Sisteme de ecuații liniare. Transformări elementare ale sistemelor Transformări elementare ale sistemelor l a u
Două sisteme ecuatii lineare dintr-o mulțime x 1 ,..., x n necunoscute și, respectiv, din ecuațiile m și p
Ele se numesc echivalente dacă mulțimile lor soluții și coincid (adică submulțimile și în K n coincid, ). Aceasta înseamnă că: fie sunt submulțimi goale simultan (adică ambele sisteme (I) și (II) sunt inconsecvente), fie sunt simultan nevide și (adică fiecare soluție a sistemului I este o soluție a sistemului II, iar fiecare sistem de soluții II este o soluție pentru sistemul I).
Exemplul 3.2.1.
metoda Gauss
Planul pentru algoritmul propus de Gauss a fost destul de simplu:
- aplicați transformări secvențiale unui sistem de ecuații liniare care nu modifică mulțimea de soluții (astfel păstrăm setul de soluții sistem original), și mergeți la un sistem echivalent care are o „formă simplă” (așa-numita formă de pas);
- Pentru " tip simplu„sistemul (cu o matrice de pasi) descrie setul de soluții care coincide cu setul de soluții al sistemului original.
Rețineți că o metodă similară, „fan-chen”, era deja cunoscută în matematica chineză antică.
Transformări elementare ale sistemelor de ecuații liniare (rânduri de matrice)
Definiția 3.4.1 (transformare elementară de tip 1). Când ecuația i-a a sistemului este adăugată la a-a ecuație, înmulțită cu un număr (notație: (i)"=(i)+c(k); adică, doar o i-a ecuație (i) este înlocuită cu o nouă ecuație (i)"=(i)+c(k) ). Noua i-a ecuație are forma (a i1 +ca k1)x 1 +...+(a în +ca kn)x n =b i +cb k, sau, pe scurt,
Adică în noua ecuație i-a a ij "=a ij +ca kj , b i "=b i +cb k.
Definiția 3.4.2 (transformare elementară de tip 2). Când ecuațiile i-a și k-a sunt schimbate, ecuațiile rămase nu se schimbă (notația: (i)"=(k) , (k)"=(i) ; pentru coeficienți aceasta înseamnă următoarele: pentru j= 1,... .,n
Nota 3.4.3. Pentru comoditate, în calcule specifice puteți utiliza o transformare elementară de al treilea tip: ecuația i-a este înmulțită cu un număr diferit de zero 
, (i)"=c(i) .
Propunerea 3.4.4. Dacă ne-am mutat de la sistemul I la sistemul II folosind un număr finit de transformări elementare de tipul 1 și 2, atunci din sistemul II putem reveni la sistemul I folosind și transformări elementare de tipul 1 și 2.
Dovada.
Nota 3.4.5. Afirmația este adevărată și cu includerea unei transformări elementare de tipul 3 în numărul de transformări elementare. Dacă și (i)"=c(i), atunci 
și (i)=c -1 (i)" .
Teorema 3.4.6.După aplicarea succesivă a unui număr finit de transformări elementare de tipul I sau al II-lea unui sistem de ecuații liniare se obține un sistem de ecuații liniare echivalent cu cel inițial.
Dovada. Rețineți că este suficient să luăm în considerare cazul tranziției de la sistemul I la sistemul II folosind o transformare elementară și să dovedim includerea pentru mulțimi de soluții (deoarece, în virtutea propoziției dovedite, din sistemul II putem reveni la sistemul I și, prin urmare, vom avea incluziune, adică se va dovedi egalitatea).
Definiția 5. Transformări elementare un sistem de ecuații liniare se numește următoarele transformări:
1) rearanjarea oricăror două ecuații;
2) înmulțirea ambelor părți ale unei ecuații cu orice număr;
3) adăugarea la ambele părți ale unei ecuații a părților corespunzătoare ale altei ecuații, înmulțite cu orice număr k;
(în timp ce toate celelalte ecuații rămân neschimbate).
Ecuația zero numiți ecuația următorul tip:
Teorema 1. Orice succesiune finită de transformări elementare și transformarea care șterge ecuația zero transformă un sistem de ecuații liniare într-un alt sistem de ecuații liniare echivalent cu acesta.
Dovada.În virtutea proprietății 4 din paragraful precedent, este suficient să se demonstreze teorema pentru fiecare transformare separat.
1. La rearanjarea ecuațiilor într-un sistem, ecuațiile în sine nu se modifică, prin urmare, prin definiție, sistemul rezultat este echivalent cu cel original.
2. În virtutea primei părți a demonstrației, este suficient să se demonstreze afirmația pentru prima ecuație. Să înmulțim prima ecuație a sistemului (1) cu numărul , obținem sistemul
(2)
Lăsa 
sisteme (1) . Atunci numerele satisfac toate ecuațiile sistemului (1). Deoarece toate ecuațiile sistemului (2), cu excepția primei, coincid cu ecuațiile sistemului (1), numerele satisfac toate aceste ecuații. Deoarece numerele satisfac prima ecuație a sistemului (1), egalitatea numerică corectă este valabilă:
Înmulțind-o cu un număr K, obținem egalitatea numerică corectă:
Acea. stabilim ca
sisteme (2).
Înapoi dacă soluția sistemului (2), atunci numerele satisfac toate ecuațiile sistemului (2). Deoarece toate ecuațiile sistemului (1), cu excepția primei, coincid cu ecuațiile sistemului (2), numerele satisfac toate aceste ecuații. Deoarece numerele satisfac prima ecuație a sistemului (2), atunci egalitatea numerică (4) este adevărată. Împărțind ambele părți la număr, obținem egalitatea numerică (3) și dovedim că
soluția sistemului (1).
Prin urmare, prin definiția 4, sistemul (1) este echivalent cu sistemul (2).
3. În virtutea primei părți a demonstrației, este suficient să se demonstreze afirmația pentru prima și a doua ecuație a sistemului. Să adăugăm la ambele părți ale primei ecuații a sistemului părțile corespunzătoare ale celei de-a doua înmulțite cu numărul K, obținem sistemul
(5)
Lăsa soluția sistemului (1) . Atunci numerele satisfac toate ecuațiile sistemului (1). Deoarece toate ecuațiile sistemului (5), cu excepția primei, coincid cu ecuațiile sistemului (1), numerele satisfac toate aceste ecuații. Deoarece numerele satisfac prima ecuație a sistemului (1), atunci au loc egalitățile numerice corecte:
Adunarea termen cu termen la prima egalitate a doua, înmulțită cu numărul K obţinem egalitatea numerică corectă.
Definiția 1. Un sistem de ecuații liniare de forma (1), unde , câmpul, se numește sistem de m ecuații liniare cu n necunoscute pe câmp, - coeficienți pentru necunoscute, , , - termeni liberi ai sistemului (1).
Definiția 2. Ordonat n-ka (), unde , se numește rezolvarea unui sistem de ecuații liniare(1), dacă la înlocuirea unei variabile cu fiecare ecuație a sistemului, (1) se transformă într-o egalitate numerică corectă.
Definiția 3. comun, dacă are cel puțin o soluție. În caz contrar, se apelează sistemul (1). nearticulată.
Definiția 4. Sistemul de ecuații liniare (1) se numește anumit, dacă are o soluție unică. În caz contrar, se apelează sistemul (1). incert.
Sistem de ecuații liniare
(există o soluție) (fără soluții)
articulare nearticulată
(singura soluție) (nu singura soluție)
sigur nesigur
Definiția 5. Sistem de ecuații liniare peste un câmp R numit omogen, dacă toți termenii săi liberi sunt egali cu zero. În caz contrar, sistemul este apelat eterogen.
Să considerăm sistemul de ecuații liniare (1). Atunci un sistem omogen de formă se numește sistem omogen, asociate cu sistemul (1). Un SLN omogen este întotdeauna consistent, deoarece are întotdeauna o soluție.
Pentru fiecare SLN pot fi introduse în considerare două matrice - cea principală și cea extinsă.
Definiția 6. Matricea principală a unui sistem de ecuații liniare(1) este o matrice compusă din coeficienți pentru necunoscute de următoarea formă: .
Definiția 7. O matrice extinsă a unui sistem de ecuații liniare(1) se numește matrice obținută dintr-o matrice prin adăugarea unei coloane de termeni liberi: .
Definiția 8.Transformări elementare ale unui sistem de ecuații liniare se numesc următoarele: 1) înmulțirea ambelor părți ale unei ecuații a sistemului cu un scalar; 2) adăugarea la ambele părți ale unei ecuații ale sistemului a părților corespunzătoare ale unei alte ecuații, înmulțite cu elementul; 3) adăugarea sau eliminarea unei ecuații de forma .
Definiția 9. Două sisteme de ecuații liniare peste un câmp R relativ la variabile sunt numite echivalent, dacă seturile lor de soluții coincid.
Teorema 1 . Dacă un sistem de ecuații liniare este obținut dintr-un altul folosind transformări elementare, atunci astfel de sisteme sunt echivalente.
Este convenabil să aplicați transformări elementare nu unui sistem de ecuații liniare, ci matricei sale extinse.
Definiția 10. Fie dată o matrice cu elemente din câmpul P. Transformări elementare Matricele se numesc astfel:
1) înmulțirea tuturor elementelor oricărui rând cu matrice cu aО Р #;
2) înmulțirea tuturor elementelor oricărui rând cu matrice cu aО Р # și adunarea cu elementele corespunzătoare dintr-un alt rând;
3) rearanjarea oricăror două rânduri ale matricei;
4) adăugarea sau ștergerea unei linii zero.
8. Soluție SLU: m metoda de eliminare secventiala a necunoscutelor (metoda Gauss).
Să luăm în considerare una dintre principalele metode de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare, care se numește metoda de excludere secventiala a necunoscutelor, sau altfel, metoda gaussiana. Luați în considerare sistemul (1) m ecuații liniare cu n necunoscut peste câmp R:(1) .
În sistemul (1) cel puțin unul dintre coeficienții pentru nu este egal 0 . În caz contrar, (1) este un sistem de ecuații cu () necunoscute - aceasta contrazice condiția. Să schimbăm ecuațiile astfel încât coeficientul pentru din prima ecuație să nu fie egal cu 0 . Astfel, putem presupune că. Să înmulțim ambele părți ale primei ecuații cu și să adăugăm părțile corespunzătoare ale celei de-a doua, a treia, ..., m respectiv ecuațiile. Obținem un sistem de forma: , unde s - cel mai mic număr, astfel încât cel puțin unul dintre coeficienți nu este egal 0 . Să schimbăm ecuațiile astfel încât în a doua linie coeficientul variabilei să nu fie egal cu 0 , adică putem presupune că . Apoi înmulțim ambele părți ale celei de-a doua ecuații cu și adăugăm părțile corespunzătoare ale celei de-a treia, ..., m respectiv ecuațiile. Continuând acest proces, obținem un sistem de forma:
Un sistem de ecuații liniare, care, conform teoremei 1, este echivalent cu sistemul (1) . Sistemul se numește un sistem treptat de ecuații liniare. Sunt posibile două cazuri: 1) Cel puțin unul dintre elemente nu este egal 0 . Să fie, de exemplu, . Apoi, în sistemul de ecuații liniare există o ecuație de forma , ceea ce este imposibil. Aceasta înseamnă că sistemul nu are soluții și, prin urmare, sistemul (1) nu are soluții (în acest caz (1) este un sistem inconsecvent).
2) Fie ,…, . Apoi, folosind transformarea elementară 3), obținem sistemul - sistem r ecuații liniare cu n necunoscut. În acest caz, se numesc variabilele de la coeficienți principalele variabile(asta este), sunt toate r. Restul ( n-r) sunt numite variabile gratuit.
Sunt posibile două cazuri: 1) Dacă r=n, apoi - sistem în aparență triunghiulară. În acest caz, din ultima ecuație găsim variabila , din penultima - variabila ,..., din prima ecuație - variabila . Astfel, obținem o soluție unică a sistemului de ecuații liniare și, prin urmare, a sistemului de ecuații liniare (1) (în acest caz, sistemul (1) este definit).
2) Lasă r
Când se rezolvă un sistem de ecuații liniare folosind metoda Gauss, este convenabil să se efectueze transformări elementare nu pe sistem, ci pe matricea sa extinsă.
Definiție. Rangul unei matrice A este numărul de rânduri diferite de zero ale oricărei matrice eșalonate la care A este redus prin transformări elementare. Rangul unei matrice A este notat cu r(A) sau rang(A).
Algoritm pentru rezolvarea unui sistem de ecuații liniare folosind metoda Gauss
1. Compuneți o matrice extinsă a sistemului de ecuații liniare (1) și, folosind transformări elementare, aduceți-o într-o formă treptat.
2. Efectuați cercetări: a) dacă , atunci sistemul (1) este inconsecvent;
b) dacă , atunci sistemul (1) este consistent.
Mai mult, dacă r=n, atunci sistemul (1) este definit dacă r
3. Găsiți o soluție a sistemului corespunzătoare matricei de pași rezultată.
§7. Sisteme de ecuații liniare
Sisteme echivalente. Transformări elementare ale unui sistem de ecuații liniare.
Lăsa CU– câmp de numere complexe. Ecuația formei
Unde 
, se numește ecuație liniară cu n necunoscut 
. Set comandat 
,
se numește soluție a ecuației (1) dacă .
Sistem m ecuații liniare cu n necunoscute este un sistem de ecuații de forma:
- coeficienții sistemului de ecuații liniare, 
- membri gratuiti.
Masa dreptunghiulara
,
numită matricea mărimii 
. Să introducem următoarea notație: - i- al-lea rând al matricei, 
-
k-a coloană a matricei. Matrice A desemnează de asemenea 
sau 
.
Următoarele transformări ale rândurilor matricei A se numesc elementare: 
) excepție rând nul; 
) înmulțirea tuturor elementelor oricărui șir cu un număr 
; 
) adăugând la orice șir orice alt șir înmulțit cu 
. Transformări similare ale coloanelor matriceale A se numesc transformări matriceale elementare A.
Primul element diferit de zero (numărând de la stânga la dreapta) al oricărui rând al matricei A este numit elementul conducător al acelei linii.
Definiție. Matrice 
se numește treptat dacă sunt îndeplinite următoarele condiții:
1) rândurile zero ale matricei (dacă există) sunt situate sub cele diferite de zero;
2) dacă 
elementele conducătoare ale rândurilor matricei, atunci 
Orice matrice A diferită de zero poate fi redusă la o matrice eșalonată folosind transformări elementare pe rând.
Exemplu. Să prezentăm matricea 
la matricea pasilor: 
~ 
~ 
.
O matrice formată din coeficienți de sistem 
ecuațiile liniare (2) se numesc matricea principală a sistemului. Matrice 
obtinuta din adaugarea unei coloane de termeni liberi se numeste matrice extinsa a sistemului.
O mulțime ordonată se numește soluție a unui sistem de ecuații liniare (2) dacă este o soluție a fiecărei ecuații liniare a acestui sistem.
Un sistem de ecuații liniare se numește consistent dacă are cel puțin o soluție și inconsecvent dacă nu are soluții.
Un sistem de ecuații liniare se numește definit dacă are o singură soluție și nedefinit dacă are mai multe soluții.
Următoarele transformări ale unui sistem de ecuații liniare se numesc elementare:
) excluderea din sistemul de ecuaţii a formei ;
) înmulțirea ambelor părți ale oricărei ecuații cu 
, 
;
) adunând la orice ecuație orice altă ecuație înmulțită cu,.
Două sisteme de ecuații liniare din n necunoscutele se numesc echivalente dacă nu sunt compatibile sau seturile lor de soluții coincid.
Teorema. Dacă un sistem de ecuații liniare se obține dintr-un altul prin transformări elementare precum ), ), atunci este echivalent cu cel original.
Rezolvarea unui sistem de ecuații liniare prin eliminarea necunoscutelor (metoda Gauss).
Să fie dat sistemul m ecuații liniare cu n necunoscut:
Dacă sistemul (1) conține o ecuație de forma
atunci acest sistem nu este compatibil.
Să presupunem că sistemul (1) nu conține o ecuație de forma (2). Fie în sistemul (1) coeficientul variabilei X 1 în prima ecuație 
(dacă nu este așa, atunci prin rearanjarea ecuațiilor vom realiza asta, deoarece nu toți coeficienții pentru X 1 sunt egale cu zero). Să aplicăm următorul lanț de transformări elementare sistemului de ecuații liniare (1):
, se adaugă la a doua ecuație;
Prima ecuație înmulțită cu 
, adăugați la a treia ecuație și așa mai departe;
Prima ecuație înmulțită cu 
, adăugați la ultima ecuație a sistemului.
Ca rezultat, obținem un sistem de ecuații liniare (în cele ce urmează vom folosi abrevierea CLU pentru un sistem de ecuații liniare) echivalent cu sistemul (1). Se poate dovedi că în sistemul rezultat nu o singură ecuație cu număr i,
i 
2,
nu conține necunoscut X 2. Lăsa k cel mai mic număr natural astfel încât necunoscutul X k este cuprinsă în cel puțin o ecuație cu număr i,
i 2. Atunci sistemul de ecuații rezultat are forma:
Sistemul (3) este echivalent cu sistemul (1). Să aplicăm acum subsistemului 
sisteme de ecuații liniare (3) raționament care au fost aplicate la SNL (1). Și așa mai departe. Ca rezultat al acestui proces, ajungem la unul dintre cele două rezultate.
1. Să obținem un SLE care conține o ecuație de forma (2). În acest caz, SLU (1) este inconsecventă.
2. Transformările elementare aplicate SLE (1) nu conduc la un sistem care să conțină o ecuație de forma (2). În acest caz, SLE (1) prin transformări elementare 
se reduce la un sistem de ecuații de forma:
(4)
unde, 1< k < l < . . .< s,
Sistemul de ecuații liniare de forma (4) se numește treptat. Următoarele două cazuri sunt posibile aici.
A) r= n, atunci sistemul (4) are forma
(5)
Sistemul (5) are o soluție unică. În consecință, sistemul (1) are și o soluție unică.
B) r<
n. În acest caz, necunoscutele 
în sistemul (4) se numesc principalele necunoscute, iar necunoscutele rămase în acest sistem sunt numite libere (numărul lor este egal cu n-
r). Să atribuim valori numerice arbitrare necunoscutelor libere, atunci SLE (4) va avea aceeași formă ca și sistemul (5). Din aceasta, principalele necunoscute sunt determinate în mod unic. Astfel, sistemul are o soluție, adică este consistent. Deoarece necunoscutele gratuite au primit valori numerice arbitrare de la CU, atunci sistemul (4) este incert. În consecință, sistemul (1) este și el incert. Exprimând principalele necunoscute din SLE (4) în termeni de necunoscute libere, obținem un sistem numit soluția generală a sistemului (1).
Exemplu. Rezolvați un sistem de ecuații liniare folosind metoda G aussa
Să scriem matricea extinsă a sistemului de ecuații liniare și, folosind transformări elementare pe rând, să o reducem la o matrice în trepte:
~
~
~
~
~ . Folosind matricea rezultată, restabilim sistemul de ecuații liniare: 
Acest sistem este echivalent cu sistemul original. Să luăm apoi ca principale necunoscute 
gratuit necunoscut. Să exprimăm principalele necunoscute numai în termeni de necunoscute libere:
Am primit soluția generală a SLU. Lasă atunci 
(5, 0, -5, 0, 1) – o soluție particulară a SNL.
Probleme de rezolvat independent
1. Găsiți o soluție generală și o soluție particulară a sistemului de ecuații prin eliminarea necunoscutelor:
1) 
2) 
4) 
6) 
2. Găsiți diferite valori ale parametrilor A soluție generală a sistemului de ecuații:
1)
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
§8. Spații vectoriale
Conceptul de spațiu vectorial. Cele mai simple proprietăți.
Lăsa V ≠ Ø, ( F, +,∙) – câmp. Vom numi elementele câmpului scalari.
Afişa φ : F× V –> V se numește operația de înmulțire a elementelor unei mulțimi V la scalari din câmp F. Să notăm φ (λ,a) prin λa produs al unui element A la scalar λ .
Definiție. O multime de V cu o operaţie algebrică dată de adunare a elementelor unei mulţimi Vşi înmulţirea elementelor mulţimii V la scalari din câmp F se numește spațiu vectorial peste câmpul F dacă sunt valabile următoarele axiome:
Exemplu.
Lăsa F camp, F n = {(A 1
,A 2
, … , A n) | A i 
F (i=)). Fiecare element al setului F n numit n-vector aritmetic dimensional. Să introducem operația de adăugare n-vectori dimensionali si multiplicare n-vector dimensional pe un scalar din câmp F. Lăsa 
.
Să punem = ( A 1 + b 1 , … , A n + b n), = (λ A 1, λ A 2, …, λ A n). O multime de F n față de operațiile introduse este un spațiu vectorial și se numește n-spațiu vectorial aritmetic dimensional peste câmp F.
Lăsa V- spațiu vectorial deasupra câmpului F, ,
. Următoarele proprietăți au loc:
1) 
;
3) 
;
4) 
;
Dovada proprietății 3.
Din egalitate conform legii reducerii în grup ( V,+) avem 
.
Dependența liniară, independența sistemelor vectoriale.
Lăsa V– spațiu vectorial deasupra câmpului F, 
. Un vector se numește o combinație liniară a unui sistem de vectori 
. Mulțimea tuturor combinațiilor liniare ale unui sistem de vectori se numește intervalul liniar al acestui sistem de vectori și se notează cu .
Definiție. Un sistem de vectori se numește dependent liniar dacă există astfel de scalari 
nu toate egale cu zero, asta
Dacă egalitatea (1) este satisfăcută dacă și numai dacă λ 1 = λ 2 = … = =λ m=0, atunci sistemul de vectori se numește liniar independent.
Exemplu. Aflați dacă sistemul de vectori este 
= (1,-2,2), =(2,0, 1), 
= (-1, 3, 4) spațiu R 3 liniar dependent sau independent.
Soluţie. Fie λ 1, λ 2, λ 3 
Și
|=> (0,0,0) – soluția sistemului. Prin urmare, sistemul de vectori este liniar independent.
Proprietăți dependență liniarăși independența sistemului vectorial.
1. Un sistem de vectori care conține cel puțin un vector zero este dependent liniar.
2. Un sistem de vectori care conține un subsistem dependent liniar este dependent liniar.
3. Sistem de vectori, unde 
este dependent liniar dacă și numai dacă cel puțin un vector al acestui sistem diferit de vector este o combinație liniară a vectorilor care îl precedă.
4. Dacă sistemul de vectori este liniar independent, iar sistemul de vectori 
dependent liniar, apoi vectorul 
poate fi reprezentat ca o combinație liniară de vectori și, în plus, într-un mod unic.
Dovada. Deoarece sistemul de vectori este dependent liniar, atunci 
nu toate egale cu zero, asta
În egalitate vectorială (2) λ
m+1 ≠ 0. Presupunând că λ
m+1 =0, apoi din (2) => Rezultă că sistemul de vectori este dependent liniar, întrucât λ
1 , λ
2 , … , λ
m nu toate sunt egale cu zero. Am ajuns la o contradicție cu condiția. De la (1) => unde 
.
Să fie reprezentat vectorul și sub forma: Apoi din egalitatea vectorială 
datorită independenţei liniare a sistemului de vectori rezultă că 
1 = β
1 , …, m = β
m .
5. Să fie date două sisteme de vectori și 
, m>k. Dacă fiecare vector al unui sistem de vectori poate fi reprezentat ca o combinație liniară a unui sistem de vectori, atunci sistemul de vectori este dependent liniar.
Baza, rangul sistemului vectorial.
Un sistem finit de vectori spațiali V peste câmp F notează prin S.
Definiție. Orice subsistem liniar independent al unui sistem de vectori S numită baza sistemului de vectori S, dacă vreun vector al sistemului S poate fi reprezentat ca o combinație liniară a unui sistem de vectori.
Exemplu. Găsiți baza sistemului vectorial 
= (1, 0, 0), 
= (0, 1, 0),
= (-2, 3, 0) R3. Sistemul de vectori este liniar independent, întrucât, conform proprietății 5, sistemul de vectori se obține din sistemul de vectori Deoarece educațional indemnizatie elementele de bază electromecanotronica: educationalindemnizatie elementele de bază Inginerie Electrică" ; ...
Literatură educațională 2000-2008 (1)
LiteraturăMatematică Matematică Lobkova N.I. Bazele liniar algebrăși geometrie analitică: educationalindemnizatie/ N.I Lobkova, M.V Lagunova... proiectare conform elementele de bază electromecanotronica: educationalindemnizatie/ PGUPS. Caf. "Teoretic elementele de bază Inginerie Electrică" ; ...
