার পার্থক্য হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে। স্পষ্টতই, ((a(N) a=a-0, এবং তাই N(Z0.
এরপরে, x,y(Z0, অর্থাৎ x=a-b, y=c-d, যেখানে a,b,c,d(N. তারপর x-y=(a-b)-(c-d)=(a+d)--(b + c)=(a(d)-(b(c), x(y=(a-b)(c-d)=(ac+bd)-(ad+bc)=(a(c(b(d)-(a) (d(b(c)) এটি দেখায় যে x-y, x(y(Z0 এবং তাই, Z0 হল রিং Z-এর একটি সাবিং যার মধ্যে N সেট রয়েছে। কিন্তু তারপর, স্বতঃসিদ্ধ 3 দ্বারা, Z0=Z, এবং এইভাবে প্রথম সম্পত্তি 1 এর অংশ প্রমাণিত হয় এই সম্পত্তির দ্বিতীয় দাবি সুস্পষ্ট।
2. পূর্ণসংখ্যার রিং হল একটি একক সহ একটি পরিবর্তনমূলক বলয়, এবং এই বলয়ের শূন্য হল প্রাকৃতিক সংখ্যা 0, এবং এই বলয়ের একক হল প্রাকৃতিক সংখ্যা 1।
প্রমাণ। ধরুন x,y(Z. বৈশিষ্ট্য অনুযায়ী 1 x=a-b, y=c-d, যেখানে a,b,c,d(N. তারপর x(y=(a-b)((c-d)=(ac+bd)-( বিজ্ঞাপন +bc)=(a(c(b(d)-(a(d(b(c), y(x=(c-d)(a-b))=(ca+db)-(da+cb)=(c) ( এ সম্পত্তি 2 এর দাবী নিম্নলিখিত সুস্পষ্ট সমতা থেকে অনুসরণ করে, যেখানে 0 এবং 1 প্রাকৃতিক সংখ্যা শূন্য এবং এক নির্দেশ করে: x+0=(a-b)+0=(a+(-b))+0=(a+0)+(- b)=(a(0)+ (-b)=a-b=x.x(1=(a-b)(1=a(1-b(1=a(1-b(1=a-b=x)

2.2। পূর্ণসংখ্যার একটি সিস্টেমের অস্তিত্ব।

পূর্ণসংখ্যার সিস্টেমটিকে 2.1-এ সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে একটি অন্তর্ভুক্তি ন্যূনতম রিং হিসাবে যেখানে সমস্ত প্রাকৃতিক সংখ্যা রয়েছে। প্রশ্ন জাগে - এই ধরনের একটি রিং বিদ্যমান আছে? অন্য কথায়, 2.1 থেকে স্বতঃসিদ্ধ সিস্টেম কি সামঞ্জস্যপূর্ণ? এই স্বতঃসিদ্ধ ব্যবস্থার সামঞ্জস্য প্রমাণ করার জন্য, একটি পরিচিত সামঞ্জস্যপূর্ণ তত্ত্বে এর ব্যাখ্যা তৈরি করা প্রয়োজন। প্রাকৃতিক সংখ্যার পাটিগণিতকে এমন একটি তত্ত্ব হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে।
এইভাবে, আমরা স্বতঃসিদ্ধ 2.1 সিস্টেমের একটি ব্যাখ্যার নির্মাণে এগিয়ে যাই। আমরা প্রাথমিক সেট বিবেচনা করব। এই সেটে, আমরা দুটি বাইনারি অপারেশন এবং একটি বাইনারি সম্পর্ক সংজ্ঞায়িত করি। যেহেতু জোড়ার যোগ এবং গুণ প্রাকৃতিক সংখ্যার যোগ এবং গুণে হ্রাস করা হয়, তাই, প্রাকৃতিক সংখ্যার হিসাবে, জোড়ার যোগ এবং গুণন হল কমিউটেটিভ, অ্যাসোসিয়েটিভ এবং গুন যোগের ক্ষেত্রে বণ্টনমূলক। আসুন, উদাহরণ স্বরূপ, জোড়া যোগের কম্যুটেটিভিটি পরীক্ষা করা যাক: +===+।
সম্পর্কের বৈশিষ্ট্য বিবেচনা করুন ~। যেহেতু a+b=b+a, তারপর ~, অর্থাৎ সম্পর্ক ~ প্রতিফলিত। যদি ~, অর্থাৎ, a+b1=b+a1, তাহলে a1+b=b1+a, অর্থাৎ ~। তাই, সম্পর্ক ~ প্রতিসম। আরও ~ এবং ~ যাক। তাহলে সমতা a+b1=b+a1 এবং a1+b2=b1+a2 বৈধ। এই সমতা যোগ করলে, আমরা a+b2=b+a2 পাই, অর্থাৎ ~। তাই সম্পর্ক ~ও ট্রানজিটিভ এবং তাই একটি সমতা। একটি জোড়া ধারণকারী সমতুল্য শ্রেণী দ্বারা চিহ্নিত করা হবে. এইভাবে, একটি সমতুল্য শ্রেণী তার যেকোন জোড়া দ্বারা চিহ্নিত করা যেতে পারে এবং তদ্ব্যতীত,
(1)
সমস্ত সমতুল্য শ্রেণীর সেট দ্বারা চিহ্নিত করা হবে। আমাদের কাজ হল দেখানো যে এই সেটটি, যোগ এবং গুণনের ক্রিয়াকলাপের যথাযথ সংজ্ঞা দেওয়া, 2.1 থেকে স্বতঃসিদ্ধ সিস্টেমের ব্যাখ্যা হবে। সেটে ক্রিয়াকলাপগুলি সমতা দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়:
(2)
(3)
যদি এবং, অর্থাৎ, N সেটে, সমতা a+b(=b+a(, c+d(=a+c(), তাহলে সমতা (a+c)+(b(+d() =(b +d)+(a(+c()), যেখান থেকে, (1) এর গুণে, আমরা পাই এবং শ্রেণি গুণের অনন্যতা পাই। এইভাবে, সমতা (2) এবং (3) বাইনারি বীজগণিতের ক্রিয়াকলাপকে সংজ্ঞায়িত করে সেট
যেহেতু শ্রেণীগুলির সংযোজন এবং গুণন জোড়ার যোগ এবং গুণকে হ্রাস করে, তাই এই ক্রিয়াকলাপগুলি কম্যুটেটিভ, সহযোগী এবং শ্রেণীগুলির গুণন যোগের ক্ষেত্রে বণ্টনমূলক। সমতা থেকে, আমরা উপসংহারে পৌঁছেছি যে শ্রেণীটি যোগের ক্ষেত্রে একটি নিরপেক্ষ উপাদান, এবং প্রতিটি শ্রেণীর জন্য এটির একটি বিপরীত শ্রেণী রয়েছে। এর মানে হল সেটটি একটি রিং, অর্থাৎ 2.1 থেকে গ্রুপ 1 এর স্বতঃসিদ্ধ।
রিং মধ্যে একটি উপসেট বিবেচনা করুন. যদি a(b, তাহলে (1) এর গুণ অনুসারে, এবং যদি a
সেটে, আমরা একটি বাইনারি সম্পর্ককে সংজ্ঞায়িত করি (অনুসরণ করে; যথা, একটি শ্রেণী একটি শ্রেণী দ্বারা অনুসরণ করা হয়, যেখানে x(এক্সের পরে একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা। x এর অনুসরণ করে শ্রেণীটি বোঝানো স্বাভাবিক। এটি পরিষ্কার যে a শ্রেণী কোন শ্রেণীকে অনুসরণ করে না এবং প্রতিটি শ্রেণীতে একটি শ্রেণী এটি অনুসরণ করে, এবং অধিকন্তু, শুধুমাত্র একটি। পরেরটির অর্থ হল সম্পর্ক (অনুসরণ করে (এটি N সেটে একটি অসম বীজগণিতীয় ক্রিয়াকলাপ।
এর একটি ম্যাপিং বিবেচনা করা যাক. স্পষ্টতই, এই ম্যাপিংটি দ্বিমুখী এবং শর্তগুলি f(0)= , f(x()==(=f(x)(। এর মানে হল যে ম্যাপিং f হল বীজগণিতের একটি আইসোমরফিজম (N;0,() বীজগণিত (;, ()। অন্য কথায়, বীজগণিত (;, () হল পিয়ানোর স্বতঃসিদ্ধ সিস্টেমের একটি ব্যাখ্যা। এই আইসোমরফিক বীজগণিতগুলিকে চিহ্নিত করা, অর্থাৎ, ধরে নেওয়া যে সেট N নিজেই রিংয়ের একটি উপসেট। সুস্পষ্ট সমতাগুলির মধ্যে একই সনাক্তকরণ সমতা a(c =a+c, a(c=ac), যার অর্থ হল একটি উপসেট N-এর একটি রিং-এ যোগ এবং গুণন প্রাকৃতিক সংখ্যার যোগ এবং গুণের সাথে মিলে যায়। সুতরাং, সন্তুষ্টি গ্রুপের 2 স্বতঃসিদ্ধ প্রতিষ্ঠিত হয়েছে। এটি ন্যূনতমতার স্বতঃসিদ্ধের সন্তুষ্টি যাচাই করার জন্য রয়ে গেছে।
Z0 সেট N এবং সমন্বিত রিং এর যে কোন সাবিং হতে দিন। নোট করুন যে এবং তাই, . কিন্তু যেহেতু Z0 একটি রিং, এই শ্রেণীর পার্থক্যও Z0 রিং এর অন্তর্গত। সমতা থেকে -= (= আমরা উপসংহারে পৌঁছেছি যে (Z0 এবং ফলস্বরূপ, Z0=। বিভাগ 2.1-এ স্বতঃসিদ্ধ সিস্টেমের সামঞ্জস্যতা প্রমাণিত হয়েছে।

2.3। পূর্ণসংখ্যার সিস্টেমের অনন্যতা।

তাদের স্বজ্ঞাত অর্থে পূর্ণসংখ্যার একটি মাত্র সিস্টেম রয়েছে। এর মানে হল যে স্বতঃসিদ্ধ পূর্ণসংখ্যা সংজ্ঞায়িত করার সিস্টেমটি অবশ্যই শ্রেণীবদ্ধ হতে হবে, অর্থাৎ, এই স্বতঃসিদ্ধ সিস্টেমের যেকোন দুটি ব্যাখ্যা আইসোমরফিক। শ্রেণীগত এবং এর মানে হল যে, আইসোমরফিজম পর্যন্ত, পূর্ণসংখ্যার একটি মাত্র সিস্টেম রয়েছে। আসুন নিশ্চিত করি যে এটি সত্য।
ধরুন (Z1;+,(,N) এবং (Z2;(,(,N) বিভাগ 2.1-এ স্বতঃসিদ্ধ সিস্টেমের যে কোনো দুটি ব্যাখ্যা। এটি একটি দ্বিমুখী ম্যাপিং f:Z1®Z2 এর অস্তিত্ব প্রমাণ করার জন্য যথেষ্ট। প্রাকৃতিক সংখ্যাগুলি স্থির থাকে এবং উপরন্তু, Z1 রিং থেকে x এবং y যেকোন উপাদানের জন্য, সমতা
(1)
. (2)
নোট করুন যে যেহেতু N(Z1 এবং N(Z2), তারপর
, a(b=a(b. (3))
ধরুন x(Z1 এবং x=a-b, যেখানে a,b(N. এই উপাদানটি x=a-b কে u=a(b) উপাদানের সাথে যুক্ত করুন, যেখানে (রিং Z2-এ বিয়োগ করুন। a-b=c-d হলে, a+d=b) +c, যেখান থেকে, (3), a(d=b(c) এবং ফলস্বরূপ, a(b=c(d. এর মানে হল যে আমাদের চিঠিপত্রটি আকারে x উপাদানটির প্রতিনিধির উপর নির্ভর করে না) দুটি প্রাকৃতিক সংখ্যার পার্থক্য, এবং এইভাবে f ম্যাপিং নির্ধারণ করা হয়: Z1®Z2, f(a-b)=a(b. এটা স্পষ্ট যে যদি v(Z2 এবং v=c(d, তাহলে v=f(c-d) তাই, Z2 থেকে প্রতিটি উপাদান f এর অধীনে একটি চিত্র এবং তাই, ম্যাপিং f অনুমানমূলক।
যদি x=a-b, y=c-d, যেখানে a,b,c,d(N এবং f(x)=f(y), তারপর a(b=c(d. কিন্তু তারপর a(d=b(d, in) (3) a+d=b+c, অর্থাৎ a-b=c-d আমরা প্রমাণ করেছি যে সমতা f(x)=f(y) বোঝায় সমতা x=y, অর্থাৎ ম্যাপিং f হল ইঞ্জেকটিভ।
যদি a(N, তাহলে a=a-0 এবং f(a)=f(a-0)=a(0=a। তাই, f ম্যাপিং এর অধীনে প্রাকৃতিক সংখ্যা স্থির করা হয়। আরও, যদি x=a-b, y= c-d, যেখানে a,b,c,d(N, তারপর x+y=(a+c)- এবং f(x+y) = (a+c)((b+d)=(a(c)( (b (d)=(a(b)((c(d)=f(x)+f(y)। সমতা (1) প্রমাণিত হয়েছে। আসুন সমতা পরীক্ষা করা যাক (2)) যেহেতু f(xy)=( ac+bd )((ad+bc)=(a(c(b(d)((a(d(b(c),) এবং অন্যদিকে f(x)(f(y)=(a(b))) )(c(d)=(a(c(b(d)((a(d(b(c))। তাই, f(xy)=f(x)(f(y), যা প্রমাণটি সম্পূর্ণ করে) স্বতঃসিদ্ধ ব্যবস্থা n. 2.1.

2.4। যৌক্তিক সংখ্যার সিস্টেমের সংজ্ঞা এবং বৈশিষ্ট্য।

তাদের স্বজ্ঞাত বোঝাপড়ায় মূলদ সংখ্যার সেট Q হল একটি ক্ষেত্র যার জন্য পূর্ণসংখ্যার সেট Z একটি সাবিং। এটা স্পষ্ট যে যদি Q0 হল Q ক্ষেত্রের একটি সাবফিল্ড যেখানে সমস্ত পূর্ণসংখ্যা রয়েছে, তাহলে Q0=Q। এই বৈশিষ্ট্যগুলিই আমরা মূলদ সংখ্যার সিস্টেমের কঠোর সংজ্ঞার ভিত্তি হিসাবে ব্যবহার করব।
সংজ্ঞা 1. মূলদ সংখ্যার একটি সিস্টেম হল একটি বীজগণিত পদ্ধতি (Q;+,(;Z) যার জন্য নিম্নলিখিত শর্তগুলি সন্তুষ্ট হয়:
1. বীজগণিত পদ্ধতি (Q;+,() একটি ক্ষেত্র;
2. পূর্ণসংখ্যার রিং Z হল Q ক্ষেত্রের একটি সাবিং;
3. (ন্যূনতম অবস্থা) যদি Q ক্ষেত্রের সাবফিল্ড Q0-এ সাবরিং Z থাকে, তাহলে Q0=Q।
সংক্ষেপে, মূলদ সংখ্যার একটি সিস্টেম হল একটি অন্তর্ভুক্তি-সর্বনিম্ন ক্ষেত্র যাতে পূর্ণসংখ্যার একটি সাবিং থাকে। মূলদ সংখ্যার সিস্টেমের আরও বিশদ স্বতঃসিদ্ধ সংজ্ঞা দেওয়া সম্ভব।
উপপাদ্য। প্রতিটি মূলদ সংখ্যা x দুটি পূর্ণসংখ্যার ভাগফল হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে, অর্থাৎ
, যেখানে a,b(Z, b(0. (1)
এই উপস্থাপনাটি অস্পষ্ট, উপরন্তু, যেখানে a, b, c, d(Z, b(0, d(0.
প্রমাণ। (1) আকারে উপস্থাপিত সমস্ত মূলদ সংখ্যার সেট Q0 দ্বারা চিহ্নিত করুন। এটি নিশ্চিত করার জন্য যথেষ্ট যে Q0=Q. ধরা যাক, যেখানে a,b,c,d(Z, b(0, d(0)। তারপর, ক্ষেত্রের বৈশিষ্ট্য অনুসারে, আমাদের আছে: হল Q ক্ষেত্রের একটি সাবফিল্ড। যেহেতু যে কোনো পূর্ণসংখ্যা a-কে উপস্থাপন করা যেতে পারে। ফর্ম, তারপর Z(Q0। তাই, ন্যূনতম অবস্থার ভিত্তিতে, এটি অনুসরণ করে যে Q0=Q। উপপাদ্যটির দ্বিতীয় অংশের প্রমাণটি সুস্পষ্ট।

2.5। যুক্তিসঙ্গত সংখ্যার একটি সিস্টেমের অস্তিত্ব।

মূলদ সংখ্যার সিস্টেমটি পূর্ণসংখ্যার একটি সাবিং ধারণকারী সর্বনিম্ন ক্ষেত্র হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। স্বাভাবিকভাবেই, প্রশ্ন জাগে যে এই ধরনের একটি ক্ষেত্র বিদ্যমান আছে কিনা, অর্থাৎ, স্বতঃসিদ্ধ সিস্টেম যা মূলদ সংখ্যাকে সংজ্ঞায়িত করে তা সামঞ্জস্যপূর্ণ কিনা। ধারাবাহিকতা প্রমাণ করার জন্য, এই স্বতঃসিদ্ধ সিস্টেমের একটি ব্যাখ্যা তৈরি করা প্রয়োজন। এই ক্ষেত্রে, কেউ পূর্ণসংখ্যার একটি সিস্টেমের অস্তিত্বের উপর নির্ভর করতে পারে। একটি ব্যাখ্যা তৈরি করার সময়, আমরা Z(Z\(0) সেটটিকে প্রারম্ভিক বিন্দু হিসাবে বিবেচনা করব। এই সেটে, আমরা দুটি বাইনারি বীজগণিতিক ক্রিয়াকলাপ সংজ্ঞায়িত করব
, (1)
(2)
এবং বাইনারি সম্পর্ক
(3)
ক্রিয়াকলাপের ঠিক এই ধরনের একটি সংজ্ঞা এবং সম্পর্কের সমীচীনতা ~ এই সত্য থেকে অনুসরণ করে যে আমরা যে ব্যাখ্যাটি তৈরি করছি, জোড়াটি ভাগফলকে প্রকাশ করবে।
এটা চেক করা সহজ যে অপারেশন (1) এবং (2) কম্যুটেটিভ, অ্যাসোসিয়েটিভ, এবং গুন যোগের ক্ষেত্রে বণ্টনমূলক। এই সমস্ত বৈশিষ্ট্য পূর্ণসংখ্যার যোগ এবং গুণনের সংশ্লিষ্ট বৈশিষ্ট্যগুলির বিরুদ্ধে পরীক্ষা করা হয়। আসুন, উদাহরণ স্বরূপ, জোড়ার গুণনের সহযোগীতা পরীক্ষা করা যাক: .
একইভাবে, এটি যাচাই করা হয়েছে যে সম্পর্ক ~ একটি সমতুল্য, এবং ফলস্বরূপ, সেট Z(Z\(0) সমতুল্য শ্রেণীতে বিভক্ত। সমস্ত শ্রেণীর সেট দ্বারা চিহ্নিত করা হবে, এবং যে শ্রেণীতে জোড়া রয়েছে তার দ্বারা। সুতরাং, শ্রেণীটিকে তার যেকোন জোড়া দ্বারা চিহ্নিত করা যেতে পারে এবং শর্ত (3) এর কারণে আমরা পাই:
. (4)
আমাদের কাজ হল একটি সেটে যোগ এবং গুণনের ক্রিয়াকে এমনভাবে সংজ্ঞায়িত করা যাতে এটি একটি ক্ষেত্র। এই অপারেশনগুলি সমতা দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়:
, (5)
(6)
যদি, অর্থাৎ, ab1=ba1 এবং, অর্থাৎ, cd1=dc1, তাহলে এই সমতাগুলোকে গুণ করলে, আমরা (ac)(b1d1)=(bd)(a1c1) পাই, যার মানে এটি আমাদের নিশ্চিত করে যে সমতা (6) প্রকৃতপক্ষে ক্লাসের সেটে একটি একক-মূল্যবান ক্রিয়াকলাপ সংজ্ঞায়িত করে, প্রতিটি শ্রেণীর প্রতিনিধিদের পছন্দের থেকে স্বাধীন। অপারেশনের স্বতন্ত্রতা (5) একইভাবে পরীক্ষা করা হয়।
যেহেতু শ্রেণীগুলির যোগ এবং গুণন জোড়ার যোগ এবং গুণকে হ্রাস করে, তাই ক্রিয়াকলাপ (5) এবং (6) হল কমিউটেটিভ, সহযোগী, এবং গুন যোগের ক্ষেত্রে বন্টনমূলক।
সমতা থেকে, আমরা উপসংহারে পৌঁছেছি যে শ্রেণীটি যোগের ক্ষেত্রে একটি নিরপেক্ষ উপাদান, এবং প্রতিটি শ্রেণীর জন্য এটির বিপরীত উপাদান রয়েছে। একইভাবে, এটি সমতা থেকে অনুসরণ করে যে একটি শ্রেণী গুণের ক্ষেত্রে একটি নিরপেক্ষ উপাদান, এবং প্রতিটি শ্রেণীর জন্য একটি বিপরীত শ্রেণী রয়েছে। সুতরাং, অপারেশন (5) এবং (6) এর ক্ষেত্রে একটি ক্ষেত্র; আইটেম 2.4 এর সংজ্ঞার প্রথম শর্তটি পূরণ হয়েছে।
পরবর্তী সেট বিবেচনা করুন. স্পষ্টতই, . সেটটি বিয়োগ এবং গুণের অধীনে বন্ধ থাকে এবং তাই, ক্ষেত্রের একটি সাবিং। সত্যিই, . পরবর্তী ম্যাপিং বিবেচনা করুন, . এই ম্যাপিং এর surjectivity সুস্পষ্ট. যদি f(x)=f(y), অর্থাৎ x(1=y(1 বা x=y) তাহলে, ম্যাপিং f এবং ইনজেক্টিভ। তাছাড়া, . এইভাবে, ম্যাপিং f হল একটি রিং এর একটি আইসোমরফিজম একটি রিং এর মধ্যে। এগুলিকে আইসোমরফিক রিং সনাক্ত করে, আমরা অনুমান করতে পারি যে রিং Z হল ক্ষেত্রের একটি সাবিং, অর্থাৎ, আইটেম 2.4 এর সংজ্ঞায় শর্ত 2 সন্তুষ্ট। এটি ক্ষেত্রের ন্যূনতমতা প্রমাণ করা বাকি আছে। ফিল্ডের যেকোনো সাবফিল্ড এবং, এবং let. since, a, তারপর। কিন্তু যেহেতু - ফিল্ড, তাহলে এই উপাদানগুলির ভাগফলও ক্ষেত্রের অন্তর্গত।

2.6। মূলদ সংখ্যা সিস্টেমের অনন্যতা.

যেহেতু তাদের স্বজ্ঞাত বোধগম্যতায় মূলদ সংখ্যার একটি মাত্র সিস্টেম রয়েছে, তাই মূলদ সংখ্যার স্বতঃসিদ্ধ তত্ত্ব, যা এখানে উপস্থাপন করা হয়েছে, অবশ্যই শ্রেণীবদ্ধ হতে হবে। শ্রেণীগত এবং এর মানে হল যে, আইসোমরফিজম পর্যন্ত, মূলদ সংখ্যার একটি মাত্র সিস্টেম রয়েছে। আমাদের দেখান যে এটি আসলেই হয়।
ধরা যাক (Q1;+, (; Z) এবং (Q2; (, (; Z)) মূলদ সংখ্যার যেকোনো দুটি সিস্টেম। এটি একটি দ্বিমুখী ম্যাপিংয়ের অস্তিত্ব প্রমাণ করার জন্য যথেষ্ট যাতে সমস্ত পূর্ণসংখ্যা স্থির থাকে এবং উপরন্তু, শর্তাবলী
(1)
(2)
ক্ষেত্র Q1 থেকে x এবং y যেকোনো উপাদানের জন্য।
Q1 ক্ষেত্রের a এবং b উপাদানগুলির ভাগফল দ্বারা চিহ্নিত করা হবে এবং Q2 ক্ষেত্রে - a:b দ্বারা। যেহেতু Z হল Q1 এবং Q2 ক্ষেত্রগুলির প্রতিটির সাবিং, যে কোনো পূর্ণসংখ্যা a এবং b এর জন্য আমাদের সমতা রয়েছে
, . (3)
যাক এবং কোথায়, . Q2 ক্ষেত্র থেকে এই উপাদান xটিকে y=a:b উপাদানের সাথে সংযুক্ত করুন। যদি সমতা Q1 ক্ষেত্রে সত্য হয়, যেখানে, তাহলে, উপপাদ্য 2.4 দ্বারা, সমতা ab1=ba1 রিং Z-এ ধারণ করে, বা, (3) এর গুণে, সমতা, এবং তারপর, একই উপপাদ্য দ্বারা, সমতা a:b=a1:b1 ক্ষেত্রে Q2 সত্য। এর মানে হল Q1 ক্ষেত্রের একটি উপাদানের সাথে Q2 ক্ষেত্রের y=a:b উপাদানের সাথে মিল করে, আমরা একটি ম্যাপিং সংজ্ঞায়িত করি,
ক্ষেত্র Q2 থেকে যেকোনো উপাদানকে a:b হিসেবে উপস্থাপন করা যেতে পারে, যেখানে, এবং তাই, Q1 ক্ষেত্রের একটি উপাদানের চিত্র। তাই, ম্যাপিং f surjective.
যদি, তাহলে ক্ষেত্রে Q1 এবং তারপরে। সুতরাং, ম্যাপিং f দ্বিমুখী এবং সমস্ত পূর্ণসংখ্যা স্থির থাকে। এটি সমতা (1) এবং (2) এর বৈধতা প্রমাণ করা অবশেষ। যাক এবং, যেখানে a,b,c,d(Z, b(0, d(0)। তারপর এবং, যেখান থেকে, (3), f(x+y)=f(x)(f(y) এর গুণে একইভাবে, এবং কোথায়।
(Q1;+, (; Z) এবং (Q2; (, (; Z)) ব্যাখ্যার আইসোমরফিজম প্রমাণিত।

উত্তর, নির্দেশাবলী, সমাধান।

1.1.1। সমাধান। স্বতঃসিদ্ধ 4-এর শর্তকে সত্য হতে দিন (প্রাকৃতিক সংখ্যার এমন একটি বৈশিষ্ট্য যা ((0) এবং। যাক। তারপর M স্বতঃসিদ্ধ 4-এর ভিত্তিকে সন্তুষ্ট করে, যেহেতু ((0)(0(M এবং. অতএব, M=N, অর্থাৎ, যেকোনো প্রাকৃতিক সংখ্যার সম্পত্তি আছে (. বিপরীতভাবে, ধরুন যে কোনো সম্পত্তির জন্য (সত্য থেকে যে ((0) এবং, এটি অনুসরণ করে। M একটি N এর উপসেট হতে দিন যাতে 0(M এবং। আমরা দেখাব যে M) =N. যাক সম্পত্তি (, ধরে নিচ্ছি। তারপর (0), যেহেতু, এবং। সুতরাং, M=N।
1.1.2। উত্তর: পিয়ানোর ১ম ও ৪র্থ স্বতঃসিদ্ধের বিবৃতি সত্য। ২য় স্বতঃসিদ্ধের বক্তব্যটি মিথ্যা।
1.1.3। উত্তর: পিয়ানোর স্বতঃসিদ্ধ বিবৃতি 2,3,4 সত্য। ১ম স্বতঃসিদ্ধের বক্তব্যটি মিথ্যা।
1.1.4 পিয়ানো-এর স্বতঃসিদ্ধ 1, 2, 3 বিবৃতি সত্য। ৪র্থ স্বতঃসিদ্ধের বক্তব্যটি মিথ্যা। ইঙ্গিত: প্রমাণ করুন যে সেটটি স্বতঃসিদ্ধ 4 এর ভিত্তিকে সন্তুষ্ট করে, অপারেশনের ক্ষেত্রে প্রণয়ন করা হয়েছে, কিন্তু।
1.1.5। ইঙ্গিত: স্বতঃসিদ্ধ 4-এর বিবৃতির সত্যতা প্রমাণ করতে, A-এর একটি উপসেট M বিবেচনা করুন যা শর্ত পূরণ করে: ক) 1((M, b) , এবং একটি সেট। প্রমাণ করুন। তারপর M=A।
1.1.6। 1st, 2nd, 3rd Peano এর স্বতঃসিদ্ধের বিবৃতি সত্য। পিয়ানোর ৪র্থ স্বতঃসিদ্ধের বক্তব্যটি মিথ্যা।
1.6.1। ক) সমাধান: প্রথমে প্রমাণ করুন যে যদি সকাল 1 টা। পেছনে. যাক আমি
1.6.2। ক) সমাধান: বিপরীতটি অনুমান করুন। M দ্বারা নির্দেশ করুন যে সমস্ত সংখ্যার বৈশিষ্ট্য নেই (. অনুমান অনুসারে, M((. উপপাদ্য 1 এর গুণে, M-এর সর্বনিম্ন উপাদান n(0. যে কোনো সংখ্যা x
1.8.1। f) e) এবং c ব্যবহার করুন: (a-c)+(c-b)=(a+c)-(c+b)=a-b, অতএব (a-b)-(c-b)=a-c।
জ) সম্পত্তি ব্যবহার করুন।
l) আইটেম ব্যবহার করুন খ)।
m) আইটেম খ) এবং আইটেম জ) ব্যবহার করুন।
1.8.2। গ) আমাদের আছে, তাই, . তাই, .
ঘ) আমাদের আছে। তাই, .
এবং) .
1.8.3। a) যদি (এবং (এক্স 2+bx=c সমীকরণের বিভিন্ন সমাধান হয়, তাহলে a(2+b(=a(2+b(। অন্যদিকে, যদি, উদাহরণস্বরূপ, (b) যাক) এবং ( সমীকরণের বিভিন্ন সমাধান হবে। যদি ((। যাইহোক, (2=a(+b>a(, তাই, (>a। আমরা একটি দ্বন্দ্ব পেয়েছি।))
গ) যাক (এবং (সমীকরণের বিভিন্ন মূল এবং (>(। তারপর 2((-()=(a(2+b)-(a(2+b)=a((-())((( +( ) তাই a((+()=2, কিন্তু (+(>2, তাই a((+()>2, যা অসম্ভব।
1.8.4। ক) x=3; খ) x=y=2। ইঙ্গিত: যেহেতু এবং, আমাদের আছে x=y; গ) x=y(y+2), y - যেকোনো প্রাকৃতিক সংখ্যা; ঘ) x=y=2; ঙ) x=2, y=1; f) পারমুটেশন পর্যন্ত x=1, y=2, z=3। সমাধান: ধরুন, উদাহরণস্বরূপ, x(y(z. তারপর xyz=x+y+z(3z, অর্থাৎ xy(3. যদি xy=1, তাহলে x=y=1 এবং z=2+z), যা অসম্ভব হলে xy=2 তারপর x=1, y=2 এই ক্ষেত্রে 2z=3+z অর্থাৎ z=3 যদি xy=3 তারপর x=1 y=3 তারপর 3z= 4+z, অর্থাৎ z=2, যা অনুমানের বিরোধিতা করে y(z.
1.8.5। b) যদি x=a, y=b সমীকরণের সমাধান হয়, তাহলে ab+b=a, অর্থাৎ a>ab, যা অসম্ভব। d) যদি x=a, y=b সমীকরণের সমাধান হয়, তাহলে b
1.8.6। ক) x=ky, যেখানে k,y হল নির্বিচারে স্বাভাবিক সংখ্যা এবং y(1. b) x হল একটি নির্বিচারে স্বাভাবিক সংখ্যা, y=1। গ) x একটি নির্বিচারে স্বাভাবিক সংখ্যা, y=1। ঘ) কোন সমাধান নেই। ঙ) x1=1; x2=2; x3=3। চ) x>5।
1.8.7। ক) যদি a=b, তাহলে 2ab=a2+b2। আসুন, উদাহরণস্বরূপ, ক

সাহিত্য

1. রেডকভ এম.আই. সংখ্যাসূচক সিস্টেম। /"সংখ্যার সিস্টেম" কোর্সের অধ্যয়নের জন্য পদ্ধতিগত সুপারিশ। পার্ট 1. - ওমস্ক: OmGPI, 1984. - 46s.
2. এরশোভা টি.আই. সংখ্যাসূচক সিস্টেম। / ব্যবহারিক ব্যায়ামের জন্য পদ্ধতিগত উন্নয়ন - Sverdlovsk: SGPI, 1981. - 68s.

যে কোনো গাণিতিক তত্ত্বের স্বতঃসিদ্ধ নির্মাণে, নিশ্চিত নিয়ম:

তত্ত্বের কিছু ধারণা প্রধান হিসাবে বেছে নেওয়া হয় এবং সংজ্ঞা ছাড়াই গৃহীত হয়;

তত্ত্বের প্রতিটি ধারণা, যা মৌলিকগুলির তালিকায় নেই, একটি সংজ্ঞা দেওয়া হয়;

স্বতঃসিদ্ধ - যে বাক্যগুলি এই তত্ত্বে প্রমাণ ছাড়াই গৃহীত হয়; তারা মৌলিক ধারণার বৈশিষ্ট্য প্রকাশ করে;

স্বতঃসিদ্ধ তালিকায় নেই এমন তত্ত্বের প্রতিটি বাক্য প্রমাণ করতে হবে; এই ধরনের প্রস্তাবনাগুলিকে উপপাদ্য বলা হয় এবং স্বতঃসিদ্ধ এবং টেরেমের ভিত্তিতে প্রমাণিত হয়।

একটি তত্ত্বের স্বতঃসিদ্ধ নির্মাণে, সমস্ত বিবৃতি প্রমাণের মাধ্যমে স্বতঃসিদ্ধ থেকে প্রাপ্ত হয়।

অতএব, স্বতঃসিদ্ধ ব্যবস্থা বিশেষ সাপেক্ষে প্রয়োজনীয়তা:

সামঞ্জস্যতা (স্বতঃসিদ্ধ একটি সিস্টেমকে সামঞ্জস্যপূর্ণ বলা হয় যদি তা থেকে দুটি পারস্পরিক একচেটিয়া বাক্য বের করা যৌক্তিকভাবে অসম্ভব হয়);

স্বাধীনতা (স্বতঃসিদ্ধ একটি সিস্টেমকে স্বাধীন বলা হয় যদি এই সিস্টেমের স্বতঃসিদ্ধগুলির একটিও অন্যান্য স্বতঃসিদ্ধের পরিণতি না হয়)।

এতে প্রদত্ত সম্পর্ক সহ একটি সেটকে স্বতঃসিদ্ধ সিস্টেমের একটি মডেল বলা হয় যদি এই সিস্টেমের সমস্ত স্বতঃসিদ্ধ এতে সন্তুষ্ট হয়।

প্রাকৃতিক সংখ্যার সেটের জন্য স্বতঃসিদ্ধ সিস্টেম তৈরি করার অনেক উপায় আছে। মৌলিক ধারণার জন্য, কেউ নিতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, সংখ্যার যোগফল বা ক্রম সম্পর্ক। যাই হোক না কেন, মৌলিক ধারণাগুলির বৈশিষ্ট্যগুলি বর্ণনা করে এমন একটি স্বতঃসিদ্ধ ব্যবস্থা নির্দিষ্ট করা প্রয়োজন।

সংযোজনের ক্রিয়াকলাপের মূল ধারণাটি গ্রহণ করে স্বতঃসিদ্ধ একটি সিস্টেম দেওয়া যাক।

অ-খালি সেট এনঅপারেশন হলে স্বাভাবিক সংখ্যার সেট বলা হয় (a; b) → a + b, যোগ এবং বৈশিষ্ট্য থাকা বলা হয়:

1. সংযোজন কম্যুটেটিভ, অর্থাৎ a + b = b + a.

2. সংযোজন হল সহযোগী, অর্থাৎ (a + b) + c = a + (b + c)।

4. যেকোনো সেটে ক, যা সেটের একটি উপসেট এন, কোথায় কএমন একটি সংখ্যা আছে যা সব হা, সমান a+b, কোথায় bN

স্বতঃসিদ্ধ 1 - 4 প্রাকৃতিক সংখ্যার সম্পূর্ণ পাটিগণিত গঠনের জন্য যথেষ্ট। কিন্তু এই ধরনের নির্মাণের সাথে, সসীম সেটগুলির বৈশিষ্ট্যগুলির উপর নির্ভর করা আর সম্ভব নয় যা এই স্বতঃসিদ্ধগুলিতে প্রতিফলিত হয় না।

একটি অ-খালি সেটে সংজ্ঞায়িত "সরাসরি অনুসরণ করুন..." সম্পর্কটিকে প্রাথমিক ধারণা হিসাবে নেওয়া যাক এন. তারপর সংখ্যার স্বাভাবিক সিরিজটি হবে N সেট, যেখানে সম্পর্ক "সরাসরি অনুসরণ করুন" সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, এবং N-এর সমস্ত উপাদানকে প্রাকৃতিক সংখ্যা বলা হবে, এবং নিম্নলিখিত হোল্ড: পিয়ানো এর স্বতঃসিদ্ধ:

AXIOM 1.

ভিড়েএনএকটি উপাদান আছে যা অবিলম্বে এই সেটের কোনো উপাদান অনুসরণ করে না। আমরা একে একক বলব, এবং চিহ্ন 1 দ্বারা বোঝাব।

AXIOM 2।

প্রতিটি উপাদানের জন্য aএনএকটি অবিলম্বে অনুসরণ একটি একক উপাদান আছে.

AXIOM 3.

প্রতিটি উপাদানের জন্য aএনঅবিলম্বে একটি দ্বারা অনুসরণ সর্বাধিক একটি উপাদান আছে.

AXOIM 4.

সেটের যেকোনো উপসেট Mএনসঙ্গে সমানুপাতিকএন, যদি এটির বৈশিষ্ট্য থাকে: 1) 1 M-তে রয়েছে; 2) এ যে M এর মধ্যে রয়েছে তা থেকে এটি অনুসরণ করে যে A এছাড়াও M-তে রয়েছে।

একটি গুচ্ছ এন,যে উপাদানগুলির সাথে সম্পর্ক "অবিলম্বে অনুসরণ করুন ..." প্রতিষ্ঠিত হয়, সন্তোষজনক স্বতঃসিদ্ধ 1 - 4 বলা হয় প্রাকৃতিক সংখ্যার সেট , এবং এর উপাদানগুলি হল প্রাকৃতিক সংখ্যা।

যদি একটি সেট হিসাবে এনকিছু নির্দিষ্ট সেট বেছে নিন যার উপর একটি নির্দিষ্ট সম্পর্ক "সরাসরি অনুসরণ করুন ..." দেওয়া হয়েছে, সন্তোষজনক স্বতঃসিদ্ধ 1 - 4, তারপর আমরা ভিন্ন পাবো ব্যাখ্যা (মডেল) দেওয়া স্বতঃসিদ্ধ সিস্টেম।

পিয়ানোর স্বতঃসিদ্ধ সিস্টেমের আদর্শ মডেল হল সংখ্যার একটি সিরিজ যা সমাজের ঐতিহাসিক বিকাশের প্রক্রিয়ায় উদ্ভূত হয়েছিল: 1, 2, 3, 4, 5, ...

যেকোনো গণনাযোগ্য সেট পিয়ানো স্বতঃসিদ্ধের মডেল হতে পারে।

উদাহরণস্বরূপ, I, II, III, III, ...

ওহ ওহ ওহ ওহ...

এক দুই তিন চার, …

সেটগুলির একটি ক্রম বিবেচনা করুন যেখানে সেটটি (oo) প্রাথমিক উপাদান, এবং প্রতিটি পরবর্তী সেট আরও একটি বৃত্ত বরাদ্দ করে পূর্ববর্তী একটি থেকে প্রাপ্ত হয় (চিত্র 15)।

তারপর এনবর্ণনাকৃত ফর্মের সেটগুলির সমন্বয়ে গঠিত একটি সেট, এবং এটি পিয়ানোর স্বতঃসিদ্ধ সিস্টেমের একটি মডেল।

প্রকৃতপক্ষে, অনেকের মধ্যে এনএকটি উপাদান (oo) আছে যা প্রদত্ত সেটের কোনো উপাদান অবিলম্বে অনুসরণ করে না, যেমন স্বতঃসিদ্ধ 1 ধারণ করে। প্রতিটি সেটের জন্য কবিবেচনাধীন সেটের, একটি অনন্য সেট আছে যা থেকে পাওয়া যায় কএকটি বৃত্ত যোগ করে, যেমন স্বতঃসিদ্ধ 2 ধারণ করে। প্রতিটি সেটের জন্য কসর্বাধিক একটি সেট আছে যা থেকে সেটটি গঠিত হয় কএকটি বৃত্ত যোগ করে, যেমন Axiom 3 ধারণ করে এমএনএবং এটা জানা যায় যে সেট কমধ্যে মি,এটি অনুসরণ করে যে সেটটিতে সেটের চেয়ে একটি বৃত্ত বেশি রয়েছে ক, এছাড়াও অন্তর্ভুক্ত করা হয় এম, যে ম =এন, যার মানে Axiom 4 সন্তুষ্ট।

প্রাকৃতিক সংখ্যার সংজ্ঞায়, স্বতঃসিদ্ধ কোনোটিই বাদ দেওয়া যাবে না।

চিত্রে দেখানো সেটগুলির মধ্যে কোনটি স্থাপন করা যাক। 16 হল Peano এর স্বতঃসিদ্ধের একটি মডেল।

1 a b d a

ছ) Fig.16

সমাধান।চিত্র 16 ক) একটি সেট দেখায় যেখানে স্বতঃসিদ্ধ 2 এবং 3 সন্তুষ্ট৷ প্রকৃতপক্ষে, প্রতিটি উপাদানের জন্য একটি অনন্য উপাদান রয়েছে যা অবিলম্বে এটি অনুসরণ করে এবং একটি অনন্য উপাদান রয়েছে যা এটি অনুসরণ করে৷ কিন্তু স্বতঃসিদ্ধ 1 এই সেটে ধরে না (স্বতঃসিদ্ধ 4 এর কোনো মানে হয় না, কারণ সেটে এমন কোনো উপাদান নেই যা অবিলম্বে অন্য কোনোটিকে অনুসরণ করে না)। অতএব, এই সেটটি পিয়ানোর স্বতঃসিদ্ধের মডেল নয়।

চিত্র 16 খ) সেটটি দেখায় যেখানে স্বতঃসিদ্ধ 1, 3 এবং 4 সন্তুষ্ট, কিন্তু উপাদানটির পিছনে কদুটি উপাদান অবিলম্বে অনুসরণ করে, এবং একটি নয়, স্বতঃসিদ্ধ 2-এ প্রয়োজনীয়। অতএব, এই সেটটি পিয়ানোর স্বতঃসিদ্ধের একটি মডেল নয়।

ডুমুর উপর. 16 গ) একটি সেট দেখায় যেখানে স্বতঃসিদ্ধ 1, 2, 4 সন্তুষ্ট, কিন্তু উপাদান সঙ্গেঅবিলম্বে দুটি উপাদান অনুসরণ করে। অতএব, এই সেটটি পিয়ানোর স্বতঃসিদ্ধের মডেল নয়।

ডুমুর উপর. 16 d) একটি সেট দেখায় যা স্বতঃসিদ্ধ 2, 3 কে সন্তুষ্ট করে এবং যদি আমরা 5 নম্বরটিকে প্রাথমিক উপাদান হিসাবে নিই, তাহলে এই সেটটি স্বতঃসিদ্ধ 1 এবং 4 কে সন্তুষ্ট করবে। অর্থাৎ, প্রতিটি উপাদানের জন্য এই সেটটিতে অবিলম্বে একটি একক রয়েছে এটি অনুসরণ করে, এবং এটি অনুসরণ করে একটি একক উপাদান রয়েছে। এমন একটি উপাদান রয়েছে যা অবিলম্বে এই সেটের কোনো উপাদান অনুসরণ করে না, এটি হল 5 , সেগুলো. Axiom 1 ধারণ করে। অনুরূপভাবে, Axiom 4 ধারণ করে। অতএব, এই সেটটি Peano এর স্বতঃসিদ্ধের একটি মডেল।

পিয়ানো স্বতঃসিদ্ধ ব্যবহার করে, আমরা অনেকগুলি বিবৃতি প্রমাণ করতে পারি৷ উদাহরণস্বরূপ, আমরা প্রমাণ করি যে সমস্ত প্রাকৃতিক সংখ্যার জন্য অসমতা x x।

প্রমাণ।দ্বারা নির্দেশ করুন কযার জন্য প্রাকৃতিক সংখ্যার সেট a a.সংখ্যা 1 এর অন্তর্গত ক, যেহেতু এটি থেকে কোন সংখ্যা অনুসরণ করে না এন, এবং তাই নিজেই অনুসরণ করে না: 1 1. দিন আ,তারপর a a.বোঝান কমাধ্যম খ. স্বতঃসিদ্ধ 3 এর ভিত্তিতে, কখ,সেগুলো. bbএবং বি। এ.

প্রবন্ধ দ্বারাবিষয়:

মার্চ ডি সম্পর্কের জন্য কুম্ভ রাশিফল

কুম্ভ রাশির মানুষের জন্য মার্চ 2017 কী সঞ্চয় করে? মার্চ মাসে, কুম্ভ রাশির পুরুষদের কর্মক্ষেত্রে কঠিন সময় কাটবে। সহকর্মী এবং ব্যবসায়িক অংশীদারদের মধ্যে উত্তেজনা কর্মদিবসকে জটিল করে তুলবে। আত্মীয়দের আপনার এবং আপনার আর্থিক সাহায্যের প্রয়োজন হবে

খোলা মাঠে মক কমলার রোপণ এবং যত্ন নেওয়া

মক কমলা একটি সুন্দর এবং সুগন্ধি উদ্ভিদ যা ফুলের সময় বাগানকে একটি অনন্য কবজ দেয়। গার্ডেন জেসমিন জটিল যত্নের প্রয়োজন ছাড়াই 30 বছর পর্যন্ত বেড়ে উঠতে পারে। মক কমলা পশ্চিম ইউরোপ, উত্তর আমেরিকা, ককেশাস এবং দূর প্রাচ্যে প্রকৃতিতে বৃদ্ধি পায়।

স্বামীর এইচআইভি আছে, স্ত্রী সুস্থ

শুভ অপরাহ্ন. আমার নাম তৈমুর। আমার একটি সমস্যা আছে, বা বরং আমার স্ত্রীকে স্বীকার করতে এবং সত্য বলতে ভয় আছে। আমি ভয় পাচ্ছি যে সে আমাকে ক্ষমা করবে না এবং আমাকে ছেড়ে চলে যাবে। আরও খারাপ, আমি ইতিমধ্যে তার এবং আমার মেয়ের ভাগ্য নষ্ট করেছি। আমি আমার স্ত্রীকে একটি সংক্রমণে সংক্রামিত করেছি, আমি ভেবেছিলাম এটি কেটে গেছে, যেহেতু কোনও বাহ্যিক প্রকাশ ছিল না

এই সময়ে ভ্রূণের বিকাশের প্রধান পরিবর্তন

গর্ভাবস্থার 21 তম প্রসূতি সপ্তাহ থেকে, গর্ভাবস্থার দ্বিতীয়ার্ধে তার গণনা শুরু হয়। এই সপ্তাহের শেষ থেকে, সরকারী ওষুধ অনুসারে, ভ্রূণটি আরামদায়ক গর্ভ ত্যাগ করতে পারলে বেঁচে থাকতে সক্ষম হবে। এই সময়ের মধ্যে, শিশুর সমস্ত অঙ্গ ইতিমধ্যে স্ফো হয়ে গেছে

জনপ্রিয়

2021-07-22 18:33:11	কিভাবে টমেটো নেভিগেশন দেরী ব্লাইট মোকাবেলা করতে?
2021-07-22 18:33:11	ইউক্যারিস ফোটে না - কী করবেন?
2021-07-22 18:33:11	আরবিদের প্রকার ও প্রকার (রেজুহি)
2021-07-22 18:33:11	উদ্ভিদের পুষ্টির জন্য ভেষজ আধান: কীভাবে সার তৈরি করা যায়
2021-07-13 03:48:46	দিনে তিন কাপ কফি কীভাবে আমাদের জীবনকে দীর্ঘায়িত করে 3 কাপ কফি পান করুন
2021-07-13 03:48:46	আমেরিকা: মহাদেশের জনসংখ্যা, এর উৎপত্তি এবং বৈশিষ্ট্য দক্ষিণাঞ্চলের অধিকাংশ জনসংখ্যার মাতৃভাষা
2021-07-02 05:12:35	কিভাবে নাৎসি এস্টাবলিশমেন্ট তার জীবন শেষ করেছে: শেষ ষড়যন্ত্র
2021-07-02 05:12:35	মাকারেঙ্কো পারিবারিক শিক্ষার তত্ত্বে গুরুত্বপূর্ণ অবদান রেখেছিলেন
2021-07-02 05:12:35	কি একটি ট্রাকার ধর্মঘট কারণ
2021-07-02 05:12:35	কি একটি ট্রাকার ধর্মঘট কারণ

নতুন

2021-06-21 01:24:13	জীবনের জন্য দক্ষিণ-পূর্ব এশিয়ার সেরা দেশ: আমার অভিজ্ঞতা
2021-06-21 01:24:13	মার্কিন যুক্তরাষ্ট্র সফর। আলাস্কা যাওয়ার রাস্তা। বিনোদনমূলক আলাস্কা
2021-06-21 01:24:13	স্টকহোমে পাসওয়ার্ড ভোটদান: কীভাবে সবচেয়ে ব্যয়বহুল শহরগুলির একটিতে ভাঙা যায় না?
2021-06-21 01:24:13	বেলারুশের বেলোভেজস্কায়া পুশচা
2021-06-10 09:21:57	বায়ুমণ্ডলের সাধারণ সঞ্চালন
2021-06-10 09:21:57	ভূগোল পাঠ সাধারণ বায়ুমণ্ডলীয় প্রচলন
10.06.2021	প্রসপার মেরিমির সংক্ষিপ্ত জীবনী
10.06.2021	আলোচনার জন্য নাক শসা প্রশ্ন
10.06.2021	ইউরেশিয়ার উপকূলে মহাসাগর এবং সমুদ্র - ভূগোল, পাঠ
31.05.2021	যেমন সূর্য ওঠে এবং অস্ত যায়
31.05.2021	ওয়্যারউলফ ক্যাসেল সিরিজ। তারকা এলেনা। অনলাইনে বই পড়া কেন সুবিধাজনক
31.05.2021	কিভাবে মৃতের সাথে কথা বলতে হয়