Co znamená největší úhel rovnoběžníku? Paralelogramové věty
Rovnoběžník je čtyřúhelník, jehož protilehlé strany jsou rovnoběžné, to znamená, že leží na rovnoběžných přímkách (obr. 1).
Věta 1. O vlastnostech stran a úhlů rovnoběžníku. V rovnoběžníku jsou opačné strany stejné, opačné úhly jsou stejné a součet úhlů sousedících s jednou stranou rovnoběžníku je 180°.
Důkaz. Do tohoto rovnoběžníku ABCD nakreslíme úhlopříčku AC a dostaneme dva trojúhelníky ABC a ADC (obr. 2).
Tyto trojúhelníky jsou si rovny, protože ∠ 1 = ∠ 4, ∠ 2 = ∠ 3 (příčné úhly pro rovnoběžky) a strana AC je společná. Z rovnosti Δ ABC = Δ ADC vyplývá, že AB = CD, BC = AD, ∠ B = ∠ D. Součet úhlů sousedících s jednou stranou, například úhly A a D, je roven 180° jako jednostranný pro rovnoběžné čáry. Věta byla prokázána.
Komentář. Rovnost protilehlých stran rovnoběžníku znamená, že segmenty rovnoběžek odříznuté rovnoběžkami jsou stejné.
Důsledek 1. Pokud jsou dvě přímky rovnoběžné, pak jsou všechny body na jedné přímce ve stejné vzdálenosti od druhé přímky.
Důkaz. Opravdu, ať || b (obr. 3).
Vedeme kolmice BA a CD k přímce a z nějakých dvou bodů B a C přímky b. Od AB || CD, pak obrázek ABCD je rovnoběžník, a proto AB = CD.
Vzdálenost mezi dvěma rovnoběžnými čarami je vzdálenost od libovolného bodu na jedné z přímek k druhé přímce.
Podle toho, co bylo prokázáno, se rovná délce kolmice nakreslené z některého bodu jedné z rovnoběžných přímek k druhé přímce.
Příklad 1 Obvod rovnoběžníku je 122 cm Jedna jeho strana je o 25 cm větší než druhá strany rovnoběžníku.
Řešení. Podle věty 1 jsou opačné strany rovnoběžníku stejné. Jednu stranu rovnoběžníku označme x a druhou y. Potom pomocí podmínky $$\left\(\začátek(matice) 2x + 2y = 122 \\x - y = 25 \end(matice)\vpravo.$$ Řešením této soustavy získáme x = 43, y = 18 Tedy strany rovnoběžníku jsou 18, 43, 18 a 43 cm.
Příklad 2
Řešení. Nechť Obrázek 4 splňuje podmínky problému.
Označme AB x a BC y. Podle podmínky je obvod rovnoběžníku 10 cm, tj. 2(x + y) = 10, nebo x + y = 5. Obvod trojúhelníku ABD je 8 cm A protože AB + AD = x + y = 5 pak BD = 8 - 5 = 3. Takže BD = 3 cm.
Příklad 3 Najděte úhly rovnoběžníku s vědomím, že jeden z nich je o 50° větší než druhý.
Řešení. Nechť Obrázek 5 splňuje podmínky problému.
Stupňovou míru úhlu A označme x. Pak míra stupně úhlu D je x + 50°.
Úhly BAD a ADC jsou jednostranné vnitřní úhly s rovnoběžnými úsečkami AB a DC a sečnou AD. Pak bude součet těchto jmenovaných úhlů 180°, tzn.
x + x + 50° = 180° nebo x = 65°. Tedy ∠ A = ∠ C = 65°, a ∠ B = ∠ D = 115°.
Příklad 4. Strany rovnoběžníku jsou 4,5 dm a 1,2 dm. Osa je nakreslena z vrcholu ostrého úhlu. Na jaké části se dělí? velká strana rovnoběžník?
Řešení. Nechť obrázek 6 splňuje podmínky problému.
AE je osa ostrého úhlu rovnoběžníku. Proto ∠ 1 = ∠ 2.
Rovnoběžník je čtyřúhelník, ve kterém jsou protilehlé strany rovnoběžné ve dvojicích.
Rovnoběžník má všechny vlastnosti čtyřúhelníků, ale kromě toho má i své vlastní charakteristické rysy. Když je známe, můžeme snadno najít jak strany, tak úhly rovnoběžníku.
Vlastnosti rovnoběžníku
- Součet úhlů v jakémkoli rovnoběžníku, stejně jako v každém čtyřúhelníku, je 360°.
- Středové čáry rovnoběžníku a jeho úhlopříčky se protínají v jednom bodě a jsou jím půleny. Tento bod se obvykle nazývá střed symetrie rovnoběžníku.
- Opačné strany rovnoběžníku jsou vždy stejné.
- Také tento obrazec má vždy stejné opačné úhly.
- Součet úhlů, které sousedí s kteroukoli stranou rovnoběžníku, je vždy 180°.
- Součet čtverců úhlopříček rovnoběžníku je roven dvojnásobku součtu čtverců jeho dvou sousedních stran. To je vyjádřeno vzorcem:
- d 1 2 + d 2 2 = 2 (a 2 + b 2), kde d 1 a d 2 jsou úhlopříčky, a a b jsou sousední strany.
- Kosinus tupého úhlu je vždy menší než nula.
Jak zjistit úhly daného rovnoběžníku pomocí těchto vlastností v praxi? A jaké další vzorce nám s tím mohou pomoci? Podívejme se na konkrétní úkoly, které vyžadují: najít úhly rovnoběžníku.
Hledání úhlů rovnoběžníku
Případ 1. Míra tupého úhlu je známa, potřebujeme najít ostrý úhel.
Příklad: V rovnoběžníku ABCD je úhel A 120°. Najděte míru zbývajících úhlů.
Řešení: Pomocí vlastnosti č. 5 můžeme najít míru úhlu B sousedícího s úhlem uvedeným v úloze. Bude se rovnat:
- 180°-120°= 60°
A nyní pomocí vlastnosti č. 4 určíme, že dva zbývající úhly C a D jsou opačné k úhlům, které jsme již našli. Úhel C je opačný k úhlu A, úhel D je opačný k úhlu B. Proto jsou ve dvojicích stejné.
- Odpověď: B = 60°, C = 120°, D = 60°
Případ 2. Délky stran a úhlopříček jsou známé
V tomto případě musíme použít kosinovou větu.
Nejprve můžeme pomocí vzorce vypočítat kosinus úhlu, který potřebujeme, a pak pomocí speciální tabulky zjistit, čemu se rovná samotný úhel.
Pro ostrý úhel je vzorec: 
- cosa = (A² + B² - d²) / (2 * A * B), kde
- a je požadovaný ostrý úhel,
- A a B jsou strany rovnoběžníku,
- d - menší úhlopříčka
Pro tupý úhel se vzorec mírně změní:
- cosß = (A² + B² - D²) / (2 * A * B), kde
- ß je tupý úhel,
- A a B jsou strany
- D - velká úhlopříčka
Příklad: potřebujete najít ostrý úhel rovnoběžníku, jehož strany jsou 6 cm a 3 cm a menší úhlopříčka je 5,2 cm
Nahraďte hodnoty do vzorce a najděte ostrý úhel:
- cosa = (6 2 + 3 2 - 5,2 2) / (2 * 6 * 3) = (36 + 9 - 27,04) / (2 * 18) = 17,96/36 ~ 18/36 ~1/2
- cosa = 1/2. Z tabulky zjistíme, že požadovaný úhel je 60°.
Rovnoběžník je čtyřúhelník, jehož protilehlé strany jsou rovnoběžné ve dvojicích. Rovnoběžník má také následující vlastnosti: opačné strany jsou stejné, opačné úhly jsou stejné a součet všech úhlů je 360 stupňů.
Budete potřebovat
- Znalost geometrie.
Instrukce
1. Představme si, že jeden z úhlů rovnoběžníku je dán a je roven A. Nalezneme hodnoty zbývajících 3. Podle vlastnosti rovnoběžníku jsou opačné úhly stejné. To znamená, že úhel protilehlý danému je roven danému a jeho hodnota je rovna A.
2. Najdeme zbývající dva rohy. Protože součet všech úhlů v rovnoběžníku je roven 360 stupňům a opačné úhly jsou si navzájem rovny, ukazuje se, že úhel náležející stejné straně jako daná je roven (360 - 2A)/2. No, buď po reformě dostaneme 180 - A. V rovnoběžníku se tedy dva úhly rovnají A a další dva úhly se rovnají 180 - A.
Poznámka!
Hodnota jednoho úhlu nesmí překročit 180 stupňů. Získané hodnoty úhlu lze snadno ověřit. Chcete-li to provést, sečtěte je a pokud je součet 360, vše se spočítá správně.
Užitečná rada
Obdélník a kosočtverec jsou speciální případy rovnoběžníku, proto se na ně vztahují všechny vlastnosti a metody pro výpočet úhlů.
Problém 1. Jeden z úhlů rovnoběžníku je 65°. Najděte zbývající úhly rovnoběžníku.
∠C =∠A = 65° jako opačné úhly rovnoběžníku.
∠A +∠B = 180° jako úhly sousedící s jednou stranou rovnoběžníku.
∠B = 180° - ∠A = 180° - 65° = 115°.
∠D =∠B = 115° jako opačné úhly rovnoběžníku.
Odpověď: ∠A =∠C = 65°; ∠B = ∠D = 115°.
Úkol 2. Součet dvou úhlů rovnoběžníku je 220°. Najděte úhly rovnoběžníku.
Protože rovnoběžník má 2 stejné ostré úhly a 2 stejné tupé úhly, pak dostaneme součet dvou tupých úhlů, tzn. ∠B +∠D = 220°. Potom ∠B =∠D = 220° :
2 = 110°.
∠A + ∠B = 180° jako úhly sousedící s jednou stranou rovnoběžníku, takže ∠A = 180° - ∠B = 180° - 110° = 70°. Potom ∠C =∠A = 70°.
Odpověď: ∠A =∠C = 70°; ∠B = ∠D = 110°.
Úkol 3. Jeden z úhlů rovnoběžníku je 3x větší než druhý. Najděte úhly rovnoběžníku.
Nechť ∠A =x. Potom ∠B = 3x. S vědomím, že součet úhlů rovnoběžníku přilehlého k jedné z jeho stran je roven 180°, vytvoříme rovnici.
x = 180 : 4;
Dostaneme: ∠A = x = 45° a ∠B = 3x = 3 ∙ 45° = 135°.
Opačné úhly rovnoběžníku jsou tedy stejné,
∠A = ∠C = 45°; ∠B = ∠D = 135°.
Odpověď: ∠A =∠C = 45°; ∠B = ∠D = 135°.
Úkol 4. Dokažte, že pokud má čtyřúhelník dvě rovnoběžné a stejné strany, pak je tento čtyřúhelník rovnoběžníkem.
Důkaz.
Nakreslete úhlopříčku BD a uvažujme Δ ADB a Δ CBD.
AD = BC podle podmínky. Strana BD je společná. ∠1 = ∠2 jako vnitřní příčně ležící s rovnoběžnými (podmíněnými) přímkami AD a BC a sečnou BD. Proto Δ ADB = Δ CBD na dvou stranách a úhel mezi nimi (1. znak rovnosti trojúhelníků). V kongruentních trojúhelníkech jsou odpovídající úhly stejné, což znamená ∠3 =∠4. A tyto úhly jsou vnitřní úhly ležící napříč s přímkami AB a CD a sečnou BD. To znamená, že přímky AB a CD jsou rovnoběžné. V tomto čtyřúhelníku ABCD jsou tedy protilehlé strany rovnoběžné v párech, takže ABCD je podle definice rovnoběžník, což je třeba dokázat.
Úkol 5. Dvě strany rovnoběžníku jsou v poměru 2 : 5 a obvod je 3,5 m Najděte strany rovnoběžníku.
∙ (AB + AD).
Označme jednu část x. pak AB = 2x, AD = 5x metrů. S vědomím, že obvod rovnoběžníku je 3,5 m, vytvoříme rovnici:
2 ∙ (2x + 5x) = 3,5;
2 ∙ 7x = 3,5;
x = 3,5 : 14;
Jedna část je 0,25 m, pak AB = 2 ∙ 0,25 = 0,5 m; AD = 5 ∙ 0,25 = 1,25 m.
Zkouška.
Obvod rovnoběžníku P ABCD = 2 ∙ (AB + AD) = 2 ∙ (0,25 + 1,25) = 2 ∙ 1,75 = 3,5 (m).
Protože protilehlé strany rovnoběžníku jsou stejné, pak CD = AB = 0,25 m; BC = AD = 1,25 m.
Odpověď: CD = AB = 0,25 m; BC = AD = 1,25 m.
Rovnoběžník je čtyřúhelník, jehož protilehlé strany jsou rovnoběžné, tzn. leží na rovnoběžných liniích
Vlastnosti rovnoběžníku: 
Věta 22.
Opačné strany rovnoběžníku jsou stejné.
Důkaz. V rovnoběžníku ABCD nakreslíme úhlopříčku AC. Trojúhelníky ACD a ACB jsou stejné, jako by byly společná strana AC a dva páry stejné úhly. k němu přilehlé: ∠ CAB=∠ ACD, ∠ ACB=∠ DAC (jako příčné úhly s rovnoběžnými úsečkami AD a BC). To znamená, že AB = CD a BC = AD, jako odpovídající strany stejných trojúhelníků atd. Z rovnosti těchto trojúhelníků také vyplývá, že odpovídající úhly trojúhelníků jsou stejné:
Věta 23.
Opačné úhly rovnoběžníku jsou stejné: ∠ A=∠ C a ∠ B=∠ D.
Rovnost prvního páru pochází z rovnosti trojúhelníků ABD a CBD a druhého - ABC a ACD.
Věta 24.
Sousední úhly rovnoběžníku, tzn. úhly přiléhající k jedné straně se sčítají až o 180 stupňů.
Je tomu tak proto, že se jedná o vnitřní jednostranné úhly.
Věta 25.
Úhlopříčky rovnoběžníku se ve svém průsečíku vzájemně půlí.
Důkaz. Uvažujme trojúhelníky BOC a AOD. Podle první vlastnosti AD=BC ∠ OAD=∠ OCB a ∠ ODA=∠ OBC ležící napříč pro rovnoběžky AD a BC. Proto jsou trojúhelníky BOC a AOD stejné v bočních a sousedních úhlech. To znamená BO=OD a AO=OS, jako odpovídající strany stejných trojúhelníků atd.
Známky rovnoběžníku
Věta 26.
Jsou-li protilehlé strany čtyřúhelníku stejné ve dvojicích, jde o rovnoběžník.
Důkaz. Nechť má čtyřúhelník ABCD strany AD a BC, AB a CD stejné (obr. 2). Nakreslíme úhlopříčku AC. Trojúhelníky ABC a ACD jsou stejné na třech stranách. Potom jsou úhly BAC a DCA stejné, a proto je AB rovnoběžná s CD. Rovnoběžnost stran BC a AD vyplývá z rovnosti úhlů CAD a ACB.
Věta 27.
Jsou-li opačné úhly čtyřúhelníku stejné ve dvojicích, pak se jedná o rovnoběžník.
Nechť ∠ A=∠ C a ∠ B=∠ D. Protože ∠ A+∠ B+∠ C+∠ D=360 o, pak ∠ A+∠ B=180 o a strany AD a BC jsou rovnoběžné (na základě rovnoběžnosti přímek). Prokážeme také rovnoběžnost stran AB a CD a dojdeme k závěru, že ABCD je z definice rovnoběžník.
Věta 28.
Jsou-li sousední rohy čtyřúhelníku, tzn. Úhly přiléhající k jedné straně se sčítají až o 180 stupňů, pak jde o rovnoběžník.
Pokud se součet vnitřních jednostranných úhlů rovná 180 stupňům, pak jsou přímky rovnoběžné. Takže AB je rovnoběžná s CD a BC je rovnoběžná s AD. Čtyřúhelník se z definice ukazuje jako rovnoběžník.
Věta 29.
Jestliže se úhlopříčky čtyřúhelníku v průsečíku vzájemně půlí, pak je čtyřúhelník rovnoběžník.
Důkaz. Jestliže AO = OC, BO = OD, pak jsou trojúhelníky AOD a BOC stejné, protože mají stejné (svislé) úhly ve vrcholu O, uzavřené mezi dvojicemi stejných stran. Z rovnosti trojúhelníků usuzujeme, že AD a BC jsou si rovny. Strany AB a CD jsou také stejné a čtyřúhelník se podle kritéria 1 ukáže jako rovnoběžník.
Věta 30.
Pokud má čtyřúhelník dvojici stejných, rovnoběžných stran, pak je to rovnoběžník.
Nechť strany AB a CD čtyřúhelníku ABCD jsou rovnoběžné a stejné. Nakreslíme úhlopříčky AC a BD. Z rovnoběžnosti těchto přímek vyplývá, že příčné úhly ABO = CDO a BAO = OCD jsou stejné. Trojúhelníky ABO a CDO jsou stejné v bočních a sousedních úhlech. Proto AO=OS, VO=ОD, tzn. Úhlopříčky jsou rozděleny na polovinu průsečíkem a čtyřúhelník se ukáže jako rovnoběžník podle kritéria 4.
V geometrii jsou uvažovány speciální případy rovnoběžníků.
