Soustavy lineárních rovnic. Elementární transformace systémů Elementární transformace systémů l a u
Dva systémy lineární rovnice z jedné množiny x 1 ,..., x n neznámých, respektive z m a p rovnic
Nazývají se ekvivalentní, pokud jejich řešení množí a shodují se (tj. podmnožiny a v K n se shodují, ). To znamená, že: buď jsou současně prázdnými podmnožinami (tj. oba systémy (I) a (II) jsou nekonzistentní), nebo jsou současně neprázdné, a (tj. každé řešení systému I je řešením systému II, a každý systém řešení II je řešením systému I).
Příklad 3.2.1.
Gaussova metoda
Plán pro algoritmus navržený Gaussem byl poměrně jednoduchý:
- aplikovat sekvenční transformace na soustavu lineárních rovnic, které nemění množinu řešení (takže množinu řešení zachováváme původní systém) a přejděte na ekvivalentní systém, který má „jednoduchou formu“ (tzv. stupňovitá forma);
- Pro " jednoduchý typ"systém (s krokovou maticí) popisuje množinu řešení, která se shoduje s množinou řešení původního systému.
Všimněte si, že podobná metoda, „fan-chen“, byla známá již ve starověké čínské matematice.
Elementární transformace soustav lineárních rovnic (řady matic)
Definice 3.4.1 (elementární transformace typu 1). Když se ke k-té rovnici přidá i-tá rovnice systému, vynásobená číslem (zápis: (i)"=(i)+c(k); tj. pouze jedna i-tá rovnice (i) se nahrazuje novou rovnicí (i)"=(i)+c(k) ). Nová i-tá rovnice má tvar (a i1 +ca k1)x 1 +...+(a v +ca kn)x n =b i +cb k nebo krátce,
Tedy v nové i-té rovnici a ij "=a ij +ca kj , b i "=b i +cb k.
Definice 3.4.2 (elementární transformace typu 2). Při prohození i -té a k -té rovnice se zbývající rovnice nemění (zápis: (i)"=(k) , (k)"=(i) ; pro koeficienty to znamená následující: pro j= 1,...,č
Poznámka 3.4.3. Pro usnadnění můžete ve specifických výpočtech použít elementární transformaci 3. typu: i -tá rovnice se vynásobí nenulovým číslem 
, (i)"=c(i).
Návrh 3.4.4. Pokud jsme přešli ze systému I do systému II pomocí konečného počtu elementárních transformací 1. a 2. typu, pak se ze systému II můžeme vrátit do systému I také pomocí elementárních transformací 1. a 2. typu.
Důkaz.
Poznámka 3.4.5. Tvrzení je pravdivé i se zahrnutím elementární transformace 3. typu do počtu elementárních transformací. Li a (i)"=c(i), potom 
a (i)=c-1 (i)" .
Věta 3.4.6.Po postupném aplikování konečného počtu elementárních transformací 1. nebo 2. typu na soustavu lineárních rovnic se získá soustava lineárních rovnic, která je ekvivalentní té původní.
Důkaz. Všimněte si, že stačí uvažovat případ přechodu ze systému I do systému II pomocí jedné elementární transformace a dokázat zařazení pro množiny řešení (protože na základě osvědčeného tvrzení se ze systému II můžeme vrátit do systému I, a proto budeme mít inkluzi, tj. bude prokázaná rovnost).
Definice 5. Elementární transformace soustava lineárních rovnic se nazývá její následující transformace:
1) přeskupení libovolných dvou rovnic;
2) vynásobení obou stran jedné rovnice libovolným číslem;
3) přičtení k oběma stranám jedné rovnice odpovídající části jiné rovnice, vynásobené libovolným číslem k;
(zatímco všechny ostatní rovnice zůstávají nezměněny).
Nulová rovnice zavolat rovnici následující typ:
Věta 1. Jakákoli konečná posloupnost elementárních transformací a transformace s vymazáním nulové rovnice transformuje jeden systém lineárních rovnic na jiný systém lineárních rovnic, který je mu ekvivalentní.
Důkaz. Na základě vlastnosti 4 předchozího odstavce stačí dokázat větu pro každou transformaci zvlášť.
1. Při přeskupování rovnic v systému se samotné rovnice nemění, proto je výsledná soustava z definice ekvivalentní té původní.
2. Na základě první části důkazu stačí dokázat tvrzení pro první rovnici. Vynásobme první rovnici soustavy (1) číslem , dostaneme soustavu
(2)
Nechat 
systémy (1) . Potom čísla splňují všechny rovnice soustavy (1). Protože všechny rovnice systému (2) kromě první se shodují s rovnicemi systému (1), čísla splňují všechny tyto rovnice. Protože čísla splňují první rovnici soustavy (1), platí správná číselná rovnost:
Vynásobte to číslem K, dostaneme správnou číselnou rovnost:
Že. to stanovíme
systémy (2).
Zpět pokud řešení soustavy (2), pak čísla splňují všechny rovnice soustavy (2). Protože všechny rovnice soustavy (1) kromě první se shodují s rovnicemi soustavy (2), čísla splňují všechny tyto rovnice. Protože čísla splňují první rovnici systému (2), pak platí číselná rovnost (4). Vydělením obou jeho částí číslem získáme číselnou rovnost (3) a dokážeme to
řešení soustavy (1).
Podle definice 4 je tedy systém (1) ekvivalentní systému (2).
3. Na základě první části důkazu stačí dokázat tvrzení pro první a druhou rovnici soustavy. Přidejme k oběma stranám první rovnice soustavy odpovídající části druhé vynásobené číslem K, dostaneme systém
(5)
Nechat řešení systému (1) . Potom čísla splňují všechny rovnice soustavy (1). Protože všechny rovnice soustavy (5) kromě první se shodují s rovnicemi soustavy (1), čísla splňují všechny tyto rovnice. Protože čísla splňují první rovnici soustavy (1), nastávají správné číselné rovnosti:
Přidání členu po členu k prvnímu se rovná druhému, vynásobenému číslem K získáme správnou číselnou rovnost.
Definice 1. Soustava lineárních rovnic tvaru (1), kde se nazývá , pole soustava m lineárních rovnic s n neznámými v poli, - koeficienty pro neznámé, , , - volné členy soustavy (1).
Definice 2. Objednáno n-ka (), kde , se nazývá řešení soustavy lineárních rovnic(1), pokud se při nahrazení proměnné každou rovnicí systému (1) změní ve správnou číselnou rovnost.
Definice 3. kloub, pokud má alespoň jedno řešení. Jinak je volán systém (1). nespojující.
Definice 4. Nazývá se soustava lineárních rovnic (1). určitý, pokud má jedinečné řešení. Jinak je volán systém (1). nejistý.
Systém lineárních rovnic
(existuje řešení) (žádná řešení)
kloub nespoj
(jediné řešení) (ne jediné řešení)
definitivně nejistý
Definice 5. Systém lineárních rovnic nad polem R volal homogenní, jsou-li všechny její volné členy rovny nule. Jinak je volán systém heterogenní.
Uvažujme soustavu lineárních rovnic (1). Pak se homogenní systém formy nazývá homogenní systém, spojené se systémem (1). Homogenní SLN je vždy konzistentní, protože má vždy řešení.
Pro každou SLN lze zavést v úvahu dvě matice - hlavní a rozšířenou.
Definice 6. Hlavní matice soustavy lineárních rovnic(1) je matice složená z koeficientů pro neznámé v následujícím tvaru: .
Definice 7. Rozšířená matice soustavy lineárních rovnic(1) se nazývá matice získaná z matice přidáním sloupce volných členů: .
Definice 8.Elementární transformace soustavy lineárních rovnic nazývá se: 1) násobení obou stran nějaké rovnice soustavy skalárem; 2) přidání odpovídajících částí jiné rovnice na obě strany jedné rovnice systému, vynásobené prvkem; 3) přidání nebo odstranění rovnice ve tvaru .
Definice 9. Dvě soustavy lineárních rovnic nad polem R relativní k proměnným se nazývají ekvivalent, pokud se jejich sady řešení shodují.
Věta 1 . Pokud je jeden systém lineárních rovnic získán z jiného pomocí elementárních transformací, pak jsou takové systémy ekvivalentní.
Elementární transformace je vhodné aplikovat nikoli na soustavu lineárních rovnic, ale na její rozšířenou matici.
Definice 10. Nechť je dána matice s prvky z pole P. Elementární transformace Matice se nazývají takto:
1) vynásobení všech prvků libovolného řádku maticemi aО Р #;
2) násobení všech prvků libovolného řádku maticemi pomocí aО Р # a sčítání s odpovídajícími prvky jiného řádku;
3) přeskupení libovolných dvou řádků matice;
4) přidání nebo odstranění nulového řádku.
8. Řešení SLU: m metoda sekvenční eliminace neznámých (Gaussova metoda).
Uvažujme jednu z hlavních metod řešení soustav lineárních rovnic, která je tzv metoda sekvenčního vylučování neznámých, nebo jinak, Gaussova metoda. Zvažte systém (1) m lineární rovnice s n neznámý nad polem R:(1) .
V systému (1) alespoň jeden z koeficientů pro není roven 0 . Jinak (1) je soustava rovnic s () neznámými - to odporuje podmínce. Prohoďme rovnice tak, aby koeficient pro v první rovnici nebyl roven 0 . Můžeme tedy předpokládat, že . Vynásobme obě strany první rovnice a přičtěme k odpovídajícím částem druhé, třetí, ..., m resp. Získáme systém tvaru: , kde s - nejmenší číslo, takže alespoň jeden z koeficientů není stejný 0 . Prohoďme rovnice tak, aby v druhém řádku nebyl koeficient proměnné roven 0 , tj. to můžeme předpokládat. Poté obě strany druhé rovnice vynásobíme a přičteme k odpovídajícím částem třetí, ..., m resp. Pokračujeme-li v tomto procesu, získáme systém formuláře:
Soustava lineárních rovnic, která je podle věty 1 ekvivalentní soustavě (1) . Systém se nazývá stupňovitý systém lineárních rovnic. Jsou možné dva případy: 1) Alespoň jeden z prvků není stejný 0 . Nechť například . Pak v soustavě lineárních rovnic existuje rovnice tvaru , což je nemožné. To znamená, že systém nemá žádná řešení, a proto systém (1) nemá žádná řešení (v tomto případě (1) je nekonzistentní systém).
2) Nechte,…, . Potom pomocí elementární transformace 3) získáme systém - systém r lineární rovnice s n neznámý. V tomto případě se volají proměnné u koeficientů hlavní proměnné(toto je), jsou všechny r. Zbytek ( n-r) se nazývají proměnné volný, uvolnit.
Jsou možné dva případy: 1) Pokud r=n, pak - systém trojúhelníkového vzhledu. V tomto případě z poslední rovnice najdeme proměnnou , z předposlední - proměnnou ,..., z první rovnice - proměnnou . Získáme tak jedinečné řešení soustavy lineárních rovnic, potažmo soustavy lineárních rovnic (1) (v tomto případě je definována soustava (1).
2) Nechat r
Při řešení soustavy lineárních rovnic Gaussovou metodou je vhodné provádět elementární transformace nikoli na soustavě, ale na její rozšířené matici.
Definice. Hodnost matice A je počet nenulových řádků libovolné matice stupně, na které je A redukováno elementárními transformacemi. Hodnost matice A je označena r(A) nebo rang(A).
Algoritmus pro řešení soustavy lineárních rovnic Gaussovou metodou
1. Sestavte rozšířenou matici soustavy lineárních rovnic (1) a pomocí elementárních transformací ji uveďte do stupňovitého tvaru.
2. Proveďte výzkum: a) jestliže , pak je systém (1) nekonzistentní;
b) jestliže , pak je systém (1) konzistentní.
Navíc pokud r=n, pak je systém (1) definován, jestliže r
3. Najděte řešení soustavy odpovídající výsledné krokové matici.
§7. Soustavy lineárních rovnic
Ekvivalentní systémy. Elementární transformace soustavy lineárních rovnic.
Nechat S– obor komplexních čísel. Rovnice formuláře
Kde 
, se nazývá lineární rovnice s n neznámý 
. Objednaný set 
,
se nazývá řešení rovnice (1), jestliže .
Systém m lineární rovnice s n neznámé je soustava rovnic ve tvaru:
- koeficienty soustavy lineárních rovnic, 
- členové zdarma.
Obdélníkový stůl
,
nazývá se matice velikostí 
. Uveďme následující označení: - i-tý řádek matice, 
-
k-tý sloupec matice. Matice A také určit 
nebo 
.
Následující transformace řádků matice A se nazývají elementární: 
) výjimka nulového řádku; 
) vynásobení všech prvků libovolného řetězce číslem 
; 
) přičtení k libovolnému řetězci jakéhokoli jiného řetězce vynásobeného 
. Podobné transformace sloupců matice A se nazývají transformace elementární matice A.
První nenulový prvek (počítáno zleva doprava) libovolného řádku matice A se nazývá vedoucí prvek této linie.
Definice. Matice 
se nazývá postupně, pokud jsou splněny následující podmínky:
1) nulové řádky matice (pokud existují) jsou umístěny pod nenulovými jedničkami;
2) pokud 
pak vedoucí prvky řádků matice 
Libovolnou nenulovou matici A lze redukovat na echelonovou matici pomocí elementárních transformací po řádcích.
Příklad. Představme si matrici 
do krokové matice: 
~ 
~ 
.
Matice tvořená systémovými koeficienty 
lineární rovnice (2) se nazývají hlavní maticí systému. Matice 
získaný přidáním sloupce volných členů se nazývá rozšířená matice systému.
Uspořádaná množina se nazývá řešení soustavy lineárních rovnic (2), pokud je řešením každé lineární rovnice této soustavy.
Systém lineárních rovnic se nazývá konzistentní, pokud má alespoň jedno řešení, a nekonzistentní, pokud nemá žádná řešení.
Systém lineárních rovnic se nazývá určitý, pokud má jediné řešení, a neurčitý, pokud má více řešení.
Následující transformace soustavy lineárních rovnic se nazývají elementární:
) vyloučení ze soustavy rovnic tvaru;
) vynásobením obou stran libovolné rovnice 
, 
;
) přidání jakékoli jiné rovnice vynásobené ,.
Dvě soustavy lineárních rovnic z n neznámé se nazývají ekvivalentní, pokud nejsou kompatibilní nebo se jejich množiny řešení shodují.
Teorém. Pokud je jeden systém lineárních rovnic získán z jiného pomocí elementárních transformací jako ), ), pak je ekvivalentní původnímu.
Řešení soustavy lineárních rovnic eliminací neznámých (Gaussova metoda).
Nechť je daný systém m lineární rovnice s n neznámý:
Pokud soustava (1) obsahuje rovnici tvaru
pak tento systém není kompatibilní.
Předpokládejme, že soustava (1) neobsahuje rovnici tvaru (2). Nechť v soustavě (1) koeficient proměnné X 1 v první rovnici 
(pokud tomu tak není, pak přeskupením rovnic toho dosáhneme, protože ne všechny koeficienty pro X 1 se rovná nule). Aplikujme na soustavu lineárních rovnic (1) následující řetězec elementárních transformací:
, přidejte do druhé rovnice;
První rovnice vynásobená 
, přidat do třetí rovnice a tak dále;
První rovnice vynásobená 
, přidejte do poslední rovnice soustavy.
Výsledkem je soustava lineárních rovnic (v následujícím budeme pro soustavu lineárních rovnic používat zkratku CLU) ekvivalentní soustavě (1). Může se ukázat, že ve výsledném systému není jediná rovnice s číslem i,
i 
2,
neobsahuje neznámé X 2. Nechat k nejmenší přirozené číslo takové, že neznámé X k je obsažena alespoň v jedné rovnici s číslem i,
i 2. Potom má výsledná soustava rovnic tvar:
Systém (3) je ekvivalentní systému (1). Aplikujme nyní na subsystém 
systémy lineárních rovnic (3) uvažování, které byly aplikovány na SLE (1). A tak dále. Výsledkem tohoto procesu je jeden ze dvou výsledků.
1. Získáme SLE obsahující rovnici tvaru (2). V tomto případě je SLU (1) nekonzistentní.
2. Elementární transformace aplikované na SLE (1) nevedou k systému obsahujícímu rovnici tvaru (2). V tomto případě SLE (1) pomocí elementárních transformací 
se redukuje na soustavu rovnic ve tvaru:
(4)
kde, 1< k < l < . . .< s,
Soustava lineárních rovnic tvaru (4) se nazývá stupňovitá. Zde jsou možné následující dva případy.
A) r= n, pak má systém (4) tvar
(5)
Systém (5) má unikátní řešení. V důsledku toho má systém (1) také jedinečné řešení.
b) r<
n. V tomto případě neznámé 
v systému (4) se nazývají hlavní neznámé a zbývající neznámé v tomto systému se nazývají volné (jejich počet je roven n-
r). Přiřaďme volné neznámé libovolné číselné hodnoty, pak SLE (4) bude mít stejný tvar jako systém (5). Z něj se jednoznačně určují hlavní neznámé. Systém tedy má řešení, tedy je konzistentní. Protože volné neznámé dostaly libovolné číselné hodnoty S, pak je systém (4) nejistý. V důsledku toho je systém (1) také nejistý. Vyjádřením hlavních neznámých v SLE (4) pomocí volných neznámých získáme systém nazývaný obecné řešení systému (1).
Příklad. Metodou řešte soustavu lineárních rovnic G aussa
Vypišme rozšířenou matici soustavy lineárních rovnic a pomocí elementárních řádkových transformací ji zredukujeme na stupňovitou matici:
~
~
~
~
~ . Pomocí výsledné matice obnovíme systém lineárních rovnic: 
Tento systém je ekvivalentní původnímu systému. Vezměme tedy jako hlavní neznámé 
volný neznámý. Vyjádřeme hlavní neznámé pouze pomocí volných neznámých:
Obdrželi jsme obecné řešení SLU. Nechte tedy 
(5, 0, -5, 0, 1) – partikulární řešení SNL.
Problémy řešit samostatně
1. Najděte obecné řešení a jedno konkrétní řešení soustavy rovnic odstraněním neznámých:
1) 
2) 
4) 
6) 
2. Najděte různé hodnoty parametrů A obecné řešení soustavy rovnic:
1)
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
§8. Vektorové prostory
Koncept vektorového prostoru. Nejjednodušší vlastnosti.
Nechat PROTI ≠ Ø, ( F, +,∙) – pole. Prvky pole budeme nazývat skaláry.
Zobrazit φ : F× PROTI –> PROTI se nazývá operace násobení prvků množiny PROTI na skaláry z pole F. Označme φ (λ,a) přes λa produkt prvku A na skalární λ .
Definice. hromada PROTI s danou algebraickou operací sčítání prvků množiny PROTI a násobení množinových prvků PROTI na skaláry z pole F se nazývá vektorový prostor nad polem F, pokud platí následující axiomy:
Příklad.
Nechat F pole, F n = {(A 1
, a 2
, … , a n) | A i 
F (i=)). Každý prvek sady F n volal n-rozměrný aritmetický vektor. Představme si operaci sčítání n-dimenzionální vektory a násobení n-rozměrný vektor na skalár z pole F. Nechat 
.
Dáme = ( A 1 + b 1 , … , A n + b n), = (λ A 1, A A 2, …, λ A n). hromada F n vzhledem k zavedeným operacím je vektorový prostor a je volán n-rozměrný aritmetický vektorový prostor nad polem F.
Nechat PROTI- vektorový prostor nad polem F, ,
. Probíhají následující vlastnosti:
1) 
;
3) 
;
4) 
;
Doklad o majetku 3.
Z rovnosti podle zákona redukce ve skupině ( PROTI,+) máme 
.
Lineární závislost, nezávislost vektorových systémů.
Nechat PROTI– vektorový prostor nad polem F, 
. Vektor se nazývá lineární kombinace systému vektorů 
. Množina všech lineárních kombinací soustavy vektorů se nazývá lineární rozpětí této soustavy vektorů a značí se .
Definice. Systém vektorů se nazývá lineárně závislý, pokud takové skaláry existují 
ne všechno se rovná nule, že
Je-li rovnost (1) splněna tehdy a jen tehdy λ 1 = λ 2 = … = =λ m=0, pak se systém vektorů nazývá lineárně nezávislý.
Příklad. Zjistěte, zda je systém vektorů 
= (1,-2,2), =(2,0, 1), 
= (-1, 3, 4) prostor R 3 lineárně závislý nebo nezávislý.
Řešení. Nechť λ 1, λ 2, λ 3 
A
|=> (0,0,0) – řešení soustavy. Proto je systém vektorů lineárně nezávislý.
Vlastnosti lineární závislost a nezávislost vektorového systému.
1. Systém vektorů obsahující alespoň jeden nulový vektor je lineárně závislý.
2. Systém vektorů obsahující lineárně závislý subsystém je lineárně závislý.
3. Systém vektorů, kde 
je lineárně závislý právě tehdy, když alespoň jeden vektor tohoto systému odlišný od vektoru je lineární kombinací vektorů, které mu předcházejí.
4. Je-li soustava vektorů lineárně nezávislá, a soustava vektorů 
lineárně závislé, pak vektor 
mohou být reprezentovány jako lineární kombinace vektorů a navíc jedinečným způsobem.
Důkaz. Protože systém vektorů je lineárně závislý, pak 
ne všechno se rovná nule, že
Ve vektorové rovnosti (2) λ
m+1 ≠ 0. Za předpokladu, že λ
m+1 =0, pak z (2) => Z toho vyplývá, že soustava vektorů je lineárně závislá, od λ
1 , λ
2 , … , λ
m ne všechny se rovnají nule. Došli jsme k rozporu s podmínkou. Od (1) => odkud 
.
Nechť je vektor také reprezentován ve tvaru: Potom z vektorové rovnosti 
vzhledem k lineární nezávislosti systému vektorů z toho vyplývá, že 
1 = β
1 , …, m = β
m .
5. Nechť jsou dány dvě soustavy vektorů a 
, m>k. Pokud lze každý vektor systému vektorů reprezentovat jako lineární kombinaci systému vektorů, pak je systém vektorů lineárně závislý.
Základ, hodnost vektorového systému.
Konečný systém prostorových vektorů PROTI nad polem F označovat podle S.
Definice. Libovolný lineárně nezávislý podsystém systému vektorů S nazýváno základem systému vektorů S, pokud nějaký vektor systému S lze reprezentovat jako lineární kombinaci systému vektorů.
Příklad. Najděte základ vektorového systému 
= (1, 0, 0), 
= (0, 1, 0),
= (-2, 3, 0) R3. Soustava vektorů je lineárně nezávislá, jelikož podle vlastnosti 5 je soustava vektorů získána ze soustavy vektorů. příspěvek základy elektromechanotronika: vzdělávacípříspěvek základy elektrotechnika"; ...
Naučná literatura 2000-2008 (1)
LiteraturaMatematika Matematika Lobková N.I. Základy lineární algebra a analytická geometrie: vzdělávacípříspěvek/ N.I Lobková, M.V Lagunova... provedení dle základy elektromechanotronika: vzdělávacípříspěvek/ PGUPS. Caf. "Teoretický základy elektrotechnika"; ...
