≡×මෙනු

• අභ්යන්තරය
• කවුළුව
• බිත්ති
• ව්යාපෘති
• ගොඩනැගිලි

දෙවියන් වහන්සේගේ සංවිධානය සමඟ ඒකාබද්ධ චලනයේ වේගය. වීඩියෝ පාඩම “සමගාමී චලිතය සඳහා සූත්‍රය ඒකාබද්ධ චලිතයේ වේගය සොයා ගන්නේ කෙසේද

අපගේ දෙවියන්ට ස්තුති කිරීමට අපට බොහෝ හේතු තිබේ.
සෑම වසරකම දෙවිගේ සංවිධානය ත්‍යාග රාශියක් සමඟ ක්‍රියාශීලීව සහ තීරණාත්මකව ඉදිරියට යන ආකාරය ඔබ දැක තිබේද!
ස්වර්ගීය අශ්ව රථය අනිවාර්යයෙන්ම ගමන් කරයි! වාර්ෂික රැස්වීමේදී මෙසේ කියන ලදී: “ඔබට යෙහෝවාගේ අශ්ව රථය සමඟ ඉදිරියට යා නොහැකි යැයි ඔබට හැඟේ නම්, හැරීමේදී ඔබ ඉවතට විසි නොවන පරිදි බකල් කරන්න!”:)
විචක්ෂණශීලී සේවකයා අඛණ්ඩ ප්‍රගතියක් සහතික කිරීම, දේශනා කිරීම සඳහා නව ප්‍රදේශ විවෘත කිරීම, ගෝලයන් සෑදීම සහ දෙවියන් වහන්සේගේ අරමුණු පිළිබඳ පූර්ණ අවබෝධයක් ලබා ගැනීම සිදු කරයි.

විශ්වාසවන්ත සේවකයා මනුෂ්‍ය ශක්තිය මත නොව, ශුද්ධාත්මයාණන්ගේ මඟ පෙන්වීම මත රඳා සිටින බැවින්, විශ්වාසවන්ත සේවකයා දෙවියන් වහන්සේගේ ආත්මය විසින් මෙහෙයවනු ලබන බව පැහැදිලිය!!!
සත්‍යයේ යම් පැතිකඩක් පැහැදිලි කිරීමට හෝ ආයතනික අනුපිළිවෙලෙහි වෙනස්කම් කිරීමට අවශ්‍ය බව පාලක මණ්ඩලය දකින විට, එය ප්‍රමාදයකින් තොරව ක්‍රියා කරන බව පැහැදිලිය.

යෙසායා 60:16 පවසන්නේ දෙවිගේ සෙනඟ අද දියුණු තාක්ෂණයක් වන ජාතීන්ගේ කිරි භුක්ති විඳින බවයි.

අද සංවිධානය අතේඅපගේ සහෝදරත්වය සමඟ අපව සම්බන්ධ කරන සහ එක්සත් කරන වෙබ් අඩවියක් සහ ඔබ දැනටමත් දන්නා වෙනත් නව නිෂ්පාදන.

මේ අසම්පූර්ණ මිනිසුන්ට සාතන් සහ ඔහුගේ දුෂ්ට දේවල ක්‍රමයට එරෙහිව ජයග්‍රහණයක් අත් කර ගත හැක්කේ දෙවි තම පුත්‍රයා සහ මෙසියානු රාජ්‍යය තුළින් ඔවුන්ව නඩත්තු කර ආශීර්වාද කරන නිසා පමණයි.

මුරටැඹ සහ පිබිදෙව් සඟරාවේ දෙසැම්බර් සහ ජනවාරි කලාපවල 2014, 2015 සහ 2016 සංස්කරණ සසඳන්න.

සංසරණයෙහි පෙර නොවූ විරූ වැඩිවීමක් සහ ! ලෝකයේ වෙනත් කිසිදු සංවිධානයකට මෙය නොමැත. සියලු වර්ගවල මිනිසුන්ට දේශනා කරන වෙනත් සංවිධානය කුමක්ද? තවද එය සියලු ජාතීන්ට සාක්ෂියක් සඳහා පරීක්ෂා කරනු ලැබේ යන අනාවැකිය ඉටු කරයිද?

පහත දැක්වෙන්නේ 1962 සිටය.
මුරටැඹ සඟරාව නිල් පාටින් සහ පිබිදෙව් සඟරාව රතු පාටින්.

2015 ජනවාරි සිට මුරටැඹ සංසරණය මිලියන 58,987,000 දක්වා වර්ධනය වී ඇති අතර දැනටමත් භාෂා 254කට පරිවර්තනය කර ඇත. මෙම සඟරාවේ පළමු පිටුවේ, දේවසේවයේදී ඉදිරිපත් කිරීම සඳහා සැලැස්මක් ද විය

ඇදහිය නොහැකි! ඔවුන් පවසන්නේ ආශ්චර්යයන් සිදු නොවන බවයි! මෙම සංසරණය සැබෑ ආශ්චර්යයකි!
අපේ ප්‍රකාශන කොතරම් සාර්ථකද!

පසුගිය වසරේ (2014) අගෝස්තු මාසයේ සිට අපගේ වෙබ් අඩවියේ ශ්‍රේණිගත කිරීම ස්ථාන 552 කින් ඉහළ ගොස් ඇති අතර එමඟින් සියයට 30 කින් වැඩි දියුණු වී ඇත.

මෙය වාණිජ නොවන අඩවි සඳහා නිරපේක්ෂ වාර්තාවකි.තව ටිකකින් අපිට ඉහළම 1000ට ඇතුල් වෙන්න පුළුවන්!!!

සමහර අවස්ථාවලදී, සමහර අය යෙහෝවාගේ සාක්ෂිකරුවන්ට චෝදනා කරන්නේ ඔවුන් පුණ්‍ය කටයුතුවල නිරත නොවන බවත්, නමුත් ඔවුන්ගේ ප්‍රධාන අවධානය යොමු කරන්නේ දේශනා කිරීමේ කාර්යයට බවයි.
ඔවුන් මෙය කරන්නේ ඇයි?
ගිලෙන නැවක් ගැන සිතන්න. වෙනත් දේ අතර, මිනිසුන් කණ්ඩායම් තුනක් ඇත.
මුල් අය උත්සාහ කරන්නේ මගීන්ට කන්න දෙන්න.
දෙවැන්න උණුසුම් ලොම් කබා පිරිනමයි.
තවත් සමහරු බෝට්ටුවලට නැග නැවෙන් බැසීමට උදව් කරති.
හැමෝම හොඳින් කරන බව පෙනේ. නමුත් මෙම තත්වය තුළ අර්ථවත් වන්නේ කුමන ආකාරයේ යහපතක්ද? පිළිතුර පැහැදිලිය! ඔබ යමෙකුට කන්න දීලා ඇදුම් දුන්නත් ඔහු මිය ගියොත් එයින් ඇති ප්‍රයෝජනය කුමක්ද? මුලින්ම ඔබ ගිලෙන නැවෙන් මාරු කර යා යුතුය ආරක්ෂිත ස්ථානය, පසුව පෝෂණය සහ උණුසුම්.
යෙහෝවඃවහන්සේගේ සාක්ෂිකරුවෝ කරන්නේ එකම දෙයකි - ඔවුන් තේරුමක් ඇති මිනිසුන්ට යහපත කරයි.

මෙය අවධානය යොමු කරන අතරතුර ද්රව්යමය ලෝකයඅධ්‍යාත්මික කුසගින්නෙන් අපතේ යමින් පවතී, අධ්‍යාත්මික ආහාර සඳහා රුචියක් වර්ධනය කරමු.
භෞතිකවාදයේ උගුලට අපි නොවැටෙමු!

දේශනා කිරීමේ කාර්යය පුළුල් කිරීම සඳහා අප යාච්ඤා කරන විට, යෙහෝවාගේ ඇස් හමුවේ “මෙය යහපත්ය, පිළිගත යුතුය” මන්ද, එවැනි යාච්ඤාවන් “සියලු ආකාර මිනිසුන් ගැළවීම” ඔහුගේ ආශාවට එකඟ වන බැවිනි.—1තිති 2:1, 3, 4,6

පාවුල් තුන් වතාවක්ම පෙන්වා දුන්නේ අප සැලකිලිමත් විය යුත්තේ කාටද සහ කෙසේද?
1Ti 2:1 "සියලු වර්ගවල මිනිසුන් සඳහා" යාච්ඤා කළ යුතුය.
1මැ 2:4 “සියලු ආකාරයේ මිනිසුන්... සත්‍යය පිළිබඳ නිවැරදි දැනුමකට පැමිණීම” අවශ්‍ය වේ.
1මැ 2:6 ක්‍රිස්තුස් “සියල්ලන් සඳහා ප්‍රමාණවත් මිදීමේ මිලයක් ලෙස තමාව දුන්නේය”
සෑම කෙනෙකුම ගැන ගැඹුරින් සැලකිල්ල දැක්වීමට සහ අපගේ දේශනා කිරීම සමඟ සියලු වර්ගවල මිනිසුන් වෙත ළඟා වීමට අපට උපකාරවත් වන්නේ කුමක්ද?
මෙය සිදු කිරීම සඳහා, ඔබට යෙහෝවා සතු එක් ඉතා වැදගත් ගුණාංගයක් අවශ්‍ය වේ - අපක්ෂපාතීත්වය! (ක්‍රියා 10:34)

ඇත්ත වශයෙන්ම, යෙහෝවා “පුද්ගලයන්ට ගරු නොකරන” (ආකල්ප) සහ “කාටවත් පක්ෂග්‍රාහීව නොපෙන්වයි” (ක්‍රියා)
යේසුස් සියලු වර්ගවල මිනිසුන්ට දේශනා කළා. මතක තබාගන්න, ඔහුගේ උදාහරණවලදී යේසුස් මිනිසුන් ගැන කතා කළා විවිධ සම්භවයක් ඇතිසහ සමාජ තත්ත්වය: බීජ වපුරන ගොවියා ගැන, ගෘහණිය පාන් හදනවා ගැන, කුඹුරේ වැඩ කරන මිනිසා ගැන, මුතු විකුණන සාර්ථක වෙළෙන්දා ගැන, දැල් එලන වෙහෙස මහන්සි වී වැඩ කරන ධීවරයන් ගැන (මතෙව් 13:31-33, 44-48)
සත්‍යය: යෙහෝවා සහ යේසුස් “සියලු ආකාරයේ මිනිසුන් ගැලවීම” හා සදාකාලික ආශීර්වාද ලබාගැනීමට ආශා කරයි. ඔවුන් සමහර මිනිසුන් අනෙක් අයට වඩා ඉහළින් තබන්නේ නැත.
අපට පාඩම: යෙහෝවාව සහ යේසුස්ව අනුකරණය කිරීමට නම්, අපි ඔවුන්ගේ ජාතිය හෝ ජීවන තත්වයන් නොසලකා සෑම ආකාරයකම මිනිසුන්ට දේශනා කළ යුතුයි.

කතා කරන අය වෙනුවෙන් දෙවිගේ සංවිධානය දැනටමත් බොහෝ දේ කර තිබෙනවා විදේශීය භාෂාව, සංක්‍රමණිකයන්, සිසුන්, සරණාගතයින්, වැඩිහිටි නිවාසවල ජීවත් වන අය, දොරටු සහිත ප්‍රජාවන්, ව්‍යවසායකයින්, සිරකරුවන්, බිහිරි, අන්ධ, ක්‍රිස්තියානි නොවන ආගම් අදහන අය සහ වෙනත් අය.

]දැනට රුසියාවේ, සභා 578ක ශාඛාවක අධීක්ෂණය යටතේ, ඔවුන්ට පවරා ඇති නිවැරදි කිරීමේ ආයතනවල ශුභාරංචිය දේශනා කිරීමේ වගකීම පැවරී ඇත. මෙම ස්ථාන බොහොමයක සභා රැස්වීම්, කණ්ඩායම් සහ පෞද්ගලික බයිබල් පාඩම් පවත්වන ලදී. එවැනි ස්ථානවල දේශනා කිරීම “අලුත් පෞද්ගලිකත්වයක් පැළඳගෙන” සැබෑ දෙවි වන යෙහෝවාට සේවය කිරීමට බොහෝදෙනෙකුට උපකාර කරයි. ඔව්, දෙවිගේ නාමය විශුද්ධ කිරීම දිගටම කරගෙන යාම වැදගත්!

එමනිසා, දෙවිගේ සංවිධානය තුළ සිදු වන සෑම දෙයක්ම අපි අගය කරමු. විශ්වාසවන්ත දාසයා විසින් නිකුත් කරන ලද ප්‍රකාශන දක්ෂ ලෙස භාවිත කිරීමට ඉගෙනගනිමු, ඒවා සියලු වර්ගවල මිනිසුන්ගේ හදවතට ස්පර්ශ වන පරිදි නිර්මාණය කර ඇත. ඇත්ත වශයෙන්ම, අප අපටම උගන්වන ආකාරය තීරණය කරනු ලබන්නේ අප අන් අයට උගන්වන ආකාරයයි.

මේ ආකාරයෙන් අපි තවමත් ගෙන ඒමට අවශ්‍ය “සියලු ජාතීන්ගෙන් බලාපොරොත්තු වන වස්තු” ගැන ගැඹුරින් සැලකිලිමත් වන බව පෙන්වමු.

ඇත්ත වශයෙන්ම, පේතෘස් මෙන් අපිත් පාඩම ඉගෙන ගෙන ඇත:

"අපට යාමට තැනක් නැත" - ඇත්තේ එකම එක ස්ථානයකි, එහි අප යෙහෝවාගේ අශ්ව රථයට වඩා පසුගාමී නොවන අතර මැවුම්කරු වන යෙහෝවාගේ ආරක්ෂාව යටතේ සිටිනු ඇත (යොහන් 6:68).

පිටුව 1

5 වන ශ්රේණියේ සිට, සිසුන් බොහෝ විට මෙම ගැටළු වලට මුහුණ දෙයි. එසේම තුළ ප්රාථමික පාසලසිසුන්ට "සාමාන්‍ය වේගය" යන සංකල්පය ලබා දී ඇත. එහි ප්‍රතිඵලයක් වශයෙන්, ඔවුන් ප්‍රවේශයේ වේගය සහ ඉවත් කිරීමේ වේගය පිළිබඳ සම්පූර්ණයෙන් නිවැරදි අදහස් ගොඩනඟා නැත (මෙම පාරිභාෂිතය ප්‍රාථමික පාසලේ නොමැත). බොහෝ විට, ගැටලුවක් විසඳන විට, සිසුන් එකතුව සොයා ගනී. සංකල්ප හඳුන්වා දීමෙන් මෙම ගැටළු විසඳීම ආරම්භ කිරීම වඩාත් සුදුසුය: "ප්රවේශ වේගය", "ඉවත් කිරීමේ වේගය". පැහැදිලිකම සඳහා, ඔබට අත්වල චලනය භාවිතා කළ හැකිය, ශරීර එක් දිශාවකට සහ විවිධ දිශාවලට ගමන් කළ හැකි බව පැහැදිලි කරයි. අවස්ථා දෙකේදීම ප්‍රවේශ වීමේ වේගයක් සහ ඉවත් කිරීමේ වේගයක් තිබිය හැකිය, නමුත් තුළ විවිධ අවස්ථාඒවා වෙනස් ලෙස පිහිටා ඇත. මෙයින් පසු, සිසුන් පහත වගුව ලියන්න:

වගුව 1.

ප්රවේශයේ වේගය සහ ඉවත් කිරීමේ වේගය සොයා ගැනීම සඳහා ක්රම

	එක් දිශාවකට චලනය	විවිධ දිශාවලට චලනය
ඉවත් කිරීමේ වේගය
වසා දැමීමේ වේගය

ගැටලුව විශ්ලේෂණය කිරීමේදී, පහත සඳහන් ප්රශ්න ලබා දෙනු ලැබේ.

අත් චලනයන් භාවිතා කරමින්, ශරීර එකිනෙකට සාපේක්ෂව චලනය වන ආකාරය අපි සොයා ගනිමු (එකම දිශාවට, විවිධ ඒවා තුළ).

වේගය සොයා ගන්නේ කෙසේදැයි සොයා බලන්න (එකතු කිරීම, අඩු කිරීම මගින්)

එය කුමන වේගයක්ද යන්න අපි තීරණය කරමු (ප්රවේශය, දුර). අපි ගැටලුවට විසඳුම ලියන්නෙමු.

උදාහරණ අංක 1. A සහ B නගරවල සිට, කිලෝමීටර 600 ක දුරක්, භාණ්ඩ ට්රක් රථයක් සහ මගී මෝටර් රථ. මගී මෝටර් රථයක වේගය පැයට කිලෝමීටර 100 ක් වන අතර භාණ්ඩ ප්‍රවාහනය කරන මෝටර් රථයක වේගය පැයට කිලෝමීටර 50 කි. ඔවුන් පැය කීයකින් හමුවෙයිද?

මෝටර් රථ චලනය වන ආකාරය සිසුන් තම දෑතින් පෙන්වා පහත නිගමනවලට එළඹේ:

මෝටර් රථ විවිධ දිශාවලට ගමන් කරයි;

එකතු කිරීම මගින් වේගය සොයාගත හැකිය;

ඔවුන් එකිනෙකා දෙසට ගමන් කරන බැවින්, ප්රවේශ වීමේ වේගය මෙයයි.

100+50=150 (km/h) - ප්රවේශ වේගය.

600:150=4 (h) - රැස්වීම තෙක් චලනය වන කාලය.

පිළිතුර: පැය 4 කින්

උදාහරණ අංක 2. මිනිසෙක් සහ පිරිමි ළමයෙක් එකම වේලාවක රජයේ ගොවිපලෙන් වත්තට පිටත් වී එකම පාර දිගේ ගමන් කරයි. මිනිසාගේ වේගය පැයට කිලෝමීටර 5 ක් වන අතර පිරිමි ළමයාගේ වේගය පැයට කිලෝමීටර 3 කි. පැය 3 කට පසු ඔවුන් අතර දුර කොපමණ වේද?

අත් චලනයන් භාවිතා කරමින්, අපි සොයා ගන්නේ:

පිරිමි ළමයා සහ මිනිසා එකම දිශාවකට ගමන් කරයි;

වෙනස මගින් වේගය සොයාගත හැකිය;

මිනිසා වේගයෙන් ගමන් කරයි, එනම්, පිරිමි ළමයාගෙන් ඉවතට ගමන් කරයි (ඉවත් කිරීමේ වේගය).

අධ්‍යාපනය පිළිබඳ පුවත්:

නවීන අධ්‍යාපනික තාක්ෂණයන්හි මූලික ගුණාංග
අධ්යාපනික තාක්ෂණයේ ව්යුහය. මෙම අර්ථ දැක්වීම් වලින් එය තාක්ෂණය අනුගමනය කරයි උපරිම උපාධියඅධ්යාපන ක්රියාවලිය හා සම්බන්ධ - ගුරුවරයාගේ සහ ශිෂ්යයාගේ ක්රියාකාරකම්, එහි ව්යුහය, ක්රම, ක්රම සහ ආකෘති. එබැවින්, අධ්යාපනික තාක්ෂණයේ ව්යුහය ඇතුළත් වේ: a) සංකල්පීය රාමුවක්; බී) ...

"අධ්‍යාපනික තාක්ෂණය" යන සංකල්පය
වර්තමානයේ, අධ්‍යාපනික තාක්‍ෂණය පිළිබඳ සංකල්පය අධ්‍යාපනික ශබ්දකෝෂයට තදින් ඇතුළු වී ඇත. කෙසේ වෙතත්, එහි අවබෝධය සහ භාවිතයේ විශාල වෙනස්කම් තිබේ. · තාක්‍ෂණය යනු ඕනෑම ව්‍යාපාරයක, කුසලතාවයක, කලාවක භාවිතා වන ශිල්පීය ක්‍රම සමූහයකි ( ශබ්දකෝෂය) B. T. Likhachev එය ලබා දෙයි ...

ප්රාථමික පාසලේ කථන චිකිත්සක පන්ති
සංවිධානයේ මූලික ස්වරූපය කථන චිකිත්සක සැසිප්‍රාථමික පාසැලේදී මෙය තනි පුද්ගල සහ උප කණ්ඩායම් වැඩකි. නිවැරදි කිරීමේ සහ සංවර්ධන කටයුතුවල එවැනි සංවිධානයක් ඵලදායී වේ, මන්ද එක් එක් දරුවාගේ පෞද්ගලික පෞද්ගලික ලක්ෂණ කෙරෙහි අවධානය යොමු කෙරේ. වැඩ කරන ප්‍රධාන ක්ෂේත්‍ර: නිවැරදි කිරීම...

2. ශරීර වේගය දකුණු රේඛීය ඒකාකාර චලිතය.

වේගයශරීරයේ චලනයෙහි ප්රමාණාත්මක ලක්ෂණයකි.

සාමාන්ය වේගය- මෙය භෞතික ප්රමාණය, ලක්ෂ්‍යයේ චලන දෛශිකයේ අනුපාතයට මෙම චලනය සිදු වූ කාල සීමාව Δt ට සමාන වේ. සාමාන්ය වේග දෛශිකයේ දිශාව විස්ථාපන දෛශිකයේ දිශාව සමග සමපාත වේ. සාමාන්ය වේගය සූත්රය මගින් තීරණය වේ:

ක්ෂණික වේගය, එනම්, වේගය මේ මොහොතේකාලය යනු කාල පරතරය Δt අසීමිත ලෙස අඩු වන විට සාමාන්‍ය වේගය නැඹුරු වන සීමාවට සමාන භෞතික ප්‍රමාණයකි:

වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, නියමිත මොහොතක ක්ෂණික වේගය යනු මෙම චලනය සිදු වූ ඉතා කෙටි කාලයකට ඉතා කුඩා චලනයක අනුපාතයයි.

ක්ෂණික ප්රවේග දෛශිකය ශරීරයේ ගමන් පථයට ස්පර්ශක ලෙස යොමු කෙරේ (රූපය 1.6).

සහල්. 1.6 ක්ෂණික ප්‍රවේග දෛශිකය.

SI පද්ධතිය තුළ වේගය තත්පරයට මීටර වලින් මනිනු ලැබේ, එනම් වේග ඒකකය ලෙස සැලකෙන්නේ ශරීරයක් තත්පරයක් තුළ මීටරයක දුරක් ගමන් කරන එවැනි ඒකාකාර සෘජුකෝණාස්‍ර චලිතයක වේගයයි. වේග ඒකකය මගින් දැක්වේ මෙනෙවිය. වේගය බොහෝ විට වෙනත් ඒකක වලින් මනිනු ලැබේ. උදාහරණයක් ලෙස, මෝටර් රථයක වේගය මනින විට, දුම්රිය, ආදිය. සාමාන්යයෙන් භාවිතා කරන ඒකකය පැයට කි.මී.

1 km/h = 1000 m / 3600 s = 1 m / 3.6 s

1 m/s = 3600 km / 1000 h = 3.6 km/h

වේගයන් එකතු කිරීම (සමහරවිට එම ප්‍රශ්නයම අනිවාර්යයෙන්ම 5 හි නොවිය හැක).

විවිධ සමුද්දේශ පද්ධතිවල ශරීර චලනයේ ප්‍රවේග සම්භාව්‍ය මගින් සම්බන්ධ වේ වේගය එකතු කිරීමේ නීතිය.

ශරීර වේගය සාපේක්ෂ ස්ථාවර සමුද්දේශ රාමුවශරීරයේ ප්‍රවේග එකතුවට සමාන වේ චලනය වන යොමු පද්ධතියසහ ස්ථාවර එකට සාපේක්ෂව වඩාත්ම ජංගම යොමු පද්ධතිය.

උදාහරණයක් ලෙස, මගී දුම්රියක් පැයට කිලෝමීටර 60 ක වේගයෙන් දුම්රිය මාර්ගය ඔස්සේ ගමන් කරයි. මේ දුම්රියේ මැදිරිය දිගේ මිනිසෙක් ඇවිදිමින් සිටී 5 km/h ක වේගයෙන්. අපි දුම්රිය නිශ්චල ලෙස සලකා එය විමර්ශන පද්ධතියක් ලෙස ගතහොත්, විමර්ශන පද්ධතියට සාපේක්ෂව පුද්ගලයෙකුගේ වේගය (එනම්, සාපේක්ෂව දුම්රිය), දුම්රියේ සහ පුද්ගලයාගේ වේගය එකතු කිරීමට සමාන වනු ඇත, එනම්

පුද්ගලයා දුම්රිය ගමන් කරන දිශාවටම ගමන් කරන්නේ නම් 60 + 5 = 65

60 - 5 = 55 පුද්ගලයෙකු සහ දුම්රියක් විවිධ දිශාවලට ගමන් කරයි නම්

කෙසේ වෙතත්, මෙය සත්‍ය වන්නේ පුද්ගලයා සහ දුම්රිය එකම මාර්ගයේ ගමන් කරන්නේ නම් පමණි. පුද්ගලයෙකු කෝණයකින් ගමන් කරන්නේ නම්, ඔහුට මෙම කෝණය සැලකිල්ලට ගත යුතුය, වේගය බව මතක තබා ගන්න දෛශික ප්රමාණය.

උදාහරණය + විස්ථාපන එකතු කිරීමේ නීතිය රතු පැහැයෙන් උද්දීපනය කර ඇත (මෙය ඉගැන්වීමට අවශ්‍ය නොවන බව මම සිතමි, නමුත් සාමාන්‍ය සංවර්ධනය සඳහා ඔබට එය කියවිය හැකිය)

දැන් අපි ඉහත විස්තර කර ඇති උදාහරණය වඩාත් විස්තරාත්මකව බලමු - විස්තර සහ පින්තූර සමඟ.

ඉතින්, අපගේ නඩුවේදී, දුම්රිය වේ ස්ථාවර සමුද්දේශ රාමුව. මෙම මාර්ගයේ ගමන් කරන දුම්රිය වේ චලනය වන සමුද්දේශ රාමුව. පුද්ගලයා ගමන් කරන මැදිරිය දුම්රියේ කොටසකි.

කරත්තයට සාපේක්ෂව පුද්ගලයෙකුගේ වේගය (චලනය වන සමුද්දේශ රාමුවට සාපේක්ෂව) 5 km/h වේ. එය H අකුරින් දක්වමු.

ස්ථාවර සමුද්දේශ රාමුවකට සාපේක්ෂව (එනම් දුම්රිය මාර්ගයට සාපේක්ෂව) දුම්රියේ වේගය (සහ එම නිසා මැදිරිය) පැයට කිලෝමීටර 60 කි. අපි එය B අකුරෙන් දක්වමු. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, දුම්රියේ වේගය යනු ස්ථාවර සමුද්දේශ රාමුවට සාපේක්ෂව චලනය වන සමුද්දේශ රාමුවේ වේගයයි.

දුම්රිය මාර්ගයට සාපේක්ෂව පුද්ගලයෙකුගේ වේගය (ස්ථාවර සමුද්දේශ රාමුවකට සාපේක්ෂව) තවමත් අප නොදන්නා කරුණකි. අපි එය අකුරින් දක්වමු.

අපි XOY ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය ස්ථාවර විමර්ශන පද්ධතිය සමඟ සම්බන්ධ කරමු (රූපය 1.7), සහ X P O P Y P සම්බන්ධීකරණ පද්ධතිය චලනය වන සමුද්දේශ පද්ධතියට සාපේක්ෂව, එනම් සාපේක්ෂ පුද්ගලයෙකුගේ වේගය සොයා ගැනීමට දැන් උත්සාහ කරමු දුම්රිය මාර්ගයට.

කෙටි කාලයක් තුළ පහත සිදුවීම් සිදු වේ:

එවිට, මෙම කාල පරිච්ඡේදය තුළ, දුම්රිය මාර්ගයට සාපේක්ෂව පුද්ගලයෙකුගේ චලනය වන්නේ:

මෙය විස්ථාපන එකතු කිරීමේ නීතිය. අපගේ උදාහරණයේ දී, දුම්රියට සාපේක්ෂව පුද්ගලයෙකුගේ චලනය දුම්රියට සාපේක්ෂව මැදිරියට සහ මැදිරියට සාපේක්ෂව පුද්ගලයාගේ චලනයන්හි එකතුවට සමාන වේ.

සහල්. 1.7 විස්ථාපන එකතු කිරීමේ නීතිය.

විස්ථාපන එකතු කිරීමේ නීතිය පහත පරිදි ලිවිය හැකිය:

= Δ H Δt + Δ B Δt

දුම්රිය මාර්ගයට සාපේක්ෂව පුද්ගලයෙකුගේ වේගය:

කරත්තයට සාපේක්ෂව පුද්ගලයෙකුගේ වේගය:

Δ H = H / Δt

දුම්රියට සාපේක්ෂව මෝටර් රථයේ වේගය:

එබැවින්, දුම්රිය මාර්ගයට සාපේක්ෂව පුද්ගලයෙකුගේ වේගය සමාන වනු ඇත:

මේක තමයි නීතියවේගය එකතු කිරීම:

ඒකාකාර චලනය– මෙය නියත වේගයකින් චලනය වේ, එනම් වේගය වෙනස් නොවන විට (v = const) සහ ත්වරණය හෝ අඩුවීම සිදු නොවන විට (a = 0).

සෘජු රේඛා චලනය- මෙය සරල රේඛාවක චලනයකි, එනම් සෘජුකෝණාස්රාකාර චලනයේ ගමන් පථය සරල රේඛාවකි.

ඒකාකාර රේඛීය චලනය- මෙය ශරීරයක් ඕනෑම සමාන කාල පරාසයක සමාන චලනයන් සිදු කරන චලනයකි. උදාහරණයක් ලෙස, අපි නිශ්චිත කාල පරතරයක් තත්පර එකකට බෙදුවහොත්, ඒකාකාර චලිතයකින් ශරීරය මෙම එක් එක් කාල පරතරයන් සඳහා එකම දුරක් ගමන් කරයි.

ඒකාකාර සෘජුකෝණාස්‍ර චලිතයේ වේගය කාලය මත රඳා නොපවතින අතර ගමන් පථයේ එක් එක් ලක්ෂ්‍යයේ දී ශරීරයේ චලනය වන ආකාරයටම යොමු කෙරේ. එනම්, විස්ථාපන දෛශිකය ප්‍රවේග දෛශිකය සමඟ දිශාවට සමපාත වේ. මෙම අවස්ථාවේදී, ඕනෑම කාල පරිච්ඡේදයක් සඳහා සාමාන්ය වේගය ක්ෂණික වේගයට සමාන වේ:

ඒකාකාර රේඛීය චලිතයේ වේගයභෞතික දෛශික ප්‍රමාණය ඕනෑම කාල පරිච්ඡේදයක් තුළ ශරීරයේ චලනයේ අනුපාතයට මෙම පරතරයේ අගයට සමාන වේ t:

මේ අනුව, ඒකාකාර සෘජුකෝණාස්‍ර චලිතයේ වේගය පෙන්නුම් කරන්නේ ද්‍රව්‍ය ලක්ෂ්‍යයක් ඒකක කාලයකට කොපමණ චලනයක් සිදු කරයිද යන්නයි.

ගමන් කරනවාඒකාකාර රේඛීය චලිතය සූත්‍රය මගින් තීරණය වේ:

දුර ගමන් කළාරේඛීය චලිතයේදී විස්ථාපන මොඩියුලයට සමාන වේ. OX අක්ෂයේ ධනාත්මක දිශාව චලනය වන දිශාව සමග සමපාත වේ නම්, OX අක්ෂය වෙත ප්රවේගය ප්රක්ෂේපණය ප්රවේගයේ විශාලත්වයට සමාන වන අතර එය ධනාත්මක වේ:

v x = v, එනම් v > 0

OX අක්ෂය මත විස්ථාපනයේ ප්රක්ෂේපණය සමාන වේ:

s = vt = x – x 0

x 0 යනු ශරීරයේ ආරම්භක ඛණ්ඩාංකය වන අතර, x යනු ශරීරයේ අවසාන ඛණ්ඩාංකය වේ (හෝ ඕනෑම අවස්ථාවක ශරීරයේ ඛණ්ඩාංකය)

චලනය සමීකරණය, එනම්, ශරීරයේ යැපීම කාලය x = x(t) මත සම්බන්ධීකරණය කරයි, ස්වරූපය ගනී:

OX අක්ෂයේ ධනාත්මක දිශාව ශරීරයේ චලනයේ දිශාවට ප්‍රතිවිරුද්ධ නම්, ශරීරයේ ප්‍රවේගය OX අක්ෂය වෙත ප්‍රක්ෂේපණය කිරීම ඍණ වේ, වේගය ශුන්‍යයට වඩා අඩුය (v< 0), и тогда уравнение движения принимает вид.

§ 1 සමගාමී චලිතය සඳහා සූත්‍රය

සමගාමී චලිතය සම්බන්ධ ගැටළු විසඳීමේදී අපට සමගාමී චලිතය සඳහා සූත්‍ර හමු වේ. විශේෂිත චලන ගැටළුවක් විසඳීමේ හැකියාව සාධක කිහිපයක් මත රඳා පවතී. පළමුවෙන්ම, ගැටළු වල ප්රධාන වර්ග අතර වෙනස හඳුනා ගැනීම අවශ්ය වේ.

එකවර චලනය සඳහා වන ගැටළු සාම්ප්‍රදායිකව වර්ග 4 කට බෙදා ඇත: ඉදිරියට එන චලනය සඳහා කාර්යයන්, ප්‍රතිවිරුද්ධ දිශාවලට චලනය සඳහා කාර්යයන්, ලුහුබැඳීමේදී චලනය සඳහා කාර්යයන් සහ ප්‍රමාදයකින් චලනය සඳහා කාර්යයන්.

මෙම කාර්යයන් වර්ගවල ප්රධාන සංරචක වන්නේ:

ගමන් කළ දුර - S, වේගය - ʋ, කාලය - t.

ඔවුන් අතර සම්බන්ධතාවය සූත්ර මගින් ප්රකාශිත වේ:

S = ʋ · t, ʋ = S: t, t = S: ʋ.

ඉහත සඳහන් කළ ප්‍රධාන සංරචක වලට අමතරව, චලන ගැටළු විසඳීමේදී, අපට එවැනි සංරචක හමුවිය හැකිය: පළමු වස්තුවේ වේගය - ʋ1, දෙවන වස්තුවේ වේගය - ʋ2, ප්‍රවේශයේ වේගය - ʋsl., වේගය ඉවත් කිරීම - ʋud., රැස්වීමේ වේලාව - tvstr., ආරම්භක දුර - S0, ආදිය.

§ 2 ඉදිරි ගමනාගමනය සම්බන්ධ ගැටළු

මෙම වර්ගයේ ගැටළු විසඳීමේදී, පහත සඳහන් සංරචක භාවිතා කරනු ලැබේ: පළමු වස්තුවේ වේගය - ʋ1; දෙවන වස්තුවේ වේගය ʋ2; ප්රවේශ වේගය - ʋsbl.; රැස්වීම තෙක් කාලය - ටෙම්; පළමු වස්තුව මගින් ගමන් කළ මාර්ගය (දුර) - S1; දෙවන වස්තුව මගින් ගමන් කරන මාර්ගය (දුර) - S2; වස්තු දෙකම ගමන් කරන සම්පූර්ණ මාර්ගය එස්.

ඉදිරියට එන ගමනාගමන ගැටළු වල සංරචක අතර සම්බන්ධතාවය පහත සූත්‍ර මගින් ප්‍රකාශ වේ:

1. වස්තූන් අතර ආරම්භක දුර පහත සූත්‍ර භාවිතයෙන් ගණනය කළ හැක: S = ʋsbl. · බිල්ට්-ඉන් හෝ S = S1 + S2;

2. ප්‍රවේශයේ වේගය සූත්‍ර අනුව සොයා ගැනේ: ʋsbl. = S: tbuilt හෝ ʋbl. = ʋ1 + ʋ2;

3. රැස්වීම් කාලය පහත පරිදි ගණනය කෙරේ:

නැව් දෙකක් එකිනෙකා දෙසට ගමන් කරයි. නැව්වල වේගය පැයට කිලෝමීටර 35 ක් සහ පැයට කිලෝමීටර 28 කි. ඔවුන් අතර දුර කිලෝමීටර 315 ක් නම් ඔවුන් හමුවන්නේ කුමන වේලාවකට පසුවද?

ʋ1 = 35 km/h, ʋ2 = 28 km/h, S = 315 km, tint. = ? h.

රැස්වීම් වේලාව සොයා ගැනීමට, ඔබ ටින් සිට, ප්රවේශයේ ආරම්භක දුර සහ වේගය දැන සිටිය යුතුය. = S: ʋsbl. ගැටලුවේ කොන්දේසි වලින් දුර ප්රමාණය දන්නා බැවින්, අපි ප්රවේශ වීමේ වේගය සොයා ගනිමු. ʋbl. = ʋ1 + ʋ2 = 35 + 28 = 63 km/h. දැන් අපට අවශ්‍ය රැස්වීම් වේලාව සොයාගත හැකිය. බිල්ට්-ඉන් = S: ʋsbl = 315: 63 = පැය 5 කින් නැව් පැය 5 කින් හමු වන බව අපට ලැබුණි.

§ 3 චලනය පසුපස හඹා යාම සඳහා කාර්යයන්

මෙම වර්ගයේ ගැටළු විසඳීමේදී, පහත සඳහන් සංරචක භාවිතා කරනු ලැබේ: පළමු වස්තුවේ වේගය - ʋ1; දෙවන වස්තුවේ වේගය ʋ2; ප්රවේශ වේගය - ʋsbl.; රැස්වීම තෙක් කාලය - ටෙම්; පළමු වස්තුව මගින් ගමන් කළ මාර්ගය (දුර) - S1; දෙවන වස්තුව මගින් ගමන් කරන මාර්ගය (දුර) - S2; වස්තූන් අතර ආරම්භක දුර S වේ.

මෙම වර්ගයේ කාර්යයන් සඳහා රූප සටහන මේ ආකාරයෙන් පෙනේ:

ලුහුබැඳීමේ චලන කාර්යයන්හි සංරචක අතර සම්බන්ධතාවය පහත සූත්‍ර මගින් ප්‍රකාශ වේ:

1. වස්තූන් අතර ආරම්භක දුර පහත සූත්‍ර භාවිතයෙන් ගණනය කළ හැක:

S = ʋbl. · tbuilt-in හෝ S = S1 - S2;

2. ප්‍රවේශයේ වේගය සූත්‍ර අනුව සොයා ගැනේ: ʋsbl. = S: tbuilt හෝ ʋbl. = ʋ1 - ʋ2;

3.රැස්වීම් කාලය පහත පරිදි ගණනය කෙරේ:

බිල්ට්-ඉන් = S: ʋbl., tbl. = S1: ʋ1 හෝ tbuilt-in = S2: ʋ2.

පහත ගැටලුව උදාහරණයක් ලෙස භාවිතා කරමින් මෙම සූත්‍ර යෙදීම සලකා බලමු.

කොටියා මුවා ලුහුබැඳ ගොස් මිනිත්තු 7 කට පසු ඌව අල්ලා ගත්තේය. කොටියාගේ වේගය 700 m/min සහ මුවන්ගේ වේගය 620 m/min නම් ඔවුන් අතර ආරම්භක දුර කොපමණද?

ʋ1 = 700 m/min, ʋ2 = 620 m/min, S = ? m, බිල්ට්-ඉන් = 7 විනාඩි.

කොටියා සහ මුවන් අතර ආරම්භක දුර සොයා ගැනීම සඳහා, S =tin බැවින්, හමුවීමේ වේලාව සහ ප්රවේශ වීමේ වේගය දැන ගැනීම අවශ්ය වේ. · ʋsbl. රැස්වීමේ වේලාව ගැටලුවේ කොන්දේසි වලින් දන්නා බැවින්, අපි ප්රවේශ වීමේ වේගය සොයා ගනිමු. ʋbl. = ʋ1 - ʋ2 = 700 - 620 = 80 m/min. දැන් අපට අවශ්‍ය ආරම්භක දුර සොයා ගත හැක. S = බිල්ට්-ඉන් · ʋsbl = 7 · 80 = 560 m ටයිගර් සහ මුවා අතර මුල් දුර මීටර් 560 ක් බව සොයා ගන්නා ලදී.

§ 4 ප්රතිවිරුද්ධ දිශාවන්හි චලනය සම්බන්ධ ගැටළු

මෙම වර්ගයේ ගැටළු විසඳීමේදී, පහත සඳහන් සංරචක භාවිතා කරනු ලැබේ: පළමු වස්තුවේ වේගය - ʋ1; දෙවන වස්තුවේ වේගය ʋ2; ඉවත් කිරීමේ වේගය - ʋstr.; ගමන් කාලය - t.; පළමු වස්තුව මගින් ගමන් කළ මාර්ගය (දුර) - S1; දෙවන වස්තුව මගින් ගමන් කරන මාර්ගය (දුර) - S2; වස්තූන් අතර ආරම්භක දුර S0 වේ; නිශ්චිත කාලයකට පසු වස්තූන් අතර ඇති දුර - එස්.

මෙම වර්ගයේ කාර්යයන් සඳහා රූප සටහන මේ ආකාරයෙන් පෙනේ:

ප්රතිවිරුද්ධ දිශාවට චලනය සඳහා කාර්යයන් සංරචක අතර සම්බන්ධතාවය පහත සූත්ර මගින් ප්රකාශිත වේ:

1. වස්තූන් අතර අවසාන දුර පහත සූත්‍ර භාවිතයෙන් ගණනය කළ හැක:

S = S0 + ʋud · tor S = S1 + S2 + S0; සහ ආරම්භක දුර - සූත්රය අනුව: S0 = S - ʋsp. ටී.

2. ඉවත් කිරීමේ අනුපාතය සූත්‍ර භාවිතයෙන් සොයා ගනී:

ʋud. = (S1 + S2) : t orʋud. = ʋ1 + ʋ2;

3. ගමන් කාලය පහත පරිදි ගණනය කෙරේ:

t = (S1 + S2) : ʋud., t = S1: ʋ1or t = S2: ʋ2.

පහත ගැටලුව උදාහරණයක් ලෙස භාවිතා කරමින් මෙම සූත්‍ර යෙදීම සලකා බලමු.

වාහන දෙකක් එකවර වාහන නැවැත්වීමේ ස්ථානයෙන් ප්‍රතිවිරුද්ධ දිශාවට පිටත් විය. එකක වේගය පැයට කිලෝමීටර 70 ක් වන අතර අනෙක පැයට කිලෝමීටර 50 කි. රථගාල් අතර දුර කිලෝමීටර 45 ක් නම් පැය 4 කට පසු ඔවුන් අතර ඇති දුර කොපමණ වේද?

ʋ1 = 70 km/h, ʋ2 = 50 km/h, S0 = 45 km, S = ? km, t = පැය 4.

ගමන අවසානයේ මෝටර් රථ අතර දුර සොයා ගැනීමට, ඔබ S = ʋstr නිසා ගමන් කාලය, ආරම්භක දුර සහ ඉවත් කිරීමේ වේගය දැන සිටිය යුතුය. · t+ S0 ගැටලුවේ කොන්දේසි වලින් කාලය සහ ආරම්භක දුර දන්නා බැවින්, අපි ඉවත් කිරීමේ වේගය සොයා ගනිමු. ʋud. = ʋ1 + ʋ2 = 70 + 50 = 120 km/h. දැන් අපට අවශ්‍ය දුර සොයා ගත හැක. S = ʋud. · t+ S0 = 120 · 4 + 45 = 525 km. පැය 4 කට පසු මෝටර් රථ අතර කිලෝමීටර 525 ක දුරක් ඇති බව අපට පෙනී ගියේය

§ 5 ප්‍රමාදයක් සමඟ චලනය සම්බන්ධ ගැටළු

මෙම වර්ගයේ ගැටළු විසඳීමේදී, පහත සඳහන් සංරචක භාවිතා කරනු ලැබේ: පළමු වස්තුවේ වේගය - ʋ1; දෙවන වස්තුවේ වේගය ʋ2; ඉවත් කිරීමේ වේගය - ʋstr.; ගමන් කාලය - t.; වස්තූන් අතර ආරම්භක දුර S0 වේ; නිශ්චිත කාලයකට පසු වස්තූන් අතර ඇති දුර - එස්.

මෙම වර්ගයේ කාර්යයන් සඳහා රූප සටහන මේ ආකාරයෙන් පෙනේ:

ප්‍රමාදයක් සහිත චලන කාර්යයන්හි සංරචක අතර සම්බන්ධතාවය පහත සූත්‍ර මගින් ප්‍රකාශ වේ:

1. වස්තූන් අතර ආරම්භක දුර පහත සූත්‍රය භාවිතයෙන් ගණනය කළ හැක: S0 = S - ʋstr; සහ නිශ්චිත කාලයකට පසු වස්තූන් අතර ඇති දුර සූත්‍රයට අනුව වේ: S = S0 + ʋsp. ටී;

2. ඉවත් කිරීමේ අනුපාතය සූත්‍ර භාවිතයෙන් සොයා ගැනේ: ʋstr.= (S - S0) : t හෝ ʋsp. = ʋ1 - ʋ2;

3. කාලය පහත පරිදි ගණනය කෙරේ: t = (S - S0) : ʋශක්තිය.

උදාහරණයක් ලෙස පහත ගැටලුව භාවිතා කරමින් මෙම සූත්‍ර යෙදීම සලකා බලමු:

කාර් දෙකක් එකම දිශාවට නගර දෙකක් පිටත් විය. පළමු වේගය පැයට කිලෝමීටර 80 ක් වන අතර දෙවන වේගය පැයට කිලෝමීටර 60 කි. නගර අතර දුර කිලෝමීටර් 560 ක් නම් මෝටර් රථ අතර කිලෝමීටර 700 ක් පැය කීයක් තුළ තිබේද?

ʋ1 = 80 km/h, ʋ2 = 60 km/h, S = 700 km, S0 = 560 km, t = ? h.

කාලය සොයා ගැනීමට, ඔබ t = (S - S0) : ʋstr නිසා, වස්තූන් අතර ආරම්භක දුර, මාර්ගයේ අවසානයේ ඇති දුර සහ ඉවත් කිරීමේ වේගය දැනගත යුතුය. ගැටලුවේ කොන්දේසි වලින් දුර දෙකම දන්නා බැවින්, අපි ඉවත් කිරීමේ වේගය සොයා ගනිමු. ʋud. = ʋ1 - ʋ2 = 80 - 60 = 20 km/h. දැන් අපිට අවශ්‍ය වෙලාව හොයාගන්න පුළුවන්. t = (S - S0) : ʋsp = (700 - 560) : 20 = 7h. පැය 7 කින් මෝටර් රථ අතර කිලෝමීටර 700 ක් ඇති බව අපට ලැබුණි.

§ 6 පාඩම් මාතෘකාවේ කෙටි සාරාංශය

එකවර ඉදිරියට එන චලනය හා ලුහුබැඳීමේදී චලනය වන වස්තූන් දෙකක් අතර දුර අඩු වේ (ඒවා හමු වන තුරු). කාල ඒකකයක් සඳහා එය ʋsbl. කින් අඩු වන අතර, රැස්වීමට පෙර චලනය වන සම්පූර්ණ කාලය සඳහා එය ආරම්භක දුර S මගින් අඩු වනු ඇත. මෙයින් අදහස් කරන්නේ අවස්ථා දෙකේදීම ආරම්භක දුර ප්‍රවේශයේ වේගයට සමාන වන බවයි. රැස්වීම තෙක් චලනය: S = ʋsbl. · tbl.. එකම වෙනස වන්නේ ඉදිරියට එන ගමනාගමනය ඇති විට, ʋbl. = ʋ1 + ʋ2, සහ ʋsbl පසු ගමන් කරන විට. = ʋ1 - ʋ2.

ප්‍රතිවිරුද්ධ දිශාවලට සහ ප්‍රමාදයකින් ගමන් කරන විට, වස්තූන් අතර දුර වැඩි වන බැවින් රැස්වීමක් සිදු නොවේ. කාල ඒකකයක් සඳහා එය ʋsud. මගින් වැඩි වන අතර, චලනය වන සම්පූර්ණ කාලය සඳහා එය නිෂ්පාදනයේ අගය ʋsud.· t. මෙයින් අදහස් කරන්නේ මෙම අවස්ථා දෙකේදීම, මාර්ගය අවසානයේ ඇති වස්තූන් අතර දුර ආරම්භක දුර සහ නිෂ්පාදන ʋstr.·t හි එකතුවට සමාන වන බවයි. S = S0 + ʋstr · t යනු ප්‍රතිවිරුද්ධ චලනය සමඟ පමණි. = ʋ1 + ʋ2, සහ lag ʋstr සමඟ ගමන් කරන විට. = ʋ1 - ʋ2.

භාවිතා කළ සාහිත්‍ය ලැයිස්තුව:

1. පීටර්සන් එල්.ජී. ගණිතය. 4 වන ශ්රේණියේ. 2 කොටස. / L.G. පීටර්සන්. - එම්.: යුවෙන්ටා, 2014. - 96 පි.: අසනීප.
2. ගණිතය. 4 වන ශ්රේණියේ. මාර්ගෝපදේශ 4 වන ශ්‍රේණිය / L.G සඳහා "ඉගෙන ගැනීමට ඉගෙනීම" යන ගණිත පෙළ පොතට. පීටර්සන්. – M.: Yuventa, 2014. – 280 pp.: ill.
3. Zach S.M. 4 ශ්‍රේණිය සඳහා ගණිත පෙළපොත සඳහා සියලුම කාර්යයන් L.G. පීටර්සන් සහ ස්වාධීන කට්ටලයක් සහ පරීක්ෂණ. ෆෙඩරල් රාජ්ය අධ්යාපනික ප්රමිතිය. - එම්.: UNWES, 2014.
4. සංයුක්ත තැටි ධාවකය. ගණිතය. 4 වන ශ්රේණියේ. 2 කොටස සඳහා පෙළපොත සඳහා පාඩම් පිටපත් පීටර්සන් එල්.ජී. - එම්.: යුවෙන්ටා, 2013.

භාවිතා කළ පින්තූර: