Hem > Stege > Axiom för reella tal. Om den axiomatiska metoden att konstruera en teori. Definition av ett naturligt tal Axiomatisk definition av ett heltalssystem

Axiom för reella tal. Om den axiomatiska metoden att konstruera en teori. Definition av ett naturligt tal Axiomatisk definition av ett heltalssystem

Reella tal, betecknade med (det så kallade R hackade), operationen för addition ("+") introduceras, det vill säga varje par av element ( x,y) från mängden reella tal, elementet x + y från samma mängd, kallad summan x Och y .

Axiom för multiplikation

Operationen av multiplikation ("·") introduceras, det vill säga varje par av element ( x,y) från uppsättningen av reella tal tilldelas ett element (eller kort sagt, xy) från samma uppsättning, kallad produkten x Och y .

Samband mellan addition och multiplikation

Ordningsaxiom

Ordningsrelationen "" (mindre än eller lika med) ges på, det vill säga för vilket par som helst x, y av minst ett av villkoren eller .

Samband mellan beställning och tillägg

Samband mellan ordning och multiplikation

Axiom för kontinuitet

En kommentar

Detta axiom betyder att om X Och Y- två icke-tomma uppsättningar av reella tal så att alla element från X inte överstiger något element från Y, då kan ett reellt tal infogas mellan dessa uppsättningar. För rationella tal gäller inte detta axiom; klassiskt exempel: överväg positiva rationella tal och tilldela dem till mängden X de siffror vars kvadrat är mindre än 2, och resten - till Y. Sedan mellan X Och Y du kan inte infoga ett rationellt tal (är inte ett rationellt tal).

Detta nyckelaxiom ger densitet och gör därmed konstruktionen av kalkyl möjlig. För att illustrera dess betydelse pekar vi på två grundläggande konsekvenser av den.

Konsekvenser av axiomen

Några viktiga egenskaper hos reella tal följer direkt från axiomen, t.ex.

det unika med noll,
unikhet hos motsatta och omvända element.

Litteratur

Zorich V.A. Matematisk analys. Volym I. M .: Fazis, 1997, kapitel 2.

se även

Länkar

Wikimedia Foundation. 2010 .

Se vad "Axiomatics of Real Numbers" är i andra ordböcker:

Ett reellt eller reellt tal är en matematisk abstraktion som uppstod från behovet av att mäta de geometriska och fysiska storheterna i världen omkring oss, samt att utföra operationer som att slå rot, beräkna logaritmer, lösa ... ... Wikipedia

Reella eller reella tal är en matematisk abstraktion som i synnerhet tjänar till att representera och jämföra värden på fysiska storheter. Ett sådant tal kan intuitivt representeras som en beskrivning av en punkts position på en rak linje. ... ... Wikipedia

Wiktionary har en artikel om "axiom" Axiom (dr. grekiska ... Wikipedia

Ett axiom som förekommer i olika axiomatiska system. Axiomatik av reella tal Hilberts axiomatik av euklidisk geometri Kolmogorovs axiomatik av sannolikhetsteori ... Wikipedia

Heltalssystem

Kom ihåg att den naturliga serien verkade räkna upp objekt. Men om vi vill utföra några åtgärder med objekt behöver vi aritmetiska operationer på tal. Det vill säga, om vi vill stapla äpplen eller dela en kaka, måste vi översätta dessa åtgärder till siffrornas språk.

Observera att för att introducera operationerna + och * i språket för naturliga tal, är det nödvändigt att lägga till axiom som definierar egenskaperna för dessa operationer. Men då är själva uppsättningen av naturliga tal också expanderar.

Låt oss se hur uppsättningen naturliga tal expanderar. Den enklaste operationen, som krävdes en av de första, är addition. Om vi vill definiera operationen för addition måste vi definiera dess invers, subtraktion. Faktum är att om vi vet vad som kommer att hända som ett resultat av addition, till exempel 5 och 2, måste vi kunna lösa problem som: vad ska läggas till 4 för att få 11. Det vill säga problem relaterade till addition kommer definitivt att kräva förmåga att producera och vända handling - subtraktion. Men om tillägg av naturliga tal återigen ger ett naturligt tal, så ger subtraktionen av naturliga tal ett resultat som inte passar in i N. Några andra tal krävdes. I analogi med en begriplig subtraktion från ett större tal infördes en mindre regel för att subtrahera från ett mindre större - så här såg negativa heltal ut.

Genom att komplettera den naturliga serien med operationerna + och - kommer vi fram till en uppsättning heltal.

Z=N+operationer(+-)

System av rationella tal som aritmetikspråk

Betrakta nu den näst mest komplexa operationen - multiplikation. I själva verket är detta ett flerfaldigt tillägg. Och produkten av heltal är fortfarande ett heltal.

Men den inversa operationen till multiplikation är division. Och det ger inte alltid hela resultatet. Och återigen, vi står inför ett dilemma - antingen ta det för givet att resultatet av division kanske "inte existerar", eller komma med siffror av någon ny typ. Så här såg rationella siffror ut.

Låt oss ta ett system av heltal och komplettera det med axiom som definierar operationerna för multiplikation och division. Vi får ett system av rationella tal.

Q=Z+operationer(*/)

Så, språket för rationella tal tillåter oss att producera alla aritmetiska operationeröver siffror. De naturliga talens språk var inte tillräckligt för detta.

Låt oss ge en axiomatisk definition av systemet med rationella tal.

Definition. Mängden Q kallas uppsättningen av rationella tal, och dess element kallas rationella tal, om följande uppsättning villkor, kallad axiomatik för rationella tal, är uppfyllda:

Axiom för driften av addition. För alla beställda par x,y element från F något element definierat x+yнQ, kallad summan X Och på. I det här fallet är följande villkor uppfyllda:

1. (Existens av noll) Det finns ett element 0 (noll) så att för någon XОQ

X+0=0+X=X.

2. För alla element X n Q det finns ett element - Xí Q (motsatt X) Så att

X+ (-X) = (-X) + X = 0.

3. (Kommutativitet) För alla x,yО F

4. (Associativitet) För alla x, y, zО Q

x + (y + z) = (x + y) + z

Axiom för multiplikationens funktion.

För alla beställda par x, y element från Q något element är definierat huн Q, kallas produkten X Och y. I det här fallet är följande villkor uppfyllda:

5. (Förekomsten av ett identitetselement) Det finns ett element 1 О Q så att för någon XО F

X . 1 = 1. x = x

6. För alla element XО Q, ( X≠ 0) det finns ett inverst element X-1 ≠0 så att

X. x -1 = x -1. x = 1

7. (Associativitet) För alla x, y, zО F

X . (på . z) = (x . y) . z

8. (Kommutativitet) För alla x, yО F

Axiom för samband mellan addition och multiplikation.

9. (Distributivitet) För alla x, y, zО F

(x+y) . z=x . z+y . z

Ordningsaxiom.

Vilka två element som helst x, y,н Q ingå en jämförelserelation ≤. I det här fallet är följande villkor uppfyllda:

10. (X≤på)L ( på≤x) ó x=y

11. (X≤y) L ( y≤ z) => x≤z

12. För alla x, yí Q eller x< у, либо у < x .

Attityd< называется строгим неравенством,

Relationen = kallas elementlikhet från Q.

Axiom för samband mellan addition och ordning.

13. För alla x, y, z ОQ, (x £ y) Þ x+z £ y+z

Axiom för samband mellan multiplikation och ordning.

14. (0 £ x)Ç(0 £ y) z (0 £ x´y)

Axiom för kontinuitet för Arkimedes.

15. För alla a > b > 0 finns det m н N och n н Q så att m ³ 1, n< b и a= mb+n.

*****************************************

Systemet med rationella tal är alltså aritmetikens språk.

Detta språk är dock inte tillräckligt för att lösa praktiska beräkningsproblem.

I skolmatematikkursen bestämdes reella tal på ett konstruktivt sätt, utifrån behovet av att göra mätningar. En sådan definition var inte rigorös och ledde ofta in i en återvändsgränd forskare. Till exempel frågan om kontinuiteten för reella tal, det vill säga om det finns tomrum i denna uppsättning. När man bedriver matematisk forskning är det därför nödvändigt att ha en strikt definition av de begrepp som studeras, åtminstone inom ramen för några intuitiva antaganden (axiom) som är förenliga med praktiken.

Definition Uppsättning av element x, y, z, …, bestående av mer än ett element, kallas en uppsättning R reella tal, om följande operationer och relationer upprättas för dessa objekt:

I grupp av axiomär axiomen för additionsoperationen.

i mängd R additionsoperationen introduceras, det vill säga för vilket par av element som helst a Och b belopp och betecknas a + b
jag 1 . a+b=b+a, a, b R .

jag 2 . a+(b+c)=(a+b)+c,a, b, c R .

I 3. Det finns ett sådant element som kallas noll och betecknas med 0, vilket för någon a R skicket a+0=a.

jag 4 . För vilket element som helst a R det finns ett element som heter honom motsatt och betecknas - a, för vilka a+(-a)=0. Element a+(-b), a, b R , kallas skillnad element a Och b och betecknas a - b.

II – grupp av axiom - axiom för multiplikationens funktion. i mängd R operation inledd multiplikation, det vill säga för alla elementpar a Och b ett enda element definieras, kallat dem arbete och betecknas a b, så att följande villkor är uppfyllda:
II 1 . ab=ba, a, b R .

II 2 a(före Kristus)=(ab)c, a, b, c R .

II 3 . Det finns ett element som heter enhet och betecknas med 1, vilket för ev a R skicket a 1=a.

II 4 . För vem som helst a 0 finns ett element som heter honom omvänd och betecknas med eller 1/ a, för vilka a=1. Element a , b 0, ringde privat från division a på b och betecknas a:b eller eller a/b.

II 5 . Förhållandet mellan additions- och multiplikationsoperationer: för alla a, b, c R villkoret är uppfyllt ( ac+b)c=ac+bc.

En uppsättning objekt som uppfyller axiomen för grupperna I och II kallas ett numeriskt fält eller helt enkelt ett fält. Och motsvarande axiom kallas fältaxiom.

III - den tredje gruppen av axiom - ordningsaxiom. För element R orderrelation definieras. Den består av följande. För två olika element a Och b en av två relationer gäller: antingen a b(läs" a mindre eller lika b"), eller a b(läs" a mer eller lika b"). Detta förutsätter att följande villkor är uppfyllda:

III 1. a a för varje a. Från a b, b skall a=b.

III 2 . Transitivitet. Om a b Och b c, Den där a c.

III 3 . Om a b, sedan för vilket element som helst c inträffar a+c b+c.

III 4 . Om a 0,b 0, Den där ab 0 .

IV-gruppen av axiom består av ett axiom - kontinuitetens axiom. För alla icke-tomma set X Och Y från R så att för varje par av element x X Och y Y ojämlikheten x < y, det finns ett element a R, som uppfyller villkoret

Ris. 2

x < a < y, x X, y Y(Fig. 2). De uppräknade egenskaperna definierar uppsättningen av reella tal i den meningen att alla dess andra egenskaper följer av dessa egenskaper. Denna definition definierar unikt uppsättningen av reella tal upp till den specifika karaktären hos dess element. Förbehållet att en mängd innehåller mer än ett element är nödvändig eftersom en mängd som bara består av en nolla uppfyller alla axiomen på ett uppenbart sätt. I det följande kommer element i mängden R att kallas siffror.

Låt oss nu definiera de välbekanta begreppen naturliga, rationella och irrationella tal. Siffrorna 1, 2 1+1, 3 2+1, ... kallas naturliga tal, och deras uppsättning betecknas N . Av definitionen av mängden naturliga tal följer att den har följande karakteristiska egenskap: Om

1) A N ,

3) för varje element x A inkluderingen x+ 1 A, då en=N .

I själva verket, enligt villkor 2) har vi 1 A, därför av fastighet 3) och 2 A, och sedan, enligt samma egenskap, får vi 3 A. Eftersom vilket naturligt tal som helst n erhålls från 1 genom att successivt lägga till samma 1 till den n A, dvs. N A, och eftersom villkor 1 uppfyller införandet A N , Den där A=N .

Bevisprincipen bygger på denna egenskap hos naturliga tal. genom matematisk induktion. Om det finns många påståenden, som var och en tilldelas ett naturligt nummer (dess nummer) n=1, 2, ..., och om det bevisas att:

1) påståendet med nummer 1 är sant;

2) från påståendets giltighet med valfritt nummer n N följer påståendets giltighet med numret n+1;

då är giltigheten av alla påståenden bevisad, dvs. varje påstående med ett godtyckligt nummer n N .

Siffror 0, + 1, + 2, ... ringde heltal, deras uppsättning betecknas Z .

Skriv nummer m/n, Var m Och n hela, och n 0 kallas rationella nummer. Mängden av alla rationella tal betecknas F .

Reella tal som inte är rationella kallas irrationell, deras uppsättning betecknas jag .

Frågan uppstår att de rationella talen kanske tömmer ut alla beståndsdelar i uppsättningen R? Svaret på denna fråga ges av kontinuitetsakxiomet. Detta axiom gäller faktiskt inte för rationella tal. Tänk till exempel på två uppsättningar:

Det är lätt att se det för alla element och ojämlikheten är uppfylld. dock rationell det finns inget nummer som skiljer dessa två uppsättningar åt. Detta nummer kan faktiskt bara vara , men det är inte rationellt. Detta faktum indikerar att det finns irrationella tal i mängden R.

Förutom de fyra aritmetiska operationerna på tal kan du utföra exponentiering och rotextraktion. För vilket nummer som helst a R och naturliga n grad en definieras som en produkt n faktorer lika med a:

A-priory a 0 1, a>0, a-n 1/ a n a 0, n- naturligt nummer.

Exempel. Bernoullis ojämlikhet: ( 1+x)n> 1+nx Bevisa genom induktion.

Låta a>0, n- naturligt nummer. siffra b kallad rot n e graden bland a, Om bn =a. I det här fallet är det skrivet Existens och unikhet av en positiv rot av vilken grad som helst n från alla positiva tal kommer att bevisas nedan i § 7.3.
Även rot, a 0 har två betydelser: om b = , k N , sedan och -b= . Ja, från b 2k = a följer det

(-b)2k = ((-b) 2 )k = (b 2)k = b 2k

Ett icke-negativt värde kallas dess aritmetiskt värde.
Om r = p/q, Var sid Och q hela, q 0, dvs. rär alltså ett rationellt tal a > 0

(2.1)

Graden alltså ett r definieras för vilket rationellt tal som helst r. Det följer av dess definition att för varje rationell r det finns en jämlikhet

a -r = 1/ett r.

Grad yxa(siffra x kallad exponent) för valfritt reellt tal x erhålls genom att utöka graden kontinuerligt med en rationell exponent (se avsnitt 8.2 för mer om detta). För vilket nummer som helst a R icke-negativt tal

ringde honom absolutvärde eller modul. För de absoluta värdena av siffror, ojämlikheterna

|a + b| < |a| + |b|,
||a - b|| < |a - b|, a, b R

De bevisas med hjälp av egenskaperna I-IV för de reella talen.

Kontinuitetsakxiomets roll i konstruktionen av matematisk analys

Betydelsen av kontinuitetsaxiomet är sådan att utan det är en rigorös konstruktion av matematisk analys omöjlig. [ källa ospecificerad 1351 dagar] För att illustrera presenterar vi flera grundläggande analyspåståenden, vars bevis är baserat på kontinuiteten hos reella tal:

· (Weierstrass sats). Varje avgränsad monotont ökande sekvens konvergerar

· (Bolzano-Cauchys sats). En kontinuerlig funktion på ett segment som tar värden av olika tecken i sina ändar försvinner vid någon inre punkt i segmentet

· (Förekomst av makt, exponentiella, logaritmiska och alla trigonometriska funktioner på hela den "naturliga" definitionsdomänen). Till exempel är det bevisat att för varje heltal finns det , det vill säga en lösning på ekvationen . Detta låter dig bestämma värdet på uttrycket för alla rationella:

Slutligen, igen, på grund av kontinuiteten i tallinjen, är det möjligt att bestämma värdet på uttrycket redan för en godtycklig . På samma sätt, med hjälp av kontinuitetsegenskapen, bevisar vi att det finns ett nummer för alla .

Under en lång historisk tidsperiod bevisade matematiker satser från analys, på "tunna ställen" med hänvisning till den geometriska motiveringen, och hoppade oftare över dem helt eftersom det var uppenbart. Det väsentliga begreppet kontinuitet användes utan någon tydlig definition. Först under den sista tredjedelen av 1800-talet producerade den tyske matematikern Karl Weierstrass analysens aritmetisering och konstruerade den första rigorösa teorin om reella tal som oändliga decimalbråk. Han föreslog en klassisk definition av gränsen i språket, bevisade ett antal påståenden som ansågs "uppenbara" före honom och fullbordade därmed grunden för matematisk analys.

Senare föreslogs andra tillvägagångssätt för definitionen av ett reellt tal. I det axiomatiska tillvägagångssättet pekas kontinuiteten av reella tal uttryckligen ut som ett separat axiom. I konstruktiva förhållningssätt till teorin om ett reellt tal, till exempel, när man konstruerar reella tal med hjälp av Dedekind-sektioner, bevisas kontinuitetsegenskapen (i en eller annan formulering) som ett teorem.

Andra formuleringar av kontinuitetsegenskapen och motsvarande meningar[redigera | redigera wikitext]

Det finns flera olika påståenden som uttrycker kontinuitetsegenskapen hos reella tal. Var och en av dessa principer kan tas som grund för att konstruera teorin om det reella talet som ett axiom för kontinuitet, och alla andra kan härledas från den. Denna fråga diskuteras mer i detalj i nästa avsnitt.

Kontinuitet enligt Dedekind[redigera | redigera wikitext]

Huvudartikel:Sektionsteori i området för rationella tal

Frågan om reella tals kontinuitet behandlas av Dedekind i hans verk Continuity and Irrational Numbers. I den jämför han de rationella talen med punkterna på en rät linje. Som du vet, mellan rationella tal och punkter på en rät linje, kan du upprätta en överensstämmelse när du väljer startpunkten och måttenheten för segmenten på den räta linjen. Med hjälp av det senare är det möjligt att konstruera motsvarande segment för varje rationellt tal, och lägga det åt sidan till höger eller till vänster, beroende på om det finns ett positivt eller negativt tal, få en punkt som motsvarar talet . Således motsvarar varje rationellt tal en och endast en punkt på linjen.

Det visar sig att det finns oändligt många punkter på linjen som inte motsvarar något rationellt tal. Till exempel en punkt som erhålls genom att plotta längden på diagonalen för en kvadrat byggd på ett enhetssegment. Det har alltså inte de rationella talens område fullständighet, eller kontinuitet, som är inneboende i en rak linje.

För att ta reda på vad denna kontinuitet består av gör Dedekind följande anmärkning. Om det finns en viss punkt på linjen, faller alla punkter på linjen i två klasser: punkter som ligger till vänster och punkter som ligger till höger. Själva poängen kan godtyckligt tilldelas antingen till den lägre eller till överklassen. Dedekind ser essensen av kontinuitet i den omvända principen:

Geometriskt verkar denna princip självklar, men vi är inte i stånd att bevisa den. Dedekind betonar att denna princip i huvudsak är ett postulat, som uttrycker essensen av den egenskap som tillskrivs den direkta linjen, som vi kallar kontinuitet.

För att bättre förstå essensen av kontinuiteten i tallinjen i betydelsen Dedekind, överväg en godtycklig del av uppsättningen av reella tal, det vill säga uppdelningen av alla reella tal i två icke-tomma klasser, så att alla tal av en klass ligger på tallinjen till vänster om alla nummer i den andra. Dessa klasser namnges respektive lägre Och överklasser avsnitt. Teoretiskt finns det fyra möjligheter:

1. Den lägre klassen har ett maximalt element, den övre klassen har inget minimum

2. Det finns inget maxinslag i underklassen, medan det finns ett lägsta element i överklassen

3. Den lägsta klassen har max och toppklassen har lägsta element

4. Det finns inget maxelement i den lägre klassen, och det finns inget minimumelement i den övre klassen

I det första och andra fallet producerar det maximala elementet av det nedre respektive minimumelementet av det övre detta avsnitt. I det tredje fallet har vi hoppa, och i den fjärde Plats. Tallinjens kontinuitet innebär alltså att det inte finns några hopp eller luckor i uppsättningen av reella tal, det vill säga bildligt talat finns det inga tomrum.

Om vi introducerar begreppet en sektion av uppsättningen av reella tal, så kan Dedekinds kontinuitetsprincip formuleras enligt följande.

Dedekinds kontinuitetsprincip (fullständighet). För varje sektion av uppsättningen av reella tal finns det ett tal som producerar denna sektion.

Kommentar. Formuleringen av kontinuitetens axiom om existensen av en punkt som skiljer två uppsättningar påminner mycket om formuleringen av Dedekinds kontinuitetsprincip. Faktum är att dessa uttalanden är likvärdiga, och är i huvudsak olika formuleringar av samma sak. Därför kallas båda dessa uttalanden principen om kontinuitet för reella tal enligt Dedekind.

Lemma om kapslade segment (Cauchy-Cantor-principen)[redigera | redigera wikitext]

Huvudartikel:Lemma om kapslade segment

Lemma om kapslade segment (Cauchy - Kantor). Alla system av kapslade segment

har en icke-tom skärningspunkt, det vill säga det finns minst ett nummer som tillhör alla segment i det givna systemet.

Om dessutom längden på segmenten i det givna systemet tenderar mot noll, dvs.

då består skärningspunkten mellan segmenten i detta system av en punkt.

Denna egenskap kallas kontinuitet i mängden reella tal i betydelsen Cantor. Det kommer att visas nedan att för arkimediska ordnade fält är Cantor-kontinuitet ekvivalent med Dedekind-kontinuitet.

Den högsta principen[redigera | redigera wikitext]

Överhöghetsprincipen. Varje icke-tom uppsättning reella tal som avgränsas ovan har ett supremum.

I kalkylkurser är denna proposition vanligtvis ett teorem, och dess bevis gör betydande användning av kontinuiteten i uppsättningen av reella tal i en eller annan form. Samtidigt är det tvärtom möjligt att postulera existensen av ett supremum för vilken icke-tom uppsättning som helst avgränsad från ovan, och förlita sig på detta för att bevisa till exempel Dedekinds kontinuitetsprincip. Sålunda är den högsta satsen en av de ekvivalenta formuleringarna av kontinuitetsegenskapen för reella tal.

Kommentar. Istället för supremum kan man använda det dubbla konceptet infimum.

Infimum-principen. Varje icke-tom uppsättning reella tal som avgränsas nedan har ett infimum.

Denna proposition är också likvärdig med Dedekinds kontinuitetsprincip. Dessutom kan det visas att uttalandet av infimumsatsen direkt följer av hävdandet av supremumsatsen och vice versa (se nedan).

Finita locklemma (Heine-Borel-principen)[redigera | redigera wikitext]

Huvudartikel:Heine-Borel Lemma

Finita Cover Lemma (Heine - Borel). I alla system av intervall som täcker ett segment, finns det ett ändligt delsystem som täcker detta segment.

Gränspunktslemma (Bolzano-Weierstrass-principen)[redigera | redigera wikitext]

Huvudartikel:Bolzano-Weierstrass teorem

Limit Point Lemma (Bolzano - Weierstrass). Varje oändligt begränsad nummeruppsättning har minst en gränspunkt.

Ekvivalens av meningar som uttrycker kontinuiteten i uppsättningen av reella tal[redigera | redigera wikitext]

Låt oss göra några preliminära kommentarer. I enlighet med den axiomatiska definitionen av ett reellt tal, uppfyller uppsättningen av reella tal tre grupper av axiom. Den första gruppen är fältaxiomen. Den andra gruppen uttrycker det faktum att samlingen av reella tal är en linjärt ordnad mängd, och ordningsrelationen överensstämmer med fältets grundläggande operationer. Således betyder den första och andra gruppen av axiom att mängden reella tal är ett ordnat fält. Den tredje gruppen av axiom består av ett axiom - axiomet för kontinuitet (eller fullständighet).

För att visa ekvivalensen av olika formuleringar av kontinuiteten för de reella talen måste det bevisas att om en av dessa satser gäller för ett ordnat fält, så är alla de andra sanna.

Sats. Låt vara en godtycklig linjärt ordnad uppsättning. Följande påståenden är likvärdiga:

1. Oavsett vilka icke-tomma uppsättningar och är sådana att det för två element och , det finns ett element så att för alla och , gäller relationen

2. För varje avsnitt i det finns ett element som producerar detta avsnitt

3. Varje icke-tom uppsättning avgränsad ovan har ett supremum

4. Varje icke-tom set avgränsad nedan har ett infimum

Som framgår av denna sats använder dessa fyra satser bara vad den linjära ordningsrelationen har infört och använder inte fältstrukturen. Således uttrycker var och en av dem en egenskap som en linjärt ordnad mängd. Denna egenskap (för en godtyckligt linjärt ordnad mängd, inte nödvändigtvis mängden reella tal) kallas kontinuitet, eller fullständighet, enligt Dedekind.

Att bevisa likvärdigheten av andra meningar kräver redan en fältstruktur.

Sats. Låt vara ett godtyckligt ordnat fält. Följande meningar är likvärdiga:

1. (som en linjärt ordnad uppsättning) är Dedekind komplett

2. För att uppfylla Arkimedes princip Och principen för kapslade segment

3. För Heine-Borel-principen är uppfylld

4. För Bolzano-Weierstrass-principen är uppfylld

Kommentar. Som kan ses från satsen, principen om kapslade segment i sig är inte likvärdig Dedekinds kontinuitetsprincip. Principen med kapslade segment följer av Dedekinds kontinuitetsprincip, men för det omvända krävs det att man dessutom kräver att det ordnade fältet uppfyller Arkimedes axiom

Beviset för ovanstående satser kan hittas i böckerna från bibliografin nedan.

· Kudryavtsev, L.D. Kurs i matematisk analys. - 5:e uppl. - M.: "Drofa", 2003. - T. 1. - 704 sid. - ISBN 5-7107-4119-1.

· Fikhtengolts, G.M. Grunderna i matematisk analys. - 7:e uppl. - M.: "FIZMATLIT", 2002. - T. 1. - 416 sid. - ISBN 5-9221-0196-X.

· Dedekind, R. Kontinuitet och irrationella tal = Stetigkeit und irrationale Zahlen. - 4:e reviderade upplagan. - Odessa: Mathesis, 1923. - 44 sid.

· Zorich, V.A. Matematisk analys. Del I. - Red. 4:a, rättad .. - M .: "MTsNMO", 2002. - 657 sid. - ISBN 5-94057-056-9.

· Kontinuitet av funktioner och numeriska domäner: B. Bolzano, L. O. Cauchy, R. Dedekind, G. Kantor. - 3:e uppl. - Novosibirsk: ANT, 2005. - 64 sid.

4.5. Axiom för kontinuitet

Oavsett två icke-tomma uppsättningar av reella tal A och

B , för vilken, för alla element a ∈ A och b ∈ B, olikheten

a ≤ b , det finns ett tal λ så att för alla a ∈ A , b ∈ B

likhet a ≤ λ ≤ b .

Kontinuitetsegenskapen för reella tal betyder att på det reella

det finns inga "tomrum" på venlinjen, det vill säga punkter som representerar siffror fylls

hela den verkliga axeln.

Låt oss ge en annan formulering av kontinuitetens axiom. För detta introducerar vi

Definition 1.4.5. Två uppsättningar A och B kommer att kallas en sektion

uppsättningar av reella tal, if

1) uppsättningarna A och B är inte tomma;

2) föreningen av mängderna A och B utgör mängden av alla reella

tal;

3) varje antal av uppsättning A är mindre än antalet av uppsättning B.

Det vill säga att varje uppsättning som bildar en sektion innehåller minst en

element, dessa uppsättningar innehåller inte gemensamma element och, om a ∈ A och b ∈ B , då

Mängden A kommer att kallas den lägre klassen, och mängden B kommer att kallas överklassen.

sektionsklass. Vi kommer att beteckna avsnittet som A B .

De enklaste exemplen på avsnitt är avsnitten som erhålls enligt följande.

blåser sätt. Ta något nummer α och ställ in

A = ( x x< α } , B = { x x ≥ α } . Легко видеть, что эти множества не пусты, не пере-

skära varandra och om a ∈ A och b ∈ B , då a< b , поэтому множества A и B образуют

sektion. På liknande sätt kan man bilda en sektion, genom uppsättningar

A =(x x ≤ α ), B = (x x > α ) .

Sådana sektioner kommer att kallas sektioner genererade av talet α eller

vi kommer att säga att talet α producerar detta avsnitt. Detta kan skrivas som

Sektioner som genereras av valfritt antal har två intressanta

egenskaper:

Egenskap 1. Antingen innehåller den övre klassen det minsta antalet, och i det lägre

klass har inte det största antalet, eller den lägre klassen innehåller det största antalet

se, och toppklassen är inte den minsta.

Egenskap 2. Numret som genererar det givna avsnittet är unikt.

Det visar sig att det ovan formulerade kontinuitetsaxiomet motsvarar

överensstämmer med uttalandet som kallas Dedekinds princip:

Dedekind princip. För varje sektion finns det ett talgenererande

detta är ett avsnitt.

Låt oss bevisa att dessa påståenden är likvärdiga.

Låt kontinuitetens axiom vara giltigt, och vissa se-

värde A B . Sedan, eftersom klasserna A och B uppfyller villkoren, kommer formlerna

axiom, det finns ett tal λ så att a ≤ λ ≤ b för alla tal

a ∈ A och b ∈ B . Men talet λ måste tillhöra en och endast en av

klasserna A eller B , så en av ojämlikheterna a ≤ λ< b или

a< λ ≤ b . Таким образом, число λ либо является наибольшим в нижнем классе,

eller den minsta i överklassen och genererar det givna avsnittet.

Omvänt, låt Dedekind-principen vara uppfylld och två icke-tomma

sätter A och B så att för alla a ∈ A och b ∈ B olikheten

a ≤ b . Beteckna med B mängden siffror b så att a ≤ b för någon

b ∈ B och alla a ∈ A . Sedan B ⊂ B . För mängden A tar vi mängden av alla tal

byar som inte ingår i B .

Låt oss bevisa att mängderna A och B bildar en sektion.

Det är faktiskt uppenbart att mängden B inte är tom, eftersom den innehåller

icke-tom set B . Mängden A är inte heller tom, för om ett tal a ∈ A ,

sedan talet a − 1∉ B , eftersom alla tal som ingår i B måste vara minst

siffror a , därav a − 1∈ A .

mängden av alla reella tal, i kraft av valet av mängder.

Och slutligen, om a ∈ A och b ∈ B , då a ≤ b . Ja, om någon

nummer c uppfyller olikheten c > b , där b ∈ B , sedan den falska

likheten c > a (a är ett godtyckligt element i mängden A) och c ∈ B .

Så A och B bildar en sektion, och i kraft av Dedekind-principen finns det ett nummer

lo λ , genererar denna sektion, det vill säga som antingen är den största i klassen

Låt oss bevisa att detta nummer inte kan tillhöra klassen A . Giltig-

men om λ ∈ A , så finns det ett tal a* ∈ A så att λ< a* . Тогда существует

talet a′ som ligger mellan talen λ och a* . Från ojämlikheten a′< a* следует, что

a′ ∈ A , sedan från olikheten λ< a′ следует, что λ не является наибольшим в

klass A , vilket strider mot Dedekind-principen. Därför kommer talet λ

är den minsta i klassen B och för alla a ∈ A och ojämlikheten

a ≤ λ ≤ b , efter behov.◄

Således, egenskapen formulerad i axiomet och egenskapen,

formulerade i Dedekind-principen är likvärdiga. I framtiden kommer dessa

egenskaper hos den uppsättning reella tal vi kommer att kalla kontinuitet

enligt Dedekind.

Kontinuiteten i uppsättningen av reella tal enligt Dedekind innebär

två viktiga satser.

Sats 1.4.3. (Archimedes princip) Oavsett det verkliga talet

a, det finns ett naturligt tal n så att a< n .

Låt oss anta att påståendet om satsen är falskt, det vill säga att det finns sådana

något tal b0 så att olikheten n ≤ b0 gäller för alla naturliga tal

n. Låt oss dela upp mängden reella tal i två klasser: i klassen B tilldelar vi

alla tal b som uppfyller olikheten n ≤ b för alla naturliga n .

Denna klass är inte tom, eftersom talet b0 tillhör den. Vi tilldelar allt till klass A

de återstående siffrorna. Denna klass är inte heller tom, eftersom alla naturliga tal

ingår i A . Klasserna A och B korsar varandra inte och deras förening är det

mängden av alla reella tal.

Om vi tar godtyckliga tal a ∈ A och b ∈ B , så finns det en naturlig

nummer n0 så att a< n0 ≤ b , откуда следует, что a < b . Следовательно, классы

A och B uppfyller Dedekind-principen och det finns ett nummer α som

genererar en sektion A B , det vill säga α är antingen den största i klassen A , eller

bo den minsta i klass B. Om vi antar att α tillhör klassen A, då

man kan hitta ett naturligt tal n1 för vilket olikheten α< n1 .

Eftersom n1 också ingår i A kommer talet α inte att vara det största i denna klass,

därför är vårt antagande felaktigt och α är den minsta i

klass B.

Ta å andra sidan ett tal α − 1 som tillhör klassen A . Följ-

Därför finns det ett naturligt tal n2 så att α − 1< n2 , откуда получим

α < n2 + 1 . Так как n2 + 1 - натуральное число, то из последнего неравенства

det följer att α ∈ A . Den resulterande motsägelsen bevisar satsen.◄

Följd. Oavsett talen a och b är sådana att 0< a < b , существует

ett naturligt tal n för vilket olikheten na > b gäller.

För att bevisa det räcker det att tillämpa Arkimedes princip på numret

och använda egenskapen ojämlikheter.◄

Följden har en enkel geometrisk betydelse: Oavsett de två

segment, om på den större av dem, från en av dess ändar successivt

lägg en mindre, sedan i ett ändligt antal steg är det möjligt att gå längre än

större snitt.

Exempel 1. Bevisa att det finns för varje icke-negativt tal a

det enda icke-negativa reella talet t sådan att

tn = a, n ∈ , n ≥ 2 .

Detta teorem om förekomsten av en aritmetisk rot av n:e graden

från ett icke-negativt tal i skolans kurs av algebra accepteras utan bevis

löften.

☺Om a = 0 , då x = 0 , så är beviset på existensen av aritmetik

Roten till a krävs bara för a > 0 .

Antag att a > 0 och partitionera mängden av alla reella tal

för två klasser. Vi tilldelar klass B alla positiva tal x som uppfyller

skapa olikheten x n > a , in i klassen A , resten.

Enligt Arkimedes axiom finns det naturliga tal k och m sådana att

< a < k . Тогда k 2 ≥ k >a och 2 ≤< a , т.е. оба класса непусты, причем класс

A innehåller positiva tal.

Uppenbarligen är A ∪ B = och om x1 ∈ A och x2 ∈ B , då x1< x2 .

Klasserna A och B bildar alltså en sektion. Siffran som utgör detta

avsnitt, betecknat med t . Då är t antingen det största talet i klassen

alla A, eller den minsta i klass B.

Antag att t ∈ A och t n< a . Возьмем число h , удовлетворяющее нера-

0< h < 1 . Тогда

(t + h)n = t n + Cnt n−1h + Cn t n−2h2 + ... + Cnn hn< t n + Cnt n−1h + Cn t n−2h + ... + Cn h =

T n + h (Cnt n−1 + Cn t n−2 + ... + Cn + Cn t n) − hCn t n = t n + h (t + 1) − ht n =

T n + h (t + 1) − t n

Då får vi (t + h)< a . Это означает,

Därför, om vi tar h<

att t + h ∈ A , vilket motsäger det faktum att t är det största elementet i klassen A .

På liknande sätt, om vi antar att t är det minsta elementet i klass B,

ta sedan ett tal h som uppfyller ojämlikheterna 0< h < 1 и h < ,

vi får (t − h) = t n − Cnt n−1h + Cn t n−2 h 2 − ... + (−1) Cn h n >

> t n − Cnt n−1h + Cn t n−2h + ... + Cn h = t n − h (t + 1) − t n > a .

Det betyder att t − h ∈ B och t inte kan vara det minsta elementet

klass B. Därför är t n = a .

Unikhet följer av att om t1< t2 , то t1n < t2 .☻ n

Exempel 2. Bevisa att om en< b , то всегда найдется рациональное число r

sådan att a< r < b .

☺Om talen a och b är rationella så är talet rationellt och

uppfyller de villkor som krävs. Antag att minst ett av talen a eller b

irrationell, till exempel, låt oss säga att talet b är irrationellt. Antas

vi trycker också på att a ≥ 0 , sedan b > 0 . Vi skriver representationerna av talen a och b i formuläret

decimalbråk: a = α 0 ,α1α 2α 3.... och b = β 0 , β1β 2 β3... , där den andra bråkdelen är oändlig

ändlig och icke-periodisk. När det gäller representationen av talet a, då kommer vi att räkna

att om talet a är rationellt så är dess notation antingen finit eller så är det

rhyonisk fraktion vars period inte är lika med 9.

Eftersom b > a , då β 0 ≥ α 0 ; om βo = α0, då β1 ≥ α1; om β1 = α1 , då β 2 ≥ α 2

etc., och det finns ett sådant värde i , vid vilket det för första gången kommer att vara

uppfylla den strikta olikheten βi > α i . Då blir talet β 0 , β1β 2 ...βi rationellt

verklig och kommer att ligga mellan talen a och b.

Om en< 0 , то приведенное рассуждение надо применить к числам a + n и

b + n, där n är ett naturligt tal så att n ≥ a. Förekomsten av ett sådant nummer

följer av Arkimedes axiom. ☻

Definition 1.4.6. Låt en sekvens av segment av den reella axeln ges

([an; bn]), en< bn . Эту последовательность будем называть системой вло-

intervaller om för någon n olikheterna an ≤ an+1 håller och

För ett sådant system, inneslutningarna

[a1; b1] ⊃ [a2; b2] ⊃ [a3; b3] ⊃ ... ⊃ [ an ; bn] ⊃ ... ,

det vill säga varje nästa segment finns i det föregående.

Sats 1.4.4. För alla system av kapslade segment finns det

minst en punkt som ingår i vart och ett av dessa segment.

Låt oss ta två uppsättningar A = (an ) och B = (bn ) . De är inte tomma och för några

n och m, ojämlikheten an< bm . Докажем это.

Om n ≥ m , då an< bn ≤ bm . Если n < m , то an ≤ am < bm .

Klasserna A och B uppfyller således kontinuitetsakxiomet och,

därför finns det ett tal λ så att en ≤ λ ≤ bn för vilket n som helst, dvs. Detta

numret tillhör valfritt segment [ an ; bn] .◄

I det följande (sats 2.1.8) förfinar vi denna sats.

Påståendet som formulerats i sats 1.4.4 kallas principen

Cantor, och den uppsättning som uppfyller detta villkor kommer att kallas

diskontinuerlig enligt Cantor.

Vi har bevisat att om en beställd uppsättning är Dede-kontinuerlig

kindu, då är Arkimedes princip uppfylld i den och den är kontinuerlig enligt Cantor.

Det kan bevisas att en ordnad uppsättning där principerna

Arkimedes och Cantors principer kommer att vara kontinuerliga enligt Dedekind. Bevis

detta faktum finns till exempel i .

Arkimedes princip tillåter varje segment av en rak linje att jämföra

vilket är den enda positiva siffran som uppfyller villkoren:

1. lika segment motsvarar lika många;

2. Om punkten för segmentet AC och segmenten AB och BC motsvarar siffrorna a och

b, då motsvarar segmentet AC talet a + b;

3. ett visst segment motsvarar siffran 1.

Antalet som motsvarar varje segment och som uppfyller villkoren 1-3 på-

kallas längden på detta segment.

Cantors princip tillåter oss att bevisa det för varje positiv

nummer, kan du hitta ett segment vars längd är lika med detta nummer. Således,

mellan mängden positiva reella tal och mängden segment

kov, som är avlagda från någon punkt av den räta linjen på en given sida

från denna punkt kan en en-till-en-korrespondens upprättas.

Detta tillåter oss att definiera den numeriska axeln och införa en överensstämmelse mellan

väntar på reella siffror och punkter på linjen. För att göra detta, låt oss ta några

Jag ritar en linje och väljer en punkt O på den, som delar denna linje i två

stråle. Vi kallar en av dessa strålar positiv och den andra negativ.

nym. Då kommer vi att säga att vi har valt riktning på denna raka linje.

Definition 1.4.7. Den verkliga axeln är den räta linjen på vilken

a) punkt O, kallad ursprung eller ursprung;

b) riktning;

c) ett segment av enhetslängd.

Nu, till varje reellt tal a, associerar vi en punkt M på talet

yla rakt så att

a) siffran 0 motsvarade ursprunget;

b) OM = a - segmentets längd från origo till punkten M var lika med

modulnummer;

c) om a är positivt, så tas punkten på den positiva strålen och, es-

Om det är negativt så är det negativt.

Denna regel upprättar en en-till-en-överensstämmelse mellan

mängden reella tal och mängden punkter på linjen.

Tallinjen (axeln) kommer också att kallas den reella linjen

Detta innebär också den geometriska betydelsen av modulen för ett reellt tal.

la: talets modul är lika med avståndet från origo till den avbildade punkten

rita detta nummer på tallinjen.

Vi kan nu ge en geometrisk tolkning av egenskaperna 6 och 7

modul för ett reellt tal. Med ett positivt C för talet x, uppfyll-

egenskaper 6 fyller intervallet (−C , C) , och talen x uppfyller

egenskap 7 ligger på strålarna (−∞,C) eller (C , +∞) .

Vi noterar ytterligare en anmärkningsvärd geometrisk egenskap hos den verkliga modulen.

riktigt nummer.

Modulen för skillnaden mellan två tal är lika med avståndet mellan respektive punkt

motsvarande dessa tal på den reella axeln.

ry standard numeriska uppsättningar.

Uppsättningen av naturliga tal;

Uppsättning av heltal;

Uppsättningen av rationella tal;

Uppsättningen av reella tal;

Uppsättningar av heltal, rationella respektive reella

reella icke-negativa tal;

Uppsättning av komplexa tal.

Dessutom betecknas mängden reella tal som (−∞, +∞) .

Delmängder av denna uppsättning:

(a, b) = ( x | x ∈ R, a< x < b} - интервал;

[a, b] = (x | x ∈ R, a ≤ x ≤ b) - segment;

(a, b] = ( x | x ∈ R, a< x ≤ b} или [ a, b) = { x | x ∈ R, a ≤ x < b} - полуинтерва-

ly eller halva segment;

(a, +∞) = (x | x ∈ R, a< x} или (−∞, b) = { x | x ∈ R, x < b} - открытые лучи;

[ a, +∞) = ( x | x ∈ R, a ≤ x) eller (−∞, b] = ( x | x ∈ R, x ≤ b) är slutna strålar.

Slutligen, ibland kommer vi att behöva luckor som vi inte bryr oss om

om dess ändar tillhör detta intervall eller inte. En sådan lucka kommer

beteckna a, b.

§ 5 Begränsning av numeriska mängder

Definition 1.5.1. Taluppsättningen X kallas bounded

från ovan om det finns ett tal M så att x ≤ M för något element x från

sätter X.

Definition 1.5.2. Taluppsättningen X kallas bounded

underifrån om det finns ett tal m så att x ≥ m för något element x från

sätter X.

Definition 1.5.3. Taluppsättningen X kallas bounded,

om den är avgränsad uppifrån och under.

I symbolisk notation kommer dessa definitioner att se ut så här:

en mängd X är avgränsad från ovan om ∃M ∀x ∈ X: x ≤ M ,

avgränsad underifrån om ∃m ∀x ∈ X: x ≥ m och

är avgränsad om ∃m, M ∀x ∈ X: m ≤ x ≤ M .

Sats 1.5.1. En nummeruppsättning X är avgränsad om och endast om

när det finns ett tal C så att för alla element x från denna mängd

, olikheten x ≤ C är uppfylld.

Låt mängden X begränsas. Vi sätter C \u003d max (m, M) - mest

det större av talen m och M . Använd sedan egenskaperna för reella modulen

tal, får vi olikheterna x ≤ M ≤ M ≤ C och x ≥ m ≥ − m ≥ −C , varifrån

inte att x ≤ C .

Omvänt, om x ≤ C , då −C ≤ x ≤ C . Detta är tre-

ges om vi sätter M = C och m = −C .◄

Talet M som begränsar mängden X uppifrån kallas det övre

sätta gräns. Om M är den övre gränsen för en mängd X, då någon

talet M ′ , som är större än M , kommer också att vara den övre gränsen för denna mängd.

Således kan vi prata om uppsättningen av övre gränser för uppsättningen

x. Beteckna mängden övre gränser med M . Sedan, ∀x ∈ X och ∀M ∈ M

olikheten x ≤ M kommer att vara uppfylld, därför, enligt axiomet, kontinuerligt

Det finns ett nummer M 0 så att x ≤ M 0 ≤ M . Detta nummer kallas för

den övre gränsen för talmängden X eller den övre gränsen för denna

mängd eller det högsta av mängden X och betecknas med M 0 = sup X .

Således har vi bevisat att varje icke-tom numerisk uppsättning,

avgränsad ovan har alltid en exakt övre gräns.

Uppenbarligen är likheten M 0 = sup X ekvivalent med två villkor:

1) ∀x ∈ X, x ≤ M 0 , dvs. M 0 - den övre gränsen för uppsättningen

2) ∀ε > 0 ∃xε ∈ X så att xε > M 0 − ε , dvs. denna gra-

nitsa kan inte förbättras (minskas).

Exempel 1. Betrakta mängden X = ⎨1 − ⎬ . Låt oss bevisa att sup X = 1 .

☺ För det första, ojämlikheten 1 −< 1 выполняется для любого

n ∈ ; för det andra, om vi tar ett godtyckligt positivt tal ε, då med

Arkimedes princip kan man hitta ett naturligt tal nε så att nε > . Den där-

när olikheten 1 − > 1 − ε är uppfylld, dvs. hittade ett element xnε av

av X större än 1 − ε , vilket betyder att 1 är den minsta övre gränsen

På liknande sätt kan man bevisa att om en mängd är avgränsad nedan, då

den har en skarp nedre gräns, som också kallas den nedre gränsen.

den nya eller infimum av mängden X och betecknas med inf X .

Likheten m0 = inf X är ekvivalent med villkoren:

1) ∀x ∈ X olikheten x ≥ m0 gäller;

2) ∀ε > 0 ∃xε ∈ X så att olikheten xε< m0 + ε .

Om mängden X har det största elementet x0 , så kallar vi det

det maximala elementet i mängden X och beteckna x0 = max X . Sedan

sup X = x0. På samma sätt, om det finns ett minsta element i en uppsättning, då

vi kommer att kalla det minimalt, beteckna min X och det kommer att vara i-

phimum av uppsättningen X .

Till exempel har mängden naturliga tal det minsta elementet -

enhet, som också är uppsättningens infimum. Super-

mamma har inte denna uppsättning, eftersom den inte är avgränsad från ovan.

Definitionerna av exakta övre och nedre gränser kan utökas till

sätter obegränsade uppifrån eller under, inställning sup X = +∞ eller, respektive,

På motsvarande sätt, inf X = −∞ .

Sammanfattningsvis formulerar vi flera egenskaper hos övre och nedre gränser.

Egenskap 1. Låt X vara någon numerisk mängd. Beteckna med

− X set (− x | x ∈ X ) . Då sup (− X) = − inf X och inf (− X) = − sup X .

Egenskap 2. Låt X vara någon numerisk mängd λ - reell

siffra. Beteckna med λ X mängden (λ x | x ∈ X ) . Sedan om λ ≥ 0, då

sup (λ X) = λ sup X , inf (λ X) = λ inf X och, om λ< 0, то

sup (X X) = X inf X, inf ( X X) = X sup X.

Egenskap 3. Låt X1 och X 2 vara numeriska mängder. Beteckna med

X1 + X 2 set ( x1 + x2 | x1 ∈ X 1, x2 ∈ X 2 ) och genom X1 − X 2 mängden

( x1 − x2 | x1 ∈ X1, x2 ∈ X 2) . Sedan sup (X 1 + X 2) = sup X 1 + sup X 2 ,

inf (X1 + X 2) = inf X1 + inf X 2 , sup (X 1 − X 2) = sup X 1 − inf X 2 och

inf (X1 − X 2) = inf X1 − sup X 2 .

Egenskap 4. Låt X1 och X 2 vara numeriska mängder, varav alla element

ryh är icke-negativa. Sedan

sup (X1 X 2) = sup X1 ⋅ sup X 2 , inf (X1 X 2) = inf X 1 ⋅ inf X 2 .

Låt oss till exempel bevisa den första jämlikheten i fastighet 3.

Låt x1 ∈ X1, x2 ∈ X 2 och x = x1 + x2 . Sedan x1 ≤ sup X1, x2 ≤ sup X 2 och

x ≤ sup X1 + sup X2, varav sup (X1 + X 2) ≤ sup X1 + sup X2.

För att bevisa den motsatta ojämlikheten, ta siffran

y< sup X 1 + sup X 2 . Тогда можно найти элементы x1 ∈ X1 и x2 ∈ X 2 такие,

vad x1< sup X1 и x2 < sup X 2 , и выполняется неравенство

y< x1 + x2 < sup X1 + sup X 2 . Это означает, что существует элемент

x = +x1 x2 ∈ X1+ X2 som är större än y och

sup X1 + sup X 2 = sup (X1 + X 2) .◄

Bevisen av de återstående egenskaperna utförs på liknande sätt och

ljuga för läsaren.

§ 6 Räknebara och oräkneliga uppsättningar

Definition 1.6.1. Betrakta mängden av de första n naturliga talen

n = (1,2,..., n) och någon uppsättning A . Om det är möjligt att fastställa ömsesidigt

en-till-en-överensstämmelse mellan A och n, då kommer mängden A att anropas

slutlig.

Definition 1.6.2. Låt någon uppsättning A ges. Om jag får

upprätta en en-till-en-överensstämmelse mellan uppsättningen A och

uppsättning naturliga tal, då kommer mängden A att kallas en räkning

Definition 1.6.3. Om mängden A är finit eller räknebar, så kommer vi att göra det

säga att det inte är mer än räknebart.

Således kommer en uppsättning att kunna räknas om dess element kan räknas.

sätta i ordning.

Exempel 1. Uppsättningen av jämna tal kan räknas, eftersom avbildningen n ↔ 2n

är en en-till-en överensstämmelse mellan uppsättningen naturliga

siffror och en uppsättning jämna tal.

Uppenbarligen kan en sådan korrespondens upprättas inte på det enda sättet

zom. Du kan till exempel upprätta en överensstämmelse mellan en uppsättning och en uppsättning

(heltal), upprättar en korrespondens på detta sätt

OMSK STATENS PEDAGOGISKA UNIVERSITET
OMSPUs filial i TARE
BBK Utgiven efter beslut av redaktionen och förlaget
22:e 73:e sektorn av OmSPU-filialen i Tara
Ch67

Rekommendationerna är avsedda för studenter vid pedagogiska universitet som studerar disciplinen "Algebra och talteori". Inom ramen för denna disciplin, i enlighet med den statliga standarden, studeras avsnittet "Numeriska system" på 6:e terminen. Dessa rekommendationer presenterar material om den axiomatiska konstruktionen av system av naturliga tal (Peanos system av axiom), system av heltal och rationella tal. Denna axiomatik låter dig bättre förstå vad ett tal är, vilket är ett av de grundläggande begreppen i en matematikkurs i skolan. För bättre assimilering av materialet ges uppgifter om relevanta ämnen. I slutet av rekommendationerna finns svar, instruktioner, lösningar på problem.

Granskare: Ph.D., prof. Dalinger V.A.

Signerad för publicering - 22.10.98

tidningspapper
Upplaga 100 ex.
Operationell tryckmetod
OmGPU, 644099, Omsk, nab. Tukhachevsky, 14
filial, 644500, Tara, st. Skola, 69

1. NATURLIGA TAL.

I den axiomatiska konstruktionen av ett system av naturliga tal kommer vi att anta att begreppet en mängd, relationer, funktioner och andra mängdteoretiska begrepp är kända.

1.1 Systemet av Peanos axiom och de enklaste följderna.

De initiala begreppen i Peanos axiomatiska teori är mängden N (som vi kommer att kalla mängden naturliga tal), specialtalet noll (0) från den, och den binära relationen "följer" på N, betecknad med S(a) ( eller a().
AXIOM:
1. ((a(N) a"(0 (Det finns ett naturligt tal 0 som inte följer något tal.)
2. a=b (a"=b" (För varje naturligt tal a finns ett efterföljande naturligt tal a", och bara ett.)
3. a"=b" (a=b (Varje naturligt tal följer högst ett tal.)
4. (induktionsaxiom) Om mängden M(N och M uppfyller två villkor:
A) 0(M;
B) ((a(N) a(M® a"(M, sedan M=N.
I funktionell terminologi betyder detta att mappningen S:N®N är injektiv. Axiom 1 innebär att kartan S:N®N inte är surjektiv. Axiom 4 är grunden för att bevisa påståenden genom "metoden för matematisk induktion".
Vi noterar några egenskaper hos de naturliga talen som följer direkt av axiomen.
Egenskap 1. Varje naturligt tal a(0 följer ett och endast ett tal.
Bevis. Beteckna med M uppsättningen naturliga tal som innehåller noll och alla dessa naturliga tal, som vart och ett följer efter ett tal. Det räcker med att visa att M=N, unikheten följer av axiom 3. Låt oss tillämpa axiomet för induktion 4:
A) 0(M - genom konstruktionen av uppsättningen M;
B) om a(M, då a"(M, eftersom a" följer a.
Därför, i kraft av axiom 4, M=N.
Egenskap 2. Om a(b, då a"(b".
Egenskapen bevisas med metoden "genom motsägelse", med hjälp av axiom 3. Följande egenskap 3 bevisas på liknande sätt med axiom 2.
Egenskap 3. Om a"(b", då a(b.
Egenskap 4. ((a(N)a(a". (Inget naturligt tal följer sig självt.)
Bevis. Låt M=(x (x(N, x(x"). Det räcker för att visa att M=N. Eftersom genom axiom 1 ((x(N)x"(0), i synnerhet 0"(0, och alltså villkor A) för axiom 4 0(M är uppfyllt. Om x(M, det vill säga x(x", så av egenskap 2 x"((x")", vilket betyder att villkor B) x( M ® x "(M. Men sedan, enligt Axiom 4, M=N.
Låt ( vara någon egenskap hos naturliga tal. Det faktum att talet a har egenskapen (, kommer vi att skriva ((a).
Uppgift 1.1.1. Bevisa att axiom 4 från definitionen av mängden naturliga tal motsvarar följande påstående: för vilken egenskap som helst (, if ((0) och, then.
Uppgift 1.1.2. På treelementsmängden A=(a,b,c) definieras den unära operationen (: a(=c, b(=c, c(=a) enligt följande. Vilket av Peanos axiom är sanna på ställ in A med operationen (?
Uppgift 1.1.3. Låt A=(a) vara en enelementsmängd, a(=a. Vilket av Peanos axiom är sanna på mängden A med operationen (?
Uppgift 1.1.4. På mängden N definierar vi en unär operation genom att ställa in för någon. Ta reda på om påståendena av Peanos axiom som anges i termer av en operation är sanna i N.
Uppgift 1.1.5. Låt vara. Bevisa att A är stängd under operationen (. Kontrollera sanningen av Peanos axiom på uppsättningen A med operationen (.
Uppgift 1.1.6. Låt vara, . Vi definierar en unär operation på A genom inställning. Vilka av Peanos axiom är sanna på en mängd A med en operation?

1.2. Konsistens och kategorisitet för systemet av Peanos axiom.

Ett system av axiom kallas konsekvent om det är omöjligt att bevisa sats T och dess negation från dess axiom (T. Det är tydligt att inkonsekventa system av axiom inte har någon mening i matematik, eftersom i en sådan teori kan allt bevisas och en sådan teorin återspeglar inte den verkliga världens lagar. Därför är konsistensen i systemet av axiom ett absolut nödvändigt krav.
Om det i en axiomatisk teori inte finns något sats T och dess negation (T), betyder det inte att systemet av axiom är konsekvent, sådana teorier kan förekomma i framtiden. Därför måste konsistensen av axiomsystemet bevisas Det vanligaste sättet att bevisa överensstämmelse är tolkningsmetoden som bygger på det faktum att om det finns en tolkning av ett system av axiom i en känd konsekvent teori S, så är själva axiomsystemet konsekvent. av axiom var inkonsekventa, då skulle satserna T och (T) vara bevisbara i den, men då skulle dessa satser vara giltiga och i sin tolkning, och detta motsäger konsistensen av teorin S. Tolkningsmetoden tillåter en att bevisa endast relativ konsistens i teorin.
Många olika tolkningar kan konstrueras för systemet av Peanos axiom. Mängdläran är särskilt rik på tolkningar. Låt oss ange en av dessa tolkningar. Som naturliga tal kommer vi att betrakta mängderna (, ((), ((()), (((())),..., som ett speciellt tal kommer vi att betrakta noll (. Relationen "följer" kommer att tolkas enligt följande: mängden M följs av en mängd (M) vars enda element är själva M. Således kan ("=((), (()"=((()) etc. Giltigheten av axiom 1-4 kan Men effektiviteten av en sådan tolkning är liten: den visar att systemet av Peanos axiom är konsekvent om teorin om mängder är konsekvent. svår uppgift. Den mest övertygande tolkningen av systemet med Peanos axiom är intuitiv aritmetik, vars konsekvens bekräftas av dess många århundradens erfarenhet av dess utveckling.
Ett konsekvent system av axiom kallas oberoende om varje axiom i detta system inte kan bevisas som ett teorem på basis av andra axiom. För att bevisa att axiomet (inte beror på andra axiom i systemet
(1, (2, ..., (n, ((1))
det räcker för att bevisa att axiomsystemet är konsekvent
(1, (2, ..., (n, (((2))
Faktum är att om (bevisades på basis av de återstående axiomen i system (1), så skulle system (2) vara inkonsekvent, eftersom satsen (och axiomet ((.
Så för att bevisa axiomets oberoende (från resten av axiomen i system (1), räcker det att konstruera en tolkning av axiomsystemet (2).
Oberoendet av axiomsystemet är ett valfritt krav. Ibland, för att undvika att bevisa "svåra" teorem, konstrueras ett medvetet redundant (beroende) system av axiom. Men "överflödiga" axiom gör det svårt att studera axiomens roll i en teori, liksom de interna logiska sambanden mellan olika delar av teorin. Dessutom är konstruktionen av tolkningar för beroende system av axiom mycket svårare än för oberoende; trots allt måste man kontrollera giltigheten av de "överflödiga" axiomen. Av dessa skäl har frågan om beroende mellan axiom sedan länge givits största betydelse. Vid ett tillfälle försök att bevisa att det 5:e postulatet i Euklids axiomtik "Det finns som mest en rät linje som går genom punkten A parallellt med den räta linjen" är en sats (det vill säga det beror på de återstående axiomen) och ledde till att upptäckten av Lobatsjovskijs geometri.
Ett konsekvent system kallas deduktivt komplett om någon mening A i en given teori antingen kan bevisas eller vederläggas, det vill säga antingen A eller deduktivt ofullständig. Deduktiv fullständighet är inte heller ett obligatoriskt krav. Till exempel gruppens axiomsystem , ringteori, fältteori är ofullständig; eftersom det finns både ändliga och oändliga grupper, ringar, fält, så är det i dessa teorier omöjligt att antingen bevisa eller motbevisa påståendet: "En grupp (ring, fält) innehåller ett ändligt antal av element."
Det bör noteras att i många axiomatiska teorier (nämligen i icke-formaliserade) kan uppsättningen av propositioner inte anses vara exakt definierade, och därför är det omöjligt att bevisa den deduktiva fullständigheten av systemet av axiom för en sådan teori. En annan känsla av fullständighet kallas kategorisk. Ett system av axiom kallas kategoriskt om två av dess tolkningar är isomorfa, det vill säga det finns en sådan en-till-en-överensstämmelse mellan uppsättningarna av initiala objekt för den ena och den andra tolkningen, som bevaras för alla initiala relationer. Kategoriskhet är också ett valfritt villkor. Till exempel är gruppteorins axiomsystem inte kategoriskt. Detta följer av det faktum att en ändlig grupp inte kan vara isomorf till en oändlig grupp. Men när man axiomatiserar teorin om något talsystem är kategoriskheten obligatorisk; till exempel innebär den kategoriska karaktären hos systemet av axiom som definierar de naturliga talen att det, fram till isomorfism, bara finns en naturlig serie.
Låt oss bevisa kategorisiteten hos systemet av Peanos axiom. Låt (N1, s1, 01) och (N2, s2, 02) vara vilka två tolkningar som helst av systemet med Peanos axiom. Det är nödvändigt att ange en sådan bijektiv (en-till-en) mappning f:N1®N2 för vilken följande villkor är uppfyllda:
a) f(sl(x)=s2(f(x)) för vilket x från N1 som helst;
b) f(01)=02
Om båda unära operationerna s1 och s2 betecknas med samma primtal, så skrivs villkor a) om som
a) f(x()=f(x)(.
Låt oss definiera en binär relation f på mängden N1(N2) med följande villkor:
1) 01f02;
2) om xfy, då x(fy(.
Låt oss se till att denna relation är en mappning av N1 till N2, det vill säga för varje x från N1
(((y(N2)xfy(1)
Beteckna med M1 mängden av alla element x från N1 för vilket villkor (1) är uppfyllt. Sedan
A) 01(M1 på grund av 1);
B) x(M1 ® x((M1 på grund av 2) och egenskaper 1 för punkt 1.
Därför drar vi, enligt Axiom 4, slutsatsen att M1=N1, vilket betyder att relationen f är en avbildning av N1 till N2. Av 1) följer dessutom att f(01)=02. Villkor 2) skrivs på följande sätt: om f(x)=y, då f(x()=y(. Det följer att f(x()=f(x)(. Således, för mappning av f av villkor a) och b) är uppfyllda. Det återstår att bevisa att kartan f är bijektiv.
Beteckna med M2 uppsättningen av dessa element från N2, som var och en är bilden av ett och endast ett element från N1 under mappningen f.
Eftersom f(01)=02 är 02 en bild. Dessutom, om x(N2 och x(01), så, genom egenskap 1 i punkt 1, följer x något element c från N1, och sedan f(x)=f(c()=f(c)((02. Därför är 02 bilden av det enda elementet 01, dvs 02(M2.
Låt ytterligare y(M2 och y=f(x), där x är den enda förbilden av elementet y. Sedan, genom villkor a) y(=f(x)(=f(x()), det vill säga y (är bilden av elementet x (. Låt c vara vilken invers bild som helst av elementet y(, det vill säga f(c)=y(. c)=f(d()=f(d)(, varav, i kraft av Axiom 3, y=f(d). Men eftersom y(M2, då d=x, varifrån c=d(=x(. Vi har bevisat att om y är bilden av ett unikt element, då y( är bilden av ett unikt element, det vill säga y(M2 ® y((M2. Båda villkoren i Axiom 4 är uppfyllda och därför M2=N2, vilket fullbordar beviset för kategorisering.
All förgrekisk matematik var empirisk till sin natur. Separata delar av teorin dränktes i massan av empiriska metoder för att lösa praktiska problem. Grekerna utsatte detta empiriska material för logisk bearbetning, försökte hitta ett samband mellan olika empiriska uppgifter. I denna mening spelade Pythagoras och hans skola (400-talet f.Kr.) en viktig roll i geometrin. Idéerna med den axiomatiska metoden uttrycktes tydligt i Aristoteles skrifter (300-talet f.Kr.). Det praktiska genomförandet av dessa idéer utfördes emellertid av Euklid i hans "Begynnelser" (3:e århundradet f.Kr.).
För närvarande kan tre former av axiomatiska teorier urskiljas.
1). Meningsfull axiomatik, som var den enda fram till mitten av förra seklet.
2). En semi-formell axiomatik som uppstod under förra seklets sista kvart.
3). Formell (eller formaliserad) axiomatik, vars födelsedatum kan anses vara 1904, då D. Hilbert publicerade sitt berömda program om de grundläggande principerna för formaliserad matematik.
Varje ny form förnekar inte den tidigare, utan är dess utveckling och förfining, så att svårighetsgraden för varje ny form är högre än den för den föregående.
Meningsfull axiomatik kännetecknas av att de initiala begreppen har en intuitivt tydlig innebörd redan innan axiomen är formulerade. Så i Euklids element förstås en punkt exakt som vad vi intuitivt föreställer oss under detta koncept. I det här fallet används vanligt språk och vanlig intuitiv logik, som går tillbaka till Aristoteles.
Semi-formella axiomatiska teorier använder också vanligt språk och intuitiv logik. Men i motsats till meningsfull axiomatik ges de ursprungliga begreppen ingen intuitiv betydelse, de kännetecknas endast av axiom. Detta ökar rigoriteten, eftersom intuitionen i viss mån stör rigoriteten. Dessutom uppnås generalitet, eftersom varje teorem som bevisas i en sådan teori kommer att vara giltig i alla tolkningar av den. Ett exempel på en semi-formell axiomatisk teori är Hilberts teori som presenteras i hans bok "Fundamentals of Geometry" (1899). Exempel på semiformella teorier är också teorin om ringar och ett antal andra teorier som presenteras under algebra.
Ett exempel på en formaliserad teori är propositionskalkylen, studerad i en kurs i matematisk logik. Till skillnad från substantiv och semi-formell axiomatik använder formaliserad teori ett speciellt symbolspråk. Teorins alfabet är nämligen givet, det vill säga en viss uppsättning symboler som spelar samma roll som bokstäver i vanligt språk. Varje ändlig sekvens av tecken kallas ett uttryck eller ett ord. Bland uttrycken urskiljs en klass av formler och ett exakt kriterium anges som gör det möjligt för varje uttryck att ta reda på om det är en formel. Formler spelar samma roll som meningar i vanligt språk. Några av formlerna är deklarerade axiom. Dessutom ställs logiska slutledningsregler; varje sådan regel innebär att en väldefinierad formel följer omedelbart från en viss uppsättning formler. Beviset för en sats i sig är en ändlig kedja av formler, där den sista formeln är själva satsen, och varje formel är antingen ett axiom, eller ett tidigare bevisat sats, eller följer direkt av de föregående formlerna i kedjan enligt en av härledningsreglerna. Alltså är frågan om bevisets svårighetsgrad helt utesluten: antingen är denna kedja bevis, eller så är den inte det, det finns inga tvivelaktiga bevis. I detta avseende används formaliserad axiomatik i särskilt subtila frågor om att underbygga matematiska teorier, när vanlig intuitiv logik kan leda till felaktiga slutsatser, som främst uppstår på grund av felaktigheter och tvetydigheter i vårt vanliga språk.
Eftersom man i en formaliserad teori kan säga om varje uttryck - om det är en formel, så kan uppsättningen meningar i en formaliserad teori anses vara bestämd. I detta avseende kan man i princip ta upp frågan om att bevisa deduktiv fullständighet, samt att bevisa konsistens, utan att tillgripa tolkningar. I ett antal enkla fall kan detta göras. Till exempel bevisas konsistensen av propositionskalkylen utan tolkningar.
I icke-formaliserade teorier är uppsättningen meningar inte tydligt definierad, så det är meningslöst att ta upp frågan om att bevisa konsekvens utan att tillgripa tolkningar. Detsamma gäller frågan om styrkande av deduktiv fullständighet. Men om det finns ett sådant förslag till en ofmaliserad teori som varken kan bevisas eller motbevisas, så är teorin uppenbarligen deduktivt ofullständig.
Den axiomatiska metoden har länge använts inte bara i matematik, utan också i fysik. De första försöken i denna riktning gjordes av Aristoteles, men den axiomatiska metoden fick sin verkliga tillämpning i fysiken endast i Newtons verk om mekanik.
I samband med den turbulenta matematiseringsprocessen av vetenskaperna pågår också axiomatiseringsprocessen. För närvarande används den axiomatiska metoden även inom vissa grenar av biologin, till exempel inom genetik.
Och ändå är den axiomatiska metodens möjligheter inte obegränsade.
Först och främst noterar vi att det inte ens i formaliserade teorier är möjligt att helt undvika intuition. Själva den formaliserade teorin utan tolkningar har ingen mening. Därför uppstår en rad frågor om förhållandet mellan en formaliserad teori och dess tolkning. Dessutom, liksom i formaliserade teorier, ställs frågor om axiomsystemets konsekvens, oberoende och fullständighet. Helheten av alla sådana frågor utgör innehållet i en annan teori, som kallas metateorin för en formaliserad teori. I motsats till en formaliserad teori är metateorins språk ett vanligt vardagsspråk, och logiska resonemang förs av den vanliga intuitiva logikens regler. Således återkommer intuitionen, helt utstött från den formaliserade teorin, i sin metateori.
Men den största svagheten med den axiomatiska metoden ligger inte i detta. Vi har redan nämnt D. Hilberts program, som lade grunden för den formaliserade axiomatiska metoden. Hilberts huvudidé var att uttrycka klassisk matematik som en formaliserad axiomatisk teori och sedan bevisa dess överensstämmelse. Detta program visade sig dock vara utopiskt i sina huvudpunkter. År 1931 bevisade den österrikiske matematikern K. Gödel sina berömda satser, av vilka det följde att båda huvuduppgifterna som Hilbert satte var omöjliga. Han lyckades använda sin kodningsmetod för att uttrycka några sanna antaganden från metateori med formler för formaliserad aritmetik och att bevisa att dessa formler inte är härledbara i formaliserad aritmetik. Således visade sig formaliserad aritmetik vara deduktivt ofullständig. Det följde av Gödels resultat att om denna obevisbara formel ingår bland axiomen, så kommer det att finnas en annan obevisbar formel som uttrycker någon sann proposition. Allt detta gjorde att inte bara all matematik, utan även aritmetiken, dess enklaste del, inte kunde formaliseras helt. I synnerhet konstruerade Gödel en formel som motsvarar påståendet "Formaliserad aritmetik är konsekvent" och visade att denna formel inte heller är härledbar. Detta faktum innebär att konsistensen av formaliserad aritmetik inte kan bevisas inom själva aritmetiken. Naturligtvis är det möjligt att konstruera en starkare formaliserad teori och bevisa konsistensen av formaliserad aritmetik med hjälp av dess medel, men då uppstår en svårare fråga om konsistensen av denna nya teori.
Gödels resultat pekar på den axiomatiska metodens begränsningar. Och ändå finns det absolut inga skäl för pessimistiska slutsatser i kunskapsteorin att det finns okända sanningar. Att det finns aritmetiska sanningar som inte går att bevisa i formaliserad aritmetik betyder inte att det finns okända sanningar, och det betyder inte heller att mänskligt tänkande är begränsat. Det betyder bara att möjligheterna för vårt tänkande inte är begränsade till helt formaliserbara procedurer och att mänskligheten ännu inte har upptäckt och uppfunnit nya bevisprinciper.

1.3 Addition av naturliga tal

Operationerna för addition och multiplikation av naturliga tal postuleras inte av Peanos axiom, vi kommer att definiera dessa operationer.
Definition. Tillägget av naturliga tal är en binär algebraisk operation + på mängden N, som har följande egenskaper:
1s. ((a(N)a+0=a;
2c. ((a,b(N) a+b(=(a+b)(.
Frågan uppstår - finns det en sådan operation, och är den i så fall unik?
Sats. Det finns bara ett tillägg av naturliga tal.
Bevis. En binär algebraisk operation på mängden N är mappningen (:N(N®N. Det krävs för att bevisa att det finns en unik mappning (:N(N®N med egenskaper: 1) ((x(N) (( x,0)=x ; 2) ((x,y(N) ((x,y()=((x,y)(. Om vi för varje naturligt tal x bevisar att det finns en mappning fx: N®N med egenskaperna 1() fx(0 )=x; 2() fx(y()=fx(y)(, sedan funktionen ((x,y) definierad av likheten ((x,y) ( fx(y), och kommer att uppfylla villkoren 1) och 2 ).
På mängden N definierar vi den binära relationen fx med villkoren:
a) 0fxx;
b) om yfxz, då y(fxz(.
Låt oss se till att denna relation är en mappning av N till N, det vill säga för varje y från N
(((z(N) yfxz (1)
Beteckna med M den mängd naturliga tal y för vilket villkor (1) är uppfyllt. Sedan av villkor a) följer det att 0(M, och av villkor b) och egenskap 1 i punkt 1 följer att om y(M, så gör y((M). Därför drar vi slutsatsen att M, baserat på Axiom 4, =N, vilket betyder att relationen fx är en mappning av N till N. Denna mappning uppfyller följande villkor:
1() fx(0)=x - beroende på a);
2() fx((y)=fx(y() - på grund av b).
Därmed är förekomsten av addition bevisad.
Låt oss bevisa unikhet. Låt + och ( vara vilka två binära algebraiska operationer som helst på mängden N med egenskaperna 1c och 2c. Det krävs för att bevisa att
((x,y(N)x+y=x(y
Vi fixerar ett godtyckligt tal x och betecknar med S mängden av de naturliga tal y för vilka likheten
x+y=x(y (2)
genomförde. Eftersom enligt 1c x+0=x och x(0=x, alltså
A) 0(S
Låt nu y(S, d.v.s. likhet (2) gälla. Eftersom x+y(=(x+y)(, x(y(=(x(y)(och x+y=x(y), sedan axiom 2 x+y(=x(y(, dvs villkoret
C) y(S® y((S.
Därför, med axiom 4, S=N, vilket fullbordar beviset för satsen.
Låt oss bevisa några egenskaper hos addition.
1. Talet 0 är ett neutralt additionselement, det vill säga a+0=0+a=a för varje naturligt tal a.
Bevis. Likheten a+0=a följer av villkor 1c. Låt oss bevisa likheten 0+a=a.
Beteckna med M mängden av alla tal som den gäller. Uppenbarligen är 0+0=0 och därmed 0(M. Låt a(M, dvs. 0+a=a. Sedan 0+a(=(0+a)(=a(och därav a((M. Därav, M) =N, vilket krävdes för att bevisas.
Därefter behöver vi ett lemma.
Lemma. a(+b=(a+b)(.
Bevis. Låt M vara mängden av alla naturliga tal b för vilka likheten a(+b=(a+b)(stämmer för vilket värde som helst av a. Då:
A) 0(M, eftersom a(+0=(a+0)(;
C) b(M ® b((M.) I själva verket, från det faktum att b(M och 2c, har vi
a(+b(=(a(+b)(=((a+b)()(=(a+b()(,
det vill säga b((M. Därav M=N, vilket skulle bevisas.
2. Adderingen av naturliga tal är kommutativ.
Bevis. Låt M=(a(a(N(((b(N)a+b=b+a). Det räcker för att bevisa att M=N. Vi har:
A) 0(M - på grund av egenskap 1.
C) a(M ® a((M. Genom att tillämpa lemmat och det faktum att a(M), får vi:
a(+b=(a+b)(=(b+a)(=b+a(.
Därför a((M, och av Axiom 4 M=N.
3. Tillägg är associativt.
Bevis. Låta
M=(c(c(N(((a,b(N)(a+b)+c=a+(b+c)))
Det krävs för att bevisa att M=N. Eftersom (a+b)+0=a+b och a+(b+0)=a+b, då 0(M. Låt c(M, d.v.s. (a+b)+c=a+(b+c). Sedan
(a+b)+c(=[(a+b)+c](=a+(b+c)(=a+(b+c().
Därför c((M och av Axiom 4 M=N.
4. a+1=a(, där 1=0(.
Bevis. a+1=a+0(=(a+0)(=a(.
5. Om b(0, då ((a(N)a+b(a.
Bevis. Låt M=(a(a(N(a+b(a). Eftersom 0+b=b(0, då 0(M. Vidare, om a(M, det vill säga a+b(a), så av egenskap 2 objekt 1 (a+b)((a(eller a(+b(a(. Så a((M och M=N.
6. Om b(0, då ((a(N)a+b(0.
Bevis. Om a=0, då 0+b=b(0, men om a(0 och a=c(, då a+b=c(+b=(c+b)((0. Så, i alla fall, a +b(0.
7. (Lagen om trikotomi av addition). För alla naturliga tal a och b är en och endast en av de tre relationerna sann:
1) a=b;
2) b=a+u, där u(0;
3) a=b+v, där v(0.
Bevis. Vi fixerar ett godtyckligt tal a och betecknar med M mängden av alla naturliga tal b för vilka minst en av relationerna 1), 2), 3) gäller. Det krävs för att bevisa att M=N. Låt b=0. Sedan om a=0, då är relation 1) uppfylld, och om a(0, då är relation 3) sann, eftersom a=0+a. Så 0(M.
Låt oss nu anta att b(M, det vill säga för det valda a, en av relationerna 1), 2), 3) är uppfylld. Om a=b, så gäller b(=a(=a+1, det vill säga för b(relation 2). Om b=a+u, då b(=a+u(, det vill säga för b(relation) 2) Om a=b+v är två fall möjliga: v=1 och v(1. Om v=1, då a=b+v=b", dvs. för b" är relationen 1 uppfylld). v(1, sedan v=c", där c(0 och sedan a=b+v=b+c"=(b+c)"=b"+c, där c(0, d.v.s. för b" relation 3 Sålunda har vi bevisat att b(M®b"(M, och därför M=N, det vill säga för alla a och b, åtminstone en av relationerna 1), 2), 3 är uppfylld ), som inte två av dem kan hålla samtidigt. Ja, om relationerna 1) och 2) var uppfyllda, så skulle vi ha b=b+u, där u(0, och detta motsäger egenskap 5. Omöjligheten av tillfredsställbarhet 1) och 3) Slutligen, om relationerna 2) och 3) var uppfyllda, så skulle vi ha a=(a+u)+v = a+ +(u+v), vilket är omöjligt på grund av egenskaperna 5 och 6. Egenskapen 7 är fullständigt bevisat.
Uppgift 1.3.1. Låt 1(=2, 2(=3, 3(=4, 4(=5, 5(=6, 6(=7, 7(=8, 8(=9). Bevisa att 3+5=8, 2+4=6.

1.4. MULTIPLIKATION AV NATURLIGA TAL.

Definition 1. Multiplikation av naturliga tal är en sådan binär operation (på mängden N, för vilken följande villkor är uppfyllda:
1u. ((x(N) x(0=0;
2 år. ((x,y(N)x(y"=x(y+x.
Återigen uppstår frågan - finns en sådan operation, och i så fall är den unik?
Sats. Det finns bara en operation för att multiplicera naturliga tal.
Beviset är nästan detsamma som för addition. Det krävs att man hittar en sådan mappning (:N(N®N) som uppfyller villkoren
1) ((x(N) ((x,0)=0;
2) ((x,y(N) ((x,y")= ((x,y)+x.
Fixa ett godtyckligt tal x. Om vi bevisar för varje x(N att det finns en mappning fx: N®N med egenskaperna
1") fx(0)=0;
2") ((y(N) fx(y")=fx(y)+x,
då kommer funktionen ((x,y) definierad av likheten ((x,y)=fx(y) att uppfylla villkor 1) och 2).
Således reduceras beviset för satsen till att bevisa existensen och unikheten för varje x i funktionen fx(y) med egenskaperna 1") och 2"). Låt oss upprätta en korrespondens på mängden N enligt följande regel:
a) talet noll är jämförbart med talet 0,
b) om talet y är associerat med talet c, då med talet y (vi associerar talet c+x.
Låt oss se till att i en sådan jämförelse varje nummer y har en unik bild: detta kommer att innebära att korrespondensen är en avbildning av N till N. Beteckna med M mängden av alla naturliga tal y med en unik bild. Det följer av villkor a) och Axiom 1 att 0(M. Låt y(M. Sedan följer det av villkor b) och Axiom 2 att y((M. Därav, M=N, d.v.s. vår korrespondens är en avbildning av N i N , beteckna det med fx. Sedan fx(0)=0 med villkor a) och fx(y()=fx(y)+x med villkor b).
Så existensen av multiplikationsoperationen är bevisad. Låt nu (och (vara vilka två binära operationer som helst på mängden N med egenskaperna 1y och 2y. Det återstår att bevisa att ((x,y(N) x(y=x(y. Fixa ett godtyckligt tal x och låt
S=(y?y(N(x(y=x(y)
Eftersom, i kraft av 1y, x(0=0 och x(0=0), då 0(S. Låt y(S, det vill säga x(y=x(y. Då
x(y(=x(y+x=x(y+x=x(y(
och följaktligen y((S. Därav S=N, vilket kompletterar beviset för satsen.
Vi noterar några egenskaper för multiplikation.
1. Det neutrala elementet med avseende på multiplikation är talet 1=0(, dvs ((a(N) a(1=1(a=a.
Bevis. a(1=a(0(=a(0+a=0+a=a. Således är likheten a(1=a bevisad. Det återstår att bevisa likheten 1(a=a. Låt M=(a) ?a(N (1(a=a). Eftersom 1(0=0, då 0(M. Låt a(M, det vill säga 1(a=a. Sedan 1(a(=1(a+1= a+1= a(, och följaktligen a((M. Därav, av Axiom 4, M=N, vilket skulle bevisas.
2. För multiplikation är den rätta fördelningslagen giltig, dvs.
((a,b,c(N) (a+b)c=ac+bc.
Bevis. Låt M=(c (c(N (((a,b(N) (a+b)c=ac+bc). Eftersom (a+b)0=0 och a(0+b(0=0 , sedan 0(M. Om c(M, d.v.s. (a+b)c=ac+bc, då (a + b)(c(= (a + b)c +(a + b) = ac + bc +a +b=(ac+a)+(bc+b)=ac(+bc(. Så c((M och M=N.
3. Multiplikation av naturliga tal är kommutativ, dvs ((a,b(N) ab=ba.
Bevis. Låt oss först bevisa för eventuell b(N likheten 0(b=b(0=0. Likheten b(0=0 följer av villkoret 1у. Låt M=(b (b(N (0(b=0)) Eftersom 0( 0=0, då 0(M. Om b(M, det vill säga 0(b=0, så 0(b(=0(b+0=0 och därför, b((M. Därav) , M=N, d.v.s. likheten 0(b=b(0) har bevisats för alla b(N. Låt vidare S=(a (a(N (ab=ba). Eftersom 0(b=b( 0), sedan 0(S. Låt a (S, det vill säga ab=ba. Sedan a(b=(a+1)b=ab+b=ba+b=ba(, det vill säga a((S) Så S=N, vilket skulle bevisas.
4. Multiplikation är distributiv med avseende på addition. Denna fastighet följer av fastigheterna 3 och 4.
5. Multiplikation är associativ, dvs ((a,b,c(N) (ab)c=a(bc).
Beviset utförs, liksom för addition, genom induktion på c.
6. Om a(b=0, då a=0 eller b=0, det vill säga, det finns inga nolldelare i N.
Bevis. Låt b(0 och b=c(. Om ab=0, då ac(=ac+a=0, varav det följer, av egenskap 6, punkt 3, att a=0.
Uppgift 1.4.1. Låt 1(=2, 2(=3, 3(=4, 4(=5, 5(=6, 6(=7, 7(=8, 8(=9). Bevisa att 2(4=8, 3(3=9.
Låt n, a1, a2,...,an vara naturliga tal. Summan av talen a1, a2,...,an är det tal som anges av och bestäms av villkoren; för vilket naturligt tal k som helst
Produkten av talen a1, a2,...,an är ett naturligt tal, som betecknas med och definieras av villkoren: ; för vilket naturligt tal k som helst
Om, så betecknas numret med en.
Uppgift 1.4.2. Bevisa det
A);
b) ;
V);
G);
e) ;
e) ;
och);
h);
och).

1.5. ORDNING AV SYSTEMET AV NATURLIGA NUMMER.

Relationen "följer" är antireflexiv och antisymmetrisk, men inte transitiv och är därför inte en ordningsrelation. Vi kommer att definiera ordningsrelationen baserat på addition av naturliga tal.
Definition 1.a
Definition 2. a(b (((x(N) b=a+x.
Låt oss se till att relationen. Låt oss notera några egenskaper hos naturliga tal som är kopplade till förhållandet mellan likhet och olikhet.
1.
1,1 a=b (a+c=b+c.
1,2 a=b (ac=bc.
1.3a
1.4a
1,5 a+c=b+c (a=b.
1,6 ac=bc (c(0 (a=b.
1,7a+c
1,8 ac
1,9a
1.10a
Bevis. Egenskaperna 1.1 och 1.2 följer av det unika i operationerna addition och multiplikation. Om en
2. ((a(N) a
Bevis. Eftersom a(=a+1, sedan a
3. Det minsta elementet i N är 0, och det minsta elementet i N\(0) är talet 1.
Bevis. Eftersom ((a(N) a=0+a, så är 0(a, och därmed 0) det minsta elementet i N. Vidare, om x(N\(0), så är x=y(, y(N , eller x = y + 1. Detta innebär att ((x(N \ (0)) 1 (x, det vill säga 1 är det minsta elementet i N \ (0).
4. Relation ((a,b(N)((n(N)b(0 (nb > a.
Bevis. Uppenbarligen, för varje naturligt a finns det ett naturligt tal n så att
a Ett sådant tal är till exempel n=a(. Vidare, om b(N\(0), så av egenskap 3
1(b(2)
Från (1) och (2) på basis av egenskaperna 1.10 och 1.4 får vi aa.

1.6. FULLSTÄNDIG BESTÄLLNING AV SYSTEMET AV NATURLIGA NUMMER.

Definition 1. Om varje icke-tom delmängd av en ordnad mängd (M; Låt oss verifiera att den totala ordern är linjär. Låt a och b vara två godtyckliga element från en välordnad mängd (M; Lemma) . 1) a
Bevis.
1) a((b (b=a(+k, k(N (b=a+k(, k((N\(0) (a)
2) a(b (b=a+k, k(N (b(=a+k(, k((N\(0) (a)
Sats 1. Den naturliga ordningen på mängden naturliga tal är den fullständiga ordningen.
Bevis. Låt M vara vilken icke-tom uppsättning naturliga tal som helst, och S vara mängden av dess nedre gränser i N, dvs. S=(x (x(N (((m(M) x(m). Från egenskap 3 punkt 5 det följer att 0(S. Om det andra villkoret i Axiom 4 n(S (n((S), så skulle vi ha S=N. Faktum är att S(N; nämligen om a(M, då a(( S)
Sats 2. Varje icke-tom uppsättning naturliga tal avgränsade ovan har ett maximumelement.
Bevis. Låt M vara vilken som helst icke-tom uppsättning naturliga tal som avgränsas ovan, och S vara mängden av dess övre gränser, det vill säga S=(x(x(N (((m(M) m(x). Beteckna med x0). det minsta elementet i S. Då gäller olikheten m(x0 för alla tal m från M, och den strikta olikheten m
Problem 1.6.1. Bevisa det
A);
b) ;
V).
Problem 1.6.2. Låt ( vara någon egenskap hos naturliga tal och k vara ett godtyckligt naturligt tal. Bevisa det
a) vilket naturligt tal som helst har egenskapen (, så snart 0 har denna egenskap för varje n (0
b) varje naturligt tal som är större än eller lika med k har egenskapen (, så snart k har denna egenskap och för vilket n som helst (k(n) från antagandet att n har egenskapen (, följer det att talet n + 1 har även denna egenskap;
c) vilket naturligt tal som helst som är större än eller lika med k har egenskapen (så snart k har denna egenskap och för vilket som helst n (n>k) från antagandet att alla tal t definieras av villkoret k(t)

1.7. INDUKTIONSPRINCIP.

Med hjälp av den fullständiga ordningen av systemet med naturliga tal kan vi bevisa följande sats, på vilken en av bevismetoderna, som kallas metoden för matematisk induktion, är baserad.
Sats (induktionsprincipen). Alla påståenden från sekvensen A1, A2, ..., An, ... är sanna om följande villkor är uppfyllda:
1) påstående A1 är sant;
2) om påståenden Ak är sanna för k
Bevis. Antag motsatsen: villkor 1) och 2) är uppfyllda, men satsen är inte sann, det vill säga mängden M=(m(m(N\(0), Am är falsk) är inte tom. Enligt sats 1 , punkt 6, M har det minsta elementet, vilket vi betecknar med n. Eftersom enligt villkor 1) A1 är sant och An är falskt, då 1(n, och därmed 1)
Vid bevisning genom induktion kan två stadier urskiljas. I det första steget, som kallas induktionsbasen, kontrolleras tillfredsställelsen av villkor 1). I det andra steget, kallat induktionssteget, bevisas villkor 2). I det här fallet finns det oftast fall då det, för att bevisa sanningen av påståendet A, inte finns något behov av att använda sanningen i påståendena Ak för k
Exempel. Bevisa ojämlikheten Låt =Sk. Det krävs för att bevisa sanningen av påståenden Ak=(Sk Den sekvens av påståenden som hänvisas till i sats 1 kan erhållas från predikatet A(n) definierat på mängden N eller på dess delmängd Nk=(x (x(N, x(k), där k - vilket fast naturligt tal som helst.
I synnerhet, om k=1, då N1=N\(0), och numreringen av påståenden kan utföras med hjälp av likheterna A1=A(1), A2=A(2), ..., An=A (n), ... Om k(1, så kan sekvensen av påståenden erhållas med hjälp av likheterna A1=A(k), A2=A(k+1), ..., An=A(k+n) -1), .. I enlighet med sådan notation kan sats 1 formuleras i annan form.
Sats 2. Predikatet A(m) är identiskt sant på mängden Nk om följande villkor är uppfyllda:
1) påståendet A(k) är sant;
2) om påståendena A(m) är sanna för m
Problem 1.7.1. Bevisa att följande ekvationer inte har några lösningar inom området för naturliga tal:
a) x+y=1;
b) 3x=2;
c) x2=2;
d) 3x+2=4;
e) x2+y2=6;
f) 2x+1=2y.
Problem 1.7.2. Bevisa att använda principen för matematisk induktion:
a) (n3+(n+1)3+(n+2)3)(9;
b) ;
V);
G);
e) ;
e).

1.8. SUBTRAKTION OCH DIVISION AV NATURLIGA TAL.

Definition 1. Skillnaden mellan naturliga tal a och b är ett naturligt tal x så att b+x=a. Skillnaden mellan naturliga tal a och b betecknas med a-b, och operationen att hitta skillnaden kallas subtraktion. Subtraktion är inte en algebraisk operation. Detta följer av följande teorem.
Sats 1. Skillnad a-b finns om och endast om b(a. Om det bara finns en skillnad.
Bevis. Om b(a, så enligt definitionen av relationen (det finns ett naturligt tal x så att b+x=a. Men detta betyder också att x=a-b. Omvänt, om skillnaden a-b existerar, så finns det enligt definition 1 ett sådant naturligt tal x, att b+x=a, men det betyder också att b(a.
Låt oss bevisa det unika med skillnaden a-b. Låt a-b=x och a-b=y. Då enligt definition 1 b+x=a, b+y=a. Därav b+x=b+y och därmed x=y.
Definition 2. En kvot av två naturliga tal a och b(0) är ett naturligt tal c så att a=bc. Operationen att hitta en kvot kallas division. Frågan om förekomsten av en kvot löses i teorin om delbarhet.
Sats 2. Om en kvot finns, då endast en.
Bevis. Låt =x och =y. Då enligt definition 2 a=bx och a=by. Därav bx=by och därmed x=y.
Observera att funktionerna subtraktion och division definieras nästan ordagrant på samma sätt som i skolböcker. Detta innebär att i punkterna 1-7, på grundval av Peanos axiom, läggs en solid teoretisk grund för aritmetiken av naturliga tal och dess vidare presentation genomförs konsekvent i skolkursen i matematik och i universitetskursen "Algebra och Talteori".
Problem 1.8.1. Bevisa giltigheten av följande påståenden, förutsatt att alla skillnader som förekommer i deras formuleringar existerar:
a) (a-b)+c=(a+c)-b;
b) (a-b)(c=a(c-b(c;
c) (a+b)-(c+b)=a-c;
d) a-(b+c)=(a-b)-c;
e) (a-b)+(c-d)=(a+c)-(b+d);
e) (a-b)-(c-d)=a-c;
g) (a+b)-(b-c)=a+c;
h) (a-b)-(c-d)=(a+d)-(b+c);
i) a-(b-c)=(a+c)-b;
j) (a-b)-(c+d)=(a-c)-(b+d);
k) (a-b)(c+d)=(ac+ad)-(bc+bd);
1) (a-b)(c-d)=(ac+bd)-(ad+bc);
m) (a-b)2=(a2+b2)-2ab;
o) a2-b2=(a-b)(a+b).
Problem 1.8.2. Bevisa giltigheten av följande påståenden, förutsatt att alla kvoter som förekommer i deras formuleringar existerar.
A); b) ; V); G); e) ; e) ; och); h); Och) ; Till); l); m); m); O); P); R).
Problem 1.8.3. Bevisa att följande ekvationer inte kan ha två olika naturliga lösningar: a) ax2+bx=c (a,b,c(N); b) x2=ax+b (a,b(N); c) 2x=ax2 + b (a, b(N).
Problem 1.8.4. Lös ekvationerna i naturliga tal:
a) x2+(x+l)2=(x+2)2; b) x+y=x(y; c); d) x2+2y2=12; e) x2-y2=3; f) x+y+z=x(y(z.
Problem 1.8.5. Bevisa att följande ekvationer inte har några lösningar inom området för naturliga tal: a) x2-y2=14; b) x-y=xy; V); G); e) x2=2x+1; f) x2=2y2.
Problem 1.8.6. Lös ojämlikheterna i naturliga tal: a) ; b) ; V); d) x+y2 Uppgift 1.8.7. Bevisa att följande samband gäller i de naturliga talens område: a) 2ab(a2+b2; b) ab+bc+ac(a2+b2+c2; c) c2=a2+b2 (a2+b2+c2 1.9. KVANTITATIV SIN NATURLIGA TAL.
I praktiken används naturliga tal främst för att räkna element, och för detta är det nödvändigt att fastställa den kvantitativa betydelsen av naturliga tal i Peanos teori.
Definition 1. Mängden (x (x(N, 1(x(n)) kallas ett segment av den naturliga serien och betecknas med (1;n(.
Definition 2. En finit mängd är vilken mängd som helst som är ekvivalent i effekt med något segment av den naturliga serien, såväl som en tom mängd. En mängd som inte är ändlig kallas oändlig.
Sats 1. En finit mängd A är inte ekvivalent med någon av dess egna delmängder (det vill säga en annan delmängd än A).
Bevis. Om A=(, så är satsen sann, eftersom den tomma mängden inte har några riktiga delmängder. Låt A((och A vara ekvivalenta med (1,n((A((1,n(). Vi kommer att bevisa satsen genom att induktion på n. Om n= 1, det vill säga A((1,1(, så är den enda riktiga delmängden av mängden A den tomma mängden. Det är tydligt att A( och därför för n=1 satsen är sant. Antag att satsen är sann för n=m, det vill säga alla finita mängder ekvivalenta med segmentet (1,m( har inte ekvivalenta egentliga delmängder. Låt A vara vilken mängd som helst som är ekvivalent med segmentet (1,m+1) (och (:(1,m+1(®A) är någon bijektiv karta över segmentet (1,m+1(i A. Om ((k) betecknas med ak, k=1,2,... ,m+1, då kan mängden A skrivas som A=(a1, a2, ... , am, am+1).Vår uppgift är att bevisa att A inte har ekvipotenta egentliga delmängder. Antag motsatsen: låt B(A, B(A, B(A och f: A®B) är en bijektiv mappning (och f så att am+1(B och f(am+1)=am+1.
Betrakta mängderna A1=A\(am+1) och B1=B\(am+1). Eftersom f(am+1)=am+1 kommer funktionen f att utföra en bijektiv avbildning av mängden A1 på mängden B1. Således kommer mängden A1 att vara ekvivalent med sin egen delmängd B1. Men eftersom A1((1,m(, motsäger detta induktionshypotesen.
Följd 1. Mängden naturliga tal är oändlig.
Bevis. Det följer av Peanos axiom att avbildningen S:N®N\(0), S(x)=x(är bijektiv. Därför är N ekvivalent med dess rätta delmängd N\(0) och, i kraft av sats 1 , är inte ändlig.
Följd 2. Alla icke-tom ändliga mängder A motsvarar i storlek ett och endast ett segment av den naturliga serien.
Bevis. Låt A((1,m(och A((1,n(. Sedan (1,m(((1,n(, varav, i kraft av sats 1, följer att m=n. Ja, om vi antar att m
Resultat 2 tillåter oss att införa en definition.
Definition 3. Om A((1,n(, så kallas det naturliga talet n antalet element i mängden A, och processen att upprätta en en-till-en överensstämmelse mellan mängderna A och (1,n( kallas antalet element i mängden A. Det är naturligt att beakta antalet element i den tomma mängden nummer noll.
Det är överflödigt att tala om den enorma betydelsen av att räkna i det praktiska livet.
Observera att, med kännedom om den kvantitativa betydelsen av ett naturligt tal, skulle det vara möjligt att definiera operationen för multiplikation genom addition, nämligen:
.
Vi följde medvetet inte denna väg för att visa att aritmetiken i sig inte behöver en kvantitativ mening: den kvantitativa betydelsen av ett naturligt tal behövs bara i tillämpningar av aritmetik.

1.10. SYSTEMET AV NATURLIGA NUMMER SOM EN DISKRET HELT BESTÄLLD SET.

Vi har visat att mängden naturliga tal med avseende på den naturliga ordningen är välordnad. I det här fallet, ((a(N) a
1. för valfritt tal a(N finns det ett angränsande tal efter det i relation 2. för vilket tal a(N\(0) som helst finns det ett angränsande tal före det i relation En välordnad mängd (A;() med egenskaper 1 och 2 kommer att kallas diskret brunn Det visar sig att fullständig ordning med egenskaperna 1 och 2 är en karakteristisk egenskap hos ett system av naturliga tal. enligt följande: a(=b om b är ett angränsande element efter a i relation (. Det är tydligt att det minsta elementet i mängden A inte följer något element och därför är Peanos axiom 1 uppfyllt.
Eftersom relationen (är en linjär ordning, så finns det för varje element a ett enda element efter det och högst ett tidigare angränsande element. Detta antyder giltigheten av axiom 2 och 3. Låt nu M vara vilken delmängd som helst av mängden A för där följande villkor är uppfyllda:
1) a0(M, där a0 är det minsta elementet i A;
2) a(M (a((M.
Låt oss bevisa att M=N. Antag motsatsen, det vill säga A\M((. Beteckna med b det minsta elementet i A\M. Eftersom a0(M, då b(a0 och därför, det finns ett element c så att c(=b. Eftersom c
Så vi har bevisat möjligheten till ännu en definition av systemet med naturliga tal.
Definition. Ett system av naturliga tal är varje välordnad uppsättning där följande villkor är uppfyllda:
1. För varje element finns det ett angränsande element efter det;
2. För något annat element än det minsta, finns det ett angränsande element före det.
Det finns andra tillvägagångssätt för att bestämma systemet av naturliga tal, som vi inte uppehåller oss vid här.

2. HELA OCH RATIONELLA TAL.

2.1. DEFINITION OCH EGENSKAPER FÖR SYSTEMET MED HELTAL.
Det är känt att uppsättningen av heltal i deras intuitiva förståelse är en ring med avseende på addition och multiplikation, och denna ring innehåller alla naturliga tal. Det är också tydligt att det inte finns någon riktig subring i ringen av heltal som skulle innehålla alla naturliga tal. Dessa egenskaper, visar det sig, kan användas som grund för en rigorös definition av systemet av heltal. I avsnitt 2.2 och 2.3 kommer riktigheten av en sådan definition att bevisas.
Definitioner 1. Ett heltalssystem är ett algebraiskt system för vilket följande villkor är uppfyllda:
1. Ett algebraiskt system är en ring;
2. Mängden naturliga tal ingår i, och addition och multiplikation i ringen på delmängden sammanfaller med addition och multiplikation av naturliga tal, dvs.
3. (minsta skick). Z är en inklusionsminimalmängd med egenskaperna 1 och 2. Med andra ord, om en subring av ringen innehåller alla naturliga tal, då är Z0=Z.
Definition 1 kan ges en detaljerad axiomatisk karaktär. De första begreppen i denna axiomatiska teori kommer att vara:
1) Mängden Z, vars element kallas heltal.
2) Ett speciellt heltal som kallas noll och betecknas med 0.
3) Ternära relationer + och (.
Som vanligt betecknar N mängden naturliga tal med addition (och multiplikation (. I enlighet med definition 1 är ett heltalssystem ett algebraiskt system (Z; +, (, N)) för vilket följande axiom gäller:
1. (Ringens axiom.)
1.1.
Detta axiom betyder att + är en binär algebraisk operation på mängden Z.
1.2. ((a,b,c(Z) (a+b)+c=a+(b+c).
1.3. ((a,b(Z)a+b=b+a.
1.4. ((a(Z) a+0=a, det vill säga talet 0 är ett neutralt element med avseende på addition.
1.5. ((a(Z)((a((Z) a+a(=0, det vill säga för varje heltal finns det ett motsatt tal a(.
1.6. ((a,b(Z)((! d(Z) a(b=d.
Detta axiom betyder att multiplikation är en binär algebraisk operation på mängden Z.
1.7. ((a,b,c(Z) (a(b)(c=a((b(c).
1.8. ((a,b,c(Z) (a+b)(c=a(c+b(c, c((a+b)=c(a+c(b.
2. (Axiom för anslutning av ringen Z med systemet av naturliga tal.)
2.1. N(Z.
2.2. ((a,b(N)a+b=a(b.
2.3. ((a,b(N) a(b=a(b.
3. (Axiom för minimalitet.)
Om Z0 är en subring av ringen Z och N(Z0, så är Z0=Z.
Vi noterar några egenskaper hos systemet av heltal.
1. Varje heltal kan representeras som skillnaden mellan två naturliga tal. Denna representation är tvetydig, med z=a-b och z=c-d, där a,b,c,d(N, om och endast om a+d=b+c.
Bevis. Beteckna med Z0 mängden av alla heltal, som vart och ett kan representeras som skillnaden mellan två naturliga tal. Uppenbarligen, ((a(N) a=a-0, och därmed N(Z0.
Låt sedan x,y(Z0, d.v.s. x=a-b, y=c-d, där a,b,c,d(N. Sedan x-y=(a-b)-(c-d)=(a+d)--(b + c)=(a(d)-(b(c), x(y=(a-b)(c-d)=(ac+bd)-(ad+bc)=(a(c(b(d)-( a (d(b(c). Detta visar att x-y, x(y(Z0 och därför Z0 är en underring av ringen Z som innehåller mängden N. Men sedan, enligt axiom 3, Z0=Z, och därmed den första del av fastighet 1 är bevisad Det andra påståendet om denna egendom är uppenbart.
2. Heltalsringen är en kommutativ ring med en enhet, och nollan i denna ring är det naturliga talet 0, och enheten för denna ring är det naturliga talet 1.
Bevis. Låt x,y(Z. Enligt egenskap 1 x=a-b, y=c-d, där a,b,c,d(N. Sedan x(y=(a-b)((c-d)=(ac+bd)-( ad +bc)=(a(c(b(d)-(a(d(b(c), y(x=(c-d)(a-b)=(ca+db)-(da+cb)=(c ( a(d(b)-(d(a(c(b). På grund av kommutativiteten av multiplikation av naturliga tal, drar vi slutsatsen att xy=yx. Kommutativiteten för multiplikation i ringen Z är bevisad. De återstående påståenden om egenskap 2 följer av följande uppenbara likheter, där 0 och 1 betecknar naturliga tal noll och ett: x+0=(a-b)+0=(a+(-b))+0=(a+0)+(- b)=(a(0)+ (-b)=a-b=x.x(1=(a-b)(1=a(l-b(l=a(l-b(l=a-b=x).

2.2. EXISTENSEN AV ETT SYSTEM AV HELTAL.

Heltalssystemet definieras i 2.1 som en minimal inklusionsring som innehåller alla naturliga tal. Frågan uppstår - finns en sådan ring? Med andra ord, är axiomsystemet från 2.1 konsekvent? För att bevisa överensstämmelsen i detta system av axiom är det nödvändigt att bygga dess tolkning i en känd konsekvent teori. Aritmetik av naturliga tal kan betraktas som en sådan teori.
Sålunda går vi vidare till konstruktionen av en tolkning av axiomsystemet 2.1. Vi kommer att överväga den första uppsättningen. På denna uppsättning definierar vi två binära operationer och en binär relation. Eftersom addition och multiplikation av par reduceras till addition och multiplikation av naturliga tal, är addition och multiplikation av par kommutativa, associativa, liksom för naturliga tal, och multiplikation är distributiv med avseende på addition. Låt oss till exempel kontrollera kommutativiteten för paraddition: +===+.
Betrakta egenskaperna hos relationen ~. Eftersom a+b=b+a så är ~, det vill säga relationen ~ reflexiv. Om ~, det vill säga a+b1=b+a1, då a1+b=b1+a, det vill säga ~. Därför är relationen ~ symmetrisk. Låt ytterligare ~ och ~. Då är likheterna a+b1=b+a1 och a1+b2=b1+a2 giltiga. Lägger vi till dessa likheter får vi a+b2=b+a2, det vill säga ~. Därför är relationen ~ också transitiv och därmed en ekvivalens. Ekvivalensklassen som innehåller ett par kommer att betecknas med. Således kan en ekvivalensklass betecknas med vilket som helst av dess par och dessutom,
(1)
Uppsättningen av alla ekvivalensklasser kommer att betecknas med. Vår uppgift är att visa att denna uppsättning, givet den lämpliga definitionen av operationerna för addition och multiplikation, kommer att vara tolkningen av axiomsystemet från 2.1. Operationer på uppsättningen definieras av likheter:
(2)
(3)
Om och, det vill säga på mängden N, är likheterna a+b(=b+a(, c+d(=a+c(), så är likheten (a+c)+(b(+d() =(b +d)+(a(+c()), från vilken vi, i kraft av (1), erhåller en unik klassmultiplikation. Således definierar likheter (2) och (3) binära algebraiska operationer på uppsättning.
Eftersom addition och multiplikation av klasser reduceras till addition och multiplikation av par, är dessa operationer kommutativa, associativa och multiplikation av klasser är distributiv med avseende på addition. Av likheterna drar vi slutsatsen att klassen är ett neutralt element med avseende på addition, och för varje klass finns det en motsats till den. Detta betyder att mängden är en ring, det vill säga att axiomen för grupp 1 från 2.1 är uppfyllda.
Betrakta en delmängd i ringen. Om a(b, då i kraft av (1) , och om a
På mängden definierar vi en binär relation (följer(; nämligen en klass följs av en klass, där x(är ett naturligt tal efter x. Det är naturligt att beteckna klassen efter x med (. Det är tydligt att en klass följer inte någon klass och varje klass följer en klass, och dessutom bara en. Det senare betyder att relationen (följer (är en unär algebraisk operation på mängden N.
Låt oss överväga en kartläggning. Uppenbarligen är denna mappning bijektiv och villkoren f(0)= , f(x()==(=f(x)(. Detta betyder att mappningen f är en isomorfism av algebra (N;0,() på algebra (;, (). Med andra ord, algebra (;, () är en tolkning av systemet av Peanos axiom. Identifiera dessa isomorfa algebror, det vill säga anta att mängden N i sig är en delmängd av ringen. Samma identifikation i uppenbara likheter leder till likheterna a(c =a+c, a(c=ac, vilket innebär att addition och multiplikation i en ring på en delmängd N sammanfaller med addition och multiplikation av naturliga tal. Alltså tillfredsställelsen axiomen för grupp 2 är fastställda. Det återstår att verifiera tillfredsställelsen av axiomet för minimalitet.
Låt Z0 vara vilken underring som helst av ringen som innehåller mängden N och. Observera att och därför . Men eftersom Z0 är en ring, hör skillnaden mellan dessa klasser också till ringen Z0. Från likheterna -= (= drar vi slutsatsen att (Z0 och följaktligen Z0=. Konsistensen av axiomsystemet i avsnitt 2.1 är bevisat.

2.3. UNIKHET HOS SYSTEMET AV HELTAL.

Det finns bara ett system av heltal i deras intuitiva mening. Detta betyder att systemet av axiom som definierar heltal måste vara kategoriskt, det vill säga att två tolkningar av detta axiomsystem är isomorfa. Kategorisk och betyder att det fram till isomorfism bara finns ett heltalssystem. Låt oss se till att detta är sant.
Låt (Z1;+,(,N) och (Z2;(,(,N) vara två valfria tolkningar av axiomsystemet i avsnitt 2.1. Det räcker för att bevisa förekomsten av en bijektiv mappning f:Z1®Z2 så att de naturliga talen förblir fasta och, förutom Dessutom, för alla element x och y från ringen Z1, är likheterna
(1)
. (2)
Observera att eftersom N(Z1 och N(Z2), alltså
, a(b=a(b. (3)
Låt x(Z1 och x=a-b, där a,b(N. Associera detta element x=a-b med elementet u=a(b, där (subtraktion i ringen Z2. Om a-b=c-d, då a+d=b) +c, varifrån, i kraft av (3), a(d=b(c) och följaktligen a(b=c(d. Detta betyder att vår överensstämmelse inte beror på representanten för elementet x i formen av skillnaden mellan två naturliga tal, och därmed bestäms mappningen f: Z1®Z2, f(a-b)=a(b. Det är tydligt att om v(Z2 och v=c(d, så är v=f(c-d) Följaktligen är varje element från Z2 en bild under f och därför är mappningen f surjektiv.
Om x=a-b, y=c-d, där a,b,c,d(N och f(x)=f(y), då a(b=c(d. Men sedan a(d=b(d, i) (3) a+d=b+c, d.v.s. a-b=c-d Vi har bevisat att likheten f(x)=f(y) innebär likheten x=y, dvs. mappningen f är injektiv.
Om a(N, då a=a-0 och f(a)=f(a-0)=a(0=a. Därför är naturliga tal fixerade under mappningen f. Vidare, om x=a-b, y= c-d, där a,b,c,d(N, sedan x+y=(a+c)- och f(x+y) = (a+c)((b+d)=(a(c)( (b (d)=(a(b)((c(d)=f(x)+f(y). Likhet (1) är bevisad. Låt oss kontrollera likhet (2). Eftersom f(xy)=( ac+bd )((ad+bc)=(a(c(b(d)((a(d(b(c), och å andra sidan f(x)(f(y)=(a(b) )((c (d)=(a(c(b(d)((a(d(b(c). F(xy)=f(x)(f(y), vilket kompletterar beviset på att axiomsystemet n. 2.1.

2.4. DEFINITION OCH EGENSKAPER FÖR SYSTEMET AV RATIONELLA TAL.

Mängden Q av rationella tal i deras intuitiva förståelse är ett fält för vilket mängden Z av heltal är en subring. Det är uppenbart att om Q0 är ett underfält av fältet Q som innehåller alla heltal, så är Q0=Q. Det är dessa egenskaper som vi kommer att använda som grund för en rigorös definition av systemet med rationella tal.
Definition 1. Ett system av rationella tal är ett algebraiskt system (Q;+,(;Z) för vilket följande villkor är uppfyllda:
1. det algebraiska systemet (Q;+,() är ett fält;
2. ringen Z av heltal är en subring av fältet Q;
3. (minimalitetsvillkor) om subfältet Q0 i fältet Q innehåller subringen Z, då Q0=Q.
Kort sagt, ett system av rationella tal är ett inklusionsminimalfält som innehåller en underring av heltal. Det är möjligt att ge en mer detaljerad axiomatisk definition av systemet med rationella tal.
Sats. Varje rationellt tal x kan representeras som en kvot av två heltal, det vill säga
, där a,b(Z, b(0. (1)
Denna representation är dessutom tvetydig där a,b,c,d(Z, b(0, d(0.
Bevis. Beteckna med Q0 mängden av alla rationella tal som kan representeras i formen (1). Det räcker att se till att Q0=Q. Låt, där a,b,c,d(Z, b(0, d(0). Sedan, genom fältets egenskaper, har vi: är ett underfält till fältet Q. Eftersom vilket heltal a som helst kan representeras i formen, sedan Z(Q0. Därav följer, i kraft av minimalitetsvillkoret, att Q0=Q. Beviset för den andra delen av satsen är uppenbart.

2.5. EXISTENSEN AV ETT SYSTEM AV RATIONELLA TAL.

Systemet med rationella tal definieras som det minsta fältet som innehåller en underring av heltal. Naturligtvis uppstår frågan om ett sådant fält existerar, det vill säga om systemet av axiom som definierar rationella tal är konsekvent. För att bevisa konsekvens är det nödvändigt att konstruera en tolkning av detta system av axiom. I det här fallet kan man lita på att det finns ett system av heltal. När vi konstruerar en tolkning kommer vi att betrakta mängden Z(Z\(0) som utgångspunkt. På denna mängd definierar vi två binära algebraiska operationer
, (1)
(2)
och binär relation
(3)
Lämpligheten av just en sådan definition av operationer och relation ~ följer av det faktum att i den tolkning som vi bygger kommer paret att uttrycka kvoten.
Det är lätt att kontrollera att operationerna (1) och (2) är kommutativa, associativa och multiplikation är distributiv med avseende på addition. Alla dessa egenskaper testas mot motsvarande egenskaper för addition och multiplikation av heltal. Låt oss till exempel kontrollera associativiteten för multiplikation av par: .
På liknande sätt verifieras att relationen ~ är en ekvivalens, och följaktligen delas mängden Z(Z\(0) in i ekvivalensklasser. Mängden av alla klasser kommer att betecknas med, och klassen som innehåller paret med. Således kan klassen betecknas med vilket som helst av dess par och på grund av villkor (3) får vi:
. (4)
Vår uppgift är att definiera operationen av addition och multiplikation på en mängd på ett sådant sätt att det är ett fält. Dessa operationer definieras av likheter:
, (5)
(6)
Om det vill säga ab1=ba1 och det vill säga cd1=dc1, multiplicera dessa likheter, får vi (ac)(b1d1)=(bd)(a1c1), vilket betyder att Detta övertygar oss om att likheten (6 ) Definierar faktiskt en operation med ett värde på uppsättningen klasser, oberoende av valet av representanter i varje klass. Funktionens (5) unika karaktär kontrolleras på liknande sätt.
Eftersom addition och multiplikation av klasser reduceras till addition och multiplikation av par, är operationer (5) och (6) kommutativa, associativa och multiplikation är distributiv med avseende på addition.
Från likheterna drar vi slutsatsen att klassen är ett neutralt element med avseende på addition, och för varje klass finns det ett motsatt element till den. På liknande sätt följer det av likheterna att en klass är ett neutralt element med avseende på multiplikation, och för varje klass finns det en invers klass. Följaktligen är ett fält med avseende på operationer (5) och (6); det första villkoret i definitionen av punkt 2.4 är uppfyllt.
Överväg nästa uppsättning. Självklart, . Mängden är stängd under subtraktion och multiplikation och är därför en subring av fältet. Verkligen,. Överväg nästa kartläggning, . Surjektiviteten i denna kartläggning är uppenbar. Om f(x)=f(y), det vill säga då x(1=y(1 eller x=y. Därför är mappningen f och injektiv. Dessutom, . Således är mappningen f en isomorfism av en ring in i en ring. Genom att identifiera dessa är isomorfa ringar kan vi anta att ringen Z är en underring av fältet, det vill säga att villkor 2 i definitionen av punkt 2.4 är uppfyllt. Det återstår att bevisa fältets minimalitet. Låt vara vilket delfält som helst av fältet och, och låt. Sedan, a, alltså. Men sedan - fältet, då tillhör kvoten av dessa element också fältet.

2.6. UNIKHET I SYSTEMET AV RATIONELLA TAL.

Eftersom det bara finns ett system av rationella tal i deras intuitiva förståelse, måste den axiomatiska teorin om rationella tal, som presenteras här, vara kategorisk. Kategorisk och betyder att det fram till isomorfism bara finns ett system av rationella tal. Låt oss visa att så verkligen är fallet.
Låt (Q1;+, (; Z) och (Q2; (, (; Z)) vara vilka två system av rationella tal som helst. Det räcker för att bevisa förekomsten av en bijektiv mappning så att alla heltal förblir fixerade och dessutom, villkoren
(1)
(2)
för alla element x och y från fältet Q1.
Kvoten av elementen a och b i fältet Q1 kommer att betecknas med, och i fältet Q2 - med a:b. Eftersom Z är en subring av vart och ett av fälten Q1 och Q2, för alla heltal a och b har vi likheterna
, . (3)
Låt och var, . Associera detta element x med elementet y=a:b från fältet Q2. Om likheten är sann i fältet Q1, där, enligt sats 2.4, gäller likheten ab1=ba1 i ringen Z, eller, i kraft av (3), likhet, och sedan, enligt samma sats, likheten a:b=a1:b1 är sant i fältet Q2 . Det betyder att genom att matcha ett element från fältet Q1 med elementet y=a:b från fältet Q2, definierar vi en mappning, .
Vilket element som helst från fältet Q2 kan representeras som a:b, där, och därför, är bilden av ett element från fältet Q1. Därför är avbildningen f surjektiv.
Om, då i fältet Q1 och sedan. Således är mappningen f bijektiv och alla heltal förblir fixerade. Det återstår att bevisa giltigheten av jämlikheterna (1) och (2). Låt och, där a,b,c,d(Z, b(0, d(0). Sedan och, varifrån, i kraft av (3), f(x+y)=f(x)(f(y) På samma sätt och var.
Isomorfismen av tolkningarna (Q1;+, (; Z) och (Q2; (, (; Z)) är bevisad.

SVAR, INSTRUKTIONER, LÖSNINGAR.

1.1.1. Lösning. Låt villkoret för axiom 4 vara sant (en sådan egenskap hos naturliga tal som ((0) och. Låt. Då uppfyller M premissen för axiom 4, eftersom ((0)(0(M och. Därför, M=N, d.v.s. vilket naturligt tal som helst har egenskapen (. Omvänt, anta att för vilken egenskap som helst (från det faktum att ((0) och, det följer. Låt M vara en delmängd av N så att 0(M och. Vi kommer att visa att M =N. Låt egenskapen (, förutsatt. Då ((0), sedan, och. Alltså M=N.
1.1.2. Svar: Påståendena i de 1:a och 4:e axiomen av Peano är sanna. Påståendet om det andra axiomet är falskt.
1.1.3. Svar: påståendena 2,3,4 i Peanos axiom är sanna. Påståendet om det 1:a axiomet är falskt.
1.1.4. Påståendena 1, 2, 3 i Peanos axiom är sanna. Påståendet om det 4:e axiomet är falskt. Tips: bevisa att uppsättningen uppfyller premissen för axiom 4, formulerad i termer av operationen, men.
1.1.5. Tips: för att bevisa sanningen i påståendet i axiom 4, överväg en delmängd M av A som uppfyller villkoren: a) 1((M, b) , och en mängd. Bevisa det. Sedan M=A.
1.1.6. Påståendena i 1:a, 2:a, 3:e Peanos axiom är sanna. Påståendet om Peanos fjärde axiom är falskt.
1.6.1. a) Lösning: Bevisa först att om 01.00. Tillbaka. Låt mig
1.6.2. a) Lösning: Antag motsatsen. Beteckna med M mängden av alla tal som inte har egenskapen (. Genom antagande, M((. I kraft av sats 1 har M det minsta elementet n(0. Alla tal x
1.8.1. f) Använd e) och c): (a-c)+(c-b)=(a+c)-(c+b)=a-b, därför (a-b)-(c-b)=a-c.
h) Använd fastigheten.
l) Använd punkt b).
m) Använd punkt b) och punkt h).
1.8.2. c) Vi har därför . Så, .
d) Vi har. Därav, .
och).
1.8.3. a) Om (och (är olika lösningar till ekvationen ax2+bx=c, då a(2+b(=a(2+b(. Å andra sidan, om t.ex. (b) Låt (och () vara olika lösningar på ekvationen. Om ((. Emellertid, (2=a(+b>a(, alltså, (>a. Vi fick en motsägelse).
c) Låt (och (vara olika rötter av ekvationen och (>(. Sedan 2((-()=(a(2+b)-(a(2+b)=a((-()((( +( ) Alltså a((+()=2, men (+(>2, alltså a((+()>2, vilket är omöjligt.
1.8.4. a) x=3; b) x=y=2. Tips: eftersom och, vi har x=y; c) x=y(y+2), y - vilket naturligt tal som helst; d) x=y=2; e) x=2, y=1; f) Upp till permutationer x=1, y=2, z=3. Lösning: Låt till exempel x(y(z. Sedan xyz=x+y+z(3z, dvs. xy(3. Om xy=1, då x=y=1 och z=2+z, vilket är omöjligt Om xy=2 då x=1, y=2 I detta fall 2z=3+z dvs z=3 Om xy=3 då x=1 y=3 Då 3z= 4+z, dvs z=2, vilket motsäger antagandet y(z.
1.8.5. b) Om x=a, y=b är lösningen av ekvationen, så är ab+b=a, d.v.s. a>ab, vilket är omöjligt. d) Om x=a, y=b är lösningen av ekvationen, då b
1.8.6. a) x=ky, där k,y är godtyckliga naturliga tal och y(1. b) x är ett godtyckligt naturligt tal, y=1. c) x är ett godtyckligt naturligt tal, y=1. d) Det finns ingen lösning. e) xl=1; x2=2; x3=3. f) x>5.
1.8.7. a) Om a=b, då 2ab=a2+b2. Låt till exempel a

LITTERATUR

1. Redkov M.I. Numeriska system. /Metodologiska rekommendationer för studiet av kursen "Numeriska system". Del 1. - Omsk: OmGPI, 1984. - 46s.
2. Ershova T.I. Numeriska system. / Metodutveckling för praktiska övningar - Sverdlovsk: SGPI, 1981. - 68s.

I den axiomatiska konstruktionen av någon matematisk teori, vissa regler:

vissa begrepp i teorin är valda som de viktigaste och accepteras utan definition;

varje teoribegrepp, som inte finns med i listan över grundläggande, ges en definition;

axiom formuleras - meningar som accepteras i denna teori utan bevis; de avslöjar egenskaperna hos de grundläggande begreppen;

· varje mening i teorin som inte finns i listan över axiom måste bevisas; sådana påståenden kallas satser och bevisas utifrån axiom och termer.

I den axiomatiska konstruktionen av en teori härleds alla påståenden från axiomen som bevis.

Därför är systemet av axiom föremål för speciella krav:

Konsistens (ett system av axiom kallas konsekvent om det är omöjligt att logiskt härleda två ömsesidigt uteslutande meningar från det);

oberoende (ett system av axiom kallas oberoende om inget av detta systems axiom är en konsekvens av andra axiom).

En mängd med en relation given i den kallas en modell av ett givet axiomsystem om alla axiomen i detta system är uppfyllda i det.

Det finns många sätt att konstruera ett system av axiom för mängden naturliga tal. För grundbegreppet kan man ta till exempel summan av tal eller ordningsrelationen. I vilket fall som helst är det nödvändigt att specificera ett system av axiom som beskriver egenskaperna hos de grundläggande begreppen.

Låt oss ge ett system av axiom och anta grundkonceptet för additionsoperationen.

Ej-tom set N kallas mängden naturliga tal om operationen (a; b) → a + b, som kallas addition och har egenskaperna:

1. addition är kommutativ, d.v.s. a + b = b + a.

2. addition är associativ, d.v.s. (a + b) + c = a + (b + c).

4. i valfri uppsättning A, som är en delmängd av uppsättningen N, Var A det finns ett antal en sådan att alla Ha, är jämlika a+b, Var bN.

Axiom 1 - 4 är tillräckligt för att konstruera hela aritmetiken av naturliga tal. Men med en sådan konstruktion är det inte längre möjligt att förlita sig på egenskaperna hos finita mängder som inte återspeglas i dessa axiom.

Låt oss ta som grundbegreppet relationen "direkt följa..." definierad på en icke-tom uppsättning N. Då kommer den naturliga serien av tal att vara mängden N, där relationen "direkt följer" är definierad, och alla element i N kommer att kallas naturliga tal, och följande gäller: Peanos axiom:

AXIOM 1.

i mängdNdet finns ett element som inte omedelbart följer något element i denna uppsättning. Vi kommer att kalla det en enhet och beteckna det med symbolen 1.

AXIOM 2.

För varje element a avNdet finns ett enda element a omedelbart efter a.

AXIOM 3.

För varje element a avNdet finns högst ett element omedelbart följt av a.

AXOIM 4.

Vilken delmängd M av uppsättningen som helstNsammanfaller medN, om den har egenskaperna: 1) 1 ingår i M; 2) av det faktum att a ingår i M, följer att a också ingår i M.

Ett gäng N, för de element för vilka relationen "omedelbart följer ..." är etablerad, som uppfyller axiomen 1 - 4, kallas uppsättning naturliga tal , och dess beståndsdelar är naturliga tal.

Om som en uppsättning N välj någon specifik uppsättning på vilken en specifik relation "direkt följer ..." ges, som uppfyller axiomen 1 - 4, då får vi olika tolkningar (modeller) given axiomsystem.

Standardmodellen för systemet med Peanos axiom är en serie siffror som uppstod i processen för samhällets historiska utveckling: 1, 2, 3, 4, 5, ...

Varje räkningsbar uppsättning kan vara en modell av Peanos axiom.

Till exempel I, II, III, III, ...

oj oj oj oj oj...

ett två tre Fyra, …

Betrakta en sekvens av mängder där mängden (oo) är det initiala elementet, och varje efterföljande mängd erhålls från den föregående genom att tilldela ytterligare en cirkel (fig. 15).

Sedan När en uppsättning som består av uppsättningar av den beskrivna formen, och det är en modell av systemet av Peanos axiom.

Ja, i många N det finns ett element (oo) som inte omedelbart följer något element i den givna mängden, dvs. gäller axiom 1. För varje uppsättning A av uppsättningen i fråga finns en unik uppsättning som erhålls från A genom att lägga till en cirkel, dvs. Håller Axiom 2. För varje set A det finns högst en uppsättning från vilken uppsättningen bildas A genom att lägga till en cirkel, dvs. Axiom 3 gäller. Om MN och det är känt att uppsättningen A ingår i M, det följer att mängden där det finns en cirkel mer än i mängden A, ingår också i M, Den där M =N, vilket betyder att Axiom 4 är uppfyllt.

I definitionen av ett naturligt tal kan inget av axiomen utelämnas.

Låt oss fastställa vilken av uppsättningarna som visas i fig. 16 är en modell av Peanos axiom.

1 a b d a

G) Fig. 16

Lösning. Figur 16 a) visar en uppsättning i vilken axiom 2 och 3 är uppfyllda. För varje element finns det faktiskt ett unikt element som omedelbart följer det, och det finns ett unikt element som det följer. Men axiom 1 håller inte i denna mängd (axiom 4 är inte vettigt, eftersom det inte finns något element i mängden som inte omedelbart följer någon annan). Därför är denna uppsättning inte en modell av Peanos axiom.

Figur 16 b) visar uppsättningen där axiom 1, 3 och 4 är uppfyllda, men bakom elementet A två element följer omedelbart, och inte ett, som krävs i axiom 2. Därför är denna uppsättning inte en modell av Peanos axiom.

På fig. 16 c) visar en mängd där axiomen 1, 2, 4 är uppfyllda, men elementet Med omedelbart följer två element. Därför är denna uppsättning inte en modell av Peanos axiom.

På fig. 16 d) visar en mängd som uppfyller axiomen 2, 3, och om vi tar talet 5 som det initiala elementet, så kommer denna mängd att uppfylla axiomen 1 och 4. Det vill säga i denna mängd för varje element finns det en enda omedelbart efter det, och det finns ett enda element som det följer. Det finns också ett element som inte omedelbart följer något element i denna uppsättning, det här är 5 , de där. Axiom 1 gäller. På motsvarande sätt gäller även Axiom 4. Därför är denna uppsättning en modell av Peanos axiom.

Med hjälp av Peanos axiom kan vi bevisa ett antal påståenden, till exempel bevisar vi att för alla naturliga tal är olikheten x x.

Bevis. Beteckna med A uppsättning naturliga tal för vilka a a. siffra 1 tillhör A, eftersom det inte följer någon siffra från N, och följer därför inte av sig självt: 1 1. Låta aa, Sedan a a. Beteckna A genom b. I kraft av axiom 3, Ab, de där. bb Och bA.

Artiklar Förbiämne:

Vattumannen horoskop för mars d förhållande

Vad har mars 2017 i beredskap för Vattumannen? I mars kommer Vattumannens män att få det svårt på jobbet. Spänningar mellan kollegor och affärspartners kommer att försvåra arbetsdagen. Släktingar kommer att behöva din ekonomiska hjälp, och du

Plantera och ta hand om apelsin på det öppna fältet

Mock orange är en vacker och väldoftande växt som ger trädgården en unik charm under blomningen. Trädgårdsjasmin kan växa upp till 30 år utan att kräva komplex vård. Mock orange växer i naturen i Västeuropa, Nordamerika, Kaukasus och Fjärran Östern.

Maken har hiv, frun är frisk

God eftermiddag. Jag heter Timur. Jag har ett problem, eller snarare en rädsla för att erkänna och berätta sanningen för min fru. Jag är rädd att hon inte kommer att förlåta mig och lämnar mig. Ännu värre, jag har redan förstört hennes och min dotters öde. Jag smittade min fru med en infektion, jag trodde att den hade gått över, eftersom det inte fanns några yttre manifestationer

De viktigaste förändringarna i utvecklingen av fostret vid denna tidpunkt

Från den 21:a förlossningsveckan av graviditeten börjar den andra halvan av graviditeten sin nedräkning. Från slutet av denna vecka kommer fostret enligt officiell medicin att kunna överleva om det måste lämna den mysiga livmodern. Vid det här laget är alla barnets organ redan spho

Populär

2021-07-22 18:33:11	Hur man handskas med sen pess på tomater?
2021-07-22 18:33:11	Eucharis blommar inte - vad ska man göra?
2021-07-22 18:33:11	Sorter och typer av arabis (Rezuhi)
2021-07-22 18:33:11	Örtinfusion för växtnäring: hur man gör gödningsmedel
2021-07-13 03:48:46	Hur tre koppar kaffe om dagen förlänger våra liv Drick 3 koppar kaffe
2021-07-13 03:48:46	Amerika: kontinentens befolkning, dess ursprung och egenskaper Modersmål för större delen av befolkningen i södra
2021-07-02 05:12:35	Hur det nazistiska etablissemanget avslutade hennes liv: Den sista konspirationen
2021-07-02 05:12:35	Makarenko gav ett betydande bidrag till teorin om familjeutbildning
2021-07-02 05:12:35	Vad orsakar en åkarstrejk
2021-07-02 05:12:35	Vad orsakar en åkarstrejk

2021-06-21 01:24:13	De bästa länderna i Sydostasien för livet: min erfarenhet
2021-06-21 01:24:13	Turné i USA. Vägen till Alaska. Underhållande alaska
2021-06-21 01:24:13	Lösenordsdeltagande i Stockholm: hur går man inte sönder i en av de dyraste städerna?
2021-06-21 01:24:13	Belovezhskaya Pushcha i Vitryssland
2021-06-10 09:21:57	Allmän cirkulation av atmosfären
2021-06-10 09:21:57	Geografilektion Allmän atmosfärisk cirkulation
10.06.2021	Kort biografi om Prosper Merimee
10.06.2021	Näsa gurkor frågor för diskussion
10.06.2021	Hav och hav utanför Eurasiens kust - geografi, lektioner
31.05.2021	När solen går upp och går ner
31.05.2021	Varulvslott-serien. Stjärnan Elena. Varför det är bekvämt att läsa böcker online
31.05.2021	Hur man pratar med de döda