Obdélníkový rovnoběžnostěn. Šikmý rovnoběžnostěn: vlastnosti, vzorce a úkoly pro učitele matematiky Základem pravoúhlého rovnoběžnostěnu je kosočtverec s úhlopříčkami
Rovnoběžnostěn je čtyřboký hranol s rovnoběžníky na jeho základně. Výška rovnoběžnostěnu je vzdálenost mezi rovinami jeho základen. Na obrázku je výška znázorněna segmentem 
. Existují dva typy rovnoběžnostěnů: rovné a šikmé. Učitel matematiky zpravidla nejprve uvede příslušné definice hranolu a poté je přenese na rovnoběžnostěn. Uděláme to samé.
Připomenu, že hranol se nazývá rovný, jsou-li jeho boční hrany kolmé k podstavám, není-li kolmost, nazývá se hranol nakloněný. Tato terminologie je také zděděna rovnoběžnostěnem. 
Pravý rovnoběžnostěn není nic jiného než typ rovného hranolu, jehož boční hrana se shoduje s výškou. Definice takových pojmů jako plocha, hrana a vrchol, které jsou společné pro celou rodinu mnohostěnů, jsou zachovány. Objevuje se koncept protilehlých tváří. Rovnoběžnostěn má 3 páry protilehlých ploch, 8 vrcholů a 12 hran.
Úhlopříčka rovnoběžnostěnu (úhlopříčka hranolu) je úsečka spojující dva vrcholy mnohostěnu a neležící na žádné z jeho ploch.
Diagonální řez - řez rovnoběžnostěnem procházející jeho úhlopříčkou a úhlopříčkou jeho základny.
Vlastnosti šikmého rovnoběžnostěnu:
1) Všechny jeho plochy jsou rovnoběžníky a protilehlé plochy jsou stejné rovnoběžníky.
2)
Úhlopříčky rovnoběžnostěnu se v jednom bodě protínají a v tomto bodě půlí.
3)
Každý rovnoběžnostěn se skládá ze šesti trojúhelníkových jehlanů stejného objemu. Aby je ukázal studentovi, učitel matematiky musí odříznout polovinu rovnoběžnostěnu s jeho diagonálním řezem a rozdělit jej samostatně na 3 pyramidy. Jejich základny musí ležet na různých stranách původního hranolu. Tuto vlastnost najde učitel matematiky v analytické geometrii. Používá se k odvození objemu pyramidy prostřednictvím smíšeného součinu vektorů.
Vzorce pro objem kvádru:
1) , kde je plocha základny, h je výška.
2) Objem kvádru se rovná součinu plochy průřezu a boční hrany.
Učitel matematiky: Jak víte, vzorec je společný pro všechny hranoly a pokud to lektor již dokázal, nemá smysl opakovat totéž pro rovnoběžnostěn. Při práci se žákem průměrné úrovně (vzorec není užitečný pro slabého žáka) je však vhodné, aby učitel jednal přesně naopak. Ponechte hranol na pokoji a proveďte pečlivý důkaz pro hranol.
3) , kde je objem jednoho ze šesti trojúhelníkových jehlanů, které tvoří rovnoběžnostěn.
4) Pokud , tak
Plocha bočního povrchu rovnoběžnostěnu je součtem ploch všech jeho ploch:
Celková plocha kvádru je součtem ploch všech jeho ploch, tedy plocha + dvě plochy podstavy: .
O práci tutora s nakloněným rovnoběžnostěnem:
Lektoři matematiky často nepracují na problémech týkajících se nakloněných rovnoběžnostěnů. Pravděpodobnost, že se objeví na Jednotné státní zkoušce, je poměrně nízká a didaktika je neslušně špatná. Víceméně slušný problém na objemu nakloněného rovnoběžnostěnu vyvolává vážné problémy spojené s určením polohy bodu H - základny jeho výšky. V tomto případě lze učiteli matematiky doporučit, aby rozřízl hranol na jednu z jeho šesti pyramid (o kterých se mluví ve vlastnosti č. 3), pokusil se najít jeho objem a vynásobit ho 6.
Pokud má boční hrana rovnoběžnostěnu stejné úhly se stranami podstavy, pak H leží na ose úhlu A podstavy ABCD. A pokud je například ABCD kosočtverec, pak
Úkoly učitele matematiky:
1) Čela rovnoběžnostěnu jsou si rovny se stranou 2 cm a ostrým úhlem. Najděte objem rovnoběžnostěnu.
2) U šikmého rovnoběžnostěnu je boční hrana 5 cm. K ní kolmý řez je čtyřúhelník se vzájemně kolmými úhlopříčkami o délce 6 cm a 8 cm. Vypočítejte objem kvádru.
3) V nakloněném rovnoběžnostěnu je známo, že , a v ABCD je základna kosočtverec se stranou 2 cm a úhlem . Určete objem rovnoběžnostěnu.
Učitel matematiky, Alexander Kolpakov
V této lekci bude každý schopen studovat téma „Obdélníkový rovnoběžnostěn“. Na začátku lekce si zopakujeme, co jsou to libovolné a rovné rovnoběžnostěny, zapamatujte si vlastnosti jejich protilehlých ploch a úhlopříček rovnoběžnostěnu. Poté se podíváme na to, co je kvádr a probereme jeho základní vlastnosti.
Téma: Kolmost přímek a rovin
Lekce: Kvádr
Plocha složená ze dvou stejných rovnoběžníků ABCD a A 1 B 1 C 1 D 1 a čtyř rovnoběžníků ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 se nazývá rovnoběžnostěn(Obr. 1).
Rýže. 1 rovnoběžník
To znamená: máme dva stejné rovnoběžníky ABCD a A 1 B 1 C 1 D 1 (základny), leží v rovnoběžných rovinách tak, že boční hrany AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 jsou rovnoběžné. Tak se nazývá plocha složená z rovnoběžníků rovnoběžnostěn.
Povrch rovnoběžnostěnu je tedy součtem všech rovnoběžníků, které tvoří rovnoběžnostěn.
1. Protilehlé strany rovnoběžnostěnu jsou rovnoběžné a stejné.
(tvary jsou stejné, to znamená, že je lze kombinovat překrýváním)
Například:
ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (stejné rovnoběžníky podle definice),
AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (protože AA 1 B 1 B a DD 1 C 1 C jsou opačné strany rovnoběžnostěnu),
AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (protože AA 1 D 1 D a BB 1 C 1 C jsou protilehlé strany rovnoběžnostěnu).
2. Úhlopříčky rovnoběžnostěnu se protínají v jednom bodě a jsou tímto bodem půleny.
Úhlopříčky rovnoběžnostěnu AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B se protínají v jednom bodě O a každá diagonála je tímto bodem rozdělena na polovinu (obr. 2).
Rýže. 2 Úhlopříčky rovnoběžnostěnu se protínají a jsou rozděleny na polovinu průsečíkem.
3. K dispozici jsou tři čtveřice stejných a rovnoběžných hran rovnoběžnostěnu: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, CC 1, DD 1.
Definice. Rovnoběžnostěn se nazývá rovný, pokud jsou jeho boční hrany kolmé k základnám.
Boční hrana AA 1 nechť je kolmá k základně (obr. 3). To znamená, že přímka AA 1 je kolmá k přímkám AD a AB, které leží v rovině podstavy. To znamená, že boční plochy obsahují obdélníky. A základny obsahují libovolné rovnoběžníky. Označme ∠BAD = φ, úhel φ může být libovolný.
Rýže. 3 Pravý rovnoběžnostěn
Pravý rovnoběžnostěn je tedy rovnoběžnostěn, jehož boční hrany jsou kolmé k základnám rovnoběžnostěnu.
Definice. Kvádr se nazývá obdélníkový, jsou-li jeho boční okraje kolmé k základně. Základy jsou obdélníky.
Kvádr ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 je obdélníkový (obr. 4), pokud:
1. AA 1 ⊥ ABCD (boční hrana kolmá k rovině podstavy, tedy rovný rovnoběžnostěn).
2. ∠BAD = 90°, tj. základna je obdélník.
Rýže. 4 Obdélníkový rovnoběžnostěn
Obdélníkový rovnoběžnostěn má všechny vlastnosti libovolného rovnoběžnostěnu. Existují však další vlastnosti, které jsou odvozeny z definice kvádru.
Tak, kvádr je rovnoběžnostěn, jehož boční hrany jsou kolmé k základně. Základem kvádru je obdélník.
1. V pravoúhlém rovnoběžnostěnu je všech šest ploch obdélníky.
ABCD a A 1 B 1 C 1 D 1 jsou podle definice obdélníky.
2. Boční žebra jsou kolmá k základně. To znamená, že všechny boční plochy pravoúhlého hranolu jsou obdélníky.
3. Všechny úhly vzepětí pravoúhlého rovnoběžnostěnu jsou pravé.
Uvažujme například úhel pravoúhlého rovnoběžnostěnu s hranou AB, tj. úhel ohybu mezi rovinami ABC 1 a ABC.
AB je hrana, bod A 1 leží v jedné rovině - v rovině ABB 1 a bod D ve druhé - v rovině A 1 B 1 C 1 D 1. Potom může být uvažovaný dihedrální úhel také označen následovně: ∠A 1 ABD.
Vezměme bod A na hraně AB. AA 1 je kolmá k hraně AB v rovině АВВ-1, AD je kolmá k hraně AB v rovině ABC. To znamená, že ∠A 1 AD je lineární úhel daného dihedrálního úhlu. ∠A 1 AD = 90°, což znamená, že úhel vzepětí na hraně AB je 90°.
∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.
Podobně je dokázáno, že jakékoli dihedrální úhly pravoúhlého rovnoběžnostěnu jsou správné.
Čtverec úhlopříčky pravoúhlého rovnoběžnostěnu se rovná součtu čtverců jeho tří rozměrů.
Poznámka. Délky tří hran vycházejících z jednoho vrcholu kvádru jsou rozměry kvádru. Někdy se jim říká délka, šířka, výška.
Dáno: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - pravoúhlý rovnoběžnostěn (obr. 5).
Dokázat: .
Rýže. 5 Obdélníkový rovnoběžnostěn
Důkaz:
Přímka CC 1 je kolmá k rovině ABC, a tedy k přímce AC. To znamená, že trojúhelník CC 1 A je pravoúhlý. Podle Pythagorovy věty:
Uvažujme pravoúhlý trojúhelník ABC. Podle Pythagorovy věty:
Ale BC a AD jsou opačné strany obdélníku. Tedy př. n. l. = n. l. Pak:
Protože , A , Že. Vzhledem k tomu, že CC 1 = AA 1, je třeba toto dokázat.
Úhlopříčky pravoúhlého rovnoběžnostěnu jsou stejné.
Rozměry rovnoběžnostěnu ABC označme jako a, b, c (viz obr. 6), pak AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =
nebo (ekvivalentně) mnohostěn se šesti plochami, které jsou rovnoběžníky. Šestiúhelník.
Rovnoběžníky, které tvoří rovnoběžnostěn, jsou okraje tohoto rovnoběžnostěnu jsou strany těchto rovnoběžníků okraje rovnoběžnostěnu, a vrcholy rovnoběžníků jsou vrcholy rovnoběžnostěn. V rovnoběžnostěnu je každá plocha rovnoběžník.
Zpravidla jsou identifikovány a volány libovolné 2 protilehlé tváře základny rovnoběžnostěnu a zbývající tváře - boční strany rovnoběžnostěnu. Okraje rovnoběžnostěnu, které nepatří k základnám, jsou boční žebra.
2 strany rovnoběžnostěn, které mají společnou hranu jsou přilehlý a ty, které nemají společné hrany - naproti.
Úsek, který spojuje 2 vrcholy, které nepatří do 1. plochy, je rovnoběžnostěnná úhlopříčka.
Délky hran pravoúhlého rovnoběžnostěnu, které nejsou rovnoběžné, jsou lineární rozměry (Měření) rovnoběžnostěn. Obdélníkový rovnoběžnostěn má 3 lineární rozměry.
Typy rovnoběžnostěnů.
Existuje několik typů rovnoběžnostěnů:
Přímo je rovnoběžnostěn s hranou kolmou k rovině základny.
Obdélníkový rovnoběžnostěn, ve kterém jsou všechny 3 rozměry stejné krychle. Každá z ploch krychle je stejná čtverce.
Jakýkoli rovnoběžnostěn. Objem a poměry v nakloněném rovnoběžnostěnu se určují hlavně pomocí vektorové algebry. Objem rovnoběžnostěnu rovná se absolutní hodnota smíšený součin 3 vektorů, které jsou definovány 3 stranami rovnoběžnostěnu (které pocházejí ze stejného vrcholu). Vztah mezi délkami stran rovnoběžnostěnu a úhly mezi nimi ukazuje, že Gramův determinant daných 3 vektorů je roven jejich druhé mocnině. smíšený produkt.
Vlastnosti rovnoběžnostěnu.
- Kvádr je symetrický kolem středu své úhlopříčky.
- Jakýkoli segment s konci, který patří k povrchu kvádru a který prochází středem jeho úhlopříčky, je jím rozdělen na dvě stejné části. Všechny úhlopříčky kvádru se v 1. bodě protínají a jsou jím rozděleny na dvě stejné části.
- Protilehlé strany rovnoběžnostěnu jsou rovnoběžné a mají stejné rozměry.
- Druhá mocnina délky úhlopříčky pravoúhlého rovnoběžnostěnu se rovná
